二次根式复习
【知识回顾】
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：
（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：
⑴二次根式的加减运算：
先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。 ⑵二次根式的乘除运算：
①ab =b a ?（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a b
a b a
【例题讲解】
例1 计算： （1）2)3(； （2）2
)3
2(
； （3） 2)(b a + （a+b ≥0） 分析：根据二次根式的性质可直接得到结论。 例2 计算： ⑴6·15 ⑵
2
1·24 ⑶3
a ·a
b （a ≥0，b ≥0） 分析：本例先利用二次根式的乘法法则计算，再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。
例3 计算：
（1）23 + 32 － 22 + 3 （2）12 + 18 － 8 － 32
（3）40 － 10
1
5
+ 10 分析：第1小题可直接合并同类二次根式；第2、3小题首先要将它们化成最简二次根式，
然后合并同类二次根式。
例4 如图，两个圆的圆心相同，面积分别为8㎝2、18㎝2，求圆环的宽度（两圆半
a （a ＞0） ==a a 2
a -（a ＜0） 0 （a =0）；
径之差）
【基础训练】
1．化简：（1）72=__ __； （2）222524-=___ __； （3）61218??=___ _；
（4）3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _； （5）_______420
=-。
2.(08，安徽)化简
()
2
4-=_________。
3.（08，武汉）计算4的结果是
Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4 4. 化简：
（1）（08，泰安）9的结果是 ； （2）（08，南京）123-的结果是 ； （3）(08，宁夏)825-= ； （4）（08，黄冈）5x -2x =_____ _； （5）（08，宜昌）3＋（5－3）=_________； （6）(08，大庆) ； （7）(08，荆门)
＝________；（8）（08，厦门）
．
5．（08，重庆）计算28-的结果是
A 、6
B 、6
C 、2
D 、2 6．（08，广州）3的倒数是 。
7. (08，聊城)下列计算正确的是 A ．
B ．
C ．
D ．
8.下列运算正确的是 A 、4.06.1= B 、
()5.15.12
-=- C 、39=- D 、
3
294=
9．（08，中山）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________； 10. 比较大小：３
10。
11．（08，嘉兴）使2x -有意义的x 的取值范围是 ． 12.(08，常州)若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是
A.x >-5
B.x <-5
C.x ≠-5
D.x ≥-5
13. (08，黑龙江)函数中，自变量的取值范围是 ．
14.下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是
A 、2－x
B 、x+2
C 、x －2
D 、1
x －2
15.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是
A.2
1a + B.
1
2
C.8
D.27 16．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是
A ．10
B ．8
C ．6
D ．2
17．（08，常德）下列各式中与
是同类二次根式的是
A ．2
B ．
C ．
D ．
18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是
A ．2112与
B ．2718与
C ．3
13与 D ．5445与 19.(08，乐山)已知二次根式
与
是同类二次根式，则的α值可以是
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8 20．（08，大连）若b a y b a x +=-=
,，则xy 的值为
A ．a 2
B ．b 2
C ．b a +
D ．b a -
21．（08，遵义）若230a b -+-=，则2
a b -= ．
22.（08，遵义）如图，在数轴上表示实数15的点可能是
A ．点P
B ．点Q
C ．点M
D ．点N
23.计算：
（1）（08，长春） （2）（08，长春）
（3）（08，上海）． （4）（08，庆阳）．
（5）27124148÷??
?
??+
24.先将22
x x --÷322x x x -化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值。
25.（08，广州）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，
化简 ：2
2
2
()a b a b ---
【能力提高】
26.( 08，济宁)若
，则的取值范围是 A ．
B ．
C ．
D ．
27.(08，济宁)如图，数轴上两点表示的数分别为1和
，点
关于点
的对称点为点
，则点
所表示的数是
A ．
B ．
C ．
D ．
28．先阅读下列的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将2a b ±化简，若你能找到两个数m 和n ，使22
m n a +=且mn b =，
则2
a b ±可变为222m n mn +±，即变成2
()m n ±开方，从而使得2a b ±化简。
例如： 526±=3226++
=222(
3)(2)223(32)++?=+，
∴
2526(32)32±=+=+
请仿照上例解下列问题： （1）526
-； （2）
423
+
初三数学知识点 第一章二次根式知识点 1 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 性质：a （0≥a ）是一个非负数； () ()02 ≥=a a a ； ()02≥=a a a . 2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=?b a ab b a ； ()0,0>≥=b a b a b a . 3 二次根式的加减：二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 4 海伦-秦九韶公式：))()((c p b p p p S ---=,S 是三角形的面积,p 为2 c b a p ++= . 第一章二次根式21.1二次根式练习 一、选择题 1．下列式子中,是二次根式的是（ ） A ． B C D ．x 2．下列式子中,不是二次根式的是（ ） A B C D ． 1x 3．已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（ ） A ．5 B C ． 1 5 D ．以上皆不对 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,?底面应做成正方形,试问底面边长应是多少？ 2．当x 是多少时2在实数范围内有意义？ 3有意义,．
A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 5.已知a 、b 为实数,求a 、b 的值． 第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习 1. 当0a ≤,0b 时__________=. 2. ,则_____,______m n ==. 3. __________==. 4. 计算： _____________=. 5. ,面积为则长方形的长约为 （精确到0.01）. 6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） 7. 已知0xy ,化简二次根式的正确结果为（ ） C. D. 8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+a b =+ 22a b =+a b =+ 9. -和- ） A. 32-- B. 32-- C. -=-不能确定 10. 以下说法中不正确的是（ ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算： () 1()2
第十六章 二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点： 当a <0时2a 的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： 65，S ，2，5h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎 样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时， 2x ，3x 有意义？
2、已知053=-+ +y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思
二次根式 课题名称二次根式 三维目标 1.了解二次根式的概念; 理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所有含字母的取值范围; 会求二次根式的值; 2.经历二次根式概念的发生过程 3.体验数学符号的美 重点目标形如a（a≥0）的式子叫 做二次根式的概念难点目标利用“a（a≥0）”解决具体 问题 导入示标 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 2. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 目标三导学做思一：认真阅读课文例题前面的内容，思考以下几个问题： 1．当a是正数时， a表示a的什么？（算术平方根，即正数a的正的平方根）． 2．当a是零时， a等于什么？，它表示什么？（它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．） 3．当a是负数时， a有没有意义？（没有意义．） 学做思二：x是怎样的实数时，二次根式1 x-有意义？ 解:被开方数x-1≥0，即x≥1． 所以，当x≥1时，二次根式 1 x-有意义． 学做思三：思考2a与（a）2等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律. 概括:当a≥0时，2a= ；当a＜0时，2a= ，()() 2 a a a =≥
例 .当x 是多少时，1231x x ++ +在实数范围内有意义？ 例 (1)已知225y x x =-+-+，求 x y 的值． (2)若110a b ++-=，求a 2004 +b 2004的值． 达标检测 1.计算： （4）2=______；（3）2=______； 9=______； 2(4)-=______； 2.x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 反思总结 1.知识建构 2.能力提高 3.课堂体验 课后练习
.21.2 二次根式的乘除 21．2.1 二次根式的乘法 理解a·b＝ab(a≥0,b≥0),并利用它们进行计算和化简． 由具体数据发现规律,导出a·b＝ab(a≥0,b≥0)并运用它进行计算． 通过探究a·b＝ab(a≥0,b≥0),培养特殊到一般的探究精神,培养学生对事物规律的观察发现能力,激发学生的学习兴趣． 重点 a·b＝ab(a≥0,b≥0)及它的应用． 难点 发现规律,导出a·b＝ab(a≥0,b≥0)． 一、情境引入 1．填空： (1)4×9＝________, 4×9＝________; (2)16×25＝________, 16×25＝________; (3)100×36＝________, 100×36＝________． 参照上面的结果,用“>”、“<”或“＝”填空． 4×9________4×9; 16×25________16×25; 100×36________100×36. 2．利用计算器计算填空． 2×3________6; 2×5________10; 5×6________30; 4×5________20. 二、探究新知 (学生活动)让3,4个同学上台总结规律． 教师点评：(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式,它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积． 一般地,对二次根式的乘法规定为 a·b＝ab(a≥0,b≥0)． 例1 计算： (1)5×7; (2)1 3 ×9; (3)1 2 × 6.
解：(1)5×7＝35; (2)1 3 ×9＝ 1 3 ×9＝3; (3)1 2 ×6＝ 1 2 ×6＝ 3. 三、练习巩固 1．直角三角形两条直角边的长分别为15 cm和12 cm,那么此直角三角形斜边长是( ) A．3 2 cm B．3 3 cm C．9 cm D．27 cm 2．化简a－1 a 的结果是( ) A.－a B. a C．－－a D．－ a 3．等式x－1·x＋1＝x2－1成立的条件是( ) A．x≥1 B．x≥－1 C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1 4．下列各等式成立的是( ) A．45×25＝8 5 B．53×42＝20 5 C．43×32＝7 5 D．53×42＝20 6 四、小结与作业 小结 1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问？请与同伴交流． 2．教师总结归纳二次根式的乘法规定 a·b＝ab(a≥0,b≥0)． 布置作业 从教材“习题21.2”中选取． 这节课教师引导学生通过具体数据,发现规律,导出a·b＝ab(a≥0,b≥0),并学会它的应用,培养学生由特殊到一般的探究精神,培养学生对于事物规律的观察、发现能力,激发学生的学习兴趣．
第21章 二次根式 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 。 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 。 三、学习过程 （一）知识准备： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）学习内容 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y= 3x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 4
A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称 ．因此，一般地，我们把形如a≥0）?的式子叫做， ”称为． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1 1 x x>0） 、 、 、 1 x y + x≥0，y?≥0）． 例2．当x 在实数范围内有意义？ （四）知识梳理 1．非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
浙江版数学八年级下教案一一第一章《二次根式》 §二次根式 教学目标： 1、经历二次根式概念的发生过程； 2、了解二次根式的概念； 3、理解二次根式何时有意义，无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围； 4、会求二次根式的值。 重点与难点：本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第（2），（3）题学生不容易理解, 是本节教学的难点。 教学设想：课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式，在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图， 按教材的步骤进行 教学，让学生在自主学习的基础上，发现教材中的学习重点，概括学习所得，提升学生的学习能力。 教学过程： 一、引入（合作学习）： 根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空： 直角三角形的斜边长是___________________ ；正方形的边长是___________________ 等边三角形的边长是______________ 。 首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表示算术平方根的式子。提问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么 1、表示的是算术平方根； 2、根号内含有字母的代数式。 在学生自主学习的基础上，要求学生对上述答案进行解释。其中学生对于答案3,等边 三角形的边长为.2S，—些学生会采用教材中以下的答案抄写，而不知该答案得到的原因。因此首先选不同程度的几名学生回答，鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评。对于该题的答案的得到过程可以用几何的推理的方法，即画出其中一条高后利用勾股定理进行计算的 方法或利用公式S正=-!a2 （a为该三角形的边长）的方法得到。 4 补充练习：判断，下列各式中哪些是二次根式 7；2；y ；x2y2; 3 ；■■■ a ；. a （a v 0 =； 二、新课讲授 1、二次根式的概念： （1）引导学生概括二次根式的定义：像W 4, ― ,J2S这样表示的算术平方根，且 根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如.亍〒） 也叫做二次根式。……即一个非负数的算术平方根。 （2）概念深化： 提问：a 1是不是二次根式?- 厂呢■ 9呢……学生对于上述的问题，在判断上会产生一定的歧义，此时应按照教参的要求进行教学：.厂、.9是二次根式，而.a 1不是 二次根式，只能称为含有二次根式的代数式。此外对于.2x2 2x . 3这样的代数式，他们的系数或常数项是二次根式，而整个代数式仍看做是整式。
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 第21章 二次根式单元测试 一、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） 2．若 b b -=-3)3(2，则（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．下面计算正确的是（ ） A.3=3=2 35= D.2=- 4．若x<0，则x x x 2-的结果是（ ） 5．下列二次根式中属于最简二次根 式的是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 A ．14 B ．48 C ． b a D ．44+a 6． 已知y =，则2xy 的值为（ ） 7．化简 6 151+的结果为（ ） A ．15- B ． 15 C ．152- D ． 15 2 A ．3011 B ．33030 C ．30330 D ．1130 8．小明的作业本上有以下四题：
①24416a a =； ②a a a 25105=?； ③a a a a a =?=1 12；④a a a = -23。做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．4 3- =a B ．34 =a C ．a=1 D ．a= —1 10． 计算2 2 1－631 ＋8的结果是（ ） A ．32－23 B ．5－2 C ．5－3 D ．22 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．①=-2)3.0( ；②=-2 )52( 。12．二次根式3 1-x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m ++= 。14．=?y xy 82 ， =?2712 。 15．1112-= -?+x x x 成立的条件是 。16．比较大小： 。 17．计算3 393a a a a - += 。18．232 31+-与的关系 是 。 19．若35-= x ，则562++x x 的值为 。20．化简 ? ?? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题16分，共40分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2） a 83 1 - （3）42+m （4）x 1-
2019-2020年九年级数学上册第21章二次根式复习教案新 人教版 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零． x≥-2且x≠0．
解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0． 解因为1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．
4.1 二次根式和它的化简（第一课时）教学内容：二次根式的概念及其运用 教学目标： a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2 （a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图像 在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．B A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ． 问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 S= 二、探索新知
都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子， （a ≥0）?的式子叫做二次根式，” 称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评:（略） 例11 x （x>0）、 、1 x y +、x ≥0，y?≥0）． 分析；第二，被开方数是正数或0． （x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的 1x 、1x y +． 例2．当x 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 13 当x ≥1 3 在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x 1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析：11x +在实数范围内有意义，0和11 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010 x x +≥?? +≠? 由①得：x ≥-3 2 由②得：x ≠-1 当x ≥- 32且x ≠-11 1 x +在实数范围内有意义．
《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0）； a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0） （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）
6 21 2 .2 A 石 B 辰 C 屈 D 血1 3 ?、a A 屆 B 73a 2 3 C 肩 D V a 4 4 25 A 5 B V 5 C 5 D 5 5 9 A 3 B 3 C 3 D 81 6 7a 2 b 1 0 (a b )2007 A 1 B 1 C 32007 D 32007 7 A ( 2)0 0 B 3 2 9 C 晶 3 D V 2 73 75 8 J x 1 x A x 1 B x l C x 1 D x 9 P A 、 斤 B C 3.2 D 1 1 P 1 1 亠 i i i 3 2 1O 1 2 3 10 9 A d 2 46 B v'2 C 珂'8 4血 D <4 42 <2 11 V20n n A 2 B 3 C 4 D 5 12 A 恵昭晁 B 恵爲 C 78 4D 7( 3)2 3 1 x ___________ J x 3 2 侮 ______________ 3 d 2x 6 x 3 .5 4 A B C 4 A B
7、观察下列各式: 8计算：晶 ___________________ : 9. 一个三角形的三边长分别为、、8cm,12cm,、、18cm ，则它的周长是 cm 10. 当 1 x<5时， ~x 5 ____________________ 。 三、解答题 1、计算：（n 1）°屁 的. 四.解答题。 1.如图：面积为48cm 2的正方形四个角是面积为3cm 2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子, 求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到 0.1 cm,、、3 1.732 ） 2. 当 1v x V 5 时，化简：.x 2 2x 1 . x 2 10x 25 3. 若最简二次根式3x 10 2x y 5和. x 3y 11是同类二次根式 ⑴.求x 、y 的值。 ⑵.求x 、y 平方和的算术平方根。 n （n > 1）的等式表示出来 3、 8+ (- 1)3 — 2X 4、1 10 (3 15 5.. 6) 2 5、(3.6 ^.2 )(3.6 42) & (、. 5 2)2 ( 5 1)(、. 5 3) 8. 48 54 2 1 73 请你将发现的规律用含自然数 2、 ,12 ,18 ,0.5 7, 2.12
第十六章二次根式单元教学计划 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．
21．3 二次根式的加减 1．掌握同类二次根式的概念,会判断同类二次根式,会合并同类二次根式．2．掌握二次根式加减乘除混合运算的方法． 重点 二次根式加减法的运算． 难点 探讨二次根式加减法的运算方法,快速准确进行二次根式加减法的运算． 一、情境引入 1．合并同类项： (1)2x＋3x; (2)2x2－3x2＋5x2. 解：(1)5x;(2)4x2. 这几道题是你运用什么知识做的？加减法则． 2．化简： (1)5 3 ; (2)48. 解：(1)15 3 ;(2)4 3. 3．如何进行二次根式的加减计算？先化简,再合并． 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后,它们的被开方数相同,这些二次根式就称为同类二次根式,就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．如22与32;28,38与58. 二、探究新知 例1 计算： (1)22＋32; (2)28－38＋58; (3)7＋27＋39×7; (4)33－23＋ 3. 教师多媒体展示例1.(1)如果我们把2当成x,不就转化成上面的问题了吗？ 因此,二次根式的被开方数相同的可以合并,如22与8表面上看是不同的,但它们可以合并． 归纳：二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并． 例2 计算： (1)212－61 3 ＋348; (2)(12＋20)＋(3－5)． 教师多媒体展示例2.学生自主完成,小组内展示、点评,教师巡视．三、练习巩固 1．下列计算是否正确？为什么？
(1)8－3＝8－3; (2)4＋9＝4＋9; (3)32－2＝2 2. 2．以下二次根式：①12;②22;③23 ;④27中,与3是同类二次根式的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 3．计算： (1)80－20＋5; (2)18＋(98－27); (3)12(2＋3)－34 (2＋27); (4)348－913 ＋312. 4．已知x ＝3＋1,y ＝3－1,求下列各式的值． (1)x 2＋2xy ＋y 2; (2)x 2－y 2. 教师多媒体展示,点名回答第1,2题,第3题学生板演,教师点评． 四、小结与作业 小结 请学生分组讨论,小组代表汇报,教师展示本节课学习的知识要点． 布置作业 从教材相应练习和“习题21.3”中选取． 本节课通过复习整式的加减法、合并同类项,引入二次根式的概念及二次根式的合并方法,对法则的教学与整式的加减比较学习,在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中,渗透了分析、概括、类比等数学思想方法,提高学生的思维品质和兴趣．
初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2 （a ≥0）是一个非负数， ）2=a （ a ≥0）（a ≥0）． （3 （a ≥ 0，b ≥0） ； a ≥0，b>0） （a ≥0， b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1 ）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定， ?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1（a ≥0a ≥0）是一个非负数；）2＝a （a ≥0）；（a ≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a ≥0）2＝a （a ≥0（a ≥
第21章 二次根式 21．1 二次根式 1．理解二次根式的概念,并利用a (a≥0)的意义解答具体题目． 2．理解a (a≥0)是非负数和(a)2＝a. 3．理解a 2＝a(a≥0)并利用它进行计算和化简． 重点 1．形如a (a≥0)的式子叫做二次根式． 2.a (a≥0)是一个非负数;(a)2＝a(a≥0)及其运用． 3.a 2 ＝?????a （a≥0），－a （a<0）. 难点 利用“a (a≥0)”解决具体问题． 关键：用分类思想的方法导出a (a≥0)是一个非负数;用探究的方法导出a 2＝ ? ????a （a≥0），－a （a<0）. 一、复习引入 回顾： 当a 是正数时,a 表示a 的算术平方根,即正数a 的正的平方根． 当a 是零时,a 等于0,它表示零的算术平方根． 当a 是负数时,a 没有意义． 二、探究新知 概括：a (a≥0)表示非负数a 的算术平方根,也就是说,a (a≥0)是一个非负数,它的平方等于a.即有： (1)a ≥0(a≥0);(2)(a)2＝a(a≥0)． 形如a (a≥0)的式子叫做二次根式． 注意：在a 中,a 的取值必须满足a≥0,即二次根式的被开方数必须是非负数． 思考：a 2等于什么？ 我们不妨取a 的一些值,如2,－2,3,－3等,分别计算对应的a 2的值,看看有什么规律． 概括：当a≥0时,a 2＝a;当a<0时,a 2＝－a. 三、练习巩固 1．x 取什么实数时,下列各式有意义？ (1)3－4x; (2) x ＋1x －2; (3)（x －3）2; (4)3x －4＋4－3x. 2．计算下列各式的值：
第十六章 二次根式 第1课时 16．1 二次根式(1) 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 1、知识与技能：理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目． 2、过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力。 3、情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。 教学重难点 1．重点：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点：利用“a （a ≥0）”解决具体问题 教学准备： 彩色粉笔、小黑板 教学过程 一、复习引入 （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的______, 记为____, a 一定是_____数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______， 0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考：教材P2思考 二、探索新知 很明显5 , 65,,3h s ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的 式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 4
思考:(1)-1有算术平方根吗？ (2)0的算术平方根是多少？(3)当a<0，a 有意义吗？ 三、例题讲解 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、33、x 1 、x （x>0）、0、42、2-、 y x +1 、y x +（x ≥0，y?≥0）． ；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：2、x （x>0）、0、、2-、、y x +（x ≥0，y?≥0）． 不是二次根式的有：33、x 1 、42、 y x +1． 例2 （教材P2例1）当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由2-x ≥0，得：x ≥2。当x ≥2时，2-x 在实数范围内有意义． 四、巩固练习：教材P3练习1、2． 补充练习：1、当x 是多少时，32+x +1 1 +x 在实数范围内有意义？ 2x+3≥0 ① 解：依题意，得 x+1≠0 ② 由①得：x ≥2 3- , 由②得：x ≠-1 当x ≥23-且x ≠-1时，32+x + 1 1 +x 在实数范围内有意义． 2、(1)已知y=x -2+2-x +5，求 y x 的值．(答案:2) (2)若1+a +1-b =0，求a+b 的值．(答案:0) 五、归纳小结 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 2．要 使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业：教材P5习题16.1第1、7题 七、板书设计 八、课后反思：
第21章《二次根式》单元测试 第一卷（共48分） 第一卷的答案请填写在第二卷的答题纸上！ 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 若a a - =-1）1（2 ，则a 的取值范围是（ ） A.1>a B.1≥a C. 1 学校 班级 姓名 学号 装 订 线 内 不 准 答 题 ………………………………装………………………………………订 ……………………………………线……………………………………………
第21章 二次根式 1. （2014年黑龙江省龙东地区中考数学试卷）函数y= 中，自变量x 的取值范围是 2.（2014年贵州省安顺市中考数学试卷）函数y= 中，自变量x 的取值范围是 3.（2014年福建省厦门市中考数学试卷）先化简下式，再求值：（﹣x 2+3﹣7x ）+（5x ﹣7+2x 2），其中x= +1． 4.（2014年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试）函数 中，自变量x 的取值范围是 . 5.（2014年广西钦州市中考数学试卷）下列运算正确的是（ ） A ． = + B ． （ ）2=3 C ． 3a ﹣a=3 D ． （a 2）3=a 5 6.（2014年新疆生产建设兵团中考数学试卷）计算：（﹣1）3 + +（﹣1）0 ﹣ 7.函数的自变量 的取值范围是 ． 8.（2014年山东省东营市中考数学试题）下列计算错误的是( ) A ． B ． C ．－2＋|－2|＝0 D ． 9.（2014 年上海市中考数学试卷）计算：． 10. （2014年湖北省咸宁市中考数学试题）观察分析下列数据： 0，，，， ，， ，…， 根据数据排列的规律得到第16个数据应是 (结果需化简) ． 11.（2014年山东省滨州市中考数学试题）计算下列各式的值： 观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得 =____________. 12.（2014年山东省烟台市中考数学试题）将一组数 ，按下面的方法进行排列: 若 的位置记为 位置记为(2,3).则这组数中最大的有理数的位置记为 A.(5.2) B(5.3) C.(6.2) D_ (6.5) 13.（浙江省杭州2014年中考数学） 的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 14.（浙江省杭州2014年中考数学）如果一个数与相乘的结果是有理数，那这个数可以是 （写出一个 即可） 15.如图所示实数 在数轴上的位置，以下四个命题中是假命题的是（ ） A. B. C. D.
第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0） a≥0，b>0）a≥0，b>0）． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）； （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算．
教学难点 1a≥02＝a（a≥0（a ≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3课时 21．2 二次根式的乘法 3课时 21．3 二次根式的加减 3课时 小结与自测 2课时 21．1 二次根式 第一课时 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 a≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 情感、态度、价值观：培养学生课前预习的习惯，培养学生利用概念解决问题的能力. 教学重难点关键 1a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐 标是___________．