高三数学三模考试试题 理（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知i 为虚数单位，复数z 满足：()11i z i +=-，则z 在复平面内对应点的坐标为（ ） A. ()0,1 B. ()0,1-
C. ()1,0
D. ()1,0-
【答案】B 【解析】 【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【详解】由()11z i i +=-，得2
1(1)1(1)(1)
i i z i i i i --=
==-++-，∴复数z 在复平面内对应的点为（0，﹣1）， 故选：B ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
2.已知集合{
}
2
230A x x x =+-<，集合{}
3B x x a =-<<，若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. [)1,+∞ C. ()3,1- D. (]3,1-
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意得，问题转化为集合A 是集合B 的真子集，得到关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】因为“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，所以集合A 是集合B 的真子集， 又集合{}2
230A x x x =+-<={
}31x x -<<，且{}
3B x x a =-<<，
所以1a > 故选：A
【点睛】本题考查了必要不充分条件，考查集合的包含关系，属于基础题．
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A. 66 B. 90
C. 117
D. 127
【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得6
3963,,S S S S S --成等差数列，代入数据可得9S ．
【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，
故()()363962
S S S S S -=+-，
代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =
故选：C
【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，属于基础题．
4.双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线230x y ++=垂直，则双曲线的离心
率为（ ）
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
先求双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线为b y x a =，再利用直线互相垂直得
()21b a ?-=-，代入e =. 【详解】双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线为b y x a =，Q 渐近线b y x a =
与直线230x y ++=垂直，
得()21b a ?-=-，即12b a =，代入2e === 故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.
5.二项式2n
x ?- ?
?的展开式中第7项是常数项，则n 的值是（ ） A. 8 B. 9
C. 10
D. 11
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二项展开式的通项公式，得第7项x 的指数，利用指数为零，求出n 的值．
【详解】二项式2n
x ?- ?
?的展开式中第7项为
()6
666666696+131=222n n n n n n n n T C x C x C x x -----?== ??
， 由于第7项为常数项，则n ﹣9＝0，解得n ＝9 故选：B ．
【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题．
6.已知向量a r 、b r
的夹角为120?，2a =r ，2b =r ，则2a b -r r 在b r 方向上的投影为（ ）
B. C. 4 D. 4-
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意，先求(2b)a b -?r r r ，再求2b a -r r
在b r 方向上的投影为：
(2b)|2b |cos (2b)||
a a b
a b b -?-?<-?>=r r r
r r r r r r ，代值求出结果即可．
【详解】∵已知向量a r 、b r
的夹角为120?，2a =r ，2b =
r ，
∴2
(2)2222cos120228a b b a b b -?=?-=??-?=-o r r r r r r
2b a -r r
在b r 方向上的投影为：
(2b)(2b)8
|2b |cos (2b)|2b |42|2b |||||
a b a b a b a a b b a -?-?--?<-?>=-?===--?r r r r r r
r r r r r r r r r r r
故选：D ．
【点睛】本题考查向量的投影的求法，考查向量数量积公式的应用，属于基础题．
7.如图给出计算1111
246100
++++L 值的一个程序框图，其中空白的判断框内应填入的条件是（ ）
A. 49?i ≥
B. 50?i ≥
C. 51?i ≥
D. 51?i >
【答案】C 【解析】 【分析】
利用程序框图的循环结构依次求出结果即可． 【详解】根据程序框图：S 0,1i ==，
执行第一次循环时：1
S 02=+， 执行第二次循环时：11
S 024
=++，
…
依此类推,当51i =时，输出结果．
其中判断框内应填入的条件是：51?i ≥ 故选：C ．
【点睛】本题考查循环结构的程序框图，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题
8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x -=+，当()0,1x ∈时，
()()2log 1f x x =+，则()2019f =（ ）
A. 1
B. 1-
C. 0
D. 2log 3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据奇函数和()()11f x f x -=+，得函数的周期为4，利用函数周期性和奇函数的关系进行转化即可得到结果．
【详解】∵奇函数f （x ）满足()()11f x f x -=+，
∴f（x+1）＝f （1﹣x ）＝﹣f （x ﹣1），即f （x+2）＝﹣f （x ）， 则f （x+4）＝﹣f （x+2）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为4的函数， ∵当x∈()0,1时，f （x ）＝log 2（x+1），
∴f（2019）＝f （505?4﹣1）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣log 22＝﹣1. 故选：B ．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键，属于基础题．
9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和
科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比1
2
m =
的近似值，黄金分割
比还可以表示成2sin18?，则2
2cos 271
=?-（ ）
A. 4
1
C. 2
1
【解析】
【分析】
由题意得m＝2sin18°，∴4﹣m2＝4cos218°，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解．
【详解】由题意得m＝2sin18°，∴4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，
∴
2
2cos271
?-
＝
2sin184sin18cos18
2 1cos541sin36
??
??
== +-
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
10.今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为（）
A. 19
25
B.
17
20
C.
16
25
D.
19
40
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出甲、乙两名专家被分配在同乡镇的概率，由此能求出甲、乙两名专家不在同乡镇的概率．
【详解】记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A，5名专家分到3个不同的乡镇，
共有2种情况，1种情况为1,1,3人，另1种情况为1,2,2人.
那么
33
113122
33
4342
33
22
2
1313
33
2
55
6 ()
6
5
02
115
C A C A
P A
C C
A
C
A A
C C C
A
+
+
=
+
==
，
所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为：P()1P()19 25
A A
=-=．
故答案：A
【点睛】本题考查了分步计算原理的运用问题，也考查了间接法和古典概型的计算问题，属
11.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，AB =
,,E F G 分别是棱
1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，则三角形1BB P 面积最小值为（ ）
B. 1 D.
12
【答案】C 【解析】 【分析】
由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在的线段，计算即可．
【详解】分别取11111,,D C D A A A 的中点H,Q,R ，补全截面EFG 为截面EFGHQR 如图所示， 设BR⊥AC，∵直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点，∴D 1P∥平面EFGHQR ，易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ，∴P∈AC，
且当P 与R 重合时，BP ＝BR 最短，此时△P BB 1的面积最小，11AD DD ==，AB =
由等面积法：
12BR×AC＝12BA×BC，得11BR 1BR 22=?∴=，
即BP 2
=
，又BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥BP，△PBB 1为直角三角形，
∴△PBB 1的面积为：11224
?=
. 故选：C ．
【
点睛】本题考查了线面平行，面面平行的应用，三角形面积公式，属于中档题．
12.已知函数32
log ,
()41,0
x x f x x x x ?>=?
++?… ，函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，
x 2，x 3，x 4，且满足：x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则2213
23432
x x x x x x +-的取值范围是（ ） A. [2
B. （3，
839
] C. [3，+∞） D.
832,9??????
【答案】D 【解析】 【分析】
函数()()F x f x b =- 有4个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，转化为()f x b =有4个交点，结合函数()f x 的图象得 x 1+x 2＝﹣4，x 3x 4＝1，利用换元法求出新函数的值域即可． 【详解】函数32
log ,
()41,0
x x f x x x x ?>=?
++?…图象如图所示，函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不
同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，
且满足：x 1＜x 2＜x 3＜x 4，转化为()f x b =有4个不同的交点，由图象，结合已知条件得 x 1+x 2＝﹣4，x 3x 4＝1，0＜b≤1，
解不等式0＜﹣log3x≤1得：1
3
≤x3＜1，()
22
2
1323
4
4
123
2
33
2
3
3
1
2
22
x x x x x
x x
x x x
x x x
+
-=-?+=+，令t＝x32，则
1
9
≤t＜1，令g（t）＝2t+
1
t
，则g（t）在[
1
9
，
2
2
]上单调递减，[
2
2
，1）上是增函数．
g（
2
2
）＝22，g（
1
9
）＝
83
9
，()13
g=，∴g（2
2
）≤g（t）≤g（
1
9
），即22≤2t+
1
t
≤
83
9
．故选：D．
【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，对数的运算，函数单调性的判断与应用，属于中档题．
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上
13.已知随机变量ξ服从正态分布
()2
2,
Nσ，若()30.9
Pξ≤=，则
()
13
Pξ
<≤=_________.
【答案】0.8
【解析】
【分析】
随机变量ξ服从正态分布
()2
2,
Nσ，则正态分布密度函数曲线关于x＝2对称，由P（ξ≤3）＝0.9，即可求得()
13
Pξ
<≤．
【详解】随机变量ξ服从正态分布
()2
2,
Nσ，则正态分布的密度函数曲线关于x＝2对称，
所以P （2≤ξ≤3）＝P （1≤ξ≤2），且P （ξ≤3）＝0.9， 所以P （ξ>3）＝1﹣0.9＝0.1，∴P（ξ≤1）＝P （ξ>3）=0.1 则()13P ξ<≤=1-P （ξ>3）-P （ξ≤1）=0.8 故答案为：0.8．
【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的对称性解决概率问题，属于基础题．
14.已知直线y kx =与曲线ln 2y x =相切，则实数k 的值为_________. 【答案】
2
e
【解析】 【分析】
设切点坐标P （a ，ln2a ），求出导函数y '，利用导数的几何意义得k ＝y '|x ＝a ，再根据切点也在切线上，列出关于a 和k 的方程，求解即可．
【详解】设切点坐标为P （a ，ln2a ），∵曲线y ＝ln2x ，∴y '＝
1
x
，∴k＝y 'x a
=＝
1
a
，① 又∵切点P （a ，ln2a ）在切线y ＝kx 上，∴ln2a ＝k a ，②，由①②，解得2
e a =， 代入①得k ＝2e ，∴实数k 的值为2e
． 故答案为：
2e
【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线的斜率，属于基础题．
15.已知实数,x y 满足3
31x y mx y y -≥-??
+≤??≥?
，其中0
sin m xdx π=?，则24x y z =?的最大值为_________.
【答案】62 【解析】 【分析】
由定积分得0
sin m xdx π
=
?
=2，即实数,x y 满足3231x y x y y -≥-??
+≤??≥?
，画出可行域，化简目标函数
2242x y x y z +=?=，令2x y ω=+，化为直线方程的斜截式11
22
y x ω=-
+，数形结合得到
最大解，把最大解的坐标代入目标函数即可． 【详解】由定积分计算得()
()0
sin cos cos cos02m xdx x π
π
π==-=--=?
，
所以实数,x y 满足3
231x y x y y -≥-??
+≤??≥?
，画出可行域，如图所示：
化简目标函数2242x y x y z +=?=，令2x y ω=+，得11
22
y x ω=-+， 在可行域内平移1122y x ω=-
+，当11
22
y x ω=-+移动到A 时，ω取最大值. ()30
0,3233
x y x A x y y -=-=?????
?+==??，把A 代入2x y ω=+，得6ω=， 此时26max
22x y z +==
故答案为：62
【点睛】本题考查了定积分和指数的计算，简单的线性规划，目标函数的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题.
16.抛物线2
1:8E y x =和圆()2
22:24E x y -+=，直线2y x =-与抛物线1E 和圆2E 分别交
于四个点A D B C 、、、（自下而上的顺序为A B C D 、、、），则AB BC CD ??的值为_________. 【答案】16 【解析】 【分析】
设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，结合已知条件和抛物线的定义得|AF|＝x 1+2=|AB|+2，即|AB|＝x 1，同理可得：|CD|＝x 4，将直线的方程代入抛物线方程，利用韦达定理求得x 1x 4，即可得结果．
【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，∵y 2
＝8x ，焦点F （2，0），
()
2
2x 2y 4-+=的圆心为()2,0，半径2r =，
所以直线y x 2=-既过抛物线1E 的焦点F ，又过圆2E 的圆心.
抛物线的准线 l 0：x ＝﹣2．由抛物线定义得：|AF|＝x 1+2，又∵|AF|＝|AB|+2，∴|AB|＝x 1，同理：|CD|＝x 4，
则直线：y ＝x ﹣2代入抛物线方程2
y 8x =，得：x 2﹣12x+4＝0，∴x 1x 4＝4，则|AB|?|CD|＝4．又
BC 24r ==，
综上所述，AB BC CD ??＝4?4=16 故答案为：16．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线和圆的位置关系，韦达定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分
17.已知函数()()sin f x A x =+ω?，其中0A >，0>ω，()0,?π∈，x ∈R ，且()f x 的
最小值为2-，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，3f x π?
?
- ??
?
的图象关于原点对称.
（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；
（2）在ABC ?中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且
()2
22242cos a
ac B a b c -=+-，求()f B .
【答案】（1）f （x ）＝2sin （
12x+6π），递增区间为:424,4,33k k k Z ππππ??-++∈????
；（2）
【解析】 【分析】
（1）由题意可求f （x ）的A 和周期T ，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求?，可得f （x ）的解析式和单调递增区间；
（2）由余弦定理，结合已知条件，求出B,代入f （x ）化简求值即可.
【详解】（1）∵函数()()sin f x A x ω?=+，其中0A >，0>ω，()0,?π∈，函数的最小值是-2，
∴A＝2，∵()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴T＝
24π
πω
=，解得：
1
2
ω=. 又∵3f x π??- ???的图象关于原点对称，∴ f （x ）的图象关于,03π?-? ???
对称.
∴
1k ,k Z 32π?π???-+=∈ ??? ，解得：+k ,k Z 6
π
?π=∈， 又∵()0,?π∈，解得：6π
=?．可得：f （x ）＝2sin （12x+6
π）． 因
1-+222k ππ≤x++226k πππ≤，k π∈，∴4-+43k x ππ≤2+43
k ππ≤，k π∈
所以f （x ）的递增区间为:424,4,33k k k Z ππππ??
-
++∈????
.
（2）在ABC ?中，满足()
2
222
42cos a ac B a b c -=+-，
由余弦定理得()222
2
222422a c b a ac a b c ac
+--=+-，
化简222a c b ac +-=，所以cos B =
12
，且()0,,3B B ππ∈∴=，
()f B =3f π??
= ???
2sin （123π?+6π）=3
【点睛】本题主要考查了由()()sin f x A x ω?=+的部分图象确定其解析式，正弦函数的值和单调区间，也考查了余弦定理，属于中档题．
18.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，1
AD=
2
BC ，且AD BC P ，AD ＝AE ＝1，∠ABC＝60°，EF=
1
2
AC ，且EF P AC.
（Ⅰ）证明：AB⊥CF；
（Ⅱ）求二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10
10
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由EA⊥平面ABCD 得BA⊥AE．由四边形ABCD 为等腰梯形，1
AD=
2
BC ，且AD BC P ，∠ABC＝60°，得AB⊥AC，进而推出AB⊥平面ACFE ．即可得AB⊥CF．
（Ⅱ）以A 为坐标原点，AB ，AC ，AE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BEF 的一个法向量，平面DEF 的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角的余弦值即可． 【详解】（Ⅰ）由题知EA⊥平面ABCD ，BA ?平面ABCD ，∴BA⊥AE． 四边形ABCD 为等腰梯形，1
AD=
2
BC ，且AD BC P ，AD ＝1，所以BC=2，∠ABC＝60°，
过点A 作AH⊥BC 于H ，在RT△ABH 中，1
ABH 60,BH 2
?
∠==
，∴AB＝1， 在△ABC 中，AC 2＝AB 2
+BC 2﹣2AB?BCcos60°＝3，∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴AB⊥AC， 且AC∩EA＝A ，∴AB⊥平面ACFE ．又∵CF ?平面ACFE ，∴AB⊥CF.
（Ⅱ）以A 为坐标原点，AB ，AC ，AE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，
EF=1
2AC ，且EF P AC ，AD ＝AE ＝1，则()313(1,0,0),0,0, 1,0,, 1,,,0222B E F D ????- ? ? ? ?????， 3131(1,0,1),1,,1,,,1,,0,12222BE BF DE DF ??????
∴=-=-=-= ? ? ? ? ???????
u u u r u u u r u u u r u u u r 设111(,,)n x y z =r 为平面BEF 的一个法向量，则111110
3
02n BE x z n BF x y z ??=-+=?
??=-++=??
u u u v v u u u v v 令11x = ，得(1,0,1)n =r
，
设222(,,)m x y z =u r 为平面DEF 的一个法向量，则2222213022102m DE x y z m DF x z ??=-+=?????=+=??
u u u v v u u u v v 令22x =，
得(2,0,1)m =-u r
，
∴10cos ,||||m n m n m n ?<>==u r r
u r r u r r ，二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值为10.
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法求二面角的平面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
19.《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4
（I ）请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；
（II ）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++
参考数据：(
)
2
5.0240.025P K ≥=，(
)2
6.6350.010P K ≥=，(
)
2
7.8790.005P K ≥=，
()210.8280.001P K ≥=.
【答案】（Ⅰ）有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；（II ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据已知条件计算出2×2 列联表中各个数据，求出K 2，可得答案；
（II ）X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ． 【详解】（Ⅰ）满足题意的2×2 列联表如下表所示：
由列联表中的数据，得到2
2
100(45251515)14.06310.82860406040
K ?-?=≈>???
因此，有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关． （II ）X 的可能取值为0，1，2，
P （X ＝0）22251
10C C ==，
P （X ＝1）=11232
53
5
C C C = ， P （X ＝2）＝23253
10
C C =，
∴X 的分布列为：
EX ＝13360
12105105
?
+?+?= ． 【点睛】本题考查独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，属于基础题.
20.已知点F 1，F 2分别为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 为椭圆上任意一
点，P 到焦点F 21，且△PF 1F 2的最大面积为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程．
（Ⅱ）点M 的坐标为5,04??
???
，过点F 2且斜率为k 的直线L 与椭圆C 相交于A ，B 两点．对于任
意的k R,MA ME ∈?u u u u r u u u r
是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．
【答案】（Ⅰ）2
212
x y +=；（Ⅱ）定值为716-
【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用P 到焦点F 2
1，且△PF 1F 2的最大面积为1，结合a 2＝b 2+c 2，求出a ，c ，b 可得椭圆的方程．
（Ⅱ）利用直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合向量的数量积化简得到定值即可． 【详解】（I ）由题意可知：a+c
1，121
2
PF F S ?=
×2c×b＝1，且a 2＝b 2+c 2， ∴a 2
＝2，b 2
＝1，c 2
＝1，∴所求椭圆的方程为：2
212
x y +=.
（II ）设直线L 的方程为：y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （
5
4
，0） 联立直线与椭圆方程，消去y 可得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x+2（k 2﹣1）＝0
则2122
2122
41222120k x x k k x x k ?+=?+?
?-=?+?
?>???
112255MA ,y ,MB ,y 44x x ????=-=- ?∴ ?????u u u u r u u u r 12125544MA MB x x y y ????∴?=--+ ????
???uuu r uuu r ()121212525
y y 416x x x x =-++++
()()212121212525
1416
x x k x x x x x x =-
++++++-???? ()()22212125251416k x x k x k x ??
=--+++++ ???
()2222
222
54222514121216k k k k k k k -??=--?++?++ ?++?? 7
16
=- ∴对于任意
k R,ME MA ∈?u u u r u u u r 为定值716
-．
【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式，韦达定理以及向量数量积的综合应用，考查计算能力，属于中档题
21.已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x ﹣
2
2
a x +a x ，其中a ∈R，e 是自然对数的底数．
（1）当a ＞0时，讨论函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性；
（2）若函数g （x ）＝f '（x ）+2﹣a ，证明：使g （x ）≥0在R 上恒成立的实数a 能取到的最大整数值为1．
【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）讨论a 的范围，判断f '（x ）的符号，得出f （x ）的单调性；
（2）分别计算a ＝1和a ＝2时g （x ）的最小值，判断g （x ）的最小值的符号得出结论． 【详解】（1）f '（x ）＝e x +（x ﹣2）e x ﹣a x+a ＝（x ﹣1）（e x ﹣a ），令f '（x ）＝0解得x ＝ln a ，
①若ln a ≤1，即0＜a ≤e，则f '（x ）≥0在（1，+∞）上恒成立，∴f（x ）在（1，+∞）上单调递增；
②若ln a ＞1，即a ＞e ，则当1＜x ＜ln a 时，f′（x ）＜0，当x ＞ln a 时，f '（x ）＞0， ∴f（x ）在（1，ln a ）上单调递减，在（ln a ，+∞）上单调递增， （2）g （x ）＝e x +（x ﹣2）e x ﹣a x+2，
①当a ＝1时，g （x ）＝e x +（x ﹣2）e x ﹣x+2，()'
g x ＝xe x ﹣1，()"
g
x ＝（x+1）e x
，
∴当x ＜﹣1时，()"
g
x ＜0，当x ＞﹣1时，()"g x ＞0，
∴()'
g x 在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增， ∴()'
g x 的最小值为g '（﹣1）＝﹣
1
e
﹣1＜0， 又当x ＜0时，()'
g x ＜0，g '（0）＝﹣1，g '（ln2）＝2ln2﹣1＞0， ∴存在唯一一个实数x 0∈（0，ln2），使得g '（x 0）＝0，即x 00e x ＝1． ∴g（x ）在（﹣∞，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增， ∴g（x ）的最小值为g （x 0）＝0e x +x 00e x ﹣02x e ﹣x 0+2＝3﹣（0e x +x 0），
∵0＜x 0＜ln2，∴1＜0e x ＜2，∴0e x +x 0＜2+ln2＜3，∴g（x 0）＝3﹣（0e x +x 0）＞0， ∴当a ＝1时，g （x ）≥0在R 上恒成立．
②当a ＝2时，g （x ）＝e x +（x ﹣2）e x ﹣2x+2，()'
g x ＝xe x ﹣2，g ''（x ）＝（x+1）e x ，
由①可知()'
g x 在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，
()'g x 的最小值为g '（﹣1）＝﹣1
e
﹣2＜0，且当x ＜0时，()'g x ＜0，g '（ln2）＝2ln2﹣2
＜0，g '（1）＝e ﹣2＞0，
∴存在唯一一个实数x 0∈（ln2，1），使得g '（x 0）＝0，即x 00e x ＝2． ∴g（x ）在（﹣∞，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增， ∴g（x ）的最小值为g （x 0）＝0e x +x 00e x ﹣02x e ﹣2x 0+2＝4﹣（0e x +2x 0），
∵ln2＜x 0＜1，∴2＜0e x ＜e ，∴0e x +2x 0＞2+2ln2＞4，∴g（x 0）＝3﹣（0e x +x 0）＜0， ∴当a ＝2时，g （x ）≥0在R 上不恒成立． 综上，实数a 能取到的最大整数值为1．
【点睛】本题考查了函数单调性的判断，导数应用，函数恒成立问题与函数最值的计算，属于中档题．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如多做，则按所做的第一天计分
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα
=+??=+?（t 为参数，α为直线l 的倾
斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
4sin ρθ=.
（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求23
π
α=
时直线l 的普通方程； （2）直线l 和曲线C 交于两点A B 、，点P 的直角坐标为()2,3，求PA PB +的最大值.
【答案】（1）C ：x 2+y 2﹣4y ＝0，l 30y +-=；（2）【解析】 【分析】
（1）把ρ＝4sinθ两边同时乘以ρ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，由直线l 的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
2012年第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知M ={x |x 2＞4}，21,1N x x ? ? =≥??-?? 则C R M∩N = （ ） A ．{x |1＜x ≤2} B ．{x |－2≤x ≤1} C ．{x |－2≤x ＜1} D ．{x |x ＜2} 2. （2010··重庆四月模拟试卷） 函数1 lg(2) y x = -的定义域是 （ ） A. ()12， B. []14， C. [)12， D. (]12， 3. (理)（2010·全国卷I ）记cos(80)k ? -=,那么tan100?= （ ） A.k B. k - D. (文)（2010··全国卷I ）cos300? = （ ） A 12- C 12 D 4（理）（2010·宣武一模）若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π 3 S =，则6tan a 的值为（ ） A B ．C ． D ． 4.(文)（2010·茂名二模）在等差数列{}n a 中，已知1241,10,39,n a a a a =+==则n = （ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 5. （2010·太原五中5月月考）在等比数列}{n a 中，前n 项和为n S ，若63,763==S S 则公比q 等于（ ） A ．-2 B ．2 C ．-3 D ．3 6. （2010·曲靖一中冲刺卷数学）函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f(x)= x +1，则函数f(x)在（1，2）上的解析式为 （ ） A ．f(x)= 3－x B ．f(x)= x －３ C ．f(x)= １－x D ．f(x)= x +1
高三数学高考模拟题 (一) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三数学高考模拟题（一） 一. 选择题（12小题，共60分，每题5分） 1. 已知集合{}{} M N x x x x Z P M N ==-<∈=?13302，，，，又|，那么集合 P 的子集共有( ) A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 16个 2. 函数y x =-的反函数的图象大致是( ) A B C D 3. 已知直线l 与平面αβγ、、，下面给出四个命题： ()//(),()()////12314若，，则若，若，，则若，，则l l l l l ααββαββγαγγγββ αβαβ⊥⊥⊥⊥⊥?⊥⊥? 其中正确命题是( ) A. (4) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (2)(3) 4. 设cos ()31233 x x x =-∈-，且，，则ππ 等于( ) A B C D ....±±±± ππππ 18929518 5. 设a b c a b c =+=-=sin cos cos 1313221426 2 2 ，，，则、、之间的大小关系是( )
A b c a B c a b C a c b D c b a ....>>>>>>>> 6. ()15+x n 展开式的系数和为a x n n ，()572+展开式的系数和为 b a b a b n n n n n n ，则lim →∞-+234等于( ) A B C D ....- --12131 71 7.椭圆 x y M 22 4924 1+=上有一点，椭圆的两个焦点为F F MF MF MF F 121212、，若，则⊥?的面积是( ) A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 8. 已知椭圆x y t 22 1221 1+-=()的一条准线的方程为y =8，则实数t 的值为( ) A. 7和－7 B. 4和12 C. 1和15 D. 0 9. 函数y x x x =+2sin (sin cos )的单调递减区间是( ) A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z .[].[].[].[]28278 27821588 58 3878 ππππ ππππππ ππ ππππ-+∈++∈-+ ∈+ +∈，，，， 10. 如图在正方体ABCD －A B C D 1111中，M 是棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A B 11上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角( ) A. 是π4 B. 是π 3 C. 是π 2 D. 与P 点位置有关 1 A 11. 在平面直角坐标系中，由六个点O(0，0)、A(1，2)、B(－1，－2)、C(2，4)、D(－2，－1)、E(2，1)可以确定不同的三角形共有( )
高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 山东省 高三高考模拟卷（一） 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间 120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若i z +=1，则(2)z z +?= A ．42i - B ．42i + C ．24i + D ．4 2．已知集合}6|{2--==x x y x A ， 集合12{|log ,1}B x x a a ==>，则 A ．}03|{<≤-x x B ．}02|{<≤-x x C ．}03|{<<-x x D ．}02|{<<-x x 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示： 若某高校A 专业对视力的要求在0．9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 A ．10 B ．20 C ．8 D ．16 4．下列说法正确的是 A ．函数x x f 1)(=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C ．命题“R x ∈?，220130x x ++>”的否定是“R x ∈?，220130x x ++<” D ．给定命题q p 、，若q p ∧是真命题，则p ?是假命题 5．将函数x x x f 2sin 2cos )(-=的图象向左平移 8 π个单位后得到函数)(x F 的图象，则下列说法中正确的是 A ．函数)(x F 是奇函数，最小值是2- B ．函数)(x F 是偶函数，最小值是2- 高三数学第一次月考试卷（集合、函数） 班级： 学号： 姓名： . 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I=｛0｝ C. R ∩I=φ D. ＣcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = （ ） A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P ：x ∈A B ，则 P 是（ ） A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()1122 m m --± 均为奇数”，其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 （ ） A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<，则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<，则a ，b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3 x f x =，那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =，4log 3b =，2 0.3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 【典型题】数学高考模拟试题(带答案) 一、选择题 1．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 2．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 4．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ） ξ 0 1 2 P 12 p - 12 2 p A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．() D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 5．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，则()C U A B ?等于（ ） A ．{5,6} B ．{3,5,6} C ．{1,3,5,6} D ．{1,2,3,4} 6．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么3a b -等于（ ） A 7B 10 C 13 D ．4 7．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ） A ． B ． C ． D ． 8．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为5 2 y x =，且与椭圆 22 1123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．221810 x y -= B ．22145 x y -= C ．22 154 x y -= D ．22 143 x y -= 10．已知非零向量AB 与AC 满足 0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ? ?? 且1 2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．以上均有可能 11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=， ()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3 2 BQ CP ?=-，则λ=（ ） A ． 12 B 12 ± C 110 ± D ． 32 2 ± 12．设集合(){} 2log 10M x x =-<，集合{} 2N x x =≥-，则M N ?=（ ） 2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数(三) 本试卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第I 卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合( ){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ?= A. ()2,+∞ B. []2,4 C. (]1,3 D. (]2,4 2.设i 为虚数单位，给出下面四个命题： 1:342p i i +>+； ()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =； ()()2 3:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点； 41:2i p z i +=+的虚部为15 i . 其中真命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概高三数学模拟试题一理新人教A版
高三数学第一次月考试卷
【典型题】数学高考模拟试题(带答案)
2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟(三)理
高三数学月考试卷(附答案)