课时作业(二十一) [第21讲 两角和与差的正弦、余弦、正切]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身 1．cos225°的值是________． 2．(sin75°－sin15°)(cos15°＋cos75°)的值是________．
3．若sin ????π2＋θ＝3
5，则cos2θ＝________.
4．已知tan(α＋β)＝25，tan β－π4＝14，则tan α＋π
4
等于________．
能力提升 5．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是________．
6．已知cos ????α－π4＝1
4
，则sin2α的值为________． 7．[2011·江苏卷] 已知tan ????x ＋π4＝2，则tan x tan2x
的值为________． 8．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期为________． 9．[2011·长沙一中月考] 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，α，β∈???
?－π2，π2，则α＋β＝________. 10．[2011·苏州模拟] 已知tan α＝17，tan β＝1
3，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝________.
11．[2011·镇江统考] 在等式tan95°－tan35°－□＝□tan95°tan35°中，根号下的□
表示的正整数是________．
12．若π4 2 ，则函数y ＝tan2x tan 3x 的最大值为________． 13．(8分)已知α为锐角，且tan ??? ?π 4＋α＝2. (1)求tan α的值； (2)求sin2αcos α－sin αcos2α 的值． 14．(8分)已知函数f (x )＝1＋2cos ? ???2x －π4sin ??? ?π2－x . (1)求函数f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间??? ?－π4，π 2上的最大值与最小值． 15．(12分)如图K21－5，A ，B 是单位圆O 上的点，C ，D 分别是圆O 与x 轴的两个交点，△AOB 为正三角形． (1)若A 点坐标为???? 35，45，求cos ∠BOC 的值； (2)若∠AOC ＝x ? ???0 3π，四边形CABD 的周长为y ，试将y 表示成x 的函数，并求出y 的最大值． 图K21－5 16．(12分)[2010·江西卷改编] 已知函数f (x )＝????1＋1tan x ·sin 2 x ＋m sin ????x ＋π4sin ????x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间???? π8，3π4上的取值范围； (2)当tan α＝2时，f (α)＝3 5 ，求m 的值． 课时作业(二十一) 【基础热身】 1．－22 [解析] cos 225°＝cos ()180°＋45°＝cos 180°·cos 45°－sin 180°sin 45°＝－2 2. 2.3 2 [解析] 原式＝(sin 75°－cos 75°)(sin 75°＋cos 75°)＝sin 275°－cos 275°＝－cos 150°＝32 . 3．－725 [解析] 由sin ????π2＋θ＝35，得cos θ＝35，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725 . 4.3 22 [解析] tan ????α＋π4＝tan ????(α＋β)－????β－π4＝tan (α＋β)－tan ????β－π41＋tan (α＋β)tan ??? ?β－π4＝322. 【能力提升】 5.1 2 [解析] 原式＝cos 75°·cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝1 2 . 6．－78 [解析] 方法1：sin 2α＝cos ????π2－2α＝2cos 2????α－π4－1＝－78 . 方法2：cos ????α－π4＝22cos α＋22sin α＝14. 两边平方得，12＋12sin 2α＝1 16， ∴sin 2α＝－7 8 . 7.49 [解析] 由tan ????x ＋π4＝2，得tan x ＝13，故tan x ＝2× 131－19＝2389 ＝34，所以tan x tan 2x ＝4 9 . 8.π2 [解析] f(x)＝(1＋cos 2x)sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝1 2sin 22x ＝1－cos 4x 4，所以f(x)的最小正周期为π2 . 9．－2π 3 [解析] 根据已知tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan (α＋β)＝ tan α＋tan β1－tan αtan β ＝ 3.由于tan α，tan β均为负值，故－π<α＋β<0，所以α＋β＝－2π 3. 10.π4 [解析] 依题意由tan α＝17，tan β＝13，可知tan α＝17<33，tan β＝13<33 ， 又α，β∈(0，π)，所以0<α<π6，0<β<π6.又∵tan (α＋β)＝17＋131－17×13 ＝1 2 ，从而tan (α＋2β)＝ 12＋131－12×13 ＝1.又0<α<π6，0<β<π6，所以0<α＋2β<π2，所以α＋2β＝π 4. 11．3 [解析] 本题考查两角差的正切公式的变形公式： tan 95°－tan 35°－□＝□tan 95°tan 35°?□＝tan 95°－tan 35° 1＋tan 95°tan 35° ＝tan 60°＝3?□＝ 3. 12．－8 [解析] 令tan x ＝t ，∵π4 2 ，∴t>1， ∴y ＝tan 2x tan 3x ＝2tan 4x 1－tan 2x ＝2t 41－t 2＝21t 4－1t 2＝2????1t 2－122－1 4≤2 －14 ＝－8. 13．[解答] (1)tan ????π4＋α＝1＋tan α 1－tan α， 所以1＋tan α1－tan α ＝2,1＋tan α＝2－2tan α， 所以tan α＝1 3 . (2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α ＝sin α(2cos 2α－1)cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α ＝sin α. 因为tan α＝1 3，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＝1 10 . 又α为锐角，所以sin α＝10 10 ， 所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010 . 14．[解答] (1)由题意sin ????π2－x ≠0?sin ????x －π2≠0?x －π2≠k π(k ∈Z )?x ≠π 2＋k π(k ∈Z )， 故所求f (x )的定义域为??????x ?? x ≠π 2＋k π，k ∈Z . (2)f (x )＝1＋2cos ? ???2x －π4sin ??? ?π2－x ＝1＋cos2x ＋sin2x cos x ＝2cos 2x ＋2sin x cos x cos x ＝2cos x ＋2sin x ＝22sin ??? ?x ＋π4. ∵－π4≤x ＜π2，∴0≤x ＋π4＜3π4 ， ∴当x ＋π4＝0，即x ＝－π 4时，f (x )min ＝0； 当x ＋π4＝π2，即x ＝π 4 时，f (x )max ＝2 2. 15．[解答] (1)cos ∠BOC ＝cos(60°＋∠AOC )＝12×35－32×45＝3－43 10 . (2)y ＝3＋AC ＋BD ＝3＋2sin x 2 ＋2sin ????π3－x 2 ＝3＋2sin x 2＋3cos x 2－sin x 2 ＝3＋sin x 2＋3cos x 2 ＝3＋2sin ????x 2＋π3. ∵0＜x ＜23π，∴x 2＋π3∈??? ? π3，2π3， ∴sin ????x 2＋π3∈???? 32，1. ∴当x ＝π 3 时，y max ＝5. 16．[解答] (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝2 2 sin ????2x －π4＋12. 由x ∈????π8，3π4得2x －π 4∈? ???0，5π4， 所以sin ????2x －π4∈??? ?－2 2，1， 从而f (x )＝22sin ????2x －π4＋12∈??????0，1＋22. 即f (x )在区间????π8，3π4上的取值范围是? ?????0，1＋22. (2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2 cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x ＝12[]sin2x －(1＋m )cos2x ＋12 ， 由tan α＝2得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝4 5 ， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α ＝－3 5， 所以35＝12????45＋35(1＋m )＋1 2，得m ＝－2.
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