2010届福建省普通高中新课程数学学科高三毕业班复习教学工作研讨会
（2009年10月22日）讲座文稿
函数与导数部分考试要求与考查情况分析
厦门市教育科学研究院陈智猛
一、知识结构：
数形结合的框架下，在平面直角坐标系中，用代数方法研究直线、圆锥曲线；用微积分方法研究平面曲线。
二、考试要求：
1．函数的定义域和值域明确界定为“会求……简单函数”，新课程删减了繁琐的定义域、值域的讨论。
2．新课程对分段函数提出明确要求，显示新课程将“分段函数”置于较重要的地位。3．函数单调性的要求由“了解”提高为“理解”，突出要求“运用函数图象理解和研究函
数的性质”， 函数奇偶性的要求界定为“结合具体函数”，降低了对一般函数的奇偶性讨论要求。
4． 反函数的要求大大降低，旧大纲的要求是“了解概念……图像关系，会求……反函数”，
新课程要求“了解指数函数和对数函数互为反函数”仅此，即新课程不需讨论反函数的定义，不引入符号，不要求“求已知函数的反函数”。
5． 新课程增加了“幂函数”的要求，但仅限于结合5个函数了解其图像的变化情况（图像特
征与性质），不要求一般幂函数的图像与性质讨论。
6． “函数的零点”与“二分法”是新课程新增的内容，必将是高考的重要考点。
7． “二次函数”作为重要的函数模型在函数性质的研究中地位显著，要加大对其的研究，同
时注意“三个二次”问题的拓展。
8． 总体而言，新课程更加突出了函数的应用，突出函数与导数的结合以及利用导数研究函
数的单调性、极值（最值）。
9． 删掉了“数列极限、函数极限以及函数连续性”的有关内容。不要求严格的导数定义，
又特别提出“能根据导数定义求函数C y =，x y =，2x y =，3x y =，x
y 1=
，x
y =
（文科不要求该函数）的导数”。
——不要求严格的极限定义，需用“不严格的”极限思想理解导数； ——不要求严格的导数定义，需用不严格的导数定义求个别函数的导数。
10．理科对导数的计算要求基本持平，文科的导数计算要求提高（基本与理科持平，仅减少
了复合函数的导数要求）。
11．关于复合函数的导数，理科降低要求为“求仅限于形如f （ax+b ）的复合函数的导数”；
文科不做要求。
12．利用导数求函数的单调区间、函数的极值、最值等，与旧《大纲》相比，理科要求基本
持平，文科要求大大提高，新课程高考文、理科的考查要求基本持平。其中对多项式函数，明确要求“对多项式函数求导不超过三次”。
13．理科增加了“定积分与微积分基本定理”。要求较低，仅“了解”层次。2007年没有试
题；2008年有2小题；2009年有2小题。 三、新课程三年函数与导数的考查情况：
1．函数和导数知识主要包括：函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用等，
2．函数与导数的试题覆盖面广；体现能力立意，以知识为载体深入考查数学思想方法，如：函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等；试题设计注重设问与解题思路的创新。
其中，2009年福建卷理科约33分；文科约31分。
三、考点分布与题型分析：
1．函数概念（解析式、定义域，值域）、分段函数 （1）函数的定义
（2009年上海理14）将函数2642
--+=
x
x y [])60(，∈x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C 。若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为__________。答案：2arctan
3
（2）函数的解析式：
（2007山东理6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，
()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ B ）
A ．()3x
f x =
B ．()sin f x x =
C ．2()log f x x =
D ．()tan f x x =
（2009年安徽理9）已知函数()f x 在R 上满足2
()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线
()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是
（A ）21y x =-
（B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+（3）函数的定义域、值域：
（2009福建文2）下列函数中，与函数y =有相同定义域的是（ A ）
A .()ln f x x = B.1()f x x
= C. ()||f x x = D.()x
f x e =
（4）分段函数：
（2009年山东理10）定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=??
?>---≤-0
),2()1(0
),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）
的值为（ C ） A.-1 B. 0 C.1 D. 2 2．函数的图像、性质（单调性，最值，奇偶性） （1）函数的图像：
（2009年山东理6） 函数x
x x x
e e y e e
--+=-的图像大致为（ A ）
A
D
（2）函数的性质：
考查函数图像和性质试题以选择或填空形式出现的居多，小综合为主，一类是从逻辑推理的角度考查性质，与解不等式相联系；如：2009福建理5，2009年辽宁理9，2009年山东文12等。另一类是图像与性质结合，图像考查中蕴含性质考查，性质考查中蕴含图像考查。如：2009年山东理6，2009福建文8，2009海南宁夏理12。
（2009福建理5）下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是（ A ） A ．()f x =
1x
B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x
e D ()ln (1)
f x x =+
（2009年辽宁理9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1
()3
f 的
x 取值范围是（ A ） （A ）（
13
，
23
） (B) ［
13
，
23
） (C)（
12
，
23
） (D) ［
12
，
23
）
3．基本初等函数（指、对、幂函数）的性质与应用
新课程高考均比较重视对幂、指、对数函数的图像和性质的考查。相比较而言，福建省此类试题较少。此类试题的定位基本上是基础题。 （1）幂函数的性质与应用
（2007山东理4）设1
1132
a ?
?
∈-???
?
，，，，则使函数a
y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值
为（ ） A ．1，3
B ．-1，1
C ．-1，3
D ．-1，1，3
（2）指数函数的性质与应用
（2007山东文14）函数1(01)x
y a
a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)m x n y m n +-=>上，则
1
1m
n
+的最小值为 ．
（3）对数函数的性质与应用
（2009年辽宁理12）若1x 满足2x+2x
=5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝（ C ） （A ）
52
（B ）3 （C ） 72
（D ）4
4．函数的零点
函数的零点问题作为新增内容受到命题老师的亲睐，试题较多。一般都是一个函数的零点讨论或两个函数图像的交点讨论。（1）对于简单初等函数模型问题，注意函数图像、选择特殊点估算判断、寻找函数的零点；（2）对于复杂函数模型，结合导数讨论函数的图像特征，根据函数零点存在定理寻找函数的零点；（3）函数有零点转化为方程有解。 （2009福建文11）若函数()f x 的零点与()422x
g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ A ）
A. ()41f x x =-
B. ()2(1)f x x =-
C. ()1x
f x e =- D. ()12f x In x ?
?
=-
??
?
（2009年山东理16）若函数f(x)=a x
-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
5．函数模型（一次、二次、指数、对数、幂）及其应用
建立基本初等函数模型、并利用该模型解决实际问题的试题少，这与新课程高考的函数应用的考查要求还有距离，随着新课程的推进，数学应用问题将不断得到加强。 （2009年山东21）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总
影响度为0.065。
（1）将y 表示成x 的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂
对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。 基本初等函数的学习，主要是思想和方法，二次函数作为重要的函数模型，在高考中仍旧占有一定的位子。如
（2009年江苏20）设a 为实数，函数2
()2()||f x x x a x a =+--。(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集。 6．导数的计算、导数的几何意义
导数的计算、几何意义的试题频繁出现，基本上都是基础题。
（2009福建理14）若曲线3
()ln f x a x x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是 。
7．导数的应用（函数单调性、极值、最值）
函数与导数结合的形式呈现，利用导数研究函数的单调性、极值等问题，基本上是必考题，且难度较大，综合考查函数与方程、数刑结合、分类与整合等数学思想方法，问题的解决需要较高的逻辑分析及推理论证能力，考查学生的综合能力。 （2009福建理20）已知函数3
2
1()3
f x x a x b x =
++,且'(1)0f -=。
（1）试用含a 的代数式表示b ，并求()f x 的单调区间；
（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m )，12x m x <<，请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I ）若对任意的m ∈(1x , x 2)，线段MP 与曲线()f x 均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；
（II ）若存在点Q(n ,f(n))，x ≤n< m ，使得线段PQ 与曲线()f x 有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）
（2009年海南宁夏理21）已知函数3
2
()(3)x
f x x x ax b e -=+++
（1）如果3a b ==-，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα-＜6。
8．定积分与微积分基本定理
定积分的概念与计算的试题出现的较少，且均为基础题。
（2009福建理）4．22
(1co s )x d x π
π-
+?
等于（ ）
A ．π B. 2 C. π-2 D. π+2 9．函数综合，创新题
（2009福建理）10．函数c bx ax x f ++=2)(（0≠a ）的图象关于直线2b x a
=-
对称。据
此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2
()()0m f x n f x p ++=的解集都不可能是（ D ）
A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64
（2009年天津文10）设函数f (x )在R 上的导函数为)(x f '，且2)()(2x x f x x f >'+，下面的不等式在R 上恒成立的是（ A ）
A ．0)(>x f
B ．0)( C ．x x f >)( D ．x x f <)( 四、复习建议： 高中数学中的许多知识都可以与函数建立联系，并且可围绕函数这一主线展开。高中数学中函数知识的学习，突出基础性和综合性，是培养学生的数学思想、理性思维以及数学学习潜能的重要素材。 一般来说选择题、填空题主要考查函数的概念，单调性与奇偶性，函数图象、导数的几何意义等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、思辨性和应用意识。 解答题对函数知识的考查主要体现为以基本初等函数为载体，利用导数工具研究函数的单调性、极值和函数图象的切线等内容，综合应用函数、导数、方程、不等式的知识，并与数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现能力立意的命题原则，体现函数与导数的交汇。 福建2009年新课程卷函数与导数的考查比例是比较适中的，与其教学时数比例和知识思想方法的地位相匹配。新课程新增了内容（幂函数、二分法、零点及零点存在性定理、积分）命题时都予以了充分关注，但函数模型及应用未考查到，需引起我们的注意并在2010届的高三复习备考中高度重视。 函数是高中数学的核心内容，又是学习高等数学的基础，贯穿高中数学的始终。运用函数的观点，可以从较高的角度去处理方程、不等式、数列、曲线与方程等问题。函数中的基本方法和基础知识是高考中的重点内容，占有一定的比例，复习中应以函数的基本概念和性质为主线，并兼顾各种能力的培养，注意打破知识界限，在知识交汇点处多留意，其重点在函数与数列、直线或圆锥曲线的交汇处，向量与三角、解几的交汇处命题，特别注意培养学生构建函数模型，解决实际问题的能力。 导数的考查要求有一些变化，应认真阅读考试大纲和教学要求，把握教学内容的“度”。 复习中应引导学生理解导数的“工具”作用，帮助学生归纳出导数能解决的问题，培养利用导数分析函数性质的意识；导数复习中应重点关注以下几个问题：（普教室的要求） 1．求导计算能力的训练； 2．导数与函数、方程、数列、解几等内容综合，考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，考查学生分析解决问题的能力。 2009年10月15日
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