第五章 二元一次方程组
第1节 认识二元一次方程组
【学习目标】
1.了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念。 2．会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
3.会列简单的二元一次方程、二元一次方程组，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，掌握用方程解决实际问题的方法。 【学习重难点】
重点：二元一次方程、二元一次方程组的有关概念。
难点：判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养良好的数学应用意识。 【学习方法】自主探究与小组合作 【学习过程】
模块一 预习反馈 一、学习准备
1、方程的概念：
2、方程的解：
3、一元一次方程的概念：
4、阅读教材：第一节《认识二元一次方程组》
二、教材精读
5、理解二元一次方程的概念
例：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
设老牛驮x 个包裹，小马驮y 个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程 ；若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍， 得方程：
归纳：含有 未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程叫做二元一次方程。 实践练习：下列方程有哪些是二元一次方程
（1）093=-+y x ， （2）012232
=+-y x ， （3）3xy=1， （4）
x 1+2y=1， （5）()523=-y x x ， （6）152
=-n m
. 解：
注意：这个定义有三个地方要注意：①、含有两个未知数；②、含未知数的项的次数是一次，不可理解为两个未知数的的次数是一次。如13=xy 中，含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但含有未知数的项3xy
的次数是2,所以它不是二元一次方程；③方程的左边和右边都是整式。如方程121
=+y x
不是二元一次方程，
6、二元一次方程的解：
思考：x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找到其他x,y 值适合x+y=8方程吗？ 答：
归纳：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解. 7、二元一次方程组：
思考：上面的方程x-y=2，x+1=2(y-1)中的x 含义相同吗？y 呢？
答：两个方程中x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x 、y 的含义分别相同。因而必同时满足x-y=2和x+1=2(y-1)，
我们把这两个方程用大括号联立起来，写成??
?-=+=-)
1(212
y x y x
归结：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组.
如： ???=-=+;03,
332y x y x ???=+=+.
8,835b a b a
8、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的 解，叫做这个二元一次方程组的解. 9、检验一组数是不是某个二元一次方程组的解的常用方法： 将这组数值分别带入二元一次方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此二元一次方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任意一个方程，那么它就不是此二元一次方程组的解。
三、教材拓展 10、例1 已知?
?
?==21
y x 是方程组???=+=+75y nx my x 的解，则m= , n= .
实践练习：已知关于x ,y 的二元一次方程组??
?=+=-0
3
25y kx y x ,当x =－4时，求k 的值.
模块二 合作探究
11、例2 昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？你能列出方程或方程组吗？ 分析:成人和儿童总人数为8人；成人票和儿童票总票款为34元。 解：设有x 名成人，y 名儿童，根据题意得
实践练习：
根据下列语句，设适当的未知数，列出二元一次方程（组）
（1）甲数的2倍与乙数的
21的差等于48的3
1. 解：
（2）某学校招收七年级学生292人，其中男生人数比女生人数多35人. 解：
12、例3 写出二元一次方程72=+y x 的所有正整数解。 解：将原方程变形为________=y
因为x 、y 均为正数，
所以x 应为小于4的正整数，共有 共三个
当x= 时，y= ；当x= 时，y= ；当x= 时，y= ； 所以二元一次方程72=+y x 的所有正整数解为??
?==______y x ；???==______y x ；???==___
___
y x 。
实践练习：以下的各组数值是方程组?
??-=+=+222
2y x y x 的解的是（ ）
A.??
?-==2
2
y x
B.???=-=2
2y x
C.???==2
0y x
D.???==0
2y x 模块三 形成提升
1.下列四组数值中，是二元一次方程13=-y x 的解是
①???==;3,2y x ②???==;1,4y x ③???==;
3,10y x ④???-=-=.2,5y x
2.二元一次方程2832=+y x 的解有：
??
?==._____,5y x ???-==.2_____,y x ???=-=._______,5.2y x ??
?
??==.37_____,
y x 3.二元一次方程组?
??==+x y y x 2,102的解是（ ）
（A ）???==;3,4y x （B ）???==;6,3y x （C ）???==;4,2y x （D ）???==.2,
4y x
4.以?
??==2,
1y x 为解的二元一次方程组是（ ）
（A ）???=-=-;13,3y x y x （B ）???-=+-=-;53,1y x y x （C ）???-=+-=-;553,32y x y x （D ）???=+-=-.
53,1y x y x
5.二元一次方程6=+y x 的正整数解为 .
6.如果???==2,1y x 是?
??=-=+n y x m y x 3,2的解，那么m ＝ ，n ＝ .
7.写出一个以?
??-==3,
2y x 为解的二元一次方程组为 .（答案不唯一）
模块四 小结评价
一、本课知识：1含有 未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程叫做二元一次方程。 2、适合一个二元一次方程的一组 ，叫做这个二元一次方程的解. 3、含有两个未知数的两个一次方程所组成的 叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个二元一次方程组的解. 二、本课典型：判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
附：课外拓展思维训练：
1、如果方程13221=-+-n m m y x 是二元一次方程，那么m ＝ ，n ＝ .
2、关于x 、y 的方程组??
?=+=-n my x m y x ,3的解是?
??==1,
1y x 则的值是
3、已知???+=-=a
y a x 43,
32是方程54=-y x 的一个解，求a 的值
第五章 二元一次方程组
第2节 求解二元一次方程组 第1课时
【学习目标】
1. 会用代入消元法解二元一次方程组.
2．了解 “消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想. 【学习重难点】
重点：用代入消元法解二元一次方程组.
难点：在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 【学习方法】自主探究与小组合作 【学习过程】
模块一 预习反馈 一、学习准备
1、含有 未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程叫做二元一次方程。
2、适合一个二元一次方程的一组 ，叫做这个二元一次方程的解.
3、含有两个未知数的两个一次方程所组成的 叫做二元一次方程组.
4、二元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个二元一次方程组的解.
5、阅读教材：第二节《求解二元一次方程组》 二、教材精读
6、用代入消元法解二元一次方程组.
例1 解下列方程组：
(1) ??
?+==+②
y x ①y x ;3,1423 (2)??
?=+=+②
y x ①y x .134,1632
解：(1)将②代入①，得：_________________. 解得：___=y .
把____=y 代入②，得：_____=x . 所以原方程组的解为：??
?==.
______,
y x
(2)由②，得：______=x . ③ 将③代入①，得：_________. 解得：___=y .
把____=y 代入③，得：_____=x . 所以原方程组的解为：??
?==.
______,
y x
归纳：
（1）代入消元法是通过________ __消去方程组中的一个未知数，化二元为_______，从而求出另一个未知数的_____，然后再求出被消去的未知数的______，从而得到方程组的解的方法。 （2）、代入消元法的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立. （3）、用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形. （4）、代入消元法解方程组的关键是适当_______，灵活代入，有时”整体代入”能使解题过程更简捷。 （5）、解二元一次方程组的基本思路是___________ 实践练习：用代入消元法解方程组： ???=--=②
y x ①y x ;32,24
解：
三、教材拓展
7、例2 用代入消元法解方程组：??
?
??=-+=-②y x ①y x .023,723
解法1：由②，得2
3
+=x y ③ 将③代人①，得
（同学们把它写完整哈！）
解法2：由①，得732-=x y ③
由②，得32-=-y x ④ 将③代人④，解得
将 代人③，得 解得 所以原方程组的解是??
?==.
______,
y x
实践练习：用代入消元法解下列方程组：?
??=+=++25
)(3y x y x x
模块二 合作探究
例1 用代入消元法解下列方程组：
实践练习：用代入消元法解方程组：
(1)???=-=+3242y x y x (2) ?????=+=+021
4
14
3y x y x
模块三 形成提升
1、若方程组???=+=+54
ay bx by ax 的解是21
x y =??=?，则a +b =__________.
2、若－3x a －
2b y 7与2x 8y 5a +b 是同类项，则a =__________,b =__________.
3、已知(3x －2y +1)2+|4x －3y －3|=0，则x =__________,y =__________.
4、用代入法解下列方程组。
（1）2x-33+28y x y =??=? （2）2+316
413
x y x y =??+=?
模块四 小结评价
一、本课知识：1、代入消元法
2、解二元一次方程组的基本思路是___________
二、本课典型：1、已知ax+by-5=0，用含x 的代数式表示y 为 ，用含y 的代数式表示x 为 .
2、甲和乙同时解方程组???=+=+710by x y ax ,甲看错了a ，解得???==6
1
y x ,乙看错了b ，解得???=-=121y x ,你能知道原方程组正
确的解吗？
3、二元一次方程组??
?=-=+k
y x k y x 7252的解满足方程31
x －2y ＝5，求k 的值。
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
附：课外拓展思维训练：1、已知关于x 、y 方程组??
?=-=+0
2310
2y x y mx 有正整数解，且m 也是正整数，则m 2=
2、你能用两种以上的方法解下面的方程组吗?试试吧.???
??=-+=+1
3232
41y x x y
第五章 二元一次方程组
第2节 求解二元一次方程组 第2课时
【学习目标】
1．会用加减消元法解二元一次方程组.
2.在自主探索和合作交流中，进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
3.通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养的观察、分析能力. 4．通过比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物的本质这一认识方法. 【学习重难点】
重点：用加减消元法解二元一次方程组
难点：加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等 【学习方法】自主探究与小组合作 【学习过程】
模块一 预习反馈 一、学习准备
1、用代入消元法解二元一次方程组的基本思路是“消元”.
2、代入消元法的步骤：
3、阅读教材：第二节《求解二元一次方程组》
二、教材精读
4、阅读理解：用加减法解二元一次方程组的方法及一般步骤
怎样解下面的二元一次方程组呢？
?
?
?-=-=+②y x ①y x 115221
53 解法1：把②变形，得：________x =, ③
把③代入①，得： ,
解得：______y =.
把____y =代入②，得：_____x =. 所以方程组的解为??
?==.
______,
y x .
解法2：由②得1125+=x y , ③
将③代入①，得： , 解得：_____x =.
把____x =代入③，得：____y =. 所以方程组的解为?
?
?==.______,
y x .
解法3：根据等式的基本性质
方程①+方程②得：105=x , 解得：_____x =,
把_____x =代入①，解得：_____y =
,
所以方程组的解为??
?==.
______,
y x .
归结： 1、上面解法3用解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.这种通过两式相加（减）消去一个未知数的解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
2、用加减法解二元一次方程组的方法及一般步骤：
①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以
适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．
②加减消元，得到一个一元一次方程. ③解一元一次方程．
④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解． ⑤检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.注意：对于较复杂的
二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑. 三、教材拓展
模块二 合作探究
5、例1 解下列二元一次方程组
?
?
?-=+=-②y x ①
y x ⑴132752
分析：观察到方程①、②中未知数x 的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x . 解：②-①，得：88-=y , 解得：_____y =,
把______y =代入①，得： , 解得：_____x =,
所以方程组的解为?
??==.______,
y x .
实践练习：用加减消元法解方程组：
（1）???=-=-6254
23y x y x （2）???=--=+10
46143y x y x
6、例2 用加减法解二元一次方程组 ?
?
?=+=+②y x ①
y x 17431232
分析：方程组中x 、y 的系数既不相同也不是相反数，没有办法用加减消元法.能否将用等式的基本性质将这个方
程组中的x 或y 的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的呢？
解：①×3，得： ，③
②×2,得： ，④ ③－④，得：________y =.
所以原方程组的解是??
?==.
______,
y x .
实践练习：用加减消元法解方程组： (1)?
?
?-=+=-1244
y x y x
模块三 形成提升
1、已知｜4x －2y －3｜+(x +2y －7)2=0,则(x －y )2=_________.
2、用加减消元法解方程组
(1) ???=-=-625423y x y x (2) ?????+=+=-413
21
23y x x y
3、 若方程组???=+++=10
)1(23
2y k kx y x 的解互为相反数，求 k 的值
模块四 小结评价 一、本课知识：
解二元一次方程组的步骤：二元一次方程组??→
?消元
→ 解一元一次方程
??→?回代求另一个未知数的值→写出方程组的解。
二、本课典型：1、解方程组 ?
??=+=-②y x ①
y x 1634
2、已知关于x 、y 的方程组??
?=+=+???-=+=-3
3211
231332by ax y x by ax y x 和的解相同，求a 、b 的值. 三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
附：课外拓展思维训练：
已知方程组?
??=++=+a y x a y x 322
53的解适合x +y =8,求a 的值.
第五章 二元一次方程组
第3节 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
【学习目标】
1. 初步掌握列二元一次方程组解应用题
2．掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤，经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养抽象、概括、分析解决实际问题的能力; 3．通过对祖国文明史的了解，培养爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心. 【学习重难点】
重点：根据等量关系列二元一次方程组解应用题。 难点：根据题意找出等量关系，列出方程。 【学习方法】自主探究与小组合作 【学习过程】
模块一 预习反馈 一、学习准备
1、解二元一次方程组的基本思路是“消元”
2、二元一次方程组的解法：“代入消元法”和“加减消元法”
3、阅读教材：第三节《应用二元一次方程组——鸡兔同笼》
二、教材精读
4、例1 今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ (1).用一元一次方程求解
解：设有鸡x 只，则有兔（35-x ）只,得
.
12x 35.23x .
94)x 35(4x 2=-==-+
所以有鸡23只，兔12只. (2).用二元一次方程求解： 解：设有鸡x 只，兔y 只，则
?
??=+=+②y x ①y x 944235
解得??
?==.
______,
y x
所以有鸡23只，兔12只.
实践练习：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？
归结：列二元一次方程组解应用题的步骤：
①审清题意，设未知数;
②弄清各个量之间的关系，找出等量关系;
③列出方程，联立方程，得二元一次方程组;
④解二元一次方程组;
⑤作答.
三、教材拓展
5、若将一群鸡放入一些笼中，每个笼中放4只，则有一只鸡无笼可入；每个笼中放5只，则有一个笼无鸡可放。问共有多少只鸡，多少个笼？
模块二合作探究
6、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：隔壁听到人分银，不知人数不知银.只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？
模块三形成提升
1、某校为初一年级学生安排宿舍，若每间宿舍住6人，则有3人住不下；若每间宿舍住8人，则有一间只住3人，且空一间宿舍。求该年级寄宿人数及宿舍间数？
2、4辆小卡车和5辆大卡车一次可运货27吨，6辆小卡车和10辆大卡车一次可运货51吨。问小卡车和大卡车每辆每次各运多少吨？
模块四小结评价
一、本课知识：
二、本课典型：某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
（1）求a、b的值；
（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，求：初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数？
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
附：课外拓展思维训练：从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路.星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡每小时行3 km,下坡每小时行5 km,他到姥姥家需要行66分钟，从姥姥家回来时需要行78分钟才能到家.那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？
第五章 二元一次方程组
第4节 求应用二元一次方程组——增收节支
【学习目标】
1. 会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。 2．培养分析问题和解决问题的能力。
3. 进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养数学应用能力。 【学习重难点】
重点：学会用图表分析较复杂的数量关系问题。
难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。 【学习方法】自主探究与小组合作 【学习过程】
模块一 预习反馈 一、学习准备
1、列二元一次方程组解应用题的关键是：
2、列二元一次方程组解应用题的步骤是：
3、常用公式：
（1）增长（亏损）率问题：原量（1+增长率）=新量；原量（1—亏损率）=新量；
％100-100％?=?=
原来的量
原来的量
现在的量原来的量增长的量增长率
（2）银行利率问题： 利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息
（3）行程问题：路程=速度×时间 （4）百分率问题：％100?=
原量
增（减）量
百分率
（5）利润（率）问题：利润＝售价-进价（成本价）=进价（成本价）×利润率；
％100?=
商品及进价
商品利润
商品利润率；
％100-?=
总产值
总支出
总产值产品利润率
4、阅读教材：第四节《应用二元一次方程组——增收节支》
二、教材精读
5、例1 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
??
?.
______________________,
__________ 解得??
?==.
______,
y x
答：去年的总产值为2000万元，总支出1800万元，
归结：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。
实践练习：一、二班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%，如果一班的学生的体育达标率为87.%，二班的达标率为75%，那么一、二班的学生数各是多少？
三、教材拓展
6、例2 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，如果甲比乙先走2时，那么他们在乙出发2.5时后相遇；如果乙比甲先走2时，那么他们在甲出发3时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？
模块二 合作探究 7．例3 祥福中学去年有学生1500名，今年比去年减少12％,其中寄宿学生增加了12.5％,走读学生减少了40％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?
设去年有寄宿学生x 名,走读学生y 名,则可列出方程组为 。 分析：找出等量关系.
去年寄宿学生＋去年走读学生＝ 名
今年寄宿学生＋今年走读学生＝ 名
题目中可分析去年，今年；寄宿学生，走读学生，学生总数．画个２ × ３的表格来分析 寄宿学生 走读学生 学生总数 去年 x y 1500 今年 解：
模块三形成提升
1、某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆.试求预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？若设预定期限为x天，计划生产y辆汽车，请你填空，并列出方程组求x与y的值.
（1）若每天生产35辆，在预定期限x天内可生产__________辆，比计划产量y辆汽车__________（“多”或“少”）生产10辆，则可得二元一次方程______________________.
（2）若每天生产40辆，在预定期限x天内可生产__________辆，比计划产量y__________（填“多”或“少”）生产20辆，则可列二元一次方程_________________________.
（3）列方程组_________________________，并解得________.
2、甲、乙两台机器的成本共1100元，商店为获取利润，决定将甲按60%的利润定价，乙按40%的利润定价。在实际销售时，应顾客要求，两台机器均按9折出售，这个商店共获利376元，问甲、乙两台机器的成本各是多少元？
模块四小结评价
一、本课知识：
1、将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型
2、使用图表有助于分析复杂的数量关系。
3、解决实际问题的关键是找出等量关系。
二、本课典型。
1、某电视台在黄金时段的2min 广告时间内，计划插播长度为15s和30s的两种广告，15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告每播 1次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，问：
（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？
（2）电视台选择哪种方式播放收益较大？
2、某校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）
附：课外拓展思维训练：
1、下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价(收盘价：股票每天交易结束时的价格)：
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算(不计手续费、税费等)，则他账户上星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元．这个人持有甲、乙股票各多少股？
2、有一个方程组：
?
?
?+?=-++=+%).4.41(3100%)21(%)61(,3100
y x y x 你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？
第五章二元一次方程组
第5节应用二元一次方程组——里程碑上的数
【学习目标】
1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题
2、用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
3.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型
【学习重难点】
重点：用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，体会列方程组解决实际问题的步骤。
难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
【学习方法】自主探究与小组合作
【学习过程】
模块一预习反馈
一、学习准备
1、解二元一次方程组的基本思路是通过“”把“”化为“”。
2、解二元一次方程组的基本方法是和
3、一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为．
4、一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为．
5、有两个两位数a和b，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为．
6、阅读教材：第五节《应用二元一次方程组——里程碑上的数》
二、教材精读
7、例1 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一小时看到的里程碑上的数字情况如下：12∶00时，这是两位数，它的两个数字之和为7，13∶00时，十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；14∶00时，比12∶00时看到的两位数中间多了个0，你能确定小明在12∶00时看到的里程碑上的数字吗？
如果设小明在12∶00时看到的十位数字是x，个位数字是y，那么
（1）12：00时小明看到的数可表示为，根据两个数字和是7，可列出方程；
（2）13：00时小明看到的数可表示为，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是；
（3）14：00时小明看到的数可表示为，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是；
（4）12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？解：
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的 平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那 么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组 勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得 得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不 解：连结AC ，在Rt △ADC 中， 在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??-
《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章 勾股定理 1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果2 b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2 2 2,1,1n n n -+ 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面 积…… （3）判定三角形形状： 222a b c +> 锐角三角形，222a b c +=直角三角形，222a b c +<钝角三角形 判定直角三角形 a..找最长边； b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.确定形状 第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
最新北师大版八年级数学上册知识点总结 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222 a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角 三角形。满足222 a b c +=的三个正整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： a （2）性质：①当a ≥0≥0；当a ＝a a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 x a =，那么x 是a （2a =；②3 a = 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5 （a ≥0，b ≥0） a ≥0，b ＞0）。 第三章 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相=b a b =
八年级上册 第一章 勾股定理 一、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 二、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、勾股数 满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12， 13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数?????????????????--???---) ()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ??? ? ?? ????? ??实数第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算
1、一支蜡烛长20厘米,．点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n (厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是（ ） A B C D 2、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ） A C D 3、甲、乙两人同时沿着一条笔直的公路朝同一方向前行，开始时，乙在甲前2千米处， 甲、乙两人行走的路程S （千米）与时间t （时）的函数图象（如图所示），下列说法正 确的是（ ） A 、乙的速度为4千米/时 B 、经过1小时，甲追上乙 C 、经过0.5小时，乙行走的路程约为2千米 D 、经过1.5小时，乙在甲的前面 4、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ） A 、－1 B 、0 C 、4 1 - D 、1 5、若错误!未找到引用源。是169的算术平方根，错误!未找到引用源。是121的负的平方根，则（错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。）2的平方根为（ ） A. 2 B. 4 C.±2 D. ±4 6、满足－3＜x ＜5的整数x 是（ ） A 、－2,－1,0,1,2,3 B 、－1,0,1,2,3 C 、－2,－1,0,1,2 D 、－1,0,1,2 7、如图，有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm (π=3)．在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约等于 （ ） A ．10cm B ．12 cm C ．19cm D ．20cm 8、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ） A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b << 9、如果0ab >， 0a c <，则直线a c y x b b =-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10、如图，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ） x y x y x y x y O O O O S(千米) 1 2 3 4 0.5 1 乙 甲 O t (时)
数学试题 一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以 数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（ ， ） D ）
11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示， 则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的 三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填 在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪， 拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图
2010—2011学年度第一学期八年级上数学期末复习讲义 第一章勾股定理 [复习要求] (1)掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题，发展合情推理能力，体会形数结合的思想； (2)掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，能运用它解决一些实际问题； (3)了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值． 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么，a2+b2=c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。 格式：a=8 b=15 解：由勾股定理得c的平方=a2+b2=82+152=64+225=289 ∵C＞0 ∴C=17 勾股定理逆定理：如果三角形三边长为a、b、c，c为最长边，只要符合a2+b2=c2，这个三角形是直角三角形。（直角三角形的判别条件）。 第二章实数 [复习要求] (1)了解无理数的概念和意义； (2)了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根；会用计算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的数学规律； (3)能用有理数估计一个无理数的大致范围； (4)了解实数的概念，会按要求对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用； (5)能对带根号的数进行化简，并能利用化简进行有关实数的简单四则运算； (6)能运用实数的运算解决简单的实际问题． ［概念与规律］ 事实上，有理数总可以用有限循环小数或无限不循环小数表示。 无限不循环小数叫无理数。 无理数：圆周率π=3.14159265……；0.585885888588885……(相邻两个5之间8的个数逐次加1)；根号a（a为非完全平方数或非立方数）。 一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的
2011-2012八年级上册数学试题 一、选择题:(本题共10小题,每小题2分,共20分。) 试试自己的能力，可别猜哦！ （下列各小题都给出了四个选项，其中只有唯一的一项是符合题目要求的，请把符合要求选项前面的字母填写在Ⅱ卷上指定的位置．） 1、下列各式中计算正确的是（ ） A 、9)9(2-=- B 、525±= C 、1)1(33-=- D 、2)2(2 -=- 2、根据下列表述，能确定位置的是（ ） A 、某电影院2排 B 、大桥南路 C 、北偏东30° D 、东经118°，北纬40° 3、给出下列5种图形：①平行四边形、②菱形、③正五边形、④正六边形、⑤等腰梯形．其中既是轴对称又是中心对称的图形有（ ）． A 、2种 B 、3种 C 、4种 D 、5种 4、 下列四点中，在函数y=3x+2的图象上的点是（ ） A 、（－1，1） B 、（－1，－1） C 、（2，0） D 、（0，－1.5） 5、把△ABC 各点的横坐标都乘以－1，纵坐标都乘以－1，符合上述要求的图是（ ） 6、某中学科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正 多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（ ） A 、正方形 B 、正六边形 C 、正八边形 D 、正十二边形 7、下列命题正确的是（ ） A 、正方形既是矩形，又是菱形 B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C 、一个多边形的内角相等，则它的边一定都相等 D 、矩形的对角线一定互相垂直 8、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ） x y x y x y x y O O O O D y x C B A O C y x C B A O B y x C B A O A y x C B A O
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章勾股定理 1、勾股定理(1)直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄 图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41） 4、 勾股数的规律： （1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数， 两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2， 那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如： （6,8,10）（8,15,17）（10,24,26） 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2c b a 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2c b a ，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a 的三个正整数，称为勾股数。 第二章实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 3 2,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥０）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥０；若|a|=-a ，则a ≤０。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件） 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形， 且最长边所对的角是直角。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实 数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根
北师大版八年级数学上册教案 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 3、从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么
可编辑 北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一 组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ()()341009161002510042 2 2 2 2 2 x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶 端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ A A E C （1） （2） 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解 ： 在 Rt △ ACB 中 ， AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 在中，Rt ECD EC ED CD ?22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5 ∴=-=-=AE AC EC 215 05.. 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
最新北师大版八年级数学上册单元测试题全套及答案 第一章勾股定理综合测评 时间： 满分：120分 班级：姓名：得分： 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 1. 在△ABC中，∠B=90°，若BC=3，AC=5，则AB等于（） A.3 B.4 C.5 D.6 2.下列几组数中，能组成直角三角形的是（） A.1 3 ，1 4 ，1 5 B.3，4，6 C.5，12，13 D.0.8，1.2，1.5 3.如图1，正方形ABCD的面积为100 cm2，△ABP为直角三角形，∠P=90°， 且PB=6 cm，则AP的长为（） A.10 cm B.6 cm C.8 cm D.无法确定 4.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8 cm，另一只朝左挖，每分钟挖6 cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（） A.50 cm B.80 cm C.100 c m D.140 cm 5.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足()() 22222 a b a b c -+-＝0，则它的形状为（） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6. 图2中的小方格都是边长为1的正方形，试判断△ABC的形状为（） A．钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D.以上都有可能 P C B D A
7.如图3,一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（） A.20 cm B.10 cm C.14 cm D.无法确定 8.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC＋AC＝14 cm，AB＝10 cm，则该三角形的面积是（） A.24 cm2 B.36 cm2 C.48 cm2 D.60 cm2 二、耐心填一填（每小题4分，共32分） 9.写出两组勾股数： . 10.在△ABC中，∠C＝90°，若BC∶AC＝3∶4，AB＝10，则BC＝_____，AC＝_____. 11.如图4，等腰三角形ABC的底边长为16，底边上的高AD长为6，则腰AB的长度为_____. 12.如图5，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则2 OD＝____. 13.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是______. 14.图6是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米，0.3米，0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是_____米.
北师大版八年级数学上期末复习提纲 姓名 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即2 22a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足2 22a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。满足222a b c +=的三个正 整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： 叫做a 的算术平方根。 （2）性质：①当a ≥0 0；当a ＝a a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 x a =，那么x 是a ；（2 a =； ② 3 a = 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数和无理数；有理数可分为整数和分数；实数按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5．算术平方根的运算律： )0,0(≥≥=?b a ab b a （a ≥0，b ≥0）； （a ≥0，b ＞0）。 第三章 图形的平移与旋转 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位 置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （2）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。=实数 无理数(无限不循环小数) 有理数 正分数 负分数 正整数 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数
2016八年级数学上册知识点总结(北师大版) 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
第一章 三角形初步 [定义与命题] 定义：规定某一名称或术语的意义的句子。 命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。 命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。 正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。 基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。 定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。 注意：基本事实和定理一定是真命题。 [证明] 在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。 [三角形] 由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 [三角形按边分类] 三角形()???????? 不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 [三角形按内角分类] 三角形 锐角三角形：三个内角都是锐角 直角三角形：有一个内角是直角 钝角三角形：有一个内角是钝角 [三角形的性质] 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形三内角和等于180°。 三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。 [三角形的三种线] 顶角的角平分线：三条，交于一点 三角形的中线：三条，交于一点 三角形的高线：三条，交于一点。 思考：锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置 [全等形] 能够完全重合的两个图形叫做全等形. [全等三角形] 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. [全等三角形的性质] 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 还有其它推出来的性质： 全等三角形的周长相等、面积相等。