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考研数三完整版(历年真题+答案详解)之_2003至2013年真题

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设,0,

0,1cos )(=≠?????=x x x

x x f 若若λ

其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=2

3与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.

（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,

10,0,)()(≤≤?

??==而D 表示全平面，则

??-=D

dxdy x y g x f I )()(=_______.

（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T

α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a

E B αα1

=，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.

（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.

（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样

本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 1

1依概率收敛于______.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x

x f x g )

()(=

(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （3）设2

n n a a p +=

，2

n n a a q -=

， ,2,1=n ，则下列命题正确的是

(A) 若

∑∞

=1n n

条件收敛，则

∑∞

=1n n

与

∑∞

=1n n

都收敛.

(B) 若

∑∞

=1n n

绝对收敛，则

∑∞

=1n n

与

∑∞

=1n n

都收敛.

∑∞

n n

条件收敛，则

∑∞

n n

与

∑∞

n n

敛散性都不定.

(D) 若

∑∞

n n

绝对收敛，则

∑∞

n n

与

∑∞

n n

敛散性都不定. [ ]

（4）设三阶矩阵????

??????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.

(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，

则s ααα,,,21 线性无关.

(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有

.02211=+++s s k k k ααα

(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件

(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.

).1,2

1[,)1(1sin 11)(∈--+=

x x x x x f πππ

试补充定义f(1)使得f(x)在]1,2

[上连续.

四、（本题满分8分）

设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12

222=??+??v f u f ，又)](2

1,[),(22

y x xy f y x g -=,求.2

222y g

x g ??+?? 五、（本题满分8分）计算二重积分 .)sin(22)

(22

dxdy y x e I D

y x +=

??-+-π

其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x

六、（本题满分9分）

求幂级数∑∞

=<-+1

2)1(2)1(1n n

x n x 的和函数f(x)及其极值. 七、（本题满分9分）

设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x

e x g x

f =+

(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；

(2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）

设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在

)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf

九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组

?????

????=+++++=+++++=+++++=+++++,

0)(,0)(,0)(,

0)(332211332211332211332211n

n n

n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中

.01

≠∑=n

i i

试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，

(1) 方程组仅有零解；

(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分）

设二次型

)0(222),,(312

32221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，

中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；

(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为

;],8,1[,

0,31

)(32其他若∈???

??=x x x f

F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

十二、（本题满分13分）

设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为

???

??7.03.021~X ，

而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).

2003年考研数学（三）真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设,0,

0,1cos )(=≠?????=x x x

x x f 若若λ

其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】当1>λ时，有

,0,

0,0,1sin 1cos )(21

=≠??

???+='--x x x

x x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0

f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.

（2）已知曲线b x a x y +-=2

33与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a . 【分析】曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.

【详解】由题设，在切点处有

0332

2=-='a x y ，有 .2

20a x =

又在此点y 坐标为0，于是有

030023

0=+-=b x a x ,

故 .44)3(6

422202202a a a x a x b =?=-=

【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，，

x a x g x f 其他若,

10,0,)()(≤≤??

?==而D 表示全平面，则

??-=D

dxdy x y g x f I )()(= 2a .

【分析】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】 ??

D dxdy x y g x f I )()(=

dxdy a x y x ??≤-≤≤≤1

0,102

=.])1[(2

210

dx x x a

dy dx a

x x

=-+=???

【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积

函数不为零的区域的公共部分上积分即可.

（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T

α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a

E B αα1

+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .

【分析】这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.

【详解】由题设，有

)((T T a E E AB αααα+-= =T T T T a a E αααααααα?-+-1

=T T T T a a E αααααααα)(1

1-+-

=T T T a a E αααααα21

-+-

=E a

a E T =+--+αα)1

21(,

于是有 0121=+--a a ，即 0122=-+a a ，解得 .1,2

-==a a 由于A<0 ,故a=-1.

（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为

0.9 .

【分析】利用相关系数的计算公式即可. 【详解】因为

)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =

于是有 cov(Y ,Z)=

DY Z Y ),cov(=

.9.0),cov(==XY DY

Y X ρ

【评注】注意以下运算公式：DX a X D =+)(，).,cov(),cov(Y X a Y X =+ （6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样

本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 2

1 .

【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量

n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：

).(111

1∞→→∑∑==n EX n X n n

i i p

n i i

【详解】这里22221,,,n X X X 满足大数定律的条件，且2

2)(i i i EX DX EX +==

)21(412=+，因此根据大数定律有 ∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.2

112=∑=n i i EX n

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x

x f x g )

()(=

(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 )0(0

)

0()(lim )(lim

)(lim 00

f x f x f x x f x

g x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点. 【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=,

0,0,1=≠??

?=x x x x 可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).

【评注2】若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()

(lim

000

A x f x f A x x x f x x ='=?=-→.

（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是

(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

【详解】可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知

0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).

【评注1】本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而

),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '

【评注2】本题也可用排除法分析，取2

2),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2

),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).

（3）设2

n n a a p +=

，2

n n a a q -=

， ,2,1=n ，则下列命题正确的是

(A) 若

∑∞

=1n n

条件收敛，则

∑∞

=1n n

与

∑∞

=1n n

都收敛.

(B) 若

∑∞

=1n n

绝对收敛，则

∑∞

=1n n

与

∑∞

=1n n

都收敛.

∑∞

=1n n

条件收敛，则

∑∞

=1n n

与

∑∞

=1n n

敛散性都不定.

(D) 若

∑∞

n n

绝对收敛，则

∑∞

n n

与

∑∞

n n

敛散性都不定. [ B ]

【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】若

∑∞

n n

绝对收敛，即

∑∞

n n

收敛，当然也有级数

∑∞

n n

收敛，再根据

n n a a p +=

，2

n n a a q -=

及收敛级数的运算性质知，

∑∞

n n

与

∑∞

n n

都收敛，故应选

(B).

（4）设三阶矩阵????

??????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.

0))(2(2=-+=b a b a a

b b b a b

b a ，即有02=+b a 或a=b.

但当a=b 时，显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C).

【评注】 n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：

.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==??

??=n A r n A r n A r n A r

（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是

(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，

则s ααα,,,21 线性无关.

(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有

.02211=+++s s k k k ααα

(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.

【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有

02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，

则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（A ）成立.

(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数

s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.

(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.

综上所述，应选(B).

【评注】原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数

s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关. 其逆否

命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，

则s ααα,,,21 线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.

（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件

(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.

【详解】因为

21)(1=

A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且 41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，4

)(42=A A P 0)(321=A A A P ，

可见有

)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，

)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.

故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).

【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.

三、（本题满分8分）设

).1,2

1[,)1(1sin 11)(∈--+=

x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,2

[上连续.

【分析】只需求出极限)(lim 1

x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可.

【详解】因为

)(lim 1

x f x -→=])1(1sin 11[

lim 1

x x x x --+-→πππ =

x x

x x ππππ

sin )1(sin )1(lim 1

---+

→

x x x

x πππππππ

cos )1(sin cos lim 1

-+---+

→

x x x x

x ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 1

221----+-

→ =

由于f(x)在)1,2

[上连续，因此定义

)1(=

f ，

使f(x)在]1,2

[上连续.

【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求+

→0y 的极限，可以适当简化.

四、（本题满分8分）

设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12

222=??+??v f u f ，又)](2

1,[),(22

y x xy f y x g -=,求.2

222y g

x g ??+?? 【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(2

1,22

y x v xy u -=

=，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用

.22u

v f

v u f ???=??? 【详解】

u f y x g ??+??=??， .v

f y u f x y

g ??-??=?? 故 v f v

f x v u f xy u f y x

g ??+??+???+??=??2

222222222， .22

2222222v f v

f y u v f xy u f x y

g ??-??+???-??=?? 所以 22

2222222222)()(v

f y x u f y x y

g x g ??++??+=??+?? =.2

2y x +

【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五、（本题满分8分）

计算二重积分 .)sin(22)

(22

dxdy y x e I D

y x +=

??-+-π

其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x

【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e

I D y x

)sin(22)

(22

+=??+-π

=.sin 20

dr r re d e r ??

-π

令2r t =，则 tdt e e I t sin 0

-=π

π.

记 t d t e A t s i n 0

，则

t t de e A --?

=int 0

=]cos sin [0

?----π

tdt e t

e t t

=?--π

cos t

tde

=]sin cos [0

tdt e t e t t

?--+-π

=.1A e -+-π 因此 )1(2

π-+=

e A ， ).1(2

)1(2

πππ

πe e e I +=

【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.

六、（本题满分9分）

求幂级数∑∞

=<-+1

2)1(2)1(1n n

x n x 的和函数f(x)及其极值. 【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出

和函数后，再按通常方法求极值.

【详解】

.1)

1()(1

12∑∞

=-+-

=-=

'n n n

x x f 上式两边从0到x 积分，得

).1ln(2

11)0()(2

x dt t t f x f x

+-=+-=-? 由f(0)=1, 得

).1(),1ln(2

1)(2<+-

=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0. 由于

,)1(1)(2

x x x f +--=''

01)0(<-=''f ，

可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.

【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.

七、（本题满分9分）

设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x

e x g x

f =+

(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.

【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.

【详解】 (1) 由

)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=' =)()(2

x f x g +

=)()(2)]()([2

x g x f x g x f -+ =(22

)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为

.4)(2)(2x e x F x F =+'

(2) ]4[)(222C dx e e e x F dx x

dx +???=?

=]4[42C dx e e x x +?

=.22x x Ce e -+ 将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是

.)(22x x

e e

x F --=

【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.

八、（本题满分8分）

设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在

)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf

【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于

)

2()1()0(=++f f f ，问题转

化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.

【详解】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是

M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(. 故

)

2()1()0(M f f f m ≤++≤

由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使

.13

)

2()1()0()(=++=

f f f c f

因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在

)3,0()3,(?∈c ξ，使.0)(='ξf

【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.

九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组

?????

????=+++++=+++++=+++++=+++++,

0)(,0)(,0)(,

0)(332211332211332211332211n

n n

n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中

.01

≠∑=n

i i

试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，

(1) 方程组仅有零解；

(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.

【详解】方程组的系数行列式

a a a a a

b a a a a a b a a a a a b a A n n n n

++++= 3

21321

21321 =).(1

∑=-+n

i i n a b b

(1) 当0≠b 时且01

≠+

∑=n

i i

b 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.

(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由

≠∑=n

i i

可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础

解系为

T a a )0,,0,1,(12

1 -

=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1

T n n a a -=α 当∑=-

i i

b 1

时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为

????????????

?????????

----∑∑∑∑====n i i n n

i i

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 13

113213121321

（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-

i i

倍）

→ ???

----∑=100

101010011321

1 n n

i i

a a a a a

（将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）

→

.0000100101010011

???

????

????????---

由此得原方程组的同解方程组为

12x x =，13x x =，1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为 .)1,,1,1(T

=α

【评注】本题的难点在∑=-

i i

b 1

时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的

秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T

)1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.

十、（本题满分13分）设二次型

)0(222),,(312

32221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，

中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.

(3) 求a,b 的值；

(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.

【详解】（1）二次型f 的矩阵为

.200200????

??????-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有

1)2(2321=-++=++a λλλ，

.12242

002

2321-=--=-=b a b b

a λλλ

解得 a=1,b= -2.

(2) 由矩阵A 的特征多项式

)3()2(2

0201

2+-=+----=-λλλλλλA E ，

得A 的特征值.3,2321-===λλλ

对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T

=ξ

对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系

.)2,0,1(3T

-=ξ

由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得

T )5

0,5

1=η，T )0,1,0(2=η，.)5

2,0,5

3T -

=η

令矩阵

[]??????????

???

==5205

1010510

5232

1ηηηQ ，

则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有

?????-=300020002AQ Q T ，

且二次型的标准形为

.3222

32221y y y f -+=

【评注】本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为

)].2()2()[2(2

0022b a a b

b a

A E +----=+----=

-λλλλλλλ

设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,22

32321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得

1)2(2321=-+=++a λλλ， .12)2(22321-=+-=b a λλλ

解得a=1,b=2.

十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为

;],8,1[,

0,31

)(32其他若∈???

??=x x x f

F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

【分析】先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.

【详解】易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于]8,1[∈x ，有 .131)(31

-==

x dt t x F x

设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当0

对于)1,0[∈y ，有

})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=

=})1({}1{3

3+≤=≤-y X P y X P

=.])1[(3

y y F =+ 于是，Y=F(X)的分布函数为

.1,10,0,1,,0)(≥<≤

??=y y y y y G 若若若

【评注】事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时，G(y)=0; 当 1≥y 时，G(y)=1;

当 01<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =)}({1

y F X P -≤

=.))((1

y y F

F =-

十二、（本题满分13分）

设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为

???

? ??7.03.021

~X ，

而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).

【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.

【详解】设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为

}{)(u Y X P u G ≤+=

=}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见

G(u)= }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P

=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F

由此,得U 的概率密度

)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g

=).2(7.0)1(3.0-+-u f u f

【评注】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim

0=--→b x a

e x

x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则

u v

?=??.

(3) 设??

???≥

-<≤-=21,12121,)(2

x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=?.

(4) 二次型2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .

(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.

(6) 设总体X 服从正态分布),(2

1σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和

2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则

12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==??

-+-????=??+-??????

∑∑.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2

)

2)(1()

2sin(||)(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).

(B) (0 , 1).

(D) (2 , 3). [ ]

考研数学(三)真题解析经济应用考点

2xx 5年考研数学（三）真题解析：经济应用考点来源：文都教育考研数学三主要是针对经济和管理类的考生，对这类考生而言，数学在经济中的应用是一个常考点，尤其是微分学在经济中的应用考题，在近些年频频出现在试卷中，有时还以一个大题的形式出现，占xx 分之多，在刚刚结束的2xx 5年考研数学（三）的考题中就有这么一道解答题（第xx 题）。下面文都老师对今年的经济应用考题做些分析，供已经考过和准备2xx 6年考数学（三）的同学参考。在分析之前，我们先简单回顾一下微分学在经济应用中的主要知识点。边际函数：边际函数是指一个经济变量对另一个经济变量的变化率。若Q 代表某产品的需求量，P 代表商品的价格，C 代表生产成本，R 代表收入，L 代表利润，则边际需求dQ MQ dP =，边际成本dC MC dQ =、边际收入dR MR dQ =，边际利润dL ML MR MC dQ ==-. 弹性函数：弹性函数是指一个经济变量对另一个经济变量的相对变化率。变量y 对变量x 的弹性为//Ey dy y x dy Ex dx x y dx ==?，如收益对需求的弹性ER Q dR EQ R dQ =?，而R QP =，故有1()1ER dP Q dP P Q EQ P dQ P dQ =+=+?；需求对价格的弹性EQ P dQ EP Q dP =?，通常在表示上弹性取正值，而Q 一般是P 的单调减函数，0dQ dP <，所以一般表示EQ P dQ EP Q dP =-?. 2xx 5年考研数学（三）第（xx ）题：（本题满分xx 分）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η>0）. （Ⅰ）证明定价模型为11MC p η =-；（Ⅱ）若该商品的成本函数为2()1600,C Q Q =+需求函数为40,Q p =-试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格。解析：（I ）总收益为R Qp =，总成本()C C Q =，利润L R C =-，要使利润最大化，则 0dL dR dC dR dC MC dQ dQ dQ dQ dQ =-=?==，dR dp p Q MC dQ dQ =+= (1)

考研讲义数三经济部分

数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0 rt t A A e =，称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。 (二)将来值与现值：上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。现值与将来值的关系为： 0 (1)t t A A r =+ ? 0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能

考研数学三不考地部分(最全)

高等数学不用看的部分：第5页映射；第17页到第20页双曲正弦双曲余弦双曲正切及相应的反函数可以不记；第107页由参数方程所确定的函数的导数；第119页微分在近似方程中的应用记住几个公式4，5,6还有120页的近似公式即可，不用看例题；第140 页泰勒公式的证明可以不看，例题中的几个公式一定要记住，比如正弦公式等；第169页第七节；第178页第八节；第 213页第四节；第218页第五节；第280页平行截面面积为已知的立体体积；第282页平面曲线的弧长；第287页第三节；第316页第五节；在第七章微分方程中建议大家只要会解方程即可，凡是书上涉及到物理之类的例题不看跳过例如第301页的例2例3例4；第八章；第90页第六节；第101页第七节；第157页第三节；165页第四节；第十一章；第 261页定理6；第278页第四节；第285页第五节；第302页第七节；第316第八节线性代数不用看的部分：第102页第五节概率论与数理统计要考的部分：第一二三四五章；第六章第135页抽样分布；第7章第一节点估计和第二节最大似然估计注意：数学课本和习题中标注星号的为不考内容，在上面的内容中我并没有标出。上述内容是根据文都发放的教材编的。《高等数学》目录与2010数三大纲对照的重点计划用时（天）标记及内容要求： ★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强，对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。要大量做题。 ☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。 ▲─超出大纲要求。第一章函数与极限第一节映射与函数（☆集合、影射，★其余）第二节数列的极限（☆）第三节函数的极限（☆）第四节无穷小与无穷大（★）第五节极限运算法则（★）第六节极限存在准则（★）第七节无穷小的比较（★）第八节函数的连续性与间断点（★）第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（★）第十节闭区间上连续函数的性质（★）总习题第二章导数与微分第一节导数概念（★）第二节函数的求导法则（★）第三节高阶导数（★）第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（★）第五节函数的微分（★）总习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理（★罗尔，★拉格朗日，☆柯西）第二节洛必达法则（★）第三节泰勒公式（☆）

考研讲义数三经济部分

第十三章微积分在经济学中的经济应用（数三）《考试要求》 1.掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4.会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。一、.极限及级数在经济学中的应用（一復利：设某银行年利率为r,初始存款为A o元， t （1）一年支付一次利息（称为年复利），则t年后在银行的存款余额为A t A o 1 r （2）若一年支付n次，则t年后在银行的存款余额为A A o（1 -）nt t n n （3）由于lim [（1 -）r ]rt，所以当每年支付次数趋于无穷时，t年后得到的存款n n 余额为A t Ae" 称为t年后按连续复利计算得到的存款余额。（二）将来值与现值：上述结论中，称A t是A o的将来值，而A o是A t的现值。现值与将来值的关系为： A t A o（1 r）t A o A t（1 r）t或A A o（1 r）t A o A t（1 r）t 例1现购买一栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款,每年付款数目相同,1o年付清，年利率为6%,按连续复利计算，问每年应付款多少？

例2（08）设银行存款的年利率为r 0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元, 并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？

经济学中的常用函数需求函数：Q Q(P),通常Q Q(P)是P的减函数；供给函 Q Q(P),通常Q Q(P)是P的增函数；数：成本函数：C(Q) C o C i(Q),其中C o C(0)为固定成本，C i(Q)为可变成本; 收益函数：R PQ; 利润函数：L(Q) R(Q) C(Q). 例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p1 和p2 , 销售量分别为q1 和q2 , 需求函数分别为q1 24 02p1 , q2 10 0.05p2 , 总成本函数为C 35 40(q1 q2) , 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？

经济类、管理类考研数学基础班课程讲义

《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义导论一、管理类联考数学考试大纲管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力. 综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试. 数学部分试题涉及的数学知识范围有： (一)算术 1．整数 (1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、合数 2. 分数、小数、百分数 3．比与比例 4．数轴与绝对值 (二)代数 1．整式 (1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解 2．分式及其运算 3．函数 (1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数 4．代数方程 (1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组 5．不等式 (1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式. 6. 数列、等差数列、等比数列 (三)几何 1．平面图形 (1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形 2．空间几何体 (1)长方体(2)柱体(3)球体 3．平面解析几何 (1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的

距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理 (1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述 (1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率 (1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型二、数学基础两种考查题型数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型：第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分；第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下： 1. 问题求解题型说明联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案. 该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明：【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或5 3x = (E) 不存在【答案】C 2. 条件充分性判断题型说明

考研讲义数三经济部分

第十三章微积分在经济学中的经济应用 (数三）《考试要求》 1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。一、.极限及级数在经济学中的应用 (一)复利：设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元，（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t 01t A A r =+; （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)r nt A A t n =+; （3）由于lim [(1)]n r rt rt r e n n +=→∞ ，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0rt t A A e =，称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。 (二)将来值与现值：上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。现值与将来值的关系为： 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？

r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款例2（08）设银行存款的年利率为0.05 A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？、

2020考研数学复习资料：数一数二数三有何区别-

2020考研数学复习资料：数一数二数三有何区别? 考研复习的路上总会遇上许多复习问题，今天就帮助各位考研党整理一下比较常见的复习问题，下面为你精心准备了“2020考研数学复习资料：数一数二数三有何区别?”，持续关注本站将可以持续获取的考试资讯！ 2020考研数学复习资料：数一数二数三有何区别? 硕士研究生入学统考数学试卷一共分为3种：针对工科类的为数学一、数学二;针对经济学和管理学类的为数学三，难度要求依次从高到低。从卷种上来看分为数学一、数学二、数学三。从考试内容上来看，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计。从试卷结构上来看，设有三种题型：选择题(8道共32分)、填空题(6道共24分)、解答题(9道共94分)。其中数一与数三在题目类型的分布上是一致的，1-4、9-12、15-19属于高等数学的题目，5-6、13、20-21属于线性代数的题目，7-8、14、22-23属于概率论与数理统计的题目;而数学二不同，1-6、9-13、15-21均是高等数学的题目，7-8、14、22-23为线性代数的题目。 ?区别数一的适用范围和考试内容：

1.工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、网络工程、电子信息工程、计算机科学与技术、土木工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业。 2.授工学学位的管理科学与工程一级学科。考研数学一是考研数学中难度最大，范围最广的。数学一的考试科目包括高等数学、线性代数、概率统计三科。其中高等数学占比百分之五十六;线性代数占比百分之二十二;概率统计占比百分之二十二。数二的适用范围：工学门类中的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等5个一级学科中所有的二级学科、专业。考研数学二是考研数学中考试范围最小，但是高等数学占比最高的。考研数学二的考试科目包括高等数学和线性代数其中高等数学占比百分之七十八;线性代数占比百分之二十二。不考概率和统计。数三的适用范围： 1.经济学门类的各一级学科。 2.管理学门类中的工商管理、农林经济管理一级学科。 3.授管理学学位的管理科学与工程一级学科。

数三考研不用看的部分内容及重要性分布

高等数学不用看的部分：上册 Z1第5页映射；第17页到第20页双曲正弦双曲余弦双曲正切及相应的反函数可以不记； Z2第107页由参数方程所确定的函数的导数；第119页微分在近似方程中的应用记住几个公式4，5，6还有120页的近似公式即可，不用看例题； Z3第140页泰勒公式的证明可以不看，例题中的几个公式一定要记住，比如正弦公式等；第169页第七节；第178页第八节； Z4第213页第四节； Z5第218页第五节； Z6第280页平行截面面积为已知的立体体积；第282页平面曲线的弧长；第287页第三节； Z7第316页第五节；在第七章微分方程中建议大家只要会解方程即可，凡是书上涉及到物理之类的例题不看跳过例如第301页的例2例3例4；下册 Z8全部 Z9第90页第六节；第101页第七节； Z10第157页第三节； 165页第四节； Z11全部 Z12第261页定理6；第278页第四节；第285页第五节；第302页第七节；第316第八节线性代数不用看的部分：第102页第五节概率论与数理统计要考的部分第一二三四五章；第六章第135页抽样分布；第七章第7章第一节点估计和第二节最大似然估计注意：数学课本和习题中标注星号的为不考内容

《高等数学》标记及内容要求： ★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强，对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。要大量做题。 ☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论做题。要大量做题。 ●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。 ▲─超出大纲要求。第一章函数与极限第一节映射与函数（☆集合、影射，★其余）第二节数列的极限（☆）第三节函数的极限（☆）第四节无穷小与无穷大（★）第五节极限运算法则（★）第六节极限存在准则（★）第七节无穷小的比较（★）第八节函数的连续性与间断点（★）第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（★）第十节闭区间上连续函数的性质（★）总习题第二章导数与微分第一节导数概念（★）第二节函数的求导法则（★）第三节高阶导数（★）第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（★）第五节函数的微分（★）总习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理（★罗尔，★拉格朗日，☆柯西）第二节洛必达法则（★）第三节泰勒公式（☆）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（★）第五节函数的极值与最大值最小值（★）第六节函数图形的描绘（★）

考研讲义数三经济部分精编WORD版

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上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。现值与将来值的关系为： 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？、二. 经济学中的常用函数需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数；供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数；成本函数：01()()C Q C C Q =+, 其中0(0)C C =为固定成本, 1()C Q 为可变成本；收益函数：R PQ =; 利润函数：()()()L Q R Q C Q =-. 例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p 和2p , 销售量分别为1q 和2q , 需求函数分别为112402q p =-, 22100.05q p =-, 总成本函数为

2019考研数学三大纲--经济类共15页

考试内容函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点

考研讲义数三经济部分

第十三章微积分在经济学中的经济使用 (数三）《测试要求》 1. 掌握导数的经济意义（含边际和弹性的概念）。 2. 了解差分和差分方程及其通解和特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4. 会使用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济使用问题。一、.极限及级数在经济学中的使用 (一)复利：设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元，（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t 01t A A r =+; （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)r nt A A t n =+; （3）由于lim [(1)]n r rt rt r e n n +=→∞ ，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0rt t A A e =，称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。 (二)将来值和现值：上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。现值和将来值的关系为： 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？、

(整理)考研数三教材与大纲对照.

高等数学》目录与2010数三大纲对照的重点计划用时（天）标记及内容要求： ★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强，对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。要大量做题。 ☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论做题。要大量做题。 ●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。▲─超出大纲要求。第一章函数与极限第一节映射与函数（☆集合、影射，★其余）第二节数列的极限（☆）第三节函数的极限（☆）第四节无穷小与无穷大（★）第五节极限运算法则（★）第六节极限存在准则（★）第七节无穷小的比较（★）第八节函数的连续性与间断点（★）第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（★）第十节闭区间上连续函数的性质（★）总习题第二章导数与微分第一节导数概念（★）第二节函数的求导法则（★）第三节高阶导数（★）第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（★）第五节函数的微分（★）总习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理（★罗尔，★拉格朗日，☆柯西）第二节洛必达法则（★）第三节泰勒公式（☆）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（★）第五节函数的极值与最大值最小值（★）第六节函数图形的描绘（★）第七节曲率(●) 第八节方程的近似解(●) 总习题三（★注意渐近线）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质（★）第二节换元积分法（★）第三节分部积分法（★）第四节有理函数的积分（★）

考研数学三真题解析概率部分Word版

2015考研数学(三)真题解析：概率部分来源：文都教育 ()()().P AB P A P B ≤2015考研数学在上午落下帷幕，今年考题整体难度降低。许多题目出现在平时的讲义、测试卷及练习题中。下面老师对概率部分的考点的进行整体分析。概率部分今年秉承以往的风格，重点考查基本知识点，题目很常规。（2015数三选择题7题）若A ,B 为任意两个随机事件，则（）（A ）（B ）()()().P AB P A P B ≥ （C ）()P AB ≤ ()().2P A P B + （D ）()P AB ≥()().2 P A P B + 答案：C 解析：)()()()(AB P B P A P B A P -+=+，因为)()(AB P B A P ≥+，所以)()()()(AB P AB P B P A P ≥-+，故2 )()()(B P A P AB P +≤，应选)(C ．考点说明：主要考查概率第一章的基本公式，也可以通过排除法求解．（2015数三选择题８题）设总体X ~B （m ,θ），12,,,n X X X 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E X X =??-=?????? ∑ （）（A ）()()11m n θθ-- （B ）()()11m n θθ-- （C ）()()1(1)1m n θθ--- （D ）()1mn θθ- 答案：B 解析：样本方差∑=--=n i i X X n S 122 )(11，因为)1(2θθ-==m DX ES ，即)1(])(11[12θθ-=--∑=m X X n E n i i ，故)1()1(])([1 2θθ--=-∑=n m X X E m i i ，应选)(B ．考点说明：主要考查的是概率第六章基本统计量的运算公式，只要熟记公式，就可轻易解答．（2015数三填空题14题）设二维随机变量（X ，Y ）服从正态分布N （1,0;1,1;0），则

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