43
2
1E
D
C
B
A
1
C
D
B
A
三角形的高、中线与角平分线1
1 如图，已知△ABC 中，AQ=PQ 、PR=PS 、PR ⊥AB 于R ，
PS ⊥AC 于S ，有以下三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ； ③△BRP ≌△CSP ，其中( )．
(A)全部正确 (B)仅①正确 (C)仅①、②正确 (D)仅①、③正确 2、 如图，点E 在BC 的延长线上，则下列条件中，
不能判定AB ∥CD 的是( )
A. ∠3=∠4
B.∠B=∠DCE
C.∠1=∠2.
D.∠D+∠DAB=180° 3．如图，ΔACB 中，∠ACB=900，∠1=∠B.
（1）试说明 CD 是ΔABC 的高；
（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD 的长。 4
如图，直线DE 交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E ， 交BC 延长线于F ，若∠B ＝67°，∠ACB ＝74°， ∠AED ＝48°，求∠BDF 的度数
5、如图：∠1＝∠2＝∠3，完成说理过程并注明理由： 因为 ∠1＝∠2
所以 ____∥____ ( ) 因为 ∠1＝∠3
所以 ____∥____ ( )
6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，5cm B ．5cm ，6cm ，10cm C ．1cm ，1cm ，3cm D ．3cm ，4cm ，9cm
7．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．22 C ．17或22 D ．
13
8．适合条件∠A=1
2∠B=1
3
∠C的△ABC是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形9．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）
A．30° B．75° C．105° D．30°或75°
10．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（） A．5 B．6 C．7 D．8
11．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定12．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是________．
13．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=60°，
∠BDC=80°，求∠C的度数．
初一三角形的高、中线与角平分线2
1 如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6．
（1）CO是△BCD的高吗？为什么？
（2）∠5的度数是多少？
（3）求四边形ABCD各内角的度数．
2．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠A＋∠C=________．
3 ．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
4．△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=______度．
5．如图∠1+∠2+∠3+∠4=______度．
6．如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，
∠B=75°，?∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数．
7．以下说法错误的是（）6题
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
8．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，?那么这个三角形是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
9．如图，BD=1
BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积．
2
(9)
10．如图，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，
则△BOC?的三条高分别为线段________．
（10）
初一三角形的高、中线与角平分线3
1．下列图形中具有稳定性的是（）
A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形
2．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，
求△ABD?与△ACD的周长之差．
3．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．?
可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？
4．如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线B
D将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．
5．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，?
由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分
成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方
案供选择（画图说明）．
6．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．
7．如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，?且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（
）
8如图7-1-2-9，AD是△ABC的角平分线，
DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．请问：
DO是△DEF的角平分线吗？如果是，
请给予证明；如果不是，请说明理由．
初一三角形的高、中线与角平分线4
1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．
2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
3．如图1，x=______．
(1) (2) (3)
4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，
连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．
5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．
7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．
8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，
∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，
就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？
9．（1）如图（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
11．如图，BD、CD分别是△ABC
的两个外角∠CBE、∠BCF?的平分线，
试探索∠D与∠A之间的数量关系．
12 如图，BD为△ABC的角平分线，
CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D
，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．
7．3 多边形及其内角和
基础过关作业
1．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（）
A．80° B．90° C．170° D．20°
2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．内角和等于外角和2倍的多边形是（）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．六边形的内角和等于_______度．
5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．6．如图，你能数出多少个不同的四边形？
7．四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？?为什么？
8．求下列图形中x的值：
综合创新作业
9．（综合题）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，?DF
平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
10．（应用题）有10个城市进行篮球比赛，每个城市均派3个代表队参加比赛，规定同一城市间代表队不进行比赛，其他代表队都要比赛一场，问按此规定，?所有
代表队要打多少场比赛？
11．（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．
12．（1）（2005年，南通）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
（2）（2005年，福建泉州）五边形的内角和等于_______度．
13．（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（? ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
培优作业
14．（探究题）
（1）四边形有几条对角线？
五边形有几条对角线？
六边形有几条对角线？
……
猜想并探索：
n边形有几条对角线？
（2）一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？
15．（开放题）如果一个多边形的边数增加1，?那么这个多边形的内角和增加多少度？若将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？
数学世界
攻其不备
壁虎在一座油罐的下底边沿A处．它发现在自己的正上方──油罐上边缘的B?处有一只害虫．壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击如图7-3-5．结果，?壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．
请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短的路程吗（线段AB除外）？
答案:
1．A 点拨：∠B=360°-（∠A+∠C+∠D）=360°-280°=80°．故选A．
2．B 点拨：设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180=1080．解得n=8．故选B．
3．B 点拨：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）·180=2×360．解得n=6．故选B．
4．720
5．144°；36°
点拨：正十边形每一个内角的度数为：(102)180
10
-??=144°，
每一个外角的度数为：180°-144°=36°．
6．有27个不同的四边形．
7．解：四边形的四个内角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角．因为四边形的内角和为360°，如果四个内角都是锐角或都是钝角，?
则内角和小于360°或大于360°，与四边形的内角和为360°矛盾．?
所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角．
若四个内角都是直角，则四个内角的和等于360°，与内角和定理相符，
所以四个内角可以都是直角．
8．解：（1）90+70+150+x=360．
解得x=50．
（2）90+73+82+（180-x）=360．
解得x=65．
（3）x+（x+30）+60+x+（x-10）=（5-2）×180．
解得x=115．
9．解：BE∥DF．
理由：∵∠A=∠C=90°，
∴∠A+∠C=180°．
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．
∵∠ABE=1
2∠ABC，∠ADF=1
2
∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=1
2（∠ABC+∠ADC）=1
2
×180°=90°．
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
10．解：1
2n（n-3）=1
2
×10×（10-3）=1
2
×10×7=35（场）．
答：按此规定，所有代表队要打35场比赛．
点拨：问题类似于求多边形对角线的个数．
11．解：（5-2）×180°÷360°×12=1.5．
点拨：不能直接求出扇形的度数，用整体法圆与五边形重合部分的角度和正好是五边形的内角和．
12．（1）C 点拨：设这个多边形的边数为n，
依题意，得（n-2）×180°=540°，解得n=5，故选C．
（2）540 点拨：（n-2）×180°=（5-3）×180°=540°．
13．C
14．解：（1）四边形有2条对角线；
五边形有5条对角线；
六边形有9条对角线；
……
n边形有(3)
2
n n-条对角线．
（2）当n边形的边数增加1时，对角线增加（n-1）条．
点拨：从n边形的一个顶点出发，向其他顶点共可引（n-3）条对角线，n个顶点共可引n（n-3）条，但这些对角线每一条都重复了一次，故n边形的对角线条数
为(3)
2
n n-．
15．180°，n·180°．
数学世界答案:
是最短的路程．可用纸板做一个模型，沿AB剪开便可看出结论．
43 2 1E D C B A 1 C D B 三角形的高、中线与角平分线1 1 如图，已知△ABC 中，AQ=PQ 、PR=PS 、PR ⊥AB 于R ， PS ⊥AC 于S ，有以下三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ； ③△BRP ≌△CSP ，其中( )． (A)全部正确 (B)仅①正确 (C)仅①、②正确 (D)仅①、③正 确 2、 如图，点E 在BC 的延长线上，则下列条件中， 不能判定AB ∥CD 的是( ) A. ∠3=∠4 B.∠B=∠DCE C.∠1=∠2. D.∠D+∠DAB=180° 3．如图，ΔACB 中，∠ACB=900，∠1=∠B. （1）试说明 CD 是ΔABC 的高； （2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD 的长。 4 如图，直线DE 交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E ， 交BC 延长线于F ，若∠B ＝67°，∠ACB ＝74°， ∠AED ＝48°，求∠BDF 的度数 5、如图：∠1＝∠2＝∠3，完成说理过程并注明理由： 因为 ∠1＝∠2 所以 ____∥____ ( ) 因为 ∠1＝∠3 所以 ____∥____ ( ) 6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，5cm B ．5cm ，6cm ，10cm C ．1cm ，1cm ，3cm D ．3cm ，4cm ，9cm
A．17 B．22 C．17或22 D．13 8．适合条件∠A=1 2∠B=1 3 ∠C的△ABC是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形9．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（） A．30° B．75° C．105° D．30°或75° 10．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（） A．5 B．6 C．7 D．8 11．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定12．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是________． 13．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=60°， ∠BDC=80°，求∠C的度数． 初一三角形的高、中线与角平分线2 1 如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6． （1）CO是△BCD的高吗？为什么？ （2）∠5的度数是多少？ （3）求四边形ABCD各内角的度数． 2．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠A＋∠C=________．
角平分线定理 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 ■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。 【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 ■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 ■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 ■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 ■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC 提供四种证明方法： 已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC 已知和证明1图 证明：方法1：（面积法） S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, ∴S△ABM：S△ACM=AB:AC 又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，
证明2图 即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC 方法2（相似形） 过C作CN‖AB交AM的延长线于N 则△ABM∽△NCM ∴AB/NC=BM/CM 又可证明∠CAN=∠ANC ∴AC=CN ∴AB／AC=MB／MC 证明3图 方法3（相似形） 过M作MN‖AB交AC于N 则△ABC∽△NMC, ∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB／AC=MB／MC
解析三角形中两条角平分线组成的角 当同学们学完三角形的角平分线后，利用角平分线来解决相关几何题就应运而生。这儿作者只是给大家归纳了几种利用三角形两条角平分线组成的角的解析方法，以便大家在平时的作业时可简便计算。 一、三角形两内角角平分线组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：在△ABC 中 ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o 又 ∵∠A=n o ∴∠ABC+∠ACB=180o －n o ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线 ∴∠OBC= 2 1∠ABC ∠OCB =2 1∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=21∠ABC+2 1∠ACB =2 1(∠ABC+∠ACB) ∴∠OBC+∠OCB=2 1(180o －n o ) =90o －21 n o 在△BOC 中 ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o ∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB) =180o －(90o － 21 n o ) =180o －90o + 21 n o =90o +2 1 n o 即：∠BOC=90o +2 1 ∠A 通过上述解题过程不难发现，其实三角形的两内角平分线组成的角应为90o 与第三角的一半的和。 二、三角形两外角角平分线组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠CBD 与∠BCE 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：在△ABC 中 ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o C
又 ∵∠A=n o ∴∠ABC+∠ACB=180o －n o ∵∠ABC+∠CBD=180o ∠ACB+∠BCE=180o ∴∠CBD+∠BCE=360o －(∠ABC+∠ACB) =360o －180o +n o =180o +n o ∵BO,CO 是∠DBC 与∠ECB 的角平分线 ∴∠OBC= 2 1∠CBD ∠OCB =2 1∠BCE ∴∠OBC+∠OCB=21∠CBD+2 1∠BCE =2 1(∠CBD+∠BCE) ∴∠OBC+∠OCB=2 1(180o +n o ) =90o +21 n o 在△BOC 中 ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o ∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB) =180o －(90o + 2 1 n o ) =180o －90o －2 1 n o =90o －2 1 n o 即：∠BOC=90o －21 ∠A 由此我们可发现三角形的两个外角角平分线所组成的角等于90o 与第三角的一半的差。 三、三角形一内角角平分线与一外角角平分组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACD 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：∵∠ACD 为△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACD 的角平分线 ∴∠OBC=2 1∠ABC ∠OCB =2 1∠ACD =21(∠A+∠ABC) A E
二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这 种尝试与猜想是在一定的规律基本之图1-1 B
上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠∠，如取，并连接、，则有△≌△，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图 1-2，，平分∠，平分∠， 点E 在上，求证：。 分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图 1-3，2，∠∠，，求证⊥ 图1-2 D B C
一．选择题（共10小题） 1．（2016秋?阿荣旗期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形 C．直角三角形D．周长相等的三角形 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等． 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线． 2．（2016秋?大安市校级期中）如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线（） A．△ABE B．△ADF C．△ABC D．△ABC，△ADF 【分析】根据三角形的角平分线的定义得出． 【解答】解：∵∠2=∠3， ∴AE是△ADF的角平分线； ∵∠1=∠2=∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAE=∠CAE， ∴AE是△ABC的角平分线． 故选D． 【点评】三角形的角平分线是指三角形一个内角的平分线与对边交点连接的线段． 3．（2016春?蓝田县期中）如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC=6，DE=2，则BD的长为（）
A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形中线的定义可得BE=EC=6，再根据BD=BE﹣DE即可求解．【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC=6， ∴BE=EC=6， ∵DE=2， ∴BD=BE﹣DE=6﹣2=4． 故选D． 【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，准确识图并熟记中线的定义是解题的关键． 4．（2017?泰州）三角形的重心是（） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平行线的交点 【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答． 【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形重心的定义．掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键． 5．（2017?诸暨市模拟）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫做△ABC的（）
2 1O E D A B C 第十一讲 角平分线定理 【学习目标】 1、掌握角平分线的定理和逆定理。 2、能应用角平分线定理和逆定理进行作图和证明。 3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。 【知识要点】 1、 角平分线性质定理的证明及应用。 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理解释：“点到这个角边的距离”实际上就是“点到这角两边所作垂线段的长度”，定理即表明这两条垂线段相等。 2、 角平分线的性质定理的逆定理的证明以及应用。 逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 3、 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 4、用尺规作角的平分线： 【典型例题】 例1、 如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且∠1 =∠2。 求证：OB = OC 。 例2、已知，如图，CE ⊥AB ,BD ⊥AC ,∠B =∠C ，BF =CF 。求证：AF 为∠BAC 的平分线。
例3、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A ）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置. 例4、如右图，E 、D 分别是AB 、AC 上的一点，∠EBC 、∠BCD 的角平分线交于点M ，∠BE D 、∠EDC 的角平分线交于N . 求证：A 、M 、N 在一条直线上. 证明：过点N 作NF ⊥AB ，NH ⊥ED ，NK ⊥AC ，过点M 作MJ ⊥BC ，MP ⊥AB ，MQ ⊥AC ∵EN 平分∠BED ，DN 平分∠EDC ∴NF __________NH ，NH __________NK ∴NF __________NK ∴N 在∠A 的平分线上 又∵BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB ∴__________=__________，__________=__________ ∴__________=__________ ∴M 在∠A 的__________上 ∴M 、N 都在∠A 的__________上 ∴A 、M 、N 在一条直线上 例5、如图1，OC 平分∠A O B ，P 是OC 上一点，D 是OA 上一点，E 是OB 上一点，且PD =PE ，求证：∠+∠=?P D O P E O 180。
2008年全国第六届初中数学优质课比赛教案 课题：§7.1.2三角形的高、中线与角平分线 教材：人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学下册第65～66页 授课教师：临川一中陈良琴 [教材分析] 1、本节教材的地位与作用： 学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形，为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔．本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线． 通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别．另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础．故学好本节内容是十分必要的． 2、教学重点： 能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．3、教学难点： 在钝角三角形中作高． 4、教学关键： 运用好数形结合的思想，特别是研究三角形的角平分线、中线、高时，从折叠、度量入手，获得三种线段的直观形象，以便准确理解上述基本知识。 [教学目标] 基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标： （1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点． （2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心． [学情分析] 七年级的孩子思维活跃，模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望.同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结.但是受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养． [教学过程] 本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．
.. 三角形中线与角平分线专题（二） 1、三角形外角平分线的四个经典结论： 结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系 已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系． 已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四：结论三延伸 如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C
.. 应用举例： 例1：在四边形ABCD 中，?=∠120D ，?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交 与点E ，试求BEC ∠的度数. 例2：在ABC ?中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?，试判断DEF ?的形 状. 例3：如图3，在ABC ?中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点， BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若?=∠96A ，则=∠5A ， =∠n A . 图三 图四 例4：点M 是ABC ?两个角的平分线的交点，点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB 例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于 点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．
1.如图，2是/ DE = DG* △ ADG*U A AED 的而枳分别为 35,见I △ EDF 的而积为( ) 2 - A ?25 B ? 5.5 C ? 7.5 2?如图f 是ZAOB 平分线OC 上一点f D 丄OB,垂足为D, 若PD=2M 点P 到边OA 的距离是 3?如图,AABC 的三边AB,BC,CA 长分别是20,30,40,M 三条角平分线将Z\ABC 分为 三个三角形，则 S. .ABO : S A BCO : S/.CAO ，： .r \ ' _______________ ? 4. （2016?怀化）如图,OP 为Z AOB 的角平分线，PC 丄OA, PD 丄OB,垂足分别是C, D,则下 列结论错误的是（） 4 PC=PD B ? ZCPD=Z DOP C ? ZCPO = Z DPO D ? OC = OD 5. （2016?淮安）如图，在PtAABC 中，ZC=90°,以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分 别交AC, AB 于点M, N,再分别以点M, N 为圆心，大于扌MN 的长为半径画弧，两弧交于 点P ，作射线AP 交边BC 于点D,若CD=4, AB = 15,则厶ABD 的面积是（ 6. 如图，AABC 中，ZC=90°, AD 平分Z BAC 交BC 于点D ?已知BD ： CD = 3 ： 2，点D 到 AB 的距禽是6,则BC 的长是 _________ 7. 如图所示，已知AABC 的周长是20, OB, OC 分别平分Z ABC 和Z ACB, OD 丄BC 于点D, 且OD = 3,贝U ABC 的面积是. _______ 之定理专题（基础题） B.2 C. 4 1 5 B. 30 C ? 45 D ? 60 () 為DF 丄AB ，垂足为& A D. B D B O A D H
1．如图1所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm． 图1图2 2．如图2所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（） A ．mn 3 1 B． mn 2 1 C．mn D．2mn 3．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶ DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。 4．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。 5．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2， 则两平行线间AB、CD的距离等于。 6.AD是△BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是( ) A、DE=DF B、AE=AF C、BD=CD D、∠ADE=∠ADF 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点 8.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= 。 9.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。 3题图 D C B A z .. ..
z .. .. D C B A 10.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定 11.如图，AB //CD ,CE 平分∠ACD ，若∠1=250 ，那么∠2的度数是 . 12．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP 13．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD?相等吗？说明理由． 14、如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90° 求证：AB ＝AC ＋CD ． 15、如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180° 16、如图，∠ACB=90°,AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE. 求证：△ACD ≌△CBE. O B A P A B C D E D C A B E
中考数学人教版专题复习：角平分线定理 考点考纲要求分值考向预测 角平分 定理 1. 理解并掌握角平线定义、角 平分线定理及逆定理； 2. 应用定理解决问题。 3～5 分 本类问题主要考查填空、选 择题，内容以角平分线定理 为主，难度不大，各省市题 量也不多，但要注意在综合 性问题中应用这一知识点。 1. 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 2. 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。 【重要提示】 ①三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 1
②三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等(即内心)。 3. 角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（利用全等三角形进行证明ASA） 4. 角平分线定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 【方法指导】 1. 三角形的三条内角平分线交于一点，并且到三条边的距离相等。有时候做三角形面积问题时经常使用。 2. 当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。 3. 有角平分线考虑向角两边作垂线。 4. 三角形中有时候从内角平分线作垂线，有时候作外角平分线，注意区分。 【随堂练习】 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线。若CD=3，则△ABD的面积为。 2
答案：解：作DE⊥AB于E。∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3。∴△ABD的面积为1 ×3×10=15。故答案是15。 2 思路分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高AB于E。根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解。 即可，需作DE⊥ 典例精析 例题1 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（） D. 5 A. 3 B. 4 C. 6 思路分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可。 3
全等三角形与角平分线 一、知识概述 1、角的平分线的作法 （1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE. （2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C. （3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图） 指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”. （2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接. 2、角平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长. （2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形. （3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”. 3、角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的. （2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么
过角的顶点和该点的射线必平分这个角. 4、三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等. 指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上. （2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析 例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF. 例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC. 例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）
三角形中线与角平分线专题（二） 1、三角形外角平分线的四个经典结论： 结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系 已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系． 已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四：结论三延伸 如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C
应用举例： 例1：在四边形ABCD 中，?=∠120D ，?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交与点E ，试求BEC ∠的度数. 例2：在ABC ?中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?，试判断DEF ?的形状. 例3：如图3，在ABC ?中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若?=∠96A ，则=∠5A ，=∠n A . 图三 图四 例4：点M 是ABC ?两个角的平分线的交点，点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB 例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．
三角形内角平分线的性质定理的证明 一、定理 三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例. 二、证明 已知：如图，2∠1∠=. 求证： BC AC BD AD =. 方法一：利用平行线作等比代换. 证明：作DE//BC ，DE 交AC 于点E ，则EC AE BD AD =.3∠2∠=，BC AC DE AE = 又2∠1∠=，∴3∠1∠=，于是DE=EC. ∴BC AC DE AE BD AD == 方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换. 如图，作BE//DC ，BE 交AC 的延长线于点E ，则CE AC BD AD =，E ∠1∠=，3∠2∠=.
又2∠1∠=，得E ∠3∠=，于是 BC=CE ， 则BC AC BD AD =. 方法三：进行逆推分析，若在AC 的延长线上作一个CE=BC ，则只要BE//DC. 延长AC 到点E ，使CE=BC ，连接BE ，则）（E ∠3∠21 3∠+=.又∠ACB 2 12∠=， ∠E ∠3∠+=ACB ，∴3∠2∠=，于是 BE//DC. 则CE AC BD AD ==BC AC . 证法4：如图20.改变△ADC 的一个内角的大小，把它改造为△AEC ，使之与△BDC 相似并作等量代换. 第一种情况：当BC AC ≠ 时，不妨设BC AC >，B CAB ∠∠<，以AC 为一边，在CAB ∠的同侧，作B CAE ∠∠=，AE 与CD 的延长线交于点E.又2∠1∠=，∴△ACE ∽△BCD. 则BC BD AC AE =，而E CA E B ∠∠-1∠-180∠-2∠-1804∠3∠=°=°==. ∴AE=AD ，于是 BC BD AC AD =，即BC AC BD AD =.
角平分线的性质定理教案 慧光中学：王晓艳 教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理； （2）能够运用性质定理证明两条线段相等； 教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点：角平分线定理的应用； 教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程： 一，新课引入： 1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作：（1）画一个角的平分线； （2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。 （3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2．定理的获得： A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明， 得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等； 应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。 3．定理的应用 二．例题讲解： 例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF （此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）
例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点 E、F， 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证：BC=EF （此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件） 三：课堂小结： ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习 1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。
解三角形题目的思考 文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 常规解法及题根： （15年新课标2理科）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D C = 22求BD 和AC 的长. （15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin B C ∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=o ,求B ∠. 重点结论：角平分线性质： （1）平分角 （2）到角两边距离相等 （3）线段成比率 中点性质与结论： （1）平分线段； （2）向量结论； （3）两个小三角形面积相等。 题目解法搜集： 解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解； 在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠g g ，则7 因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC = ，所以BD=37，DC=7； 在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222 2AB AD BD AB AD +-g 即2 22373323x x +-??=?，解得x= 933344。 若在△ADC 中，设AC=m ，则273=1216x x +-,解得x=333。
三角形内角平分线定理 三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边之比。即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则 BD/DC=AB/AC 应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例三角形内角平分线内平分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例. 三角形外角平分线的性质定理： 三角形外角平分线平分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例，均可以用相似△证明. 角平分线性质定理 角平分线的性质： 1.角平分线可以得到两个相等的角。 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 证明 ●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条
邻边成比例． 即在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC. 证明：如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF. S△ABD：S△ACD=BD：CD 又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC ×DF]=AB：AC 所以BD/CD=AB/AC. 1.角平分线可以得到两个相等的角。 角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。 如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD 等于角BAD。 2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。 如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：
CD=BD ∵∠DCA=∠DBA ∠CAD=∠BAD AD=AD ∴△ACD≌△ABD ∴CD=BD 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS 平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，求证：AB/BD=AC/CD： 作BE=BD交射线AS于E，如图1： ∵BE=BD， ∴∠BED=∠BDE， ∴∠AEB=∠ADC 又∵∠BAE=∠CAD,
初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点 我们在学习三角形的时候，学到好多“线”，比如：中线、角平分线、垂线、高线等等。它们都是三角形里面比较重要的东西，也是比较重要的知识点。 如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为多少？ 这道题题目比较简单，很容易得出答案是2。 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。 三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。（这是三角形的角平分线与角平分线的区别） 角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 三角形的高线
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形内外角平分线 定理
三角形内角与外交平分线定理 一、内角平分线定理 已知：如图所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC; 思路1：过C 作角平分线AD 的平行线。 证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 的延长线交于E 。 则： BA/AE=BD/DC; ∵ ∠BAD=∠AEC ；（两线平行，同位角相等） ∠CAD=∠ACE ；（两线平行，内错角相等） ∠BAD=∠CAD ；（已知） ∴ ∠AEC=∠ACE ；（等量代换） ∴ AE=AC ； ∴ BA/AC=BD/DC 。 结论1：该证法具有普遍的意义。 引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。 思路2：利用面积法来证明。 已知：如图8-4乙所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分 线。 ABC AD BAC AB BD AC CD ∠=在中，若为的平分线，则：
求证： BA/AC=BD/DC 证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F； ∵∠BAD=∠CAD；（已知） ∴ DE=DF； ∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴ BA/AC=BD/DC 结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。 二、外角平分线定理 已知：如图所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC 思路1：作角平分线AD的平行线。 证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC ∵∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等） ∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等） ∠DAF=∠DAC；（已知） ∴∠CEA=∠ECA；（等量代换） ∴ AE=AC； ∴ BA/AC=BD/DC 。
角平分线在三角形中的比例关系 关于角平分线，除了知道它把一个角平分为二，以及平分线上任意一点到其两边的距离相等外，它在三角形中还存在一些美丽的对称性质。 1，角平分线定理：如图P2，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：BD∶DC=AB∶AC 【解析】用面积法来证明：如图P2-1，作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F。则DE=DF，∴S△ABD∶S△ACD=AB∶BC；又S△ABD∶S△ACD=BD∶CD，故BD∶DC=AB∶AC。 2，如图JP2，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，则有AB∶AC=BD∶DC。 【解析】用面积法可证明此结论，方法同上，具体略。 利用上述结论，我们可以快速解决一些问题： 3，如图JP3，I是△ABC内角平分线的交点，AI交对应边于点D，求证：AI∶ID=（AB+AC）∶BC。
【解析】根据角平分线定理，AI∶ID=AB∶BD=AC∶CD，∴AI∶ID=（AB+AC）∶（BD+CD）=（AB+AC）∶BC。 4，如图JP4，已知：PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB=4，PD=3。求AD·DC的值。 【解析】如图JP4-1，过点P作∠APB的角平分线，交AC于点E。 根据角平分线定理，AP∶PD=AE∶ED=4∶3， ∴ED=3AD/7；又∠APB=2∠ACB， ∴∠EPD=∠BCD，∠ PDE=∠CDB，故△PDE∽△CDB， ∴PD∶DC=ED∶BD，即ED·DC=PD·BD=3， ∴（3AD/7）·DC=3，故AD·DC=7。 5，如图XZ5，已知：AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线， 【解析】根据角平分线定理，AC∶AB=DC∶BD = EC∶BE， ∴（CD+BD）∶BD=（EC+BE）∶BE，