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江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编20：函数的最值与导
数
一、填空题
1 ．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）若不等式3
ln 1mx x -≥对(]
0,1
x ?∈恒成立,则实数m 的取值范围是_______.
【答案】2
[,)3
e +∞
2 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知函数
()133+-=x x x f ,()m x g x -=)2
1
(,若对1[1,3]x ?∈-,2[0,2]x ?∈,12()()f x g x ≥,则实数m
的取值范围是______.
【答案】4
5≥
m 3 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）函数x x x f ln )(=在区间
)0](1,1[>+t t 上的最小值为_________.
【答案】0 二、解答题
4 ．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）(本题满分16分,第1小题 ,第2小题4
分,第3小题8分)
已知函数()()3
2
3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()
1,1f 处的切线方程为20y +=.
⑴求函数()f x 的解析式;
⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值;
⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.
【答案】(本题满分16分,第1小题 ,第2小题4分,第3小题8分)
解:⑴()2
323f x ax bx '=+-
根据题意,得()()12,10,
f f =-???
'=??即32,
3230,a b a b +-=-??+-=?解得10a b =??=? 所以()3
3f x x x =-
⑵令()0f x '=,即2
330x -=.得1x =±.
x
2-
()
2,1--
1-
()
1,1-
1
()
1,2
2
()
f x '
+
-
+
()
f x
2-
增
极大值
减
极小
值
增
2
因为()12f -=,()12f =-,
所以当[]2,2x ∈-时,()max 2f x =,()min 2f x =- 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ,都有
()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=,所以4c ≥.
所以c 的最小值为4
⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上,所以可设切点为()00,x y . 则3
0003y x x =-.
因为()2
0033f x x '=-,所以切线的斜率为2
033x -
则20
33x -=300032
x x m
x ---,
即32
002660x x m -++=.
因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线, 所以方程3
2
002660x x m -++=有三个不同的实数解. 所以函数()3
2
266g x x x m =-++有三个不同的零点.
则()2
612g x x x '=-.令()0g x '=,则0x =或2x =.
x
(),0-∞
0 ()0,2
2 ()2,+∞
()g x '
+
-
+
()
g x增极大值减极小值增
则
()
()
00
20
g
g
>
??
?
<
??
,即
60
20
m
m
+>
?
?
-+<
?
,解得62
m
-<<
5 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面
(如
图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1﹣ax2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M.N,交曲线于点P,设P(t,f(t)).
(1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);
(2)若在t=处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.
【答案】解:(1)∵曲线f(x)=1﹣ax2(a>0)
可得f′(x)=﹣2ax,P(t,f(t)).
直线MN的斜率为:k=f′(t)=﹣2at,可得
L MN :y﹣f(t)=k(x﹣t)=﹣2at(x﹣t),
令y=0,可得x M =t+,可得M(t+,0);
令x=0,可得y M=1+at 2,可得N(0,1+at2),
∴S(t)=S△OMN=×(1+at2)×=;
(2)t=时,S(t)取得最小值,
S′(t)==, ∴S′()=0,可得12a2×﹣4a=0,可得a=,
此时可得S(t)的最小值为S()===;
6．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知函数
()3x
f x e a =+( 2.71828e =是自然对数的底数)的最小值为3.
⑴ 求实数a 的值;
⑵ 已知b R ∈且0x <,试解关于x 的不等式()2
2
ln ln 3(21)3f x x b x b -<+--;
⑶ 已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞,使得对任意的[1,]x m ∈,都有()3f x t ex +≤,试求m 的最大值.
【答案】解:(1)因为R x ∈,所以0x ≥,故0
()3e 3e 3x
f x a a a =+≥+=+,
因为函数()f x 的最小值为3,所以0a = (2)由(1)得,()3e x
f x =.
当0x <时,ln ()ln(3e )ln 3ln e ln 3ln 3x
x
f x x x ==+=+=-+, 故不等式2
2
ln ()ln 3(21)3f x x b x b
-<+--可化为:2
2
(21)3x x b x b
-<+--,即
22230x bx b +->,
得(3)()0x b x b +->,
所以,当0b ≥时,不等式的解为3x b <-;当0b <时,不等式的解为x b < (3)∵当[1,)t ∈-+∞且[1,]x m ∈时,0x t +≥, ∴()3e 1ln x t
f x t x e
ex t x x ++≤?≤?≤+-.
∴原命题等价转化为:存在实数[1,)t ∈-+∞,使得不等式1ln t x x ≤+-对任意[1,]x m ∈恒成立 令()1ln (0)h x x x x =+->.∵011
)('
≤-=
x
x h ,∴函数()h x 在(0,)+∞为减函数. 又∵[1,]x m ∈,∴m m m h x h -+==ln 1)()(m in ∴要使得对[1,]x m ∈,t 值恒存在,只须1ln 1m m +-≥- ∵131(3)ln 32ln()ln
1h e e e =-=?>=-,2141
(4)ln 43ln()ln 1h e e e
=-=?<=- 且函数()h x 在(0,)+∞为减函数, ∴满足条件的最大整数m 的值为3
7 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）如图,某自来水公司要在
公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线排1l ,在路南侧沿直线排2l ,现要在矩形区域
ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通.已知AB = 60m ,BC = 603m ,公路两侧排管费用为每米1万元,穿
过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元,设EF 与AB 所成角为α.矩形区域内的排管费用为W .
(1)求W 关于α的函数关系式; (2)求W 的最小值及相应的角α.
l 2
l 1
公路
公路
【答案】解:(1)如图,过E 作EM BC ⊥,垂足为M ,由题意得)3
0(π
αα≤
≤=∠MEF ,
故有60tan MF α=,60
cos EF α
=, αtan 60360-=+FC AE , 所以W=α
αααcos 2
sin 60
3602cos 601)tan 60360(--=?+?-? (2)设sin 2()cos f ααα-=,)3
0(π
α≤≤
则22
cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f ααααα
ααα
----'==. 令()0f α'=得12sin 0α-=,即1sin 2α=,得6
π
α=.
列表
α
(0,)6
π
6
π )3
6(π
π， ()f α'
+
0 -
()f α
单调递增 极大值
单调递减
所以当6
α=
时有max ()3f α=,此时有.3120min =W
答:排管的最小费用为3120万元,相应的角6
π
α=
.
8 ．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）(本题满分16分)
已知函数)()(2
3R a ax x x f ∈-=. (Ⅰ)若3)1('=f ,
(i)求曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程,
(ii)求)(x f 在区间]2,0[上的最大值;
(Ⅱ)若当]2,0[∈x 时,0)(≥+x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(i)f '(x) = 3x 2
–2ax,f '(1) = 3–2a = 3,∴a = 0,∴y=x 3
f(1)=1,f ' (x) = 3x 2
,f ' (1) = 3,∴切点(1,1),斜率为3,y = 3x –2
(ii)f(x) = x 3,f ' (x) = 3x 2
≥0,∴f(x)在[0,2],∴f(x)最大值=f(2)=8
(Ⅱ)x 3–ax 2+x≥0对x∈[0,2]恒成立,∴ax 2≤x 3
+x 当x = 0时成立 当x∈(0,2]时a≤x+x 1,∵x+x
1
≥2,在x=1处取最小值 ∴a≤2
9 ．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）已知1ln ()x
f x x
+=
. (Ⅰ)若函数()f x 在区间(,1)a a +上有极值,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若关于x 的方程2
()2f x x x k =-+有实数解,求实数k 的取值范围; (Ⅲ)当*n N ∈,2n ≥时,求证:111
()2231
nf n n <+
++???+
-.
2013~2014学年度第一学期期中考
【答案】解:(Ⅰ)1ln ()x
f x x
+= ,∴22
1
(1ln )
ln ()x x x x f x x x ?-+'∴==- ∴当(0,1)x ∈时,()0f x '>;当(1,)x ∈+∞时,()0f x '<; ∴函数()f x 在区间(0,1)上为增函数;在区间(1,)+∞为减函数
∴当1x =时,函数()f x 取得极大值,而函数()f x 在区间(,1)a a +有极值.
∴1
11
a a
+>?,解得01a <<
(Ⅱ)由(Ⅰ)得()f x 的极大值为(1)1f =,令2
()2g x x x k =-+,所以当1x =时,函数
()g x 取得最小值(1)1g k =-,又因为方程2()2f x x x k =-+有实数解,那么11k -≤,
即2k ≤,所以实数k 的取值范围是:2k ≤ (Ⅲ) 函数()f x 在区间(1,)+∞为减函数,而1
11(*,2)n N n n
+
>∈≥, ∴1
(1)(1)1f f n ∴+<=∴
111ln(1)1n n ∴++<+,即1
ln(1)ln n n n
+-< ln ln 2ln1ln 3ln 2ln ln(1)n n n ∴=-+-+???+--111
1231
n <+
++???+
- 即111
1ln 2231n n +<+
++???+
-,而()1ln n f n n ?=+, ∴111
()2231
nf n n ∴<+++???+
-结论成立 10．（江苏省泗阳中学2014届高三第一次检测数学试题）设函数f (x )=ax 3
+bx +c (a ≠0)为奇函数,其图
象在点(1,f (1))处的切线与直线x -6y -7=0垂直,导函数f ′(x )的最小值为-12.
(1)求a ,b ,c 的值;(2)求函数f (x )的单调区间,并求函数f (x )在[-1,3]上的最大值和最小值.
【答案】解: (1)∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x )即-ax 3-bx +c =-ax 3
-bx -c ,∴c =0, ∵f ′(x )=3ax 2+b 的最小值为-12,∴b =-12,又直线x -6y -7=0的斜率为1
6,
因此,f ′(1)=3a +b =-6,∴a =2,b =-12,c =0.
(2)单调递增区间是(-∞,-2)和(2,+∞) ,单调递减区间是(-2 ,2). f (x )在[-1,3]上的最大值是18,最小值是-82.
11．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）已知函数
()()1l n 10a f x x a x a x
-=-+->. (1)设01a <<,试讨论()f x 单调性;
(2)设()224g x x bx =-+,当14
a =时,若()10,2x ?∈,存在[]21,2x ∈,使()()12f x g x ≥,求实数
b 的取值范围.
【答案】
12．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三第二次调研数学试题）已知函数
2()ln ,a
f x x a x
=+
∈R . (1)若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3,求实数a 的值.
【答案】(1)∵2()ln a f x x x =+,∴212()a
f x x x '=-.
∵()f x 在[2,)+∞上是增函数,
∴212()a f x x x
'=
-≥0在[2,)+∞上恒成立,即a ≤2x
在[2,)+∞上恒成立.
令()2x
g x =,则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞.
∵()2
x
g x =在[2,)+∞上是增函数,∴[]min ()(2)1g x g ==.∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为
(,1]-∞.
(2)由(1)得2
2()x a
f x x
-'=
,[1,]x e ∈. ①若21a <,则20x a ->,即()0f x '>在[1,]e 上恒成立,此时()f x 在[1,]e 上是增函数. 所以()min (1)23f x f a ===????,解得3
2
a =
(舍去).
②若12a e ≤≤,令()0f x '=,得2x a =.当12x a <<时,()0f x '<,所以()f x 在(1,2)a 上是减函数,当2a x e <<时,()0f x '>,所以()f x 在(2,)a e 上是增函数. 所以()()min
2ln(2)13f x f a a ==+=????,解得2
2
e a =(舍去).
③若2a e >,则20x a -<,即()0f x '<在[1,]e 上恒成立,此时()f x 在[1,]e 上是减函数. 所以()()min 213a
f x f e e
==+
=????,所以a e =. 13．（江苏省启东市2014届高三上学期第一次检测数学试题）已知函数
d cx bx x x f +++=
23
3
1)(,设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ,)(x f y '=为)(x f 的导函数,满足
)()2(x f x f '=-'.
(1)求)(x f ; (2)设)()(x f x
x g '=,m >0,求函数)(x g 在[0,m ]上的最大值;
(3)设)(ln )(x f x h '=,若对于一切]1,0[∈x ,不等式）22()1(+<-+x h t x h 恒成立,求实数t 的取值范围.
【答案】(1)c bx x x f ++='2)(2
,
∵)()2(x f x f '=-',∴函数)(x f 的图象关于直线x =1对称b =-1, ∵曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ,∴切点为(3,0),
∴??
?='=4
)3(0)3(f f ,解得c =1,d =-3,则331)(2
3-+-=x x x x f
O
y
x
1 x =2
1
2
2
1+
(2)∵2
2)1(12)(-=+-='x bx x x f ,
∴???<-≥-=-=1
1|1|)(2
2x x
x x x
x x x x g
当0 2 1时,2)(max )(m m m g x g -== 当 21 当m > 2 21+时,m m m g x g -==2 )(max )(, 综上??? ? ?? ???+>-+≤<≤<-=) 221() 22121(41 )210(max )(22 m m m m m m m x g (3)|1|ln 2)(-=x x h ,||ln 2)1(t x t x h -=-+,|12|ln 2)22(+=+x x h 当]1,0[∈x 时,|2x +1|=2x +1,所以不等式等价于12||0+<- 由]1,0[∈x ,得]1,2[1--∈--x ,]4,1[13∈+x ,所以11<<-t , 又x ≠t ,∵ ]1,0[?t ,∴所求的实数t 的的取值范围是01<<-t 14．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）设函数f (x )=ax 3 -(a +b )x 2 +bx +c ,其中 a >0, b , c ∈R. (1)若1 ()3 f '=0,求函数f (x )的单调增区间; (2)求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''.(注:max{a ,b }表示a ,b 中的最大值) 【答案】解:(1)由1 ()3 f '=0,得a =b 故f (x )= ax 3-2ax 2 +ax +c . 由()f x '=a (3x 2 -4x +1)=0,得x 1=13 ,x 2=1 x (-∞,13) 13 (13 ,1) 1 (1,+∞) ()f x ' + 0 - 0 + f (x ) 增 极大值 减 极小值 增 由表可得,函数f (x )的单调增区间是(-∞,1 3 )及(1,+∞) (2)()f x '=3ax 2 -2(a +b )x +b =3222()33a b a b ab a x a a ++--- . ①当1,033a b a b a a ++≥或≤时,则()f x '在[0,1]上是单调函数, 所以(1)f '≤()f x '≤(0)f ',或(0)f '≤()f x '≤(1)f ',且(0)f '+(1)f '=a >0. 所以|()f x '|≤max{(0),(1)}f f '' ②当013a b a +＜＜,即-a ≤()f x '≤max{(0),(1)}f f ''. (i) 当-a 2a 时,则0 a . 所以 (1)f '223a b ab a +--=22223a b ab a --=223()3a a b a -+≥21 4 a >0. 所以 |()f x '|≤max{(0),(1)}f f '' (ii) 当 2a 2 ab <0. 所以2 2 3a b ab b a +--=2 2 43ab a b a -->22 5 23ab a b a -->0,即(0)f '>223a b ab a +-. 所以 |()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''. 综上所述:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤max{(0),(1)}f f '' 15．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）已知图形OAPBCD 是由不等式组 2 00ln x e y e y x ?≤≤?≤≤??≥? ,围成的图形,其中曲线段APB 的方程为2 ln (1)y x x e =≤≤,P 为曲线上的任一点. (1)证明:直线OC 与曲线段相切; (2)若过P 点作曲线的切线交图形的边界于,M N ,求图形被切线所截得的左上部分的面积的最小值 . 【答案】 16．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）〔本小题满分16分) 已知函数2 ()(f x ax lnx a =-为常数). (1)当1 2 a = 时,求f(x)的单调递减区间; (2)若a<0,且对任意的.x ∈[1,e].,f(x)≥(a -2)x 恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】 17．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一 点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率()k f x =. (1)若函数()f x 在区间1,3m m ? ? + ??? ()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (2)当 1x ≥时,不等式()1 t f x x ≥ +恒成立,求实数t 的取值范围; (3)求证: ()* 1 ln[(1)]2n i i i n n N =?+>-∈∑. 【答案】解:(1)由题意 ()1ln x k f x x +==,0x >,所以()2 1ln ln x x f x x x '+??'==- ??? 当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0 f x '<. 所以 () f x 在 ()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,故()f x 在1x =处取得极大值. 因为函数()f x 在区间 1,3m m ? ?+ ???(其中0m >)上存在极值, 所以01 113m m < ?+>??,得213m <<.即实数m 的取值范围是213?? ?? ?， (2)由 ()1t f x x ≥ +得()()11ln x x t x ++≤,令() ()()11ln x x g x x ++=, 则 ()2ln x x g x x -'= 令 ()ln h x x x =-,则 ()111=x h x x x -'=- , 因为1,x ≥所以()0 h x '≥,故 () h x 在 [)1+∞， 上单调递增 所以 ()()110 h x h ≥=>,从而 ()0g x '>, () g x 在 [)1+∞， 上单调递增, ()()12g x g ≥= 所以实数t 的取值范围是 (],2-∞ (3)由(2) 知 ()2 1f x x ≥ +恒成立, 即 1ln 2122 ln 11111x x x x x x x x +-≥?≥=->-+++ 令 ()1, x n n =+则 ()() 2 ln[1]11n n n n +>- +, 所以()2ln 12112?>-?, ()2ln 23123?>-?,,()()2ln 111n n n n +>-+. 将以上n 个式子相加得: ()1111ln[(i 1)]212231n i i n n n =?? +>-++???+????+??∑ 1212 1n n n ? ?=-->- ?+??, 故 () * 1 ln[(i 1)]2n i i n n N =+>-∈∑ 18．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三第二次调研数学试题）已知 )0()(>-=a x a x x f ,bx x x g +=ln 2)(,且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切. (1)若对),1[+∞内的一切实数x ,不等式)()(x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (2)当1=a 时,求最大的正整数k ,使得对]3,[e ( 2.71828e =???是自然对数的底数)内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立; (3)求证: )12ln(1 4412 +>-∑=n i i n i )(*N n ∈. 【答案】解:(1)设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点,则有 22ln 2000-=+x bx x . (*) b x x g += '2 )( ,220=+∴b x . (**) 由(*)、(**)两式,解得0=b ,x x g ln 2)(=. 由)()(x g x f ≥整理,得 x x x a ln 2-≤, 1≥x ,∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立,必须x x x a ln 22-≤恒成立. 设x x x x h ln 2)(2 -=,2ln 22)1(ln 22)(--=?+-='x x x x x x x h , x x h 2 2)(- ='' ,∴当1≥x 时,0)(≥''x h ,则)(x h '是增函数, 0)1()(='≥'∴h x h ,)(x h 是增函数,1)1()(=≥h x h ,1≤a . 因此,实数a 的取值范围是10≤ x x f 1)(- =, 011)(2 >+ ='x x f ,)(x f ∴在]3,[e 上是增函数,)(x f 在]3,[e 上的最大值为38 )3(=f . 要对]3,[e 内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值, 当3121====-k x x x 时不等式左边取得最大值,e x k =时不等式右边取得最小值. 2163 8 )1(?≤? -∴k ,解得13≤k .因此,k 的最大值为13. (3)证明:当1=a 时,根据(1)的推导有,),1(+∞∈x 时,)()(x g x f >, 即)1(21ln x x x -< . 令1212-+=k k x ,得)1 21 21212(211212ln +---+<-+k k k k k k , 化简得1 44)12ln()12ln(2 -<--+k k k k , ∑ ∑==-<--+=+n i n i i i i i n 1 2 1 1 44)]12ln()12[ln()12ln(. 19．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）已知某公司生产品牌服装 的年固定成本是10万元,每生产千件,须另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x 千 件并全部销售完,每千件的销售收入为R (x )万元,且2 210.8(010)30()1081000(10)3x x R x x x x ?-<≤??=??->?? (1)写出年利润W(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服 装的生产中所获利润最大? (注:年利润=年销售收入-年总成本) 【答案】解:(1)当1030 1.8)7.210()(,1003 --=+-=≤ x x xR W x 7.231000 98)7.210()(,10-- =+-=>时 ??? ????>--≤<--=∴)10(7.23100098)100(10301.83x x x x x x W (2)①当9,0101.8,1002 ==-='≤ ,)9,0(, 0,)10,9(>'∈<'∈W x W x 时当时又当 当6.3810930 1 91.8,93m ax =-?-?==W x 时 ②当x >10时 387.231000 298)7.231000(987.23100098=?-≤+-=-- =x x x x x x W 当且仅当 38,9 100 ,7.231000===W x x x 时即时 由①②知,当x =9千件时,W 取最大值38.6万元 20．（江苏省泗阳中学 2014 届高三第一次检测数学试题）已知函数 2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+. (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值; (2)当2 4a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值. 【答案】解: (1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =, 3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+① 又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:3 3a b =??=?. (2) 24a b =,∴设3221 ()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++ 则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12 a x =-,26a x =-; 0a >,∴26 a a -<-, ∴原函数在2a ? ? -∞- ?? ? ，单调递增,在26a a ?? -- ?? ? ，单调递减,在6 a ??-+∞ ?? ? ，上单调递增 ①若12a --≤,即2a ≤时,最大值为4 )1(2 a a h -=-; ②若126a a -<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ?? -= ??? ③若16a -- ≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ?? -= ??? . 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ?? -= ??? . 21．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）已知函数f (x )=1 2 x 2 -m ln x . (1)若函数f (x )在(1 2 ,+∞)上是递增的,求实数m 的取值范围; (2)当m =2时,求函数f (x )在[1,e ]上的最大值和最小值. 【答案】若函数f (x )在(1 2,+∞)上是增函数, 则f ′(x )≥0在(1 2 ,+∞)上恒成立 而f ′(x )=x -m x ,即m ≤x 2在(12,+∞)上恒成立,即m ≤1 4 (2)当m =2时,f ′(x )=x -2x =x 2 －2 x , 令f ′(x )=0得x =±2, 当x ∈[1,2)时,f ′(x )<0,当x ∈(2,e )时,f ′(x )>0,故x =2是函数f (x )在[1,e ]上唯一的极 小值点,故f (x )min =f (2)=1-ln2,又f (1)=12,f (e )=12e 2-2=e 2 －42>12,故f (x )max =e 2－4 2 22．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）已知函数2 ln )(x x a x f += (a 为实常数) . (1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数. (3)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()2 1211 1x x x f x f -≤ -,求实数a 的取值范围. 【答案】解:(1))0(4 2)(2>-= 'x x x x f ,当)2,1[∈x 时,0)(<'x f .当( ] e x ,2∈时,0)(>'x f ,又014)1()(2 >-+-=-e f e f ,故4)()(2 m ax -==e e f x f ,当e x =时,取等号 (2)易知1≠x ,故[]e x ,1∈,方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时, 方程x x a ln 2= -根的个数. 设()x g =x x ln 2 , x x x x x x x x x g 222 ln )1ln 2(ln 1 ln 2)(-=-= ' 当() e x ,1∈时,0)(<'x g ,函数)(x g 递减,当]e e x ,(∈时,0)(>'x g ,函数)(x g 递增.又 2)(e e g =,e e g 2)(=,作出)(x g y =与直线a y -=的图像,由图像知: 当2 2e a e ≤-<时,即e a e 22 -<≤-时,方程()0=x f 有2个相异的根; 当2 e a -< 或e a 2-=时,方程()0=x f 有1个根; 当e a 2->时,方程()0=x f 有0个根; (3)当0>a 时,)(x f 在],1[e x ∈时是增函数,又函数x y 1 =是减函数,不妨设e x x ≤≤≤211,则()()212111x x x f x f -≤ -等价于2 11211)()(x x x f x f -≤- 即11221)(1)(x x f x x f +≤+ ,故原题等价于函数()x x f x h 1 )(+=在],1[e x ∈时是减函数, 012)(2≤-+= '∴x x x a x h 恒成立,即221 x x a -≤在],1[e x ∈时恒成立. 221x x y -= 在],1[e x ∈时是减函数 221 e e a -≤∴ (其他解法酌情给分) 23．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）(本小题满分16分,第1小题5分,第2小题5 分,第3小题6分) 设函数()12 2 3 +-+=x a ax x x f ,()122 +-=x ax x g ,其中实数0≠a . (1)若0>a ,求函数()x f 的单调区间; (2)当函数()x f y =与()x g y =的图象只有一个公共点且()x g 存在最小值时,记()x g 的最小值为()a h ,求()a h 的值域; (3)若()x f 与()x g 在区间()2,+a a 内均为增函数,求实数a 的取值范围. 【答案】解:(1)∵()()a x a x a ax x x f +?? ? ?? - =-+='33232 2 ,又0>a ∴当a x -<或3a x > 时,()0>'x f ;当3 a x a <<-时,()0<'x f ∴()x f 的递增区间为()a -∞-,和??? ??+∞,3a ,递减区间为??? ? ? -3,a a . (2)由题意知1212 2 2 3 +-=+-+x ax x a ax x 即( )[ ] 022 2 =--a x x 恰有一根(含重根)∴022 ≤-a ,即22≤≤-a , 又0≠a ,且()x g 存在最小值,所以20≤ 又()a a x a x g 1112 -+??? ??-=,∴()a a h 11-=,∴()a h 的值域为?? ? ??-∞-221,. (3)当0>a 时,()x f 在()a -∞-,和??? ??+∞,3a 内是增函数,()x g 在?? ? ??+∞,1a 内是增函数,由题意得??? ???? ≥≥a a a a 13 ,解得1≥a . 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2020年一模汇编——函数 一、填空题 【杨浦1】函数12 ()f x x - =的定义域为 【答案】(0,)x ∈+∞ 【解析】12 ()f x x -== (0,)x ∈+∞ 【长宁，嘉定，金山2】方程27x =的解为 【答案】2log 7x = 【解析】本题考察了对数的概念 【杨浦3】已知函数()f x 的反函数1 2()log f x x -=，则(1)f -= 【答案】 12 【解析】因为2 1log 12=-，所以1(1)2 f -= 【宝山3】函数)1(3 1 <=-x y x 的反函数是 . 【答案】1log 3+=x y ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，1 3 -=y x ?1log 3 +=x y ]1,0(∈x 【普陀5】设函数()log (4)(01)a f x x a a =+≠＞且，若其反函数的零点为2，则a =__________. 【答案】2 【解析】反函数-1 (2)0f =，有2 (0)log (04)=log 2=2a a f =+，易知2a = 【崇明5】函数 ()f x =的反函数是 ． 【答案】1 2()1(0)f x x x -=-≥ 【解析】令1+= x y ,2211y x x y ∴=+?=- 【徐汇5】 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是 【答案】 (][),22,-∞-+∞U 【解析】由题，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，则 ()f x 在 (],0-∞上单调递减，(2)()f f a -≤，则2a -≤，解得a 的取值范围是(][),22,-∞-+∞U 【闵行6】设函数22log (1)1 ()log 1 x f x x --= ，则方程()1f x =的解为 【答案】2x = 【解析】22222log (1)1 ()=log (1)log log (1)1log 1 x f x x x x x x --= -+=-=Q ()()12 100x x x x -=?? ∴-??? ＞＞2x ∴= 【奉贤8】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为()1 f x -= __________. 【答案】()2log 1x - 【解析】将点()3,9代入函数()1x f x a =+中得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得 ()2log 1x y =-，所以()1f x -=()2log 1x - 【虹口8】设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_________. 【答案】1 【解析】由于函数2()log (41)x f x =-的反函数为)12(log 4+=x y ，当1()2()f x f x -=， 即)12(log 2)14(log 42+=-x x ，计算出1=x 【松江8】已知函数()y f x =存在反函数()-1y f x =，若函数()+2y f x =的图像经过 点 ()16 ，，则函数()-12+log y f x x =的图像必过点__________. 【答案】 ()43， . 导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 2013年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案）一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 江苏高考数学_函数_十年汇编（2005-2017） 一．基础题组 1. 【2005江苏，理2】函数123()x y x R -=+∈的反函数的解+析表达式为（ ） （A ）22log 3y x =- （B ）23 log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22 log 3y x =- 2. 【2005 江苏，理 15】函数y =的定义域 为 . 3. 【2005江苏，理16】若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = . 4. 【2005 江苏，理 17】已知 a , b 为常数，若 22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= . 5. 【2007江苏，理6】设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x =1 对称，且当x ≥1时，f （x ）＝3x -1，则有（ ） A.f （31）＜f （23）＜f （32） B.f （32）＜f （23）＜f （31） C.f （32）＜f （31）＜f （23） D.f （23）＜f （32）＜f （3 1） 6. 【2007江苏，理8】设f （x ）=l g （a x +-12 ）是奇函数，则使f （x ）＜0 的x 的取值范围是（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（-∞，0） D.（-∞，0）∪（1，+∞） 7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d （cm ）表示成t （s ）的函数，则d = __________，其中t ∈0，60]. 8. 【2009江苏，理10】.已知1 2 a = ，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .9. 【2010江苏，理5】设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为__________． 10. 【2011江苏，理2】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 . 11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()x x f 2 = 的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 . 2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理）） 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x - 20XX 年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案） 一、选择题 1 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（20XX 年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 cos sin y x x x =+的图象大致为 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题03函数 1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1, x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立, 则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C 【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2 -2a 2 +2a ≥0.a 2 -2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x = x -a x >0 此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1. (2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)= x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知11. 若关于x 的方程f(x)=-1 4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实 数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9 4 B. 54,94 C. 54,9 4 ∪{1} D.54, 94 ∪{1} 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5 4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9 4. 故当54≤a≤9 4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0 2=-1 4,x 0=2. 此时切点为2,1 2,此时a=1.故选D. 2．函数及其性质（含解析） 一、选择题 【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ． [1,1]- C ． [0,4] D ． [1,3] 【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 【2016，7】函数x e x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【2016，8】若1>>b a ，10< 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D 上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 三角函数 一、填空题 1、（宝山区2015届高三上期末）函数3tan y x =的周期是 2、（虹口区2015届高三上期末）在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,A B b =?=?=，则c = 3、（黄浦区2015届高三上期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4 (,)5 A A x ，则sin 2α＝ ．(用数值表示) 4、（嘉定区2015届高三上期末）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A c C a cos 2cos 3=， 3 1 tan = A ，则= B _________ 5、（金山区2015届高三上期末）方程：sin x +cos x =1在[0，π]上的解是 ▲ 6、（静安区2015届高三上期末）已知△ABC 的顶点)6,2(A 、)1,7(B 、)3,1(--C ，则△ABC 的内角BAC ∠的大小是 .（结果用反三角函数值表示） 7、（静安区2015届高三上期末）已知αtan 、βtan 是方程04332=++x x 的两根，α、)2 ,2(π πβ- ∈，则 βα+= . 8、（浦东区2015届高三上期末）函数sin y x x =的最大值为 9、（普陀区2015届高三上期末）函数?? ? ??-π=x y 4tan 的单调递减区间是 10、（普陀区2015届高三上期末）在ABC ?中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=?ABC S 11、（青浦区2015届高三上期末）已知函数2cos y x =与2sin(2)(0)y x ??π=+≤<，它们的图像有一个横坐标为 3 π 的交点，则?的值是 12、（松江区2015届高三上期末）已知函数()sin()3 f x x π ω=+（R x ∈，0>ω）的最小正周期为π，将) (x f y =图像向左平移?个单位长度)2 0(π ?< <所得图像关于y 轴对称，则=? ▲ 13、（徐汇区2015届高三上期末）已知3 sin 5 θ=- ，则cos 2θ=__ __ 2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4历年高考数学试题分类汇编
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