高中数学组卷（导数）
一．解答题（共30小题）
1．（2013?重庆模拟）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
2．（2013?珠海一模）设函数f（x）=（x﹣1）2+blnx，其中b为常数．
（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立．
3．（2013?临沂一模）设f（x）=e x（ax2+x+1）．
（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[0，]时，|f（cosθ）﹣f（sinθ）|＜2．
4．（2013?泗阳县模拟）已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，
（i）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．
（ii）对于任意x1，x2∈（1，2]都有，求λ的取值范围．
5．（2013?天津模拟）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．
6．（2013?佛山一模）设g（x）=e x，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是常数，且0＜λ＜1．（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式成立；
（3）设，且λ1+λ2=1，证明：对任意正数a1，a2都有：．7．（2013?锦州二模）设函数，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；
（2）当a=﹣1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值．
8．（2013?通州区一模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）若对任意a∈[﹣4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．
9．（2013?自贡模拟）已知函数f（x）=alnx+．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当a＞0时，若对任意x＞0，均有ax（2﹣lnx）≤1，求实数a的取值范围；
（3）若a＜0，对任意x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，试比较f（）与的大小．
10．（2013?东莞一模）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若?x1∈（0，1），?x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m 的取值范围．
11．（2013?济宁一模）已知函数f（x）=lnx+；
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．
12．（2013?甘肃三模）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
13．（2013?眉山二模）函数f（x）=ae x，g（x）=lnx﹣lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求此平行线的距离；
（Ⅱ）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
14．（2013?肇庆一模）若f（x）=其中a∈R
（1）当a=﹣2时，求函数y（x）在区间[e，e2]上的最大值；
（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
15．（2013?南充二模）已知函数f（x）=
（Ⅰ）若k＞0且函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥2时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：n≥2，（2?3﹣2）（3?4﹣2）…[n（n+1）﹣2][（n+1）（n+2）﹣2]＞e2n﹣3．
16．（2013?醴陵市模拟）对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=
已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx（a∈R）．
（1）求函数h（x）的解析式；
（2）对于实数a，函数h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由．
17．（2013?乐山二模）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）e x，其定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）试判断m，n的大小并说明理由；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x n∈（﹣2，t），满足=，并确定这样的x o的个数．
18．（2013?哈尔滨一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=e x．
（I）若函数φ（x）=f（x）﹣，求函数φ（x）的单调区间；
（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x0，f （x0））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．
19．（2013?烟台一模）已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x2﹣tx﹣2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．
20．（2013?绵阳二模）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
21．（2013?济南二模）设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．
（3）求证：．
22．（2013?贵阳二模）已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=处取得极值，且在x=1处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求b，c的值及f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）设p＞0，q＞0，g（x）=f（x）+x2，求证：5g（）≤3g（p）+2g（q）．
23．（2013?文昌模拟）已知函数f（x）=的图象过坐标原点O，且在点（﹣1，f（﹣1））
处的切线的斜率是﹣5．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．
24．（2013?乐山二模）已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．
（Ⅰ）求λ的最大值；
（Ⅱ）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．
25．（2013?自贡一模）设函数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令，试证明：．
26．（2012?广东）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．
27．（2012?广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）
（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．
28．（2012?安徽）设函数f（x）=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n}．
（Ⅰ）求数列{x n}．
（Ⅱ）设{x n}的前n项和为S n，求sinS n．
29．（2012?山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，
f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．
30．（2012?黑龙江）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．
2014年12月06日973278980的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2013?重庆模拟）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
的解集是
的两根分别是
或
（舍）
2．（2013?珠海一模）设函数f（x）=（x﹣1）2+blnx，其中b为常数．
（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立．
变形为
得
在（
时，函数存在极值点，最后根据＜
，利用其单调性，取自变量
＞
，不等式
当
）得，当
②时，，
）时，
（
当
当
时，
）有惟一极小值点，
）当
时，）有一个极大值和一个极小值点综上所述：当且仅当
）有惟一最小值点；
）有一个极大值点和一个极小值点
）有惟一极小值点
1+≤＜
）
成立
）＞
1+）＜
时，恒有＞
3．（2013?临沂一模）设f（x）=e x（ax2+x+1）．
（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[0，]时，|f（cosθ）﹣f（sinθ）|＜2．
利用导数的运算法则可得，通过分类讨论
．）当时，
）当时，则，即
，解得时，解得
）在区间）上单调递增；在
时，则，即．
，解得，解得
）和（﹣，）上单调递增；在
．∴
4．（2013?泗阳县模拟）已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，
（i）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．
（ii）对于任意x1，x2∈（1，2]都有，求λ的取值范围．
，，
时，
，可转化为
上是增函数，函数
等价于
，
，令
时，，
时，令，解得
）在
，令，解得，
）在
，由于，令
）当
，又已知存在，所以
，使，即，即，，解得，即实数
上是增函数，函数
∴等价于
，解得）的关键是构造函数，进而根据函数
5．（2013?天津模拟）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．
）由题意可得
）由题意可得
＜）．
，其对称轴为
）若时，方程0可化为，．
．
）在
）在
，故必有，又，
使得
，
＜
6．（2013?佛山一模）设g（x）=e x，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是常数，且0＜λ＜1．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式成立；
（3）设，且λ1+λ2=1，证明：对任意正数a1，a2都有：．
）由于
=e，，则?=，
≤
）的结论得出≤
）∵
因此原不等式化为
，则．
=e，，
?=，
原不等式≤
成立，得证（
7．（2013?锦州二模）设函数，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；
（2）当a=﹣1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值．
时，
无其它根．
）时，，
）时，，
）有极小值，也是最小值，
得
8．（2013?通州区一模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）若对任意a∈[﹣4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．
，当时，的最小值为
当
又∵，∴．
的最小值为
9．（2013?自贡模拟）已知函数f（x）=alnx+．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当a＞0时，若对任意x＞0，均有ax（2﹣lnx）≤1，求实数a的取值范围；
（3）若a＜0，对任意x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，试比较f（）与的大小．
（化简整理后判定其符号．
得，解得
）的单调增区间是
，解得
）的单调减区间是
时，函数
（
，
，解得
的取值范围为
，∴＞aln＜
aln+，
（＜（．
10．（2013?东莞一模）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若?x1∈（0，1），?x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m 的取值范围．
，且
﹣，知﹣
﹣，，或当
）上，
，且
，
=
∴
∵
a．
﹣，
x=
）上，
∴
∴
11．（2013?济宁一模）已知函数f（x）=lnx+；
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．
．再分类讨论：
上的最小值为，可求
…
．
a=
（舍去）
（舍去）
．
﹣
=
12．（2013?甘肃三模）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
，求导函数，确定函数的单调性与最大值，
=，，
=
；
a=
＜，）上单调递减，在（，（
导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直 4．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 6．已知函数f(x)＝1 x ，则f′(－3)＝( ) A．4 B.1 9 C．－ 1 4 D．－ 1 9 7．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝ 1 4 t4－ 5 3 t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末 二、填空题 13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 b a ＝________. 15．函数y＝x e x的最小值为________． 16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝ x 1＋x ； (3)y＝lg x－e x. 18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 19．已知函数f(x)＝ 1 3 x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
导数的运算练习 一、常用的导数公式 （1）'C = (C 为常数)； （2）()'n x = ； （3）(sin )'x = ； （4）(cos )'x = ； （5）()'x a = ； （6）()'x e = ； （7）_____________； （8）_____________； 二、导数的运算法则 1、（1） ； （2） ； （3）______________________________________； （4） =___________________________________；(C 为常数) 2、复合函数的导数 设 ． 三、练习 1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 2、()0f x =的导数是（ ） A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．不确定 3、32y x 的导数是（ ） A ．23x B ．213x C ．12- D 33x
4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、若()f x =()1f '等于（ ） A ．0 B ．13- C ．3 D ．13 6、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y -+=或210x y --= C ．210x y --= D ．20x y -= 7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4 π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416?? ??? D ．11,24?? ??? 8、设()sin y f x =是可导函数，则x y '等于（ ） A ．()sin f x ' B ．()sin cos f x x '? C ．()sin sin f x x '? D ．()cos cos f x x '? 9、函数()2 2423y x x =-+的导数是（ ） A ．()2823x x -+ B ．()2 216x -+ C ．()()282361x x x -+- D ．()()242361x x x -+- 10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+ B ．72y x =+ C ．4y x =- D ．2y x =- 11、点P 在曲线323y x x =-+ 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．0,2π?????? B ．30,,24πππ????????????U C ．3,4ππ?????? D ．3,24ππ?? ???
导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论． （1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 已知函数f (x )＝x －1 x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )． (1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈? ?? ?? 0，12，求 h (x 1)－h (x 2)的最小 值． [审题程序] 第一步：在定义域内，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值范围； 第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值． [规范解答] (1)由题意得F (x )＝x －1 x －a ln x ， 其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1 x 2， 令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4. ①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0，∴F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a >2时，Δ>0，设F ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－4 2 ，
导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为
高考数学模拟卷基础题型训练（1）姓名： 导数概念公式 【笔记】 课堂练习 1、在曲线2 y x =上切线倾斜角为 4 π 的点是（ D ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(, )416 D ．11 (,)24 【笔记】 2、曲线2 21y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ A ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+ 【笔记】 3、函数在322y x x =-+在2x =处的切线的斜率为 10 【笔记】 4、函数1 y x x =+ 的导数是（ A ） A ．211x - B ．11x - C ．2 11x + D ．1 1x + 【笔记】 5、函数cos x y x = 的导数是（ C ） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ． 2 cos cos x x x x +- 【笔记】 6、函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ C ） A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2 cos cos x x + 【笔记】 课后作业（1） 姓名： 1、3 2 ()32f x ax x =++,若' (1)4f -=，则a 的值等于（ D ） A ．3 19 B ．3 16 C ．3 13 D ．3 10 2、函数sin 4y x =在点(,0)M π处的切线方程为（ D ） A ．y x π=- B ．0y = C ． 4y x π=- D ．44y x π=- 3、求下列函数的导数： （1）12 y x =； （2）41 y x = ； （3 ）y 【答案】（1）11 ' 12x y =， （2）5 4--=x y ；（3）52 5 3- =x y 4、若3' 0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________1±________ 5、函数sin x y x =的导数为___________2 ' sin cos x x x x y -=__________ 6、与曲线y ＝1 e x 2相切于P (e ，e)处的切线方程是(其中e 是自然对数的底) 高考数学模拟卷基础题型训练（2）姓名： 1、已知曲线3 :C y x =。求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程为 【笔记】 2、已知3 2 ()32f x ax x =++，若' (1)4f -=，则a 的值是（ ） A ． 193 B ．163 C ．133 D ．10 3 【笔记】
1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析 式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1 的图象有三个 不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3 若函数 ]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >；（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,2 3 [∈x 的最大值和最小值． 8．（本小题满分12分） 已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．． 单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238 |()()|||27 g x g x x x -> -恒成立．
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )
导数高考试题精选 一．选择题(共16小题） 1．(20１3?河东区二模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（） Ａ. 3 B．2 C. １Ｄ. ２．（2０12?汕头一模）设曲线ｙ＝aｘ２在点(1，a）处的切线与直线2x﹣ｙ﹣6=０平行,则a=（） A．１B．Ｃ. D．﹣1 ３．（201１?烟台一模)设曲线在点(３,2)处的切线与直线ax+y+1=０垂直,则a=() A. ２Ｂ．Ｃ．Ｄ．﹣２ ４．(２01０?泸州二模)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（) A. B. Ｃ．D． 5．（２01０?辽宁）已知点Ｐ在曲线y=上,α为曲线在点Ｐ处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() A. [０,） B．Ｃ. D. 6.(201０?江西模拟)曲线ｙ=x3﹣2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(） A. 30° B. 4５°C．60°D．1２０°７．(2009?辽宁)曲线ｙ＝在点(1,﹣１）处的切线方程为（) A. y=x﹣２ B. ｙ=﹣3x＋２Ｃ. y=２x﹣３ D. ｙ=﹣2ｘ＋１ 8.（2００9?江西）若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x３和都相切，则a等于（) A． ﹣1或B. ﹣１或 Ｃ． 或 D. 或7 ９．（２006?四川)曲线y=4ｘ﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是（) A．y=7ｘ+4 B. ｙ=7x+2 C．y=x﹣4 D．y＝x﹣2 10.（2012?海口模拟）已知f（ｘ)＝alｎｘ＋x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2，都有 ＞2恒成立，则a的取值范围是（） A. (0,1]B．（１,+∞） C. (0，１) D．[1,+∞)
导数基础练习题 一 选择题 1．函数()22)(x x f π=的导数是（ C ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ A ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（A ） （A ） 10<b （D ） 2 1，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．5 2 C ．2 D ．32 9．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●
导数大题专题训练 1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2， (Ⅰ)对一切x∈（0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立． 2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有 f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围. 3．设函数 f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数 f (x)在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数 f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围； （Ⅲ）求函数 f (x)的极值点. 4、已知函数. (Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的
取值范围. 5、已知函数 (Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间； (Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围； (Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围． 6、已知函数． (1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则， 在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值， 即，所以. (Ⅱ)当，，由得. ①当时，在上，在上
导数的基本题型归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
导数基础题型 题型一 导数与切线 利用两个等量关系解题： ①切点处的导数=切线斜率，即()k x f o ='； ②切点()o o y x ,代入曲线方程或者代入切线方程. 切点坐标（或切点横坐标）是关键 例1：曲线y ＝x x ＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 例2：已知函数的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′ (1)的值是（ ） B ．1 D ．2 例3 求曲线132+=x y 过点（1,1）的切线方程 练习题： 1.已知函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) D ．1 2.曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15 3.设曲线y ＝x ＋1x －1 在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 4.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 5.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. 求直线l 2的方程；
题型二 用导数求函数的单调区间 ①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④划分区间（注意：定义域参与区间的划分）；⑤判断导数在各个区间的正负. 例1：求函数c x x x y +-+=33 123的单调区间. 例2 求函数x a x a x x f )1(ln 2 1)(2+-+=的单调区间（其中a ＞0） 例3：已知函数ax x y +=2在),1[+∞上为增函数，求a 的取值范围. 练习题： 1.求函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间. 2.已知33 1)(23-++=x ax x x f 在]3,1[上单调递减，求a 的取值范围. 题型三 求函数极值和最值 ①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④列表（注意：定义域参与区间的划分）； ⑤确定极值点.；5，求出极值，区间端点的函数值，比较后得出最值 例：求函数x x y ln 2-=的极值. 例：求函数y ＝x ＋2cos x 在区间???? ??0，π2上的最大值. 例：已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在 [－2,2]上的最小值为 （ ） A ．－37 B ．－29 C ．－5 D ．－11 例：若函数b bx x x f 36)(3+-=在)1,0(内有极小值，则实数b 的取值范围是 （ ） A ．)1,0( B ．)1,(-∞ C ．),0(∞+ D ．)2 1, 0( 练习题： 1.设函数x x x f ln 2)(+=则 （ ） =21为f(x)的极大值点 =21为f(x)的极小值点 =2为f(x)的极大值点 =2为f(x)的极小值点
导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ①确定定义域（易错点） ②求导函数)('x f ③对)('x f 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理. ④)('x f 中x 的最高次系数是否为0，为0时求出单调区间. 例1：x x a x a x f ++-=232 13)(，则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若0)('≥x f ，则)(x f 在定义域内单调递增； 若0)(' ≤x f ，则)(x f 在定义域内单调递减. 例2：x x a x f ln 2 )(2+=，则)('x f =)0(,12>+x x ax ，显然0≥a 时0)('>x f ，此时)(x f 的单调区间为),0(+∞. ⑥)('x f 最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况 求出)(' x f =0的根，（一般为两个）21,x x ，判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域 内，那么单调区间只有两段. 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间， 即212121,,x x x x x x =<>. 例3:若)0(,ln )1(2 )(2≠++-= a x x a x a x f ，则x x ax x f )1)(1()('--=，)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121== 0a 时,比较两根要分三种情况：1,10,1><<=a a a 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论)('x f 在每个子区间内的正负，求得)(x f 的单调区间。
一．解答题（共9小题） 1．已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明． 2．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R． （1）求f（x）的单调区间； （2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围； （3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2． 3．已知函数f（x）=axlnx（a≠0）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最值； （Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n） 4．已知函数f（x）=2e x﹣x （1）求f（x）在区间[﹣1，m]（m＞﹣1）上的最小值； （2）求证：对时，恒有． 5．设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间及极值； （2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1． 6．已知函数f（x）=ln（x+2）﹣a（x+1）（a＞0）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若x＞﹣2，证明：1﹣≤ln（x+2）≤x+1． 7．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）若x＞﹣1，证明：． 8．已知函数 （1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数； （2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围． 9．已知函数f（x）= （1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的单调性 （2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案与试题解析
导数基础题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
导数公式及导数的运算法则 1．给出下列结论： ①x x sin )(cos '=； ②3cos )3(sin 'ππ=； ③x x 1)1('2-=； ④x x x 21)1('=- 其中正确的个数是______。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．函数x x y cos 2?=的导数为_________。 A ．x x x x y sin cos 22'-= B ．x x x x y sin cos 22'+= C ．x x x x y sin 2cos 2'-= D ．x x x x y sin cos 2'-= 3．已知3)(x x f =，6)(0'=x f ，则_______0=x 。 A ．2 B ．2- C ．2± D ．1± 4．函数x y cos =在6π= x 处的切线的斜率为______。 A ．23 B ．23- C ．21 D ．2 1- 5．曲线423+-=x x y 在点)3,1(处的切线的倾斜角为_______。 A ．030 B ．045 C ．060 D ．0120 6．已知x x x f 2)(2+=，则_______)0('=f 。 7．已知曲线)(x f y =在2-=x 处的切线的倾斜角为4 3π，则_______)2('=-f 。 8．已知x x x x f cos sin )(-?=，则_______)('=πf 。 9．函数x x f x ln 2)(?=在2=x 处的导数为___________ 。 10．求下列函数的导数： ①x x x x f 52 131)(23++=； ②x x x y ln ?+=； ③x e x f x =)( 11．求下列函数的导数：
导数题型分类（A ） 题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则 （一）导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0 / x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数 )(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 / x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝)(0/ x f 。 例1.函数()a x x f y ==在处的导数为A ，求 ()()t t a f t a f t 54lim +-+→。 例2．2 3 33 x y x x += =+求在点处的导数。 （二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ; cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(; )(' ' ==； e x x x x a a log 1 )(log ;1 )(ln ''= = 法则1： )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()([' ' ' x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （理）复合函数的求导：若(),()y f u u x ?==，则'()'()x y f x x ?'=g 如，sin ()'x e =_______________;(sin )'x e =_____________ 公式1 / )(-=n n nx x 的特例：①=')x (______; ②=' ?? ? ??x 1_______, ③=')x (_________.
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案） 选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于() A．1B．2 C. 3 D. 4 答案］D 解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)' =2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1, y‘ =1= 4. 2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=() A. x4 B. x4— 2 C. 4x3—5 D. x4+ 2 答案］B 解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1 ? ? ? 1 + c= — 1 ,? ? ? c= —2,—f(x) = x4 — 2. 3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是() A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn—1 D.n+1n 答案］A 解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,
/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x, 即f(n) = n2+n=n(n+ 1), 二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为： Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1) =1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1 =1 —1n+ 1= nn+ 1, 故选 A. 4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第 一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案］C 解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C. 5 .函数y = (2 + x3)2的导数为() A. 6x5+ 12x2 B. 4+ 2x3 C. 2(2+ x3)2 D. 2(2+ x3)?3x 答案］A 解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6, /. y = 6x5 + 12x2.
函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．