系 专业 班 姓名 陈 跃 强 学号 0806012243
第一节 对弧长的曲线积分
一．选择题
1．设L 是连接)0,1(-A ，)1,0(B ，)0,1(C 的折线，则
()L
x y ds +=?
[ B ]
（A ）0 （B ）2 （C ）22 （D ）2
2．设L 为椭圆13
422=+y x ，并且其周长为S ，则22
(3412)L x y ds ++? = [ D ] （A ）S （B ）6S （C ）12S （D ）24S
二．填空题
1．设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则曲线积分
22()L
x y ds +=?
2．设L 是由点O(0,0)经过点A(1,0) 到点B(0,1)的折线，则曲线积分()L
x y ds +=?
三．计算题 1．
22()n L
x y ds +?
，其中L 为圆周t a x cos =，t a y sin =（π20≤≤t ）.
解：原式1220
1220
2222)()(++?=='+'=??
n n n a dt a dt y x a ππ
π
2．L
?
，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个
边界.
解：设圆周与x 轴和直线x y =的交点分别为A 和B ，于是原式{}
=++?
??
OA
AB
BO
在
直线OA 上
dx ds y ==,0得
10
2
2-==??+a a
x OA
y x e dx e ds e
；在圆周AB 上令
4
0,s i n ,c o s π
θθθ≤
≤==a y a x 得πθπ
4
)()(40
2
2
2
2a
a
AB
y x e a d y x e
ds e
?='+'=??
+
在直线BO 上dx ds x y 2,==得
122
20
22
2-==?
?+a a x
BO
y x e dx e
ds e
所以原式
2)4
2(-+
=a e a
π 3．
2L
y ds ?
，其中L 为摆线的一拱)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=（π20≤≤t ）.
解
：
原
式
2
2
21(cos )a
t π
=-?
53
2
21(c o s
t d π
=-
? 325615
a =
系 专业 班 姓名 学号
第二节 对坐标的曲线积分
一．选择题
1．设L 以)1,1(，)1,1(-，)1,1(--，)1,1(-为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则
22L
x dy y dx +=?
[ D ]
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）0 2．设L 是抛物线)11(2≤≤-=x x y ,x 增加的方向为正向，则L
xds ?
和L
xdy ydx -=?[ A ]
（A ）32,
0 （B ）0,0 （C ）32,85 （D ）0,8
5 二．填空题
1．设设L 是由原点O 沿2x y =到点A )1,1(，则曲线积分
()L
x y dy -=?
2．设L 是由点)1,1(-A 到)1,1(B 的线段，则22(2)(2)L
x xy dx y xy dy -+-?
= 三．计算题
1．设L 为取正向圆周222a y x =+，求曲线积分
2(22)(4)L
xy y dx x x dy -+-?
.
解：将圆周写成参数形式)20(,sin ,cos πθθθ≤≤==a y a x ，
于是原式
θθθθθθθθπ
d a a a a a a }cos )cos 4cos ()sin ()sin 2sin cos 2{(20
222??-+-?-=
2322233220
224a a a a d π
θθθθθθ=
-++-?
{(cos sin sin )(cos cos )}
π22a -=
2．设L 是由原点O 沿2
x y =到点A )1,1(，再由点A 沿直线x y =到原点的闭曲线，求
arctan
L
y
dy dx x
-?
解：11021OA y
I dy dx x x dx x
=
-=-??arctan (arctan ) 210[arctan arctan ]22
x x x x x π
=-+-=
-
4
1)11(arctan arctan 0
1
2π
-
=-=
-=?
?dx dx dy x
y
I AO
所以原式122112
4
4
I I π
π
π
=+=
-+-
=
-
3．计算
()()L
x y dx y x dy ++-?
，其中L 是：
（1）抛物线x y =2上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；
（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段； （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式2
221
2{()()}y y y y y dy =+?+-?
2321
2()y y y dy =++?
34
3
=
（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为dy dx y x 3,23=-=
所以 原式2
1
34222{()()}y y dy =-+-?
2
1
104()y dy =
-?
11=
（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为21,0,1≤≤==y dx x
所以 2
1
)1(2
1
1=
-=
?
dy y I （3）过（1，2），（4，2）的直线方程为41,0,2≤≤==x dy y
所以 2
27
)2(4
1
2=
+=
?
dx x I 于是 原式1421=+=I I 4．求222()2,L
y z dx yzdy x dz -+-?
其中L 为曲线)10(,,32≤≤===t t z t y t x 按参数增加的方向
进行.
解：由题意，原式1
4
664043{()}t
t t t dt =-+-?
1
640
32()t
t dt =-?
1
35
=
高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分
系 专业 班 姓名 学号
第三节 格林公式及其应用
一．选择题 1．设曲线积分
4124(4)(65)p p L
x xy dx x y y dy -++-?
与路径无关，则=p [ C ]
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．已知
2
)
()(y x ydy
dx ay x +++为某函数的全微分，则=a [ D ] （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2
3．设L 为从)21,1(A 沿曲线2
2x y =到点)2,2(B 的弧段，则曲线积分222L x x dx dy y y
-?= [ D ]
（A ）3- （B ）2
3
（C ）3 （D ）0 二．填空题
1． 设L 是由点)0,0(O 到点)1,1(A 的任意一段 光滑曲线，则曲线积分
?
=+---L
dy y x dx y xy 22)()21(
2． 设曲线L 为圆周92
2
=+y x ，顺时针方向，则2(22)(4)L
xy y dx x x dy -+-=?
三．计算题 1． 3222(2cos )(12sin 3)L
I xy y x dx y x x y dy =-+-+?
，
其中L 为在抛物线2
2π=x y 上从点)0,0(到)1,2
(
π
的一段弧。
解：设,cos 2),(23x y xy y x P -= ,3s i n 21),(22y x x y y x Q +-=
因为
x y xy x
Q
y P cos 262-=??=??，所以曲线积分与路径无关。 于是 1032222
20002
2123(,)(,)(,)
(,)[
](cos )(sin )I xy y x dx y x x y dy π
π
π
=+-+-+?
?
2
1
20
1234
()=-+?
??y y dy π
24
=π
2． 证明
(3,4)2322(1,2)
(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-?
与路径无关并计算其积分值
证明：设,6),(32y xy y x P -= ,36),(22xy y x y x Q -= 因为
2123P Q xy y y x
??=-=??，并且连续，所以该积分与路径无关。 分别记 )2,1(，)2,3(， )4,3(为C B A ,,
因为积分与路径无关，所以原积分等于沿AB 线段的积分加沿BC 线段的积分。
即，
原式32232212663xy y dx x y xy dy =
-+-?
(,)
(,)
()()34232232663xy y dx x y xy dy +-+-?
(,)
(,)
()()
3
4
212
8319
6()()x dx y y dy =-+-?
?
。
236=
3．设)(u f 是u 的连续可微函数，且40
()0f u du A =≠?
，L 为半圆周22x x y -=，起点为原点，
终点为)0,2(，求
22()()L
f x y xdx ydy ++?
解：设22P x y x f x y =?+(,)(), 22Q x y y f x y =?+(,)(), 因为
222P Q
xyf x y y x
??'=+=??()，所以该积分与路径无关。 若记)0,2(),0,0(分别为A O , 则原积分 =
?
++OA ydy xdx y x f ))((22
2
20
40122
f x x d x
f u d u A ==
=??()()。(令2
u x =)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
第十章 曲线曲面积分 §10．1对弧长的曲线积分 一、选择题 1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ). (A)(,)d (,)d AB BA f x y s f x y s =-? ? ； (B)(,)d (,)d AB BA f x y s f x y s =? ? ； (C) (,)d (,)d 0AB BA f x y s f x y s +=?? ； (D) (,)d (,)d AB BA f x y s f x y s =--? ? ． 答(B). 2. 设有物质曲线23 :,,(01),23 t t C x t y z t ===≤≤其线密度为 ρ它的质量M =( ). (A) 10 t ? ; (B) 10 t t ? ; (C) t ? ; (D) t ? . 答(A). 3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分 OM I s =?不相等的积分是( ). (A) 10 x ?; (B) 10 y ? ; (C) d r r ? ; (D) 10 e r ? 答(D). 4 .设L 是从 (0,0) A 到 (4,3) B 的直线段,则曲线积分
()d L x y s -=? ( ). (A) 403d 4x x x ??- ??? ?; (B)3 03d 4y y y ?? - ??? ?; (C)3 034y y y ?- ??; (D) 4 034x x x ? - ? ?. 答(D). 5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则 曲线积分 s =?( ). (A) x ?; (B) y ? ; (C) 10 x ? ; (D) y ? . 答(C). 6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2) B -的直线段,则曲线积分 ()d L x y s +=?( ). (A) ; (B)2; (C) ; (D) . 答(D). 二、填空题 1. 设L 是圆周221x y +=,则31d L I x s =?与52d L I x s =?的大小关系是 . 答:12.I I =
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
第11 章测验题（二）曲线积分与曲面积分的应用1.C 2.D 3.B 4.解：令 I = ()() 3,4 3,4 ∫?+?=∫+ (6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy P(x, y)dx Q(x, y)dy ()() 1,2 1,2 ?P ?y = 12xy? 3y 2 = ?Q ?x 因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,2)→B(3,2)→C(3,4)的折线计算I ∫?+?+∫?+? I =(6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy (6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy AB BC 在积分区域AB 上，y = 2，x :1 → 3，若化为对x 的定积分，则dy = 0 3 3 I (6xy y )dx (6x y 3xy )dy (6x 4 8)dx (6x 2 3x 4) 0dx 1 =∫?+?=∫×?+∫×?×× 2 3 2 2 2 AB 1 1 3 =∫x dx x x (24 8) ? ?= 2 = [12 8 ]80 3 1 1 在积分区域BC 上，x = 3，y : 2 → 4 ，若化为对y 的定积分，则dx = 0 4 4 I (6xy y )dx (6x y 3xy )dy (6y 3 y ) 0dy (6y 9 3y2 3)dy 2 =∫?+?=∫×?×+∫×?× 2 3 2 2 2 3 BC 2 2
4 4 =∫y y dy y y (54 ? 9 ) =?= [27 3 ]156 2 2 3 2 2 因此I =I1 +I = 80 +156 = 236 2 5.解：令 I = ()() 2,3 2,3 ∫++?=∫+ (x y)dx (x y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy ()() 1,1 1,1 ?P ?y = 1 = ?Q ?x 因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,1)→B(2,1)→C(2,3)的折线计算I 1
第9章 线面积分习题课 一. 内容提要 1.第一类曲线积分和曲面积分—Riemann 积分的一种 (1) ①当Riemann 积分 ? Ω Ω d )(M f 中2R ?=ΩL (平面曲线段) 或 ?Γ=Ω3R (空间曲线段),f 是定义在L 或Γ上的函数时,就是对 弧长的曲线积分,也称为第一类曲线积分,记为 ? L s x,y f )d (或 ? Γ )d ,(s z x,y f ,其中s d 是L 或Γ的弧微分. ②当Riemann 积分? Ω Ω d )(M f 中3R ?∑=Ω(曲面块), f 是定义 在∑上的函数时,就是对面积的曲面积分,也称为第一类曲面积分,记 为 ??∑ S z y x f d ),,(,其中S d 是曲面(∑的)面积元素. (2) 存在条件及性质--------与重积分相同. (3) 计算方法 ①基本方法 由于线面积分的被积函数f 是定义在曲线段Γ或曲面块∑上的,其自变量z y x ,,必然要满足Γ或∑的方程,故有下面的基本计算方法: 对于?Γ )d ,(s z x,y f ,将曲线段Γ的参量方程?? ? ??===),(),(),(t z z t y y t x x βα≤≤t ,代 入被积式,化为对参量t 的定积分(注意:上限必须大于等于下限): ? Γ )d ,(s z x,y f ?'+'+'=β α 222d )()()()](),(),([t t z t y t x t z t y t x f ; 对于 ??∑ S z y x f d ),,(,将曲面块∑的显式方程),,(y x z z =xy D y x ∈),( (或),,(z x y y =zx D z x ∈),(,或),,(z y x x =yz D z y ∈),()代入被积式,化为投影域xy D (或zx D ,或yz D )上的二重积分: ??∑ S z y x f d ),,(??'+'+=xy D y x y x z z y x z y x f d d 1)] ,(,,[22 , 或 ?? ∑ S z y x f d ),,(??'+'+=zx D z x z x y y z z x y x f d d 1)]),,(,[22 , 或 ?? ∑ S z y x f d ),,(?? '+'+= yz D z y z y x x z y z y x f d d 1],),,([22 . ②利用对称性或几何意义进行计算 ③当曲线段Γ以一般式方程?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 给出时,原则上要将其化为参
第十章 曲线积分与曲面积分 10.1 对弧长的曲线积分 一、求曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===从0t =到任意点间的那段弧的质量，设 它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为 1。 1)t e - ） 二、计算下列曲线积分： 1. L ，其中L 为旋轮线：(sin )(1cos )x a t t y a t =-?? =-?（0t π≤≤2）。 （32 4a π） 2. ()L x y ds +?，其中L 是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)O A B 的三角形边界。 （1 3. L ?，其中L 是由极坐标曲线 ,0,r a π θθ=== 4所围成的区域的 边界 曲线。 （ 2(1)a a e ae π -+ 4 ） 4. ()L x y z ds ++?，其中L 由直线AB ：(1,1,0),(1,0,0)A B 及螺线 cos ,sin ,(02)x t y t z t t π===≤≤组成。 （3 22 +） 三、 计算 L ?，其中L 是由,0y x y y ===所围成的 第 一象限 部 分 的 边 界 。 （ 2sin cos R R R π + 4 ） 四、 计算 L ，其中L 是圆：2222x y z a x y ?++=? =?。 （2a π2 ）
五、 计算 L xds ? ，其中L 由直线0,x y x ==及曲线2 2y x -=所围成的第一象 限部分的整个边界 。 （12 12+ ） 10.2 对坐标的曲线积分 一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离 成正比，比例系数为k 。若质点从点(0,)a 沿椭圆22 221x y a b +=在第一象限部 分 移 动 到 点 (0,b ， 求弹力所做的功。 （221 ()2k a b -） 二、计算曲线积分 22 (2)(2)L x xy dx y xy dy ++-?，其中L 是抛物线2(11) y x x =-≤≤沿 x 增加的 方 向 。 （14 15- ） 三、 计算 2 y L xe dy +?，其中L 是曲线y 从点(0,0)O 到点(1,1)的一 段 弧 。 （2322） 四、 计算 2222 ()()L x y dx x y dy ++-?，其中L 是曲线11y x =--从点(0,0)到 点 (2,0) 的一 段 。 （43） 五、 计算 ABC xdy ydx -? ，其中(1,0),(0,1),(1,0)A B C -， AB 为圆 22 1x y +=的上半部分， BC 为L 是一段抛物线2 1y x =-。 （ 4 3π - - 2 ）
第11章 曲线积分与曲面积分 一．曲线积分 1.对弧长的曲线积分 （第一类） )()(')(')](,)([,f βαβ α <ψ+ΦψΦ=?? dt t t t t f ds y x L ）（ 典型例题： (1)圆周10{ cos x sin ≤≤==t t a t a y 12222 2220 2 22 2)s i n '(c o s '()s i n c o s ()(x +=++=+ ?? n n n L a dt t a t a t a t ds a y ππ ） （2）线段:把线段表示出来 ds y x ? +L ） （ L 是（1，0）到（0,1）的直线段 原式= 2 1)11 =+-+?dx x x x （ 直线为：y=1-x (3)圆弧的整个边界（分段） ds L y ?+2 2x e 2)4 2(11)sin'()cos'(12 20 40 2 2 a 2 2-+ =++++? ?? +a e dx e dt t a t a e dx e a a y x a x π π （4）参数方程 （公式） （5）利用折线围成的封闭图形 （坐标分段）ds yz ?Γ 2 x A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,3,2) AB: 0=? AB BC:0=? BC CD:90102y 130 23 2==++=?? y dy CD 9=++=∴ ? ? ??Γ CD BC AB 2.对坐标的曲线积分 （第二类） dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x L )(')](),([)(')](),([{),(),(P ψψΦ+ΦψΦ=+?? β α 典型例题 （1）圆周 10{c o s x s i n ≤≤==t t a t a y dx xy ?L 圆周 )0(y x 222 >=+-a a a ）（及x 轴在一 象限 逆时针{ {0 2acost a x asint y 1:,)10(x x y L L t ==+==≤≤： 320 2 1 2 0)'cos (sin )cos 1(a a dx dt t a a t a t a L L L π - =+++=+=??? ?
1、常用的电线、电缆按用途分有哪些种类？ 答：按用途可分为裸导线、绝缘电线、耐热电线、屏蔽电线、电力电缆、控制电缆、通信电缆、射频电缆等。 2、绝缘电线有哪几种？ 答：常有的绝缘电线有以下几种：聚氯乙烯绝缘电线、聚氯乙烯绝缘软线、丁腈聚氯乙烯混合物绝缘软线、橡皮绝缘电线、农用地下直埋铝芯塑料绝缘电线、橡皮绝缘棉纱纺织软线、聚氯乙烯绝缘尼龙护套电线、电力和照明用聚氯乙烯绝缘软线等。 3、电缆桥架适合于何种场合？ 答：电缆桥架适用于一般工矿企业室内外架空敷设电力电缆、控制电缆，亦可用于电信、广播电视等部门在室内外架设。 4、电缆附件有哪些？ 答：常用的电附件有电缆终端接线盒、电缆中间接线盒、连接管及接线端子、钢板接线槽、电缆桥架等。 5、什么叫电缆中间接头？ 答：连接电缆与电缆的导体、绝缘屏蔽层和保护层，以使电缆线路连接的装置，称为电缆中间接头。
6、什么叫电气主接线？ 答：电气主接线是发电厂、变电所中主要电气设备和母线的连接方式，包括主母线和厂用电系统按一定的功能要求的连接方式。 7、在选择电力电缆的截面时，应遵照哪些规定？ 答：电力电缆的选择应遵照以下原则： （1）电缆的额定电压要大于或等于安装点供电系统的额定电压；（2）电缆持续容许电流应等于或大于供电负载的最大持续电流；（3）线芯截面要满足供电系统短路时的稳定性的要求； （4）根据电缆长度验算电压降是否符合要求； （5）线路末端的最小短路电流应能使保护装置可靠的动作。 8、交联聚乙烯电缆和油纸电缆比较有哪些优点？ 答：（1）易安装，因为它允许最小弯曲半径小、且重量轻； （2）不受线路落差限制； （3）热性能好，允许工作温度高、传输容量大； （4）电缆附件简单，均为干式结构； （5）运行维护简单，无漏油问题； （6）价格较低； （7）可靠性高、故障率低； （8）制造工序少、工艺简单，经济效益显着。
第十三讲 三重积分、曲线、曲面积分及场论初步（数一） 一、考试要求 1、理解三重积分的概念，了解三重积分的基本性质。 2、会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关 系。 4、掌握计算两类曲线积分的方法。 5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，掌握用高斯公式计算曲面积分，会用斯托克斯公式计算曲线积分。 7、了解散度与旋度的概念，并会计算。 8、 会用三重积分、曲线积分及曲面积分，求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 9、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 二、内容提要 1、 三重积分的概念 ???Ω dV z y x f ),,( 2、两类曲线积分 1）、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) (1) 定义：f x y ds f s L i i i i n (,)lim (,)=→=?∑λξη0 1 ? (2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即f x y ds f x y ds BA AB (,)(,)=?? 2) 可加性 f x y ds f x y ds f x y ds L L L L (,)(,)(,)=+??? +2 1 12 2）、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分) (1) 定义：P x y dx Q x y dy P x Q y L i i i i i i i n (,)(,)lim [(,)(,)]+=+→=?∑λξηξη0 1 ?? (2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L (,)(,)(,)(,)+=-+?? - 2) 可加性 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L L L (,)(,)(,)(,)(,)(,)+=+++?? ?+1 12 2 注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。 3）、 两类曲线积分之间的联系
(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算 ⑴ 基本方法：曲线积分???→转化 定积分 第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为 (),(),x t y t ?ψ=??=? ，()t αβ≤≤,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） 其中(),()t t ?ψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2'2 ()()0t t ?ψ+≠，则 (,)[(),(,()L f x y ds f t t βα ?ψαβ=?=?所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧. 解 （法一）ds adt = =, 故 原式=22sin sin 333 3cos |0a t a t a t e adt ae ππππ??==?. （法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故 0y L xe ds =? 【例2】 求 ()L x y ds +?，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形(图10.1)边界. 解 ()()()()L OA AB BO x y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++??? ?11 0001xdx ydy =++=???【例3 】求?,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=> 解 L 的极坐标方程为 cos (),22r a ds ad ππθθθθ=- ≤≤== 则222cos 2a ad a ππθθ-=?=?? 【例4】求22()L x y ds +?，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+ (sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
第十一章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 1. 选择题： (1) 对弧长的曲线积分的计算公式 ? L ds y x f ),(=?'+'β α φ?φ?dt t t t t f )()()](),([22中要 求 （C ） . （A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β (2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则? L ds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π12 2.计算下列对弧长的曲线积分： (1)? +L ds y x )(，其中L 为 I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周2 2 2 R y x =+； 解：I ） 111 ()()()()(1)13 222 L OA AB BO x y ds x y ds x y ds x y ds xdx y dy +=+++++=+++= ++=??????? II ） 22 ()(cos sin [sin cos ]2L x y ds R t R t R t t R π π+=+=-=?? (2)? L yds ，其中L 为x y 22 =上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧； 解： 2 2 23/21 1 [(1)]3 3 L yds y ===+=?? ?
*(3) ? Γ +ds y x )(2 2，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ； )20(π≤≤t 解：1/2 222 222222 20 ()(sin cos )2x y ds a a t a t b dt a a π ππΓ +=++==??? *(4) ? +L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+； 解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则 ds θ=。 222224sin 8 L rd d ππ π π π π π π θθ θθθ====-=???? 第二节 对坐标的曲线积分 1．填空题 (1) 对坐标的曲线积分的计算公式 ? +L dy y x Q dx y x P ),(),(=?'+'β α φφ??φ?dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{ 中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是 [(,)cos (,)cos ]L P x y dx Q x y ds αβ+? ，其中βα,为有向光滑曲 线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角. 2．选择题： (1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ） （A ）无关， （B ）有关； (2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ? - +L dy y x Q dx y x P ),(),(=?+-L dy y x Q dx y x P ),(),(， （B ） ? - +L dy y x Q dx y x P ),(),(=?+L dy y x Q dx y x P ),(),(.
导线截面积与载流量的计算 2008年03月04日星期二11:00 一、一般铜导线载流量导线的安全载流量是根据所允许的线芯最高温度、冷却条件、敷设条件来确定的。一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为3~5A/mm2。<关键点> 一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为3~5A/mm2。如：2.5 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值2.5×8A/mm2=20A 4 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值 4×8A/mm2=32A 二、计算铜导线截面积利用铜导线的安全载流量的推荐值5~8A/mm2，计算出所选取铜导线截面积S的上下范围：S=< I /（5~8）>=0.125 I ~0.2 I（mm2）S-----铜导线截面积（mm2）I-----负载电流（A） 三、功率计算一般负载（也可以成为用电器，如点灯、冰箱等等）分为两种，一种式电阻性负载，一种是电感性负载。对于电阻性负载的计算公式：P=UI 对于日光灯负载的计算公式：P=UIcosф，其中日光灯负载的功率因数cosф=0.5。不同电感性负载功率因数不同，统一计算家庭用电器时可以将功率因数cosф取0.8。也就是说如果一个家庭所有用电器加上总功率为6000瓦，则最大电流是I=P/Ucosф=6000/220*0.8=34(A) 但是，一般情况下，家里的电器不可能同时使用，所以加上一个公用系数，公用系数一般0.5。所以，上面的计算应该改写成I=P*公用系数/Ucosф=6000*0.5/220*0.8=17(A) 也就是说，这个家庭总的电流值
为17A。则总闸空气开关不能使用16A，应该用大于17A的。绝缘导线载流量估算 铝芯绝缘导线载流量与截面的倍数关系如下，铜导线见文中所说比例 估算口诀： 二点五下乘以九，往上减一顺号走。 三十五乘三点五，双双成组减点五。 条件有变加折算，高温九折铜升级。 穿管根数二三四，八七六折满载流。 说明： (1)本节口诀对各种绝缘线(橡皮和塑料绝缘线)的载流量(安全电流)不是直接指出，而是“截面乘上一定的倍数”来表示，通过心算而得。由表5 3可以看出：倍数随截面的增大而减小。 “二点五下乘以九，往上减一顺号走”说的是2．5mm’及以下的各种截面铝芯绝缘线，其载流量约为截面数的9倍。如2．5mm’导线，载流量为2．5×9＝22．5(A)。从4mm’及以上导线的载流量和截面数的倍数关系是顺着线号往上排，倍数逐次减l，即4×8、6×7、10×6、16×5、25×4。 “三十五乘三点五，双双成组减点五”，说的是35mm”的导线载流量为截面数的3．5
第十章曲线积分曲面积分练习题 A 组 一.填空题 1. 设L 是 12 2 =+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则?L y dy e 2 = 2.设? MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分 ? ? +MN xdy ydx = 3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则 ? ++L y x xdy ydx e )( = 4. 设L 是从)0,1(A 沿12 2 2 =+y x 至点2,0(B )的曲线段， 则 ? +L y x y x dy ye dx xe 2 22 = 5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则 ?+L dx y x xy )(3 3 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则? + +L bdy adx )( = 7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-? dy y x dx y x L ，则L 所围成的 平面区域D 的面积等于 8. 常数 k = 时， 曲线积分? +L dy x kxydx 2 与路径无关。 9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分 ?? ∑ ++ds z y x 222 = 10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分? L ds = 11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则 ?-++L dy y x dx y x )()(= 12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则 ? +L dS y x 322)(= 13. 设为曲面2 2 2 2 a z y x =++， 则??∑ dS z y x 2 22= 二、选择题 1．设→ → +=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：? AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）
（一）对弧长的曲线积分（第一类） （1）对光滑曲线弧() :,()() x t L t y t =?≤≤? =??αβψ (,)d [(),(L f x y s f t t t βα ?ψ=? ?； （2）对光滑曲线弧:()(),L y x a x b ?=≤≤ (,)d (,()) b L a f x y s f x x x ?=? ?； （3）对光滑曲线弧:()(),L r r θαθβ=≤≤ （二）对坐标的曲线积分（第二类） （1）对有向光滑弧() :() x t L y t φψ=??=?，:t αβ→， {}(,)d (,)d [(),()]'()[(),()]'()d L P x y x Q x y y P t t t Q t t t t βα φψφφψψ+=+? ? ； （2）对有向光滑弧:(),:L y x x a b ?=→， {}(,)d (,)d [,()][,()]'()d b L a P x y x Q x y y P x x Q x x x x ???+=+? ? ； （格林公式） d d L D Q P Pdx Qdy x y x y ?? ??+=- ???? ?????； (斯托克斯公式) R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y Γ∑????????????++=-+-+- ? ? ????????????????? L dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R ∑ ? ??++=?????? ?
（一）对面积的曲面积分（第一型） 计算口诀：一投二代三换，曲积化为重积算. （1）对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈， (,,)d (,,(,d x y D f x y z S f x y z x y x y ∑ =?? ?? ； （2）对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈， (,,)d [(,),,yz D f x y z S f x y z y z ∑ =?? ??； （3）对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈， (,,)d [,(,),xz D f x y z S f x y x z z ∑ =?? ?? （二）对坐标的曲面积分（第二型） 计算口诀：一投二代三定，曲积化为重积算. 1、对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，则 (,,)d d (,, (,))d d x y D R x y z x y R x y z x y x y ∑ =±???? (上侧正，下侧负) 2、对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈， (,,)d d ((,), ,)d d y z D P x y z y z P x y z y z y z ∑ =±???? ； (前侧正，后侧负) 3、对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈， (,,)d d (,(,),z )d d z x D Q x y z z x Q x y x z z x ∑ =±?? ?? (右侧正，左侧负) 合一投影公式：(,)z z x y = ()()xy D z z Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdy x y ∑????++=?-+?-+????? ????? （高斯公式） ()d d d d d d d d d P Q R P y z Q z x R x y x y z x y z ∑ Ω ???++=++????? ??? ò； ()( )cos cos cos d =d d d P Q R P Q R S x y z x y z ∑Ω???α+β+γ++????????。
高等数学练习题 第十章曲线积分与曲面积分 ________ 系 ________ 专业 _______ 班 一.选择题 =1 ,并且其周长为 S ,则 n L (3X 2 +4y 2 +12)ds = 到点B （o,1）的折线，则曲线积分 jL （x + y ）ds= _ 三.计算题 2 兀 2 n / 2 2~ 解：原式=[a J (x ") +(y ') dt =a 2，直线y = X 及x 轴在第 一象限内所围成的扇形 的整个边界. 解：设圆周与x 轴和直线y=x 的交点分别为 A 和B , 于是原式显J OA + J AB +J BO }$"叫5 在直线OA 上y =0,ds = dx 得 第一节 对弧长的曲线积分 1.设 L 是连接 A(— 1,0), B(0,1) , C(1,0)的折线，贝y JL(x + y)ds = (A) 0 (B) (C) 242 （A ） S 二.填空题 (B) 6S (C ) 12S (D) 24S 1.设平面曲线 L 为下半圆周y = -71 -X 2，则曲线积分 [(x 2 + y 2 )ds = _四 』（X 2 +y 2 ）n ds ，其中L 为圆周 x=acost , y=asi nt ( 0 < t < 2兀). 姓名 学号 2.设L 为椭圆 2 .设L 是由点 0（0,0）经过点 A （1,0） 2n 十 r 2 兀■丄 2n 4 jl e ^ds ，其中L 为圆周X 2 +y 2
f ~2 j y2 a OA 护 ds^ie^x-e*—1 3T 在圆周 AB 上令 X = acosB, y = asin0,O <0 <二得 4 r ~2 2 兀 _____________ [e"x 旳 ds = 0鼻玄 J (x )2 +(y')2 d 日= ■2 J AB 在直线BO 上y=x,ds = j2dx 得 ____ Q a L Le'X 旳 ds = 72 t 2 e"2x dx = e a -1 所以原式=（2 +色；Qe * —2 4 3. ( y 2 ds ，其中 L 为摆线的一拱 x=a(t-si nt) , y = a(1 — cost) ( 0 < t < 2花). 解：原式=2a 2 讥1 -cos t )2 J (X )2 + ( y )2 dt 5 =2层3 f(1 - cos t )2dt _ 256a 3 -15
良好的开端是成功的一半 1. “平面区域”型考题 1．不等式组?? ? ??-≥≤+<31y y x x y ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则 （ ） A ．D P D P ??21且 B ．D P D P ∈?21且 C ． D P D P ?∈21且D ．D P D P ∈∈21且 2．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0 C ．82300<+y x D ．82300>+y x 3．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 2. “平面区域的面积”型考题 1.设平面点集{} 221 (,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ，则A B 所表示的平 面图形的面积为 A 34π B 35π C 47π D 2 π 2.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域 {(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．1 4 3、若A 为不等式组002x y y x ≤?? ≥??-≤? 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫 过A 中的那部分区域的面积为 . 4、 若不等式组0 3434 x x y x y ≥?? +≥??+≤? 所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ） 73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34 高 5、若0,0≥≥b a ，且当?? ? ??≤+≥≥1,0, 0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面 区域的面积等于__________. 3. “求约束条件中的参数”型考题 1.在平面直角坐标系中，若不等式组10 1010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2， 则a 的值为 A. －5 B. 1 C. 2 D. 3 2、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件?? ???≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ． 21 B ．1 C ．2 3 D ．2 3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ?+-? -+??+-? ，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图 象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9] 4.设m 为实数，若{250 (,)300x y x y x mx y -+≥??-≥??+≥? }22 {(,)|25}x y x y ?+≤，则m 的取值范围是___________. 4. “截距”型考题 1. ,x y 满足约束条件241y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为( ) ()A 12()B 11 ()C 3()D -1 2.设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? ，则2+3x y 的最大值为A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3.若,x y 满足约束条件1030330 x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??，则3z x y =-的最小值为 。 4.设函数ln ,0 ()21,0 x x f x x x >?=?--≤?，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成