高三数学第一轮复习讲义（56） 2004.11.29
平面的基本性质
一．复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 二．课前预习：
1．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推
理不正确的是 （ ） ()A ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,,
()B βα∈∈A A ,，AB B B =?∈∈βαβα ,直线 ()C αα??∈?A l A l ,
()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α?与β重合 选C
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
45，腰和上底边均为1的等腰
梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）
()
A 2221+ ()
B 2
2
1+ ()C 21+ ()D 22+ 选D
3．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；
③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ） ()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个
选B
4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 ． 答案：7个． 三．例题分析：
例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线．
解：∵AB ∥CD ，
∴AB ，CD 确定一个平面β．
又∵AB α＝E ，AB ?β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公共点． 同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．
α D
C
B
A
E
F H
G
说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
例2．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ?d ，如图1．
∴直线d 和A 确定一个平面α．
又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．
∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ?α． 同理可证b ?α，c ?α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．
2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α． 设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ?α． 同理可证d ?α．
∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
α
b a
d
c
G F E
A
a b
c
d α H K 图1
图2
例3．如图，点A ，B ，C 确定的平面与点D ，E ，F 确定的平面相交于直线l ，且直线AB 与l 相交于点G ，直线EF 与l 相交于点H ，试作出平面ABD 与平面CEF 的交线． 解：如图3，在平面ABC 内，连结AB ，与l 相交于点G ， 则G ∈平面DEF ；在平面DEF 内，连结DG ，与EF 相交于 点M ，则M ∈平面ABD ，且M ∈平面CEF ．所以，M 在 平面ABD 与平面CEF 的交线上．同理，可作出点N ，N 在 平面ABD 与平面CEF 的交线上．连结MN ，直线MN 即为所求．
例4．如图，已知平面α，β，且α β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ?α，CD ?β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB CD ＝M ．
又∵AB ?α，CD ?β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈α β． 又∵α β＝l ，∴M ∈l ， 即AB ，CD ，l 共点．
说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．
E · B
A D ·
F
C · ·
· ·
E · B A l
图3 G H
D · F
C M
· ·
·
α D
C B A
l
β
M
四．课后作业： 班级 学号 姓名 1．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点H G F E ,,,，如果EF 与
HG 相交于一点M ，那么 （ ）
()A M 一定在直线AC 上 ()B M 一定在直线BD 上
()C M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 ()D M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 选A
2．有下列命题：
①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；④垂直于同一直线的两直线平行⑤两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是 ． 答案：①③
3．一个平面把空间分成__2__部分，两个平面把空间最多分成_4___部分，三个平面把空间最多分成__8__部分．
4．四边形ABCD 中，1=====BD DA CD BC AB ，则成为空间四面体时，AC 的取值范围是 ． 答案：)3,0(．
5．如图，P 、Q 、R 分别是四面体ABCD 的棱AB ，AC ，AD 上的点，若直线PQ 与直线BC 的交点为M ，直线RQ 与直线DC 的交点为N ，直线PR 与直线DB 的交点为L ，试证明M ，N ，L 共线．
证明：易证M ，N ，L ∈平面PQR ，且M ，N ，L ∈平面BCD ， 所以M ，N ，L ∈平面PQR 平面BCD ，即M ，N ，L 共线．
6．如图，P 、Q 、R 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，BB 1，DD 1上的三点，试作出过P ，Q ，R 三点的截面图．
作法 ⑴连接PQ ，并延长之交A 1B 1的延长线于T ； ⑵连接PR ，并延长之交A 1D 1的延长线于S ； ⑶连接ST 交C 1D 1、B 1C 1分别于M ，N ，则线段MN 为平面PQR 与面A 1B 1C 1D 1的交线．
⑷连接RM ，QN ，则线段RM ，QN 分别是平面PQR 与面DCC 1D 1，面BCC 1B 1的交线．
A 1 A
B
B 1 D
D 1 C C 1
R Q P · ·
·
A
B C
D
M N
L
P Q R
得到的五边形PQNMR 即为所求的截面图（如图4）．
说明 求作二平面的交线问题，主要运用公理1． 解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点． 有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识．
7．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中，A 1C 1 B 1D 1＝O 1，B 1D 平面A 1BC 1＝P ． 求证：P ∈BO 1．
证明 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵B 1D 平面A 1BC 1＝P ，∴P ∈平面A 1BC 1，P ∈B 1D ．
∵B 1D ?平面BB 1D 1D ．∴P ∈平面A 1BC 1，且P ∈平面BB 1D 1D ． ∴P ∈平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ，
∵A 1C 1 B 1D 1＝O 1，A 1C 1?平面A 1BC 1，B 1D 1?平面BB 1D 1D ， ∴O 1∈平面A 1BC 1，且O 1∈平面BB 1D 1D ． 又B ∈平面A 1BC 1，且B ∈平面BB 1D 1D ， ∴平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ＝BO 1．∴P ∈BO 1．
说明 一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．
A 1
A
B
B 1
D
D 1 C C 1
O 1 P
A 1
A B B 1 D
D 1
C
C 1 S
T
R
Q
P
图4
N M
平面的基本性质(一) 教学目的： 1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 2理解平面的无限延展性 3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系 4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性 教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力 本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用 9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何 为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形 这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图 教学过程： 一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形 当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？ 二、讲解新课： 1．平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
新概念2第56课重点内容解析 重要句型或语法 1、比较关系 本课侧重的是be like、the same as、be different from等比较关系的表达。如： My jacket is like yours. My jacket is the same as yours. My jacket is different from yours. 【推荐阅读】 相关比较关系的详细用法，请参考下文： 英语比较状语从句的用法大全 2、不定代词 本课侧重的是不定代词little、a little、few、a few、much、many的用法。如： There isn't much whisky, but you can have a little. There aren't many apples, but you can pick a few. 课文主要语言点 Once a year, a race is held for old cars 1)once a year，每年一次。once表示一次，twice表示两次，三次以上都用times来表达。 2)hold，举行、举办。其过去式和过去分词都是held。
A lot of cars entered for this race last year and there was a great deal of excitement just before it began. 1)enter for，参加(比赛)。 2)a great deal of，很多、大量。注意只能用来 修饰不可数名词。 3)just before，就在...之前。 One of the most handsome cars was a Rolls-Royce Silver Ghost. 1)handsome，英俊的、漂亮的。 2)Rolls-Royce Silver Ghost，劳斯莱斯银魅。这款车享有“世界上的汽车”的美誉。silver，银。ghost，魔鬼。 The most unusual car was a Benz which had only three wheels. Built in 1885, it was the oldest car taking part. 1)Benz，奔驰车。 2)Built in 1885是过去分词短语，作为伴随状语。 3)taking part用作car的定语，其完整原形为that took part。 After a great many loud explosions, the race began. 1)a great many，很多、大量。与a great deal of只能用来修饰不可数 名词不同的是，a great many只能用来修饰可数名词。 2)explosion，爆炸。源自动词explode。 Many of the cars broke down on the course and some drivers spent more time under their cars than in them! 1)break down，抛锚。 2)on the course，在赛道上。 3)注意体会本 句话中的幽默笔触：一些司机选手花了更多的时间躺着车底下，而不 是坐在车里面，意思是车子坏了，得躺到车底去修车。注意under和 in要重读，以突出前后对比效果。 A few cars, however, completed the race. The winning car reached a speed of forty miles an hour - much faster than any of its rivals. 1)complete，完成。 2)winning，取胜的。 3)reach a speed of，达到...速度。 4)注意much常用来修饰比较级。 5)rival，竞争对手。
新概念英语第二册逐句精讲语言点第56课(1) Lesson 56：Faster than sound! 比声音还快！ Once a year, a race is held for old cars. A lot of cars entered for this race last year and there was a great deal of excitement just before it began. One of the most handsome cars was a Rolls-Royce Silver Ghost. The most unusual car was a Benz which had only three wheels. Built in 1885, it was the oldest car taking part. After a great many loud explosions, the race began. Many of the cars broke down on the course and some drivers spent more time under their cars than in them! A few cars, however, completed the race. The winning car reached a speed of forty miles an hour -- much faster than any of its rivals. It sped downhill at the end of the race and its driver had a lot of trouble trying to stop it. The race gave everyone a great deal of pleasure. It was very different from modern car races but no less exciting. 句子讲解： 本文语法：复习级和比较级及数量词的用法 (参考Lesson 8和Lesson 32的语法分析。) 1、Once a year, a race is held for old cars. 每年都举行一次旧式汽车的比赛。 语言点 old car旧式汽车；second-hand car 二手车 2、A lot of cars entered for this race last year and there was a great deal of excitement just before it began. 去年有很多汽车参加了这项比赛。比赛开始之前，人们异常激动。
高中立体几何教案第一章直线和平面平面的基本性质之一教案 教学目标 1．了解三个公理及公理3的三个推论； 2．了解推论1的证明过程． 教学重点和难点 公理3的引入与掌握及推论1的证明是教学的重点也是教学的难点． 教学设计过程 师：上节课我们讲过平面是原名，没有方法定义，所以平面的性质只能以公理的形式给出，我们今天就来研究以公理形式给出的平面的性质． （当教师说完上述话后，拿出一根小棍作为直线的模型，一矩形硬纸板作为平面的模型，让学生自己也拿同样的模型，师生一起观察．然后，再提出问题） 师：直线与平面有几种位置关系？ 生：有三种位置关系：平行，相交，在平面内． 师：相交时，直线与平面有且只有几个公共点？ 生：有且只有一个公共点． 师：当直线与平面有几个公共点时，我们就能判定直线在平面内？ 生：只要有两个公共点． 师：对，这就是公理1．（同时板书） 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1） 这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
师：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．我们只把点作为基本元素，于是直线、平面都作为“点的集合”，所以： 点A在直线a上，记作A∈a； 点A在平面α内，记作A∈α； 所以公理1用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则 公理2可用如下方法引入：教师用矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题． 师：看模型，能否说这两个平面只有一个公共点？ 生：不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线． （这时教师用手动矩形硬纸板，表示同意学生的意见，并说） 师：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．（同时板书） 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）
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（3）平面及其基本性质 ——三个公理三个推论的应用 上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析 本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课 的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个 公理三个推论进行证明. 公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线. 它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公 共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公 共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是 这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上. 公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把 空间问题转化为平面问题的条件. 二、教学目标设计
理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点 利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题 四、教学流程设计 五、教学过程设计 （一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α? C 、AB α? D 、AB C α?= 2）判断 ①若直线a 与平面α有公共点，则称a α?. （×）
②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ） A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形. B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形. C 、三条互相平行的直线一定共面. D 、梯形是平面图形. 4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分. （二）证明 1、共面问题 例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上. 证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ?=?=?=?= l 3 l 2 B C l 1 A
教学过程 —、复习预习 思考：1、直线的性质,平面的性质 2、直线在一个平面内的判定？ 3、直线与直线相交与两个平面相交的区别 4、三角形的稳走性指的是什么？ 二知识讲解 考点］ 公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内? 考点2 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那么它们还有具他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的F直线? 考点3 公理3 :经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面? 推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面； 推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面； 推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理的用途
公理1:①证明点在平面内；②证明直线在平面内? 公理2 :①确走两个平面的交线；②证明三点共线或三线共点? 公理3 :①确走一个平面的条件；②证明有关的点线共面问题? 考点4 公理4平行于同一条直线的两条直线平行.它给出了平面中直线平行的传递性在空间也成立. 考点5 异面直线的判走异面直线所成的角 三.例题精析 【例题1］如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别在AB、BC、 CD、AD 上，且满足AE : EB=CF : FB=2 :1 , CG : GD= AH : HD=3 : 1 ,过E、 F、G的平面交AD于H ,连接EH.求证:EH、F G、BD三线共点. 1 〃— 证明T AE : EB=CF : FB=2 : 1 /. EF= 3 AC ; 又. CG : GD= AH : HD=3 : l t 丄 .-.GH =4 AC ;则EF//GH且EFHGH , ???四边形EFGH为梯形.令EHCIFG=P ,则PeEH，而EHu平面ABD , PeFG r FG<=平面BCD f平面ABDA平面BCD=BD r .??PVBDJ.EH、FG、BD 三线共点. 【例题2］如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE : EB = CF:FB=2:1 # CG : GD=3 :1,过E. F x G 的平面交AD 于H?
11-14-2013sound n 声音excitement n 激动，兴奋handsome adj Rolls-royce Benz n wheel n 轮子explosion n course n 跑道；行程rival n 对手speed v 疾驶sped--sped downhill adv 下坡sound 1n 声音the sound of the wind 风声the sound of the sea 大海的声音the sound of a car 汽车的声音the sound of music 音乐之声the sound of voices 说话的声音like the sound of one`s own voice 滔滔不绝的讲话（常指不想听别人说话，只听自己来说）sound-recording n 录音2v sound like 听起来像eg That music sounds beautiful.那个音乐听起来很美。eg That music sounds sad.那个音乐听起来很忧伤。eg Your explanation sounds reasonable.你的解释听起来合情合理。3adj soundly adv sleep soundly 睡得很香很甜have a sound sleep 美美的睡了一觉excitement n [u]激动，兴奋cause excitement/arouse excitement 引起激动excite v eg His story excites me very much. 他的故事令我非常激动。eg The scene would excite the hardest man to pity. 那个场面就算是最铁石心肠的人也会同情的。eg His speech excited everyone present to anger. 他的发言激怒了所有在场的人。excited adj 感到激动的主语是人an excited mob 激动的人群exciting adj 令人激动的主语是物an exciting moment 兴奋的时刻handsome 1adj (指男子）好看的，漂亮的，英俊的，相貌堂堂的2adj (指事物）美观的，漂亮的a handsome horse 一匹漂亮的马a handsome building 漂亮的建筑物--some 与名词或动词复合构成adj,描述人或物的特征或属性。quarrelsome adj 爱与人争吵的adj 令人讨厌的或惹人恼火的worrisome adj 令人担心的adj 惹麻烦的wheel n 1the wheels of a car 汽车的轮子2be behind wheel/ sit behind wheel 握着方向盘(在开车/开船）be at the wheel/ sit at the wheel 握着方向盘(在开车/开船）eg Will you take the wheel ? 你来开车好吗？eg America is a country on the wheel ? 美国是一个车轮上的国家。eg Australia is a country on the back of sheep.澳大利亚是一个羊背上的国家。 wheel chair 轮椅 stretcher 担架 Lesson 56Faster than sound New words and expressions 漂亮的，美观的听起来（感官动词，后面+adj 表达感觉）罗尔斯-罗伊斯（劳斯莱斯）奔驰爆炸，轰响使…兴奋，刺激(睡眠）酣睡的，香甜的(睡眠）酣睡地，香甜地bothersome/tiresome troublesome 车轮，轮子方向盘，舵轮（steering wheel)
新概念英语第二册逐句精讲语言点第56课(3) Lesson 56：Faster than sound! 比声音还快！ Once a year, a race is held for old cars. A lot of cars entered for this race last year and there was a great deal of excitement just before it began. One of the most handsome cars was a Rolls-Royce Silver Ghost. The most unusual car was a Benz which had only three wheels. Built in 1885, it was the oldest car taking part. After a great many loud explosions, the race began. Many of the cars broke down on the course and some drivers spent more time under their cars than in them! A few cars, however, completed the race. The winning car reached a speed of forty miles an hour -- much faster than any of its rivals. It sped downhill at the end of the race and its driver had a lot of trouble trying to stop it. The race gave everyone a great deal of pleasure. It was very different from modern car races but no less exciting. 句子讲解： 本文语法：复习级和比较级及数量词的用法 (参考Lesson 8和Lesson 32的语法分析。) 7、Many of the cars broke down on the course and some drivers spent more time under their cars than in them! 很多汽车在途中就抛了锚，而有些驾驶员修车的时间比坐在汽车里面的时间还要长。 语言点1 broke down “抛锚”，汽车制造商丰田公司的经典广告词： Have you ever seen a broke-down TOYOTA on the way?
平面的基本性质（1） 教学目标： 1．了解立体几何研究的对象及方法，初步建立空间的概念； 2．掌握平面的概念，平面的画法及其表示法，掌握平面的基本性质公理1、2、3； 3．初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化． 教学重、难点：平面的基本性质公理1、2、3，空间概念的建立． 教学过程： （一）新课讲解： 1．平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分． 2．平面的画法及其表示方法： ①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45o，横边画成邻边的两倍。画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画． ②一般用一个希腊字母α、β、γ----来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示 如平面α，平面AC等． 3．空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：
4．平面的基本性质： 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 推理模式： A A B B ααα∈? ???∈? ． 如图示： 应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内．模式：a A A a α α???∈? ∈?． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 一条直线。 推理模式： A l A ααββ∈? ?=?∈? I 且A l ∈且l 唯一． 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上． 公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。 推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ? ? ∈???∈? 不共线与β重合． 应用：①确定平面；②证明两个平面重合． （二）例题分析： 例1 将下列文字语言转化为符号语言，图形语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ；
新概念英语第二册：第56课课文详解及语法解析课文详注 Further notes on the text 1. once a year,每年一次。 once+表示时间的名词能够表示“每...一次”： The postman calls once a day. 邮递员每天来一次。 2. A lot of cars entered for this race last year...去年有很多汽车参加了这项比赛... enter for表示"报名参加"。(cf.第8课词汇学习) 3. Built in 1885,it was the oldest car taking part.该车造于1885年，是参赛车中.老的一辆。 built引导的过去分词短语起状语的作用，说明动作发生的背景或情况。主句能够补全为it was the oldest car taking part in the race. 4. Many of the cars broke down on the conrse…很多汽车在途中就抛了锚…… break down为固定短语，其含义之一是“(机械等)出故障”、“出毛病”： This morning I was late for work,beceuse my car broke down twice. 今天上午我上班迟到了，因为我的车坏了两次。 5. The winning car reached a speed of forty miles an hour-much faster than
any of its rivals.获胜的那辆车达到了时速40英里—远远超过任何对手。 (1) winning为现在分词作定语： Those of the winning team jumped happily. 获胜队的队员们高兴地跳着。 (2)表示速度为多少时可用a speed of+数量词这个结构： You must have been driving at a speed of seventy miles an hour. 你刚才一定是以每小时70英里的速度在开车。 (3)破折号后面的部分补充说明这个速度。much是用得较多的与比较级连用的修饰语： House are much more expensive these days. 如今的房价贵多了。 6. It sped downhill at the end of the race and its driver had a lot of trouble trying to stop it.它在接近终点时。冲下了山坡，驾驶员费了好大劲才把车停下来。 (1)speed作不及物动词时能够表示“疾驶”、“急行”等含义： The police car sped past us. 警车从我们身边疾驶而过。 The two men sped out of the room. 那两个人快步走出了房间。 (2)表示“在...的末尾/最后部分”时能够用at the end of这个短语：
§1.2.1 平面的基本性质(2) 教学目标： 1．了解推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象． 2．初步学习立体几何中的证明． 教学重点： 三个推论的理解和应用． 教学难点： 推论的正确理解和正确应用． 教学过程： 1．复习引入 复习：回顾平面的基本性质的三个公理：公理1、公理2、公理3． 问题：根据公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么， ○ 1一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？ ○ 2两条相交直线呢？ ○ 3两条平行直线呢？ 为什么？ 推论1： 推论2： 推论3： 3．例题讲解 例1．已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈?，求证：直线,,AD BD CD 共面。 练习：（1）求证：两两相交且不过同一点的三条直线共面。 （2）已知：平面AB D ∩平面BCD=BD ，AE AB = CH BC = 13 ,AF AD = CG CD = 12 求证：BD 、EF 、GH 共点。 例2．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。 A B C D l α A B C D E H F G
变式：若l α β=，,A B α∈，C β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线。 4．练习 (1)若空间三个平面两两相交，则它们的交线有 条； (2)四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有 个； (3)给出下列四个命题：○1若空间四点不共面，则其中无三点共线；○2若直线l 上有一点在平面α外，则l 在α外；○3若直线,,a b c 中，a 与b 共面且b 与c 共面，则a 与c 共面；○4两两相交的三条直线共面．其中正确命题的序号是__________． (4)在正方体1111ABCD A B C D -中，○ 11AA 与1CC 能够确定一个平面？ ○2点1,,B C D 能否确定一个平面？ ○3画出平面11ACC A 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线； ○4P 为棱BC 的中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与正方体表面的交线。 A 1A 1B 1C A C B A D C C 1 D 1 B 1 A 1
新概念英语第二册第56课学案Part 1 Words 1. sound 1) n.声音（一切声音） Eg. the sound of a car 2) 感官动词+adj *sound like 听起来像 3) adj 酣睡的，（睡眠）香甜的 *soundly adv 酣睡地 Eg. She sleeps soundly. She has a sound sleep. 2. excitement n. 激动，兴奋不可名*excite v. 使兴奋，使激动 *exciting adj 令人兴奋的 *excited adj 感到兴奋的 3. explode v. 使爆炸，炸开 Eg. explode a bomb 引爆炸弹 *explosion n.爆炸,爆发 3.couse 1) n.进程，过程 Eg. the course of history 历史的进程2）n.航线，路线，行程 Eg. Our course is directly north. 3) n.课程，课题，讲座 Eg. an English course 英语课程 4. speed 1) n.速度 *at a speed of 以……的速度 *at a low speed *at top/cll speed 以全速 *More haste, less speed. 欲速则不达2）v.加速–sped—sped *speed up 加速*speeding n.超速行驶 Eg. a speeding ticket 超速罚款单 5. downhill 下坡 Uphill 上坡 *down-表向下的方向 Eg. downriver 顺流---upriver 逆流 Downwards 朝下—upwards 朝上 Downwind 顺风—upwind 逆风 Dowanstairs 下楼—upstairs 上楼 Part 2 Grammar Many+可名复 Too many+可名复 How many+可名复 So many +可名复 A great many +可名复 Few/a few +可名复 A great/good/large number of +可名复 Much +不可名 Too much +不可名 How much +不可名 So much +不可名 Lots of = a lot of = some=plenty of +不可名/可名复Little +不可名 A little +不可名 A great deal of +不可名 A large amount of +不可名 Part 3 Text 1. A lot of cars entered for this race last year and there was a great deal of excitement just before it began. *enter for 参加 ==join in ==take part in 2. Built in 1885, it was the oldest car taking part. *Built in 1885 过去分词短语做状语
“平面的基本性质”教案、教案说明及点评 张宏海执教（内蒙古包头市第一中学） 章建跃点评（人民教育出版社中学数学室） 教案 一、立体几何中的符号语言 创设情境 板书：一加一等于二 1+1=2 师：如果让你选择其中一种方法表示，你更喜欢哪一种？ ……
师：为什么？ …… 师：好，这就体现了我们数学中的一种简约美，这种简约美在立体几何中也有很好的体现。我们可以把线、面看成是点的集合，这样的话，点与直线、点与平面的位置关系就是元素与集合的关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系就是集合与集合之间的关系，那么，我们能用已经学过的集合语言来描述一下空间中的点、线、面的位置关系吗？ 请看题： 组织活动：（实物投影） 点A 在直线l 上 （l A ∈） B 点B 在直线l 外 （B l ?） A l 点A 在平面α内 （α∈A ） B 点B 在平面α外 （α?B ） α A 直线a 和直线b 相交于点O a O （a b O = ） b 平面α与平面β相交于直线l α （l =βα ） β （或.βα??l l 且） 学生在下面练习，可以互相讨论。把学生答案通过实物投影展示。 构建符号 空间图形位置关系，可以用集合符号来表示。
尝试应用： 公理1的内容（即条件和结论）是什么？图形表示是什么？怎样运用符号来表示？ 公理1： ααα??? ??∈∈AB B A 直线 师：任何事物都是相对的，符号语言是很简洁，但也不是万能的，有时需要辅以必要的文字说明。以公理3为例让学生体会。 公理3： A 、B 、C 三点不共线?? ???∈∈∈?ααααC B A ，使有且只有一个平面 回顾反思： 立体几何的研究对象是立体图形，图形直观地反映了空间点、线、面的位置关系，文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是文字语言的简单化和再次抽象，对于研究对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，学习立体几何的过程中，要求同学们能够将三种语言进行熟练的转化，文字语言或是图形语言转化为符号语言的时候，一定要做到既不重复又不遗漏且符合原意，有时符号与文字共用，这说明任何事物都是辩证的。 二、确定平面的方法 创设情境 公理3的作用是什么？并以教室的门为实例，分析“有且只有一个”是“确定”的意思。所谓“确定”就是固定住了。 师：公理3用不共线的三点确定了一个平面，那么，根据大家的生活实践经验，还有其它确定平面的方法吗？ 组织活动： 学生拿出准备好的竹签和垫板，按照学习小组分组讨论。 要求学生动手实验，如何把垫板固定住？ 探索发现： 派学生代表上讲台交流实验发现的结果。 师：如果把两根竹签抽象成两条直线，垫板抽象成一个平面，那么我们会得到什么样的结论？ 学生：思考 构建理论： 引导学生归纳总结得出结论： 1. 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 师：公理是无需证明的，但对于上述结论的正确性，还是需要进行严格的证 明。 分析：（1）与平面几何的证明一样，证明立体几何问题的一般步骤是： 第一步：根据题意作图，写出已知、求证。 第二步：写出证明过程。
平面的基本性质（1） 教学目标 （1）了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法； （2）初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化； （3）了解平面的基本性质：公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题． 教学重点 平面的概念及其表示；三种语言相互之间的转化；平面的基本性质． 教学难点 平面的基本性质及其简单应用． 教学过程 一、问题情境 1．情境：广阔的草原、平静的湖面、长方体的底面、侧面都给我们以平面的形象。 2．问题：在数学世界中，平面到底是什么样的一个概念呢？ 二、学生活动 将平面的概念与直线的概念加以对照，以加深对平面概念的理解。 三、建构数学 1．平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。 思考：①一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成几部分？ ②演示：将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上，试问硬纸板所在平面与桌面有多少个 公共点呢？为什么？ 2．平面的画法及其表示方法： ①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍。 ②一般用一个希腊字母α、β、γ----来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等。 3．图形语言、符号语言、文字语言的相互转化： BC B = ?平面AC ?平面AC
α B A 4．平面的基本性质： 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 推理模式： A A B B ααα∈? ???∈? ． 如图示： 应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内。模式：a A A a α α???∈?∈? ． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 经过这个公共点的一条直线。 说明：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。 推理模式：P l P ααββ∈??=?∈?且P l ∈。 如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 如图示： 说明：过不共线三点,,A B C 的平面通常记作“平面ABC ” 。 推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ?? ∈???∈? 不共线与β重合。 应用：①确定平面；②证明两个平面重合。 四、数学运用 1．例题： 例1．将下列文字语言转化为符号语言，图形语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ； （3）直线l 在平面α内，又在平面β内。（即平面α和β相交于直线l ．） （解略） 1A 1B 1C 1D A B C D M ? P ? l α β P ? A ? B ? C ? α
新概念英语第二册课后练习题答案详解(第56课) 新概念英语第二册课后习题Lesson 58 1. b 根据课文第8-9行…but so far he has refused. He has pointed out that the tree is a useful source of income 能够判断只有c. it earns money 与课文的实际内容相符，是牧师拒绝把树砍掉的原因，其他3个选择都与课文的实际情况不符，所以选b. 2. d 根据课文最后两句…the tourists have been picking leaves and… So far, not one of them has been struck down by sudden death, 能够看出只有d. Tourists who have picked leaves haven’t died (摘树叶的游客们没有死)是真实的，与课文的内容相符，其他3个选择都与课文的事实不符。 3. a 该句缺少主语和谓语，只有一个that引导的从句。只有a. They say (他们说，人们说)，最适合这个句子，也合乎语法和习惯用法。 其他3个选择b. it said (它说)意思不对，应该是it is said 才准确;c. Said 缺少主语;d. It is saving 不合乎习惯用法，应该是It is said 才对。所以选a. 4. a 该句中的if 从句是过去时，那么主句就应该是过去将来时，即用would 加动词原形，表示与现在事实相反，所以只有选a. would 才能使主句He would die 与If 从句相配，构成虚拟语气。其他3个选择都不合乎语法。 5. c
14 平面的基本性质 教材分析 这篇案例是在初中平面几何知识的基础上进一步研究平面的基本性质．平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，这节课既是立体几何的开头课，又是基础课，学生对本节内容理解和掌握得如何，是能否学好立体几何的关键之一．这节课的教学重点是平面的基本性质，难点是平面的基本性质的应用及建立空间概念、正确应用符号语言． 教学目标 1. 在引导学生观察思考生活中的实例、实物模型等的基础上，总结和归纳出平面的基本性质，初步学会用数学的眼光去认识和感受现实的三维空间． 2. 会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理，能用公理及推论解决有关问题，提高学生的逻辑推理能力． 3. 通过画图和识图，逐步培养学生的空间想象能力，使学生在已有的平面图形知识的基础上，建立空间观念． 任务分析 这节课是立体几何学习的基础，但学生空间立体感还不强．为此，教学时要充分联系生活中的实例，如自行车有一个脚撑等，通过实例，使学生尽快形成对空间的正确认识，建立初步的空间观念；在联系实际提出问题和引入概念时，要合理运用教具，如讲解公理1时，可让学生利用手中的直尺去测桌面是不是平的；讲解公理2时可让学生观察教室的墙面的关系等．通过这些方式加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力．当用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，宜先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，这样，就有可能收到较好的效果，给学生留下较为深刻的印象． 教学设计 一、问题情景 1. 利用你手中的直尺，如何判定你课桌的桌面是不是平的． 2. 你骑的自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？ 3. 矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，硬纸板与讲台面不重合，能否说这两个平面只有一个公共点？