22>>=+b a b
y a x 的右
焦点)0,3(F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点,若AB 的中点坐标为)1,1(-,则E 的方程为( )
A. 1364522=+y x
B. 127362
2=+y x
C. 118
272
2=+y x
D. 19
182
2=+y x
【解题指南】本题中给出AB 的中点坐标,所以在解题时先设出A ,B 两点坐标,然后采用点差法求解.
【解析】选D.由椭圆122
22=+b y a x 得,222222b a y a x b =+,
因为过F 点的直线与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 交于A ,B 两点,
设),(11y x A ,),(22y x B ,则
1221=+x x ,12
2
1-=+y y 则22212212b a y a x b =+ ①
222
222
22b a y a x b =+ ②
由①-②得0)()(2221222212=-+-y y a x x b , 化简得0))(())((2121221212=+-++-y y y y a x x x x b .
0)(2)(2212
212
=---y y a x x b , 22
2121a
b x x y y =--
又直线的斜率为0(1)1312k --=
=-,即21
22=a
b . 因为92
2
2
2
-=-=a c a b ,所以21
922=-a
a ,解得182=a ,92=
b .
故椭圆方程为19
182
2=+y x .
二、解答题
5.(2013·安徽高考理科·T18)设椭圆22
22
:11x y E a a
+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ^,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上。
【解析】(1)因为焦距为1,所以21
214
a -=,解得25=8
a ,从而椭圆E 的方程为
22
88153
x y +=. (2)设0012(,0),(,0)x y c F c -P (,),F
,其中0x c 1,则直线1P F 的斜率1
00+F P y K x c =
,直线2P F 的斜率200-F P y K x c =,100+F P y
K x c
=,故直线2P F 的方程为00()y y x c x c =
--, 当x=0时,00cy y c x =-,即点Q 坐标为00
0cy c x -(,),因此直线1Q F 的斜率1
00F Q y K c x =
-。由于11
F P FQ ^,所以1100
00
...1,+F P F Q y y K K x c c x ==-- 化简得22200(21)y x a =-- ①
将① 代入椭圆E 的方程,由于点00x y P (,)在第一象限,解得20=x a ,20=1-y a ,即点P 在定直线x+y=1上。
6. (2013·天津高考文科·T18) 与(2013·天津高考理科·T18)相同
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,
离心率为过点F 且与x 轴垂直的
直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交
于C , D 两点. 若·
·8AC DB AD CB +=, 求k 的值. 【解题指南】(Ⅰ)由离心率及过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a ,b 的值,写出椭圆方程.
(Ⅱ)写出过点F 且斜率为k 的直线方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的
关系表示·
·+AC DB AD CB 求解.
【解析】(Ⅰ)设(,0)-F c
由c
a =
知,a =过点F 且与x 轴垂直的直线为,x c =-
代入椭圆方程有2222()1,c y a b -+=解
得,3y =±于
是33
=解
得b =又
2
2
2
-=a c b
,从而1a c ==,所以椭圆方程为22
1,32
x y +=.
(Ⅱ)设1122(,),(,)C x y D x y ,由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1),y k x =+由方程组
2
2
(1),
1,3
2y k x x y =+???+=??消去y ,整理得2222(23)6360.+++-=k x k x k 可得22121222
636
,.2323k k x x x x k k
-+==++
因为(0),A
0),B
所以11222211··(),)(3,)AC DB AD CB x y x y x y x y
+=?--+-- 1212
21212222121222
622622(1)(1)6(22)2()2212
623x x y y x x k x x k x x k x x k k k =--=--++=-+-+-+=+
+
由已知得22
212
6823k k
++=+
,解得k = 7.(2013·北京高考文科·T19)直线y =kx +m (m ≠0)与椭圆W:2
4
x +y 2=1相
交于A ,C 两点,O 是坐标原点。
(1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长; (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明:四边形OABC 不可能为菱形。 【解题指南】(1)把线段OB 的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C 的坐标,再求AC 的长.
(2)用反证法.假设OABC 为菱形,则只需证明若OA=OC,则A 点与C 点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.
【解析】(1)线段OB 的垂直平分线为1
2y =,因此A 、C
点的坐标为1()2
,
于是AC 的长为
(2)只需证明若OA=OC ,则A 点与C 点的横坐标相等或互为相反数。
设OA=OC=r (r>1),则A 、C 为圆2
2
2
x y r +=与椭圆2
2:14
x W y +=的交点。
22314x r =-,x =,A 所以点与C 点的横坐标互为相反数或相等, 此时B 点为顶点。因此四边形OABC 不可能是菱形。
8. (2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T20)平面直角坐标系xOy 中,过椭
圆M :22
221x y a b
+=(a>b >0)右焦点的直线x+y-=0交M 于A ,B 两点,P 为AB
的中点,且OP 的斜率为12
(1)求M 的方程
(2)C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值
【解题指南】(1)涉及到弦AB 的中点问题,考虑点差法,建立关于a,b 的方程组,解得a,b 的值,确立M 的方程;
(2)将四边形的面积表示出来,可转化为S =AB h ?,然后利用函数的知识求最值.
【解析】设()()1122,,,A x y B x y ,则22
11221x y a b +=①,
22
2222
1x y a b += ②,①-②得 ()()()()121212122
2
0x x x x y y y y a b -+-++=.因为
12
12
1y y x x -=--,设()00,P x y ,因为P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12
,所以0012
y x =,即()12121+y 2
y x x =+,所以可以解得
222a b =,
即()
2
2
2
2a a c =-,即222a c =,又因为c =所以2
6a =,所以M 的方程为22
163
x y +=.
(2)因为CD AB ⊥,直线AB 的方程为0x y +=,所以设直线CD 方程为
y x m =+,将0x y +代入22163x y +=得:230x -=,解得03x x ==或 不
防令(A 、B 33?- ??
,所以可得3AB =,将y x m =+代入22+163x y =得:
2234260x mx m ++-=,
设()
33,C x y ,()44,D x y ,则CD == 又因为()221612260m m ?=-->,即33m -<<,
所以当0m =时,CD 取得最大值4,所以四边形ACBD 面积的最大值为
123
AB CD ?= 9. (2013·辽宁高考文科·T20)与(2013·辽宁高考理科·T20)相同 如图,
抛物线2212:4,:2(0).C x y C x py p ==->点00(,)M x y 在抛物线2C 上,过M
作1C 的切线,切点为,A B (为M 原点O 时,,A B 重合于O ).当01x =时,切线MA 的斜率为1
2
-。
()I 求p 的值;
()II 当M 在2C 上运动时,求线段AB 的中点N 的轨迹方程(,A B 重合于O ,中
点为O ).
【解题指南】利用导数的几何意义,求切线的斜率,建立相关参数的方程求参数;根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系,消去相关点的坐标,可得轨迹方程。 【解析】()I 设(,)A a b ,则
1
.2
MA x a
k y a ='
==
已知切线MA 在抛物线21:4C x y =上的切点为(,)A a b , 由导数的几何意义得,11.22
MA x a
k y a ='==
=- 所以 1.a =-从而211.4
4
b a == 故点1(1,).4
A -
由点斜式得切线MA 的方程:1
1(1).4
2
y x -=-+ 由于点00(,)M x y 在抛物线2C 上,又在切线MA 上,
所以得0020
011(1),
42
2.
y x x py ?
-=-+???=-?
将01x =代入上述方程组,即得2p = 故p 的值为2.
()II 设112212(,),(,),(,),N x y A x y B x y x x ≠
又点1122(,),(,)A x y B x y 在抛物线21:4C x y =上, 则2211221
1,4
4
y x y x ==,
由于N 为线段AB 的中点,所以22
121212,.228
x x y y x x x y +++=== ① 切线,MA MB 的方程分别为:211
1(),42
x x y x x -=- ②
2222()42
x x
y x x -=- ③ 由②③得切线,MA MB 得交点00(,)M x y 的坐标121200,24
x x x x
x y +=
= ④ 又由于点00(,)M x y 在抛物线2C 上,所以2004x y =- ⑤
由④⑤得22
12126
x x x x +=- ⑥
由①得222121212242x x x x x x x x +=?=++,22128x x y += ⑦ 将⑥代入得22222121212242()3
x x x x x x x =++=+ ⑧ 由⑦⑧得24,03
x y x =≠.
当12x x =时,,A B 重合于O ,中点N 为O ,其坐标满足方程243
x y = 综上可知,线段AB 的中点N 的轨迹方程为243
x y =.
10. (2013·湖南高考文科·T20)已知1F ,2F 分别是椭圆15
:22
=+y x E 的左、
右焦点,1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点。 (Ⅰ)求圆C 的方程;
(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b 。当ab 最大时,求直线l 的方程。
【解题指南】第(Ⅰ)问的关键是明白圆的直径和椭圆的焦距等长,圆心就是原点关于直线02=-+y x 的对称点,否则会增加许多计算量。第(Ⅱ)问要掌握利用弦心三角形求直线被圆所截得的弦长a ,利用弦长公式
2122122122124)(1
14)(1y y y y k
x x x x k d -+?+
=-+?+=求直线被椭圆截得的弦长b ,然后再根据化简的结果用相关知识去解题。
【解析】(I )由题设知21,F F 的坐标分别是)0,2(),0,2(-,圆C 的半径为2,圆心为原点O 关于直线02=-+y x 的对称点,设圆心坐标为),(00y x ,由
??
???==-+102220000x y y x 得{
22
00==x y ,所以圆C 的方程为4)2()2(22=-+-y x
(II )由题意,可设直线l 方程为2+=my x ,则圆心到直线l 的距离为
2
1|2|m
m d +=
,所以2
21442m
d b +=
-=,
由?????+==+2
15
22my x y x 得014)5(22=-++my y m ,
设l 与E 的两个交点坐标分别为),(),,(2211y x y x ,
则5
1
,542
21221+-=+-=+m y y m m y y , 于是
a ======
,
从而
222
515(1)4
m ab m m +===+++≤=
当且仅当1
412
2+=
+m m ,即3±=m 时等号成立,故当3±=m 时,ab 最大,
此时,直线l 的方程为23+=y x 或23+-=y x ,即023=--y x ,或
023=-+y x .
11.(2013·浙江高考理科·T21)如图,点P(0,-1)是椭圆C 1: 22
221(0)
x y a b a b
+=>>的一个顶点,C 1的长轴是圆C 2:x 2+y 2=4的直径. l 1,l 2是过点P 且互相垂直的两条直线,其中l 1交圆C 2于A,B 两点,l 2交椭圆于另一点D.
(1)求椭圆C 1的方程.
(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程.
【解题指南】(1)由图形和题意很容易找到椭圆中a,b 的值;(2)先利用待定系数法设出直线方程(即设直线的斜率为k),把△ABD 的面积表示出来(一定是关于k 的表达式),当△ABD 面积取最大值时,求k 的值. 【解析】(1)由题意得,a =2,b =1,
所以椭圆C 1的方程为: 2
214
x y +=.
(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),D(x 0,y 0).
由题意知,直线l 1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l 1的方程为:y=kx-1, 又圆
2C :224x y +=,故点O 到直线1l 的距离d =
所以AB ==又21l l ⊥,故直线2l 的方程为:0x ky k ++= 由22
044
x ky k x y ++=??
+=?,消去y ,整理得22
(4)80k x kx ++=
故,0284k x k =-+
,所以2
4PD k =+
设△ABD 的面积为S
,则2
124S AB PD k
=?=+
所以,3213S =
=
当且仅当2
k =±
时取等号 所以所求1l
的方程为12
y x =±
-.
【解题指南】(1)由题设的两个条件可得a,b ;(2)设点D D (x ,0
),由 .0AE AD =用0D G x x x 表示,,写出QG K ,联立直线QG 与椭圆的方程,整理转化为关于x 的一元二次方程问题求解。
【解析】(1)因为焦距为4,所以224a b -=,又因为椭圆C 过点P ,所
以22231a b +=,故22
=84a b =,,从而椭圆C 的方程为22184
x y +=. (2)一定有唯一的公共点.由题意,设E 点坐标为0(x ,0),D 点坐标为(x D ,0),
则0=-2(,D AE AD x =-(x ,2),,
再由AD AE ^知,.0AE AD =,即0.+8=0D x x ,由于0.0D x 1x ,故
08
=-
D x x ,
因为点G 是点D 关于y 轴的对称点,所以点0
8(,0)G x .故直线QG 的斜率
000
2
000
,88
QG y x y K x x x =
=
--又因为00(,)Q x y 在椭圆C 上,所以220028x y +=,① 从而00,2QG x K y =
故直线QG 的方程为000
8
()2x y x y x =-, ② 将②代入椭圆C 方程,得2222000021664160x y x x x y +-+-=() ③
再将①代入③,化简得22002+0x x x x -=,解得00,x x y y ==,即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.
13.(2013·浙江高考文科·T22)已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点
F(0,1).
(1)求抛物线C 的方程.
(2)过F 作直线交抛物线C 于A,B 两点.若直线AO,BO 分别交直线l :y =x -2于M,N 两点,求|MN |的最小值.
【解题指南】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出A,B 两点的坐标(设而不求),设出直线的方程,由已知条件把|MN|表示出来,进行求解.
【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2=2py(p>0),则p
2
=1,p =2, 所以抛物线C 的方程为x 2=4y .
(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的方程为:y=kx+1,由2
1
4y kx x y
=+??
=?,
消去y ,整理得2440x kx --= 所以12124,4x x k x x +==-
从而12x x -=由11,2,?=?
??=-?y y x x y x 解得点M 的横坐标112
1111122844
M x x x x x y x x ===--- 同理点N 的横坐标2
8
4N x x =
-,
所以M N MN x =
-28
4x =
-=
=令43,0k t t -=≠,则3
4
t k += 当0t >
时,MN =当0t <
时,MN =综上所述,当253t =-
时,即43k =-时,MN
的最小值是 14. (2013·山东高考理科·T22)椭圆C :22
221x y a b
+=(a >b >0)的左、
右焦点分别是F 1、F 2,离心率为
F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ,0),求m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p 作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点, 设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明
12
11
kk kk +
为定值,并求出这个定值. 【解题指南】(Ⅰ)由椭圆222c b a +=及过F 1的线段长,可列出方程求出椭圆的方程;(Ⅱ)先设出点P 的坐标,根据角平分线的性质,角平分线上的点到角两边的距;离相等,可列出方程求出点P 的横坐标与m 的关系,由椭圆的范围求出m 的范围.(Ⅲ)可先设出直线的点斜式方程,与椭圆联立消去y ,由于l 与椭圆C 有且只有一个公共点,即0=?,可得出k 与点P 的坐标的联系,然后将斜率用坐标表示出来的式子代入
2
11
1kk kk +
即可. 【解析】(Ⅰ)由于2
2
2
b a
c -=,x=-c 代入椭圆方程122
22=+b
y a x ,
得a b y 2±=,由题意知
122
=a
b ,即22b a =, 又2
3
=
=a c e ,所以a=2,b=1, 所以椭圆C 的方程为14
22
=+y x
(Ⅱ)设()()0,,000≠y y x P , 又()()0,3,0,321F F -,
所以直线21,PF PF 的方程分别为
1PF l :()033000=++-y y x x y ,
2
PF l :()03300
=+
-
-y y x
x y ,
由题意知,M 到直线21,PF PF 的距离相等, 所以
()
()
2
02
00
02
0200
03
33
3-+-=
+++x y y m y x y y m y ,
由于点P 在椭圆上,所以14
202
0=+y x
所以
2
02
022332233???
?
??--=
???
? ??++x m x m
因为33<<-m ,220<<-x , 可得
002
3232233x m
x m --=
++, 所以04
3x m = 因此2
323
<<-m
(Ⅲ)设()()0,,000≠y y x P ,则直线l 的方程为()00x x k y y -=-,
联立()
?????-=-=+002214x x k y y y x 整理得()()()01248412
020********=-+-+-++x k y kx y x x k ky x k .
由l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以0=?, 即()[]()()01244148202002022
020=-+-?+--x k y kx y k x k ky
即(
)
012420
002
20
=-++-y k y x k x ,又14
202
0=+y x
所以08162
000220=++x k y x k y ,
故0
4y x k -
=, 由(Ⅱ)知
00002123311y x y x y x k k =
-++=+, 所以824111110
002121-=???? ??-=???? ??+=+y x x y k k k kk kk ,
因此
2
11
1kk kk +
为定值,这个定值为-8. 15. (2013·山东高考文科·T22)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上,短轴长为2
,离心率为2
. (I)求椭圆C 的方程;
(II)A,B 为椭圆C 上满足△AOB
的面积为
4
,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 于点P,设OP tOE =,求实数t 的值.
【解题指南】(Ⅰ)可由椭圆的定义及简单的几何性质,易知椭圆的标准方程;(II)由于A,B 两点任意,因此需要考虑直线AB 的斜率是否存在,斜率不存在时,设出A,B 两点坐标,由已知条件得出P 点坐标代入椭圆方程即可求得t 的值,斜率存在时,可设直线的方程,然后与椭圆联立,根据条件得出t 的关系式.
【解析】(Ⅰ)设椭圆C 的方程为()0122
22>>=+b a b y a x ,
由题意知???????==+=2
2222
22b a
c
c b a ,解得1,2==b a
因此椭圆C 的方程为12
22
=+y x .
(II) 当AB ⊥x 轴时,设A(x 0,y 0),B(x 0,-y 0),
由0020
220012132=221.
2
x y x x y ?=????+=??得或,
由
=t =t(x 0,0)=(tx 0,0),得P(tx 0,0),
又P 在椭圆上,所以2202t x +02=1,所以t 2=20
2
x =4或43,
所以t=2
或
3
(舍去负值). 当AB 不垂直于x 轴时,设AB:y=kx+m ,显然m ≠0,代入椭圆方程得 (1+2k 2)x 2+4kmx+2(m 2-1)=0.…(*)
由三角形面积公式知, 12
|x A y B -x B y A |=12
|x A (kx B +m)-x B (kx A +m)| =12
|m||x A -x B
|=所以
, ||A B x x -=
==>22
3()42A B A B
x x x x m +-=,
即2222222
8(1)163(12)122m k m k k m
--=++,整理得, 222223(12)1216k k m m ++-=…①
又222,21212A B
E E E x x km m x y kx m k k
+=
=-=+=++, 所以, 222(,)1212kmt mt OP tOE k k
==-++,
即222(,)1212kmt mt P k k
-++,将其代入椭圆方程得
2
2222()12()112kmt k mt k
-++=+, 整理可得,22212k m t +=②
联立①②,消去212k +,约分掉2m ,移项整理得,42316160t t -+=, 解之可得,24t =或43
,均能使(*)式的0?>,
所以2t =
或(舍去负值).
综上,2t =
或.
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