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2015届高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库:考点43 直线与圆锥曲线的位置关系(含详解,13高考题)]

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考点43 直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

1. (2013·新课标Ⅰ高考文科·T8)O 为坐标原点,F 为抛物线C :x y 242=的焦点,P 为C 上一点,若24||=PF ,则△POF 的面积为( ) A.2 B.22 C.32 D.4

【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.

【解析】选C.设),(11y x P ,则24222

||11=+=+

=x P

x PF ,解得231=x ,因为P 为C 上一点,则24232424121=?==x y ,得 62||1=y ,所以

326222

1

=??=?P

O

F

S . 2.(2013·江西高考文科·T9)已知点A (2,0),抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则|FM|:|MN|= ( ) D. 1:3

【解题指南】由抛物线的定义把

FM

转化为点M 到准线的距离,再结合直线

的斜率,借助直角三角形进行求解.

【解析】选C.设直线FA 的倾斜角为θ,因为F (0,1),A (2,0),所以直

线FA 的斜率为12

-,即1tan 2

θ=-,过点M 作准线的垂线交准线于点Q ,由

抛物线定义得

FM MQ

=,在MQN 中

|MQ |1

|QN |2

=,可得

|MQ ||MN |=,即|FM|:

|MN|=

3. (2013·重庆高考文科·T10)设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有

一对相交于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )

A.(

2]3 B.[2)3 C.()3+∞ D.[)3

+∞ 【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线11A B 和22A B 的斜率之间的关系即可.

【解析】选A.由题意知, 直线11A B 和22A B 关于x 轴对称,又所成的角为060,所以直线方程为x y 3

3

±

=或x y 3±=,又因为有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,所以渐近线斜率满足333≤

b

,解得

23

3

2≤

22>>=+b a b

y a x 的右

焦点)0,3(F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点,若AB 的中点坐标为)1,1(-,则E 的方程为( )

A. 1364522=+y x

B. 127362

2=+y x

C. 118

272

2=+y x

D. 19

182

2=+y x

【解题指南】本题中给出AB 的中点坐标,所以在解题时先设出A ,B 两点坐标,然后采用点差法求解.

【解析】选D.由椭圆122

22=+b y a x 得,222222b a y a x b =+,

因为过F 点的直线与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 交于A ,B 两点,

设),(11y x A ,),(22y x B ,则

1221=+x x ,12

2

1-=+y y 则22212212b a y a x b =+ ①

222

222

22b a y a x b =+ ②

由①-②得0)()(2221222212=-+-y y a x x b , 化简得0))(())((2121221212=+-++-y y y y a x x x x b .

0)(2)(2212

212

=---y y a x x b , 22

2121a

b x x y y =--

又直线的斜率为0(1)1312k --=

=-,即21

22=a

b . 因为92

2

2

2

-=-=a c a b ,所以21

922=-a

a ,解得182=a ,92=

b .

故椭圆方程为19

182

2=+y x .

二、解答题

5.(2013·安徽高考理科·T18)设椭圆22

22

:11x y E a a

+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ^,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上。

【解析】(1)因为焦距为1,所以21

214

a -=,解得25=8

a ,从而椭圆E 的方程为

22

88153

x y +=. (2)设0012(,0),(,0)x y c F c -P (,),F

,其中0x c 1,则直线1P F 的斜率1

00+F P y K x c =

,直线2P F 的斜率200-F P y K x c =,100+F P y

K x c

=,故直线2P F 的方程为00()y y x c x c =

--, 当x=0时,00cy y c x =-,即点Q 坐标为00

0cy c x -(,),因此直线1Q F 的斜率1

00F Q y K c x =

-。由于11

F P FQ ^,所以1100

00

...1,+F P F Q y y K K x c c x ==-- 化简得22200(21)y x a =-- ①

将① 代入椭圆E 的方程,由于点00x y P (,)在第一象限,解得20=x a ,20=1-y a ,即点P 在定直线x+y=1上。

6. (2013·天津高考文科·T18) 与(2013·天津高考理科·T18)相同

设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ,

离心率为过点F 且与x 轴垂直的

直线被椭圆截得的线段长为.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交

于C , D 两点. 若·

·8AC DB AD CB +=, 求k 的值. 【解题指南】(Ⅰ)由离心率及过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a ,b 的值,写出椭圆方程.

(Ⅱ)写出过点F 且斜率为k 的直线方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的

关系表示·

·+AC DB AD CB 求解.

【解析】(Ⅰ)设(,0)-F c

由c

a =

知,a =过点F 且与x 轴垂直的直线为,x c =-

代入椭圆方程有2222()1,c y a b -+=解

得,3y =±于

是33

=解

得b =又

2

2

2

-=a c b

,从而1a c ==,所以椭圆方程为22

1,32

x y +=.

(Ⅱ)设1122(,),(,)C x y D x y ,由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1),y k x =+由方程组

2

2

(1),

1,3

2y k x x y =+???+=??消去y ,整理得2222(23)6360.+++-=k x k x k 可得22121222

636

,.2323k k x x x x k k

-+==++

因为(0),A

0),B

所以11222211··(),)(3,)AC DB AD CB x y x y x y x y

+=?--+-- 1212

21212222121222

622622(1)(1)6(22)2()2212

623x x y y x x k x x k x x k x x k k k =--=--++=-+-+-+=+

+

由已知得22

212

6823k k

++=+

,解得k = 7.(2013·北京高考文科·T19)直线y =kx +m (m ≠0)与椭圆W:2

4

x +y 2=1相

交于A ,C 两点,O 是坐标原点。

(1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长; (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明:四边形OABC 不可能为菱形。 【解题指南】(1)把线段OB 的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C 的坐标,再求AC 的长.

(2)用反证法.假设OABC 为菱形,则只需证明若OA=OC,则A 点与C 点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.

【解析】(1)线段OB 的垂直平分线为1

2y =,因此A 、C

点的坐标为1()2

于是AC 的长为

(2)只需证明若OA=OC ,则A 点与C 点的横坐标相等或互为相反数。

设OA=OC=r (r>1),则A 、C 为圆2

2

2

x y r +=与椭圆2

2:14

x W y +=的交点。

22314x r =-,x =,A 所以点与C 点的横坐标互为相反数或相等, 此时B 点为顶点。因此四边形OABC 不可能是菱形。

8. (2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T20)平面直角坐标系xOy 中,过椭

圆M :22

221x y a b

+=(a>b >0)右焦点的直线x+y-=0交M 于A ,B 两点,P 为AB

的中点,且OP 的斜率为12

(1)求M 的方程

(2)C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值

【解题指南】(1)涉及到弦AB 的中点问题,考虑点差法,建立关于a,b 的方程组,解得a,b 的值,确立M 的方程;

(2)将四边形的面积表示出来,可转化为S =AB h ?,然后利用函数的知识求最值.

【解析】设()()1122,,,A x y B x y ,则22

11221x y a b +=①,

22

2222

1x y a b += ②,①-②得 ()()()()121212122

2

0x x x x y y y y a b -+-++=.因为

12

12

1y y x x -=--,设()00,P x y ,因为P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12

,所以0012

y x =,即()12121+y 2

y x x =+,所以可以解得

222a b =,

即()

2

2

2

2a a c =-,即222a c =,又因为c =所以2

6a =,所以M 的方程为22

163

x y +=.

(2)因为CD AB ⊥,直线AB 的方程为0x y +=,所以设直线CD 方程为

y x m =+,将0x y +代入22163x y +=得:230x -=,解得03x x ==或 不

防令(A 、B 33?- ??

,所以可得3AB =,将y x m =+代入22+163x y =得:

2234260x mx m ++-=,

设()

33,C x y ,()44,D x y ,则CD == 又因为()221612260m m ?=-->,即33m -<<,

所以当0m =时,CD 取得最大值4,所以四边形ACBD 面积的最大值为

123

AB CD ?= 9. (2013·辽宁高考文科·T20)与(2013·辽宁高考理科·T20)相同 如图,

抛物线2212:4,:2(0).C x y C x py p ==->点00(,)M x y 在抛物线2C 上,过M

作1C 的切线,切点为,A B (为M 原点O 时,,A B 重合于O ).当01x =时,切线MA 的斜率为1

2

-。

()I 求p 的值;

()II 当M 在2C 上运动时,求线段AB 的中点N 的轨迹方程(,A B 重合于O ,中

点为O ).

【解题指南】利用导数的几何意义,求切线的斜率,建立相关参数的方程求参数;根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系,消去相关点的坐标,可得轨迹方程。 【解析】()I 设(,)A a b ,则

1

.2

MA x a

k y a ='

==

已知切线MA 在抛物线21:4C x y =上的切点为(,)A a b , 由导数的几何意义得,11.22

MA x a

k y a ='==

=- 所以 1.a =-从而211.4

4

b a == 故点1(1,).4

A -

由点斜式得切线MA 的方程:1

1(1).4

2

y x -=-+ 由于点00(,)M x y 在抛物线2C 上,又在切线MA 上,

所以得0020

011(1),

42

2.

y x x py ?

-=-+???=-?

将01x =代入上述方程组,即得2p = 故p 的值为2.

()II 设112212(,),(,),(,),N x y A x y B x y x x ≠

又点1122(,),(,)A x y B x y 在抛物线21:4C x y =上, 则2211221

1,4

4

y x y x ==,

由于N 为线段AB 的中点,所以22

121212,.228

x x y y x x x y +++=== ① 切线,MA MB 的方程分别为:211

1(),42

x x y x x -=- ②

2222()42

x x

y x x -=- ③ 由②③得切线,MA MB 得交点00(,)M x y 的坐标121200,24

x x x x

x y +=

= ④ 又由于点00(,)M x y 在抛物线2C 上,所以2004x y =- ⑤

由④⑤得22

12126

x x x x +=- ⑥

由①得222121212242x x x x x x x x +=?=++,22128x x y += ⑦ 将⑥代入得22222121212242()3

x x x x x x x =++=+ ⑧ 由⑦⑧得24,03

x y x =≠.

当12x x =时,,A B 重合于O ,中点N 为O ,其坐标满足方程243

x y = 综上可知,线段AB 的中点N 的轨迹方程为243

x y =.

10. (2013·湖南高考文科·T20)已知1F ,2F 分别是椭圆15

:22

=+y x E 的左、

右焦点,1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点。 (Ⅰ)求圆C 的方程;

(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b 。当ab 最大时,求直线l 的方程。

【解题指南】第(Ⅰ)问的关键是明白圆的直径和椭圆的焦距等长,圆心就是原点关于直线02=-+y x 的对称点,否则会增加许多计算量。第(Ⅱ)问要掌握利用弦心三角形求直线被圆所截得的弦长a ,利用弦长公式

2122122122124)(1

14)(1y y y y k

x x x x k d -+?+

=-+?+=求直线被椭圆截得的弦长b ,然后再根据化简的结果用相关知识去解题。

【解析】(I )由题设知21,F F 的坐标分别是)0,2(),0,2(-,圆C 的半径为2,圆心为原点O 关于直线02=-+y x 的对称点,设圆心坐标为),(00y x ,由

??

???==-+102220000x y y x 得{

22

00==x y ,所以圆C 的方程为4)2()2(22=-+-y x

(II )由题意,可设直线l 方程为2+=my x ,则圆心到直线l 的距离为

2

1|2|m

m d +=

,所以2

21442m

d b +=

-=,

由?????+==+2

15

22my x y x 得014)5(22=-++my y m ,

设l 与E 的两个交点坐标分别为),(),,(2211y x y x ,

则5

1

,542

21221+-=+-=+m y y m m y y , 于是

a ======

从而

222

515(1)4

m ab m m +===+++≤=

当且仅当1

412

2+=

+m m ,即3±=m 时等号成立,故当3±=m 时,ab 最大,

此时,直线l 的方程为23+=y x 或23+-=y x ,即023=--y x ,或

023=-+y x .

11.(2013·浙江高考理科·T21)如图,点P(0,-1)是椭圆C 1: 22

221(0)

x y a b a b

+=>>的一个顶点,C 1的长轴是圆C 2:x 2+y 2=4的直径. l 1,l 2是过点P 且互相垂直的两条直线,其中l 1交圆C 2于A,B 两点,l 2交椭圆于另一点D.

(1)求椭圆C 1的方程.

(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程.

【解题指南】(1)由图形和题意很容易找到椭圆中a,b 的值;(2)先利用待定系数法设出直线方程(即设直线的斜率为k),把△ABD 的面积表示出来(一定是关于k 的表达式),当△ABD 面积取最大值时,求k 的值. 【解析】(1)由题意得,a =2,b =1,

所以椭圆C 1的方程为: 2

214

x y +=.

(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),D(x 0,y 0).

由题意知,直线l 1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l 1的方程为:y=kx-1, 又圆

2C :224x y +=,故点O 到直线1l 的距离d =

所以AB ==又21l l ⊥,故直线2l 的方程为:0x ky k ++= 由22

044

x ky k x y ++=??

+=?,消去y ,整理得22

(4)80k x kx ++=

故,0284k x k =-+

,所以2

4PD k =+

设△ABD 的面积为S

,则2

124S AB PD k

=?=+

所以,3213S =

=

当且仅当2

k =±

时取等号 所以所求1l

的方程为12

y x =±

-.

【解题指南】(1)由题设的两个条件可得a,b ;(2)设点D D (x ,0

),由 .0AE AD =用0D G x x x 表示,,写出QG K ,联立直线QG 与椭圆的方程,整理转化为关于x 的一元二次方程问题求解。

【解析】(1)因为焦距为4,所以224a b -=,又因为椭圆C 过点P ,所

以22231a b +=,故22

=84a b =,,从而椭圆C 的方程为22184

x y +=. (2)一定有唯一的公共点.由题意,设E 点坐标为0(x ,0),D 点坐标为(x D ,0),

则0=-2(,D AE AD x =-(x ,2),,

再由AD AE ^知,.0AE AD =,即0.+8=0D x x ,由于0.0D x 1x ,故

08

=-

D x x ,

因为点G 是点D 关于y 轴的对称点,所以点0

8(,0)G x .故直线QG 的斜率

000

2

000

,88

QG y x y K x x x =

=

--又因为00(,)Q x y 在椭圆C 上,所以220028x y +=,① 从而00,2QG x K y =

故直线QG 的方程为000

8

()2x y x y x =-, ② 将②代入椭圆C 方程,得2222000021664160x y x x x y +-+-=() ③

再将①代入③,化简得22002+0x x x x -=,解得00,x x y y ==,即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.

13.(2013·浙江高考文科·T22)已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点

F(0,1).

(1)求抛物线C 的方程.

(2)过F 作直线交抛物线C 于A,B 两点.若直线AO,BO 分别交直线l :y =x -2于M,N 两点,求|MN |的最小值.

【解题指南】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出A,B 两点的坐标(设而不求),设出直线的方程,由已知条件把|MN|表示出来,进行求解.

【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2=2py(p>0),则p

2

=1,p =2, 所以抛物线C 的方程为x 2=4y .

(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的方程为:y=kx+1,由2

1

4y kx x y

=+??

=?,

消去y ,整理得2440x kx --= 所以12124,4x x k x x +==-

从而12x x -=由11,2,?=?

??=-?y y x x y x 解得点M 的横坐标112

1111122844

M x x x x x y x x ===--- 同理点N 的横坐标2

8

4N x x =

-,

所以M N MN x =

-28

4x =

-=

=令43,0k t t -=≠,则3

4

t k += 当0t >

时,MN =当0t <

时,MN =综上所述,当253t =-

时,即43k =-时,MN

的最小值是 14. (2013·山东高考理科·T22)椭圆C :22

221x y a b

+=(a >b >0)的左、

右焦点分别是F 1、F 2,离心率为

F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ,0),求m 的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p 作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点, 设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明

12

11

kk kk +

为定值,并求出这个定值. 【解题指南】(Ⅰ)由椭圆222c b a +=及过F 1的线段长,可列出方程求出椭圆的方程;(Ⅱ)先设出点P 的坐标,根据角平分线的性质,角平分线上的点到角两边的距;离相等,可列出方程求出点P 的横坐标与m 的关系,由椭圆的范围求出m 的范围.(Ⅲ)可先设出直线的点斜式方程,与椭圆联立消去y ,由于l 与椭圆C 有且只有一个公共点,即0=?,可得出k 与点P 的坐标的联系,然后将斜率用坐标表示出来的式子代入

2

11

1kk kk +

即可. 【解析】(Ⅰ)由于2

2

2

b a

c -=,x=-c 代入椭圆方程122

22=+b

y a x ,

得a b y 2±=,由题意知

122

=a

b ,即22b a =, 又2

3

=

=a c e ,所以a=2,b=1, 所以椭圆C 的方程为14

22

=+y x

(Ⅱ)设()()0,,000≠y y x P , 又()()0,3,0,321F F -,

所以直线21,PF PF 的方程分别为

1PF l :()033000=++-y y x x y ,

2

PF l :()03300

=+

-

-y y x

x y ,

由题意知,M 到直线21,PF PF 的距离相等, 所以

()

()

2

02

00

02

0200

03

33

3-+-=

+++x y y m y x y y m y ,

由于点P 在椭圆上,所以14

202

0=+y x

所以

2

02

022332233???

?

??--=

???

? ??++x m x m

因为33<<-m ,220<<-x , 可得

002

3232233x m

x m --=

++, 所以04

3x m = 因此2

323

<<-m

(Ⅲ)设()()0,,000≠y y x P ,则直线l 的方程为()00x x k y y -=-,

联立()

?????-=-=+002214x x k y y y x 整理得()()()01248412

020********=-+-+-++x k y kx y x x k ky x k .

由l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以0=?, 即()[]()()01244148202002022

020=-+-?+--x k y kx y k x k ky

即(

)

012420

002

20

=-++-y k y x k x ,又14

202

0=+y x

所以08162

000220=++x k y x k y ,

故0

4y x k -

=, 由(Ⅱ)知

00002123311y x y x y x k k =

-++=+, 所以824111110

002121-=???? ??-=???? ??+=+y x x y k k k kk kk ,

因此

2

11

1kk kk +

为定值,这个定值为-8. 15. (2013·山东高考文科·T22)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上,短轴长为2

,离心率为2

. (I)求椭圆C 的方程;

(II)A,B 为椭圆C 上满足△AOB

的面积为

4

,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 于点P,设OP tOE =,求实数t 的值.

【解题指南】(Ⅰ)可由椭圆的定义及简单的几何性质,易知椭圆的标准方程;(II)由于A,B 两点任意,因此需要考虑直线AB 的斜率是否存在,斜率不存在时,设出A,B 两点坐标,由已知条件得出P 点坐标代入椭圆方程即可求得t 的值,斜率存在时,可设直线的方程,然后与椭圆联立,根据条件得出t 的关系式.

【解析】(Ⅰ)设椭圆C 的方程为()0122

22>>=+b a b y a x ,

由题意知???????==+=2

2222

22b a

c

c b a ,解得1,2==b a

因此椭圆C 的方程为12

22

=+y x .

(II) 当AB ⊥x 轴时,设A(x 0,y 0),B(x 0,-y 0),

由0020

220012132=221.

2

x y x x y ?=????+=??得或,

=t =t(x 0,0)=(tx 0,0),得P(tx 0,0),

又P 在椭圆上,所以2202t x +02=1,所以t 2=20

2

x =4或43,

所以t=2

3

(舍去负值). 当AB 不垂直于x 轴时,设AB:y=kx+m ,显然m ≠0,代入椭圆方程得 (1+2k 2)x 2+4kmx+2(m 2-1)=0.…(*)

由三角形面积公式知, 12

|x A y B -x B y A |=12

|x A (kx B +m)-x B (kx A +m)| =12

|m||x A -x B

|=所以

, ||A B x x -=

==>22

3()42A B A B

x x x x m +-=,

即2222222

8(1)163(12)122m k m k k m

--=++,整理得, 222223(12)1216k k m m ++-=…①

又222,21212A B

E E E x x km m x y kx m k k

+=

=-=+=++, 所以, 222(,)1212kmt mt OP tOE k k

==-++,

即222(,)1212kmt mt P k k

-++,将其代入椭圆方程得

2

2222()12()112kmt k mt k

-++=+, 整理可得,22212k m t +=②

联立①②,消去212k +,约分掉2m ,移项整理得,42316160t t -+=, 解之可得,24t =或43

,均能使(*)式的0?>,

所以2t =

或(舍去负值).

综上,2t =

或.

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