高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计
一、教材分析
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法.首先，我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，这是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段.但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法.因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法，这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节，掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材.
二、教学目标
1．知识目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理解数学归纳法原理.
（2）能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论.
（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式.
2. 能力目标
（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.
（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.
（3）在学习中培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题、
提出问题的意识和数学交流的能力.
3. 情感目标
（1）通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点.
（2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟数学的内在美，激发学生学习热情，使学生喜欢数学.
（3）学生通过置疑与探究，初步形成正确的数学观，创新意识和严谨的科学精神.
三、教学重点与难点
1．教学重点
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用.
2．教学难点
（1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性.
（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当1
=+时结论
n k
正确.
四、教学方法
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发.在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望.师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性.
五、教学过程
（一）创设情境，提出问题
情景一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的. 情境二：平面内三角形内角和是180?，四边形内角和是2180??，五边形内角和是3180??，于是得出：凸n 边形内角和是()2180n ?-? .
情境三：数列{}n a 的通项公式为()2
255n a n n =-+可以求得12341,1,1,1a a a a ====于是猜想出数列{}n a 的通项公式为1n a =.
情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔，怎么证明它们是白色的呢？
结论：情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论，即不完全归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法，情景四是完全归纳法，结论可靠但要一一核对,工作量大.
提出问题：如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课要 学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.
（二）实验演示，探索解决问题的方法
1．几何画板演示动画多米诺骨牌游戏，师生共同探讨：要让这些骨牌全部倒 下，必须具备哪些条件呢 ① 第一块骨牌必须倒下.
② 两块连续的骨牌，当前一块倒下一定导致后一块倒下.
可以看出，条件②事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第1k + 块也倒下.
这样，只要第1块倒下，其他所有的就能够相继倒下.无论多少块，只要①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
演示小节：数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.
2． 数学归纳法原理
证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1） （归纳奠基） 当n 取第一个值0n （*0n ∈ ）时命题成立；
（2） （归纳递推）假设当()*0,n k k k n =∈≥ 时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.
上述证明方法称为数学归纳法.
主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础.
（注：数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.”）
（三）迁移应用，理解升华
例1 用数学归纳法证明：如果{}n a 是一个等差数列，那么()11n a a n d =+- 对于一切*n ∈ 都成立.
证明: (1)当1n = 时,左边1,a = 右边()1111,a d a =+-=结论成立
(2)假设当n k = 时结论成立， 即 ()11k a a k d =+-
则当1n k =+ 1k k a a d +=+
()11a k d d =+-+ ()1[11]a k d =++-
∴ 当1n k =+时，结论也成立.
由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈ 都成立.
例2 已知数列{}n a 其通项公式为21,n a n =-试猜想该数列的前n 项和公式,n S 并n k = 到1n k =+ 有什么变化
用假设
凑结论
用数学归纳法证明你的结论.
解： （1）111S a == 212134S S a =+=+=
323459S S a =+=+= 4349716S S a =+=+=
(2) 猜想2,n S n =问题转化为证明213521.n n ++++-=
证明:（1） 当1n =时,左边=1,右边=1,等式是成立的.
(2) 假设当n k =时等式成立，即有
()213521k k ++++-=
则当1n k =+,有
()()()()222
13521[211]
[211]
21
1k k k k k k k ++++-++-=++-=++=+ 因此，当1n k =+时，等式也成立
由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈ 都成立.
（四）反馈练习，巩固提高
课堂练习：课本第95页练习1，2
（五）课堂小结：让学生归纳本节课所学内容，不足的老师补充.
1. 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法
2. 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两 个步骤一个结论.
3数学归纳法的科学性：基础正确，可传递.用有限的步骤证明无限的结论.
（六）布置作业
课本第96页习题 2.3 A 组1、2.
2.2.2 反证法 学习要求 1．了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． 知识要点 1．定义：假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等． 问题探究 探究点一反证法的概念 问题1王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他 们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？” ”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了什么方法？ 问题2上述方法的含义是什么？ 问题3反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾． 反证法引出的矛盾有几种情况？ 问题4反证法主要适用于什么情形？ 探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论
例1已知直线a，b和平面α，如果a?α，b?α，且a∥b，求证：a∥α. 小结数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法． 跟踪训练1已知：a∥b，a∩平面α＝A，如图．求证：直线b与平面α必相交． 探究点三用反证法证明否定性命题 例2求证：2不是有理数．
高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间 的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： （1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )
抛物线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2．会求简单的抛物线的方程. 【学法指导】 通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 【知识要点】 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 2 探究点一 抛物线定义 如图，我们在黑板上画一条直线EF ，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边 上，并将拉链下边一半的一端固定在C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线. 问题1 画出的曲线是什么形状？ 问题2 |DA |是点D 到直线EF 的距离吗？为什么？ 问题3 点D 在移动过程中，满足什么条件？ 问题 4 在抛物线定义中，条件“l 不经过点F ”去掉是否可以？ 例1 方程[] 2 2)1()3(2-++y x ＝|x －y ＋3|表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 跟踪训练1 （1）若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 （2）若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 探究点二 抛物线的标准方程 问题 1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？ 问题2 抛物线方程中p 有何意义？标准方程有几种类型？ 问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？ 例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. （1）y 2＝－6x ； （2）3x 2＋5y ＝0； （3）y ＝4x 2； （4）y 2＝a 2x (a ≠0). 跟踪训练2 （1）抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为( ) A ．??? ?7 16，0 B ．????－74，0 C ．??? ?－7 16，0 D ．? ???0，－7 4 （2）抛物线y ＝－1 4x 2的准线方程是 ( ) A ．x ＝1 16 B ．x ＝1 C ．y ＝1 D ．y ＝2 例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）准线方程为2y ＋4＝0； （2）过点(3，－4)； （3）焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上. 跟踪训练3 （1）经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝y B ．y 2＝x 或x 2＝8y C ．x 2＝－8y 或y 2＝x D ．x 2＝y 或y 2＝－8x （2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、
§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1） ※学习目标 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理； 2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步； 3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏. ※课前预习 1、预习目标 准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。 2、预习内容 分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m 1 种不同的方法,在第二类方 式,中有m 2种不同的方法，……，在第n类方式,中有m n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 分步计数原理：完成一件事,需要分成n个，做第1步有m 1 种不同的方法，做 第2步有m 2种不同的方法，……，做第n步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法。 3、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 预习自测 1从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？ 2一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？
二、新课导学 ※学习探究 探究任务一：分类计数原理 问题1：P2思考题1 分析：给座位编号的方法可分____类方法? 第一类方法用，有___ 种方法; 第二类方法用，有___ 种方法; ∴能编出不同的号码有__________ 种方法. 新知：分类计数原理－加法原理： 如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m种方法，在第2类方案中有n种 m+种不同的方法. 不同的方法，那么，完成这件工作共有n 试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是. 反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？ 探究任务二：分步计数原理 问题2：P3思考题2 分析：每一个编号都是由个部分组成，第一部分是，有____种编法，第二部分是，有种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个. 新知：分步计数原理－乘法原理： 完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方 m?种不同方法。 法，那么，完成这件工作共有n 试试：P4例2
高中数学教案选修全套 【选修2-2教案｜全套】 目录 目录................................................................................. I 第一章导数及其应用 (1) §1.1.1变化率问题 (1) 导数与导函数的概念 (4) §1.1.2导数的概念 (6) §1.1.3导数的几何意义 (9) §1.2.1几个常用函数的导数 (13) §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16) §1.2.2复合函数的求导法则 (19) §1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (22) §1.3.2函数的极值与导数（2课时） (27) §1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (31) §1.4生活中的优化问题举例（2课时） (34) §1.5.3定积分的概念 (38) 第二章推理与证明 (42) 合情推理 (42) 类比推理 (45) 演绎推理 (48) 推理案例赏识 (50) 直接证明--综合法与分析法 (52) 间接证明--反证法 (54) 数学归纳法 (56) 第3章数系的扩充与复数的引入 (67) §3.1数系的扩充和复数的概念 (67) §3.1.1数系的扩充和复数的概念 (67) §3.1.2复数的几何意义 (70) §3.2复数代数形式的四则运算 (73) §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (73) §3.2.2复数代数形式的乘除运算 (77)
第一章 导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均 膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212)()(V V V r V r - -
新苏教版高中数学选修2-2教学案（全册） _1.1导数的概念 1．1.1 平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示． 自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)． 问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？ 提示：Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0. 问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？ 提示：对于山坡AB ，可用Δy Δx 来近似刻画山路的陡峭程度． 问题3：试想Δy ＝y 1－y 0 x 1－x 0的几何意义是什么？ 提示：Δy Δx ＝y 1－y 0 x 1－x 0 表示直线AB 的斜率． 问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？Δy Δx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？ 提示：不相同.Δy Δx 的值越大，山路越陡峭． 1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . 2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：
(1)函数在[x 1，x 2]上有意义； (2)在式子f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0. (3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同． [对应学生用书P3] [例1] (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率． [思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率． [精解详析] (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为： f (2.1)－f (2)2.1－2 ＝(3×2.12＋2)－(3×22＋2) 0.1＝12.3. (2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－2) (－1)－(－2) ＝ [3×(－1)－2]－[3×(－2)－2](－1)－(－2) ＝ (－5)－(－8) －1＋2 ＝3. [一点通] 求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x 2－x 1； 第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)； 第三步：求平均变化率f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . 1．函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________． 解析：函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率为g (4)－g (2)4－2＝－3×4－(－3)×2 4－2 ＝ －12＋6 2 ＝－3. 答案：－3 2.如图是函数y ＝f (x )的图象，则：
2.2.3数学归纳法（一） 【学习目标】 1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤; 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3.理解数学归纳法中递推思想. 【新知自学】 知识回顾： 1.证明方法： （1）直接证明???_________ _________； （2）间接证明：________. 新知梳理： 1.问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 2.数学归纳法两大步： （1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立; （2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0，k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 3.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 对点练习： 1.若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1 (n ∈N ＋)，则f (1)为() A ．1 B ．15 C ．1＋12＋13＋14＋15 D ．非以上答案 2.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则() A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14
C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14 3.用数学归纳法证明:当为整数时, 2135(21)n n ++++-=. 【合作探究】 典例精析： 2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈ 变式练习： 2*1427310(31)(1),n n n n n N ?+?+?+ ++=+∈
山东省泰安市肥城市第三中学高中数学 导数学案1 新人教A 版选修 2-2 学习内容 学习指导 即时感悟 【学习目标】 1．掌握导数的概念，导数公式及计算，导数在函数中的应用。能够用导数解决生活中的优化问题。 2．掌握定积分的概念，微积分基本定理及定积分的应用。 【学习重点】导数在研究函数中的应用。 【学习难点】导数在研究函数中的应用，定积分的应用。 学习方向 【回顾引入】 回顾： 2.运算法则：加减法： 乘法： 除法： 【自主﹒合作﹒探究】 例1若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈求000()()lim h f x h f x h h →+-- 的值 例2．求曲线32 242y x x x =--+在点(1,一3)处的切线方程 自我完成 了解新知 引入新知 得到知识 找原函数
例3.求曲线3cos (0)2 y x x π =≤≤与坐标轴围成的面积 例4.已知函数3 2 ()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点成中心对称, 试判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性,并证明你的结论. 【当堂达标】 1.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒 2.设a ∈R ,函数()e e x x f x a -=+?的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.若曲 线()y f x =的一条切线的斜率是3 2 ,则切点的横坐标为 A.ln 2 B.ln 2- C.ln 22 D.ln 2 2 - 3.若函数32 ()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 4.已知函数2)(2 3-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __ 【反思﹒提升】 【作业】 高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑的售价为6 000元/台时，月销售量为a 台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的售价提高的百分率为x (0 导数的计算（复习课） 【学习目标】 1.掌握基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则； 2.会求含有加、减、乘、除运算的函数导数； 3.会求简单复合函数的倒数. 【知识回顾】 1.基本初等函数的导数公式： （1）c '=___________（c 为常数）； （2）)('α x =________（α为常数）； （3）)('x a =________（0a ＞且1a ≠）； （4）)(log 'x a =______（0a ＞且1a ≠）； （5）)('x e =_____________； （6）)(ln 'x =_____________； （7）=')(sin x ___________； （8）)(cos 'x =____________． 2.设两个函数分别为f(x)和g(x), （1）=')]([x f c _____________; （2）[]='±)()(x g x f ___________； （3）[]='?)()(x g x f __________________; （4）='?? ????)()(x g x f ____________)0)((>x g ． 3. 复合函数()[]x f y ?=，设u φ＝(x ), 则))((x f ?'=_________________. (复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代) 【典例精析】 例1. 求曲线2 y x ＝过下列点的切线方程：（1）P （-1,1）；（2）Q(0，－1).联合例5后置处理 例2.求下列函数的导数： （1）y=3x ·lnx ； （2）y=lgx- 2x 1； （3）y= x x -1cos ； （4）2)2(-=x y . 2.1.1合情推理(一) 【学习目标】 1.了解归纳推理的定义，能利用归纳进行简单的推理，并作出猜想； 2.了解归纳推理在数学发现中的作用； 3.培养学生的想像能力和逻辑思维能力. 【新知自学】 知识回顾： （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程. （3）已知一数列的前5项为2，4，6，8，10，你知道数列的第6项及第n项吗？ 在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理,推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程. 新知梳理： 问题1：二百多年前，德国数学家哥德巴赫在研究自然数时偶然发现： 6＝3＋3， 8＝3＋5， 10＝3＋7， 12＝5＋7， 14＝7＋7, 16＝5＋11，…， 1002=139+863，…… 于是他大胆地提出了一个猜想.继续上述过程你能提出一个猜想吗？ 问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，由此你能得出什么结论? 问题3：三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540?. 由此我们猜想：凸边形的内角和是 . 问题4：一个口袋里装有许多球，每次从中取出一个球，先后取20次均为白球，由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？应用归纳推理可以发现一般结论，其不足之处是什么？ 定义：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理. 对点练习： 1.观察下面的“三角阵”： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 1 10 45 … … 45 10 1 试找出相邻两行数之间的关系. 2.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 3.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）. A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数 4.从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ . 【合作探究】 典例精析： 例1. 观察下列等式：1+3=4=2 2， 1+3+5=9=2 3， 1+3+5+7=16=2 4， 1+3+5+7+9=25=2 5， …… 你能猜想到一个怎样的结论？ ,. 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 学习目标 1.掌握椭圆的定义及其标准方程； 2.理解椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因。 基础感知 预习教材，完成下列问题： （1）平面内的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的，两焦点之间的距离叫做椭圆的 （2）椭圆的标准方程：当焦点在x轴时，标准方程为；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程为 （3）集合语言：点集P=｛M｜|MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|｝ 当2a=|F1F2|时，轨迹是 当2a<|F1F2|时，轨迹是 合作学习 例1.已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2,0）（2,0），并且经过点（2.5,-1.5）,求它的标准方程。 例2.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x 轴的垂线段PD,D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？ ,. 例3.设点A、B的坐标分别为（-5,0）（5,0）,直线AM、BM相交于点M,且他们的斜率之积是-4/9,求点M的轨迹方程？当堂检测 课后练习 2.2.2 椭圆的简单几何性质班级姓名小组学习目标 1.掌握椭圆的几何性质 2.椭圆的几何性质的实际应用 基础感知 预习教材，完成下列表格 ,. 合作学习 例1.求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴长、离心率、焦点、顶点坐标 例2.点M（x,y）与定点F（4,0）的距离和它到直线 4 25 x的距离之比是常数 5 4 ,求点M的轨迹方程 当堂检测 《师说》随堂自测 ,. 限时训练（1） 班级姓名小组1.焦点在x轴上，a=6,c=1的椭圆的标准方程为: 2.已知椭圆的方程为m2x2+16y2=16m2,焦点在x轴上，则m的取值范围: 3.过点（-3,2）且与4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆方程为: 4.已知椭圆的方程是25x2+a2y2=25a2,它的两个焦点分别是F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1，则三角形ABF2的周长为: 5.椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是: 6.已知两定点F1（-1,0）F2（1,0）,动点P 满足:|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,求: （1）点P的轨迹方程 （2）若∠F1PF2=120。，求三角形PF1F2的面积 二中高二数学选修4-4导学案 编号： 新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案 §—第一课 平面直角坐标系 本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题. 一、 温故而知新 1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么 2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹方程. % 二、 重点、难点都在这里 【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）（详解见课本） 。 【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系. （ 三、 懂了，不等于会了 4．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹. 典型问题 技能训练 · 5．求直线0532=+-y x 与曲线x y 1 =的交点坐标. 6．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 ' 是 . 8．已知A （-3，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为9 4 ，则 点M 的轨迹方程是 . ￥ ] 1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念 [学习目标] 1．了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． [知识链接] 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？ 答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝33V 4π， (1)当V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62 (dm)， 气球的平均膨胀率为 r 1 －r 0 1－0 ≈0.62(dm/L)． (2)当V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为 r 2 －r 1 2－1 ≈0.16(dm/L)． 可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． [预习导引] 1．函数的变化率 0函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx 称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx . 要点一 求平均变化率 例1 已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10. (1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1)＝－4.9 (Δx )2－3.3Δx ，∴ Δy Δx ＝－4.9Δx －3.3. § 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商 x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在 x 0到x 0＋Δx 之间的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度 问题2什么是平均变化率，平均变化率有何作用 例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化 率． 问题3平均变化率有什么几何意义 跟踪训练1 如图是函数y＝f(x)的图象，则： （1）函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二求函数的平均变化率 例2已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平 均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,]；（4）[1,]． 跟踪训练2分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1 和从m变到n(m≠n)时的平均变化率． 问题一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点 探究点三平均变化率的应用 例3甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大 跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果 【当堂检测】 1.1.2导数的概念 【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，并体会导数的思想及其内涵． 2.理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来．如导数就是瞬时变化率，导数反映了函数在x 附近变化的快慢等． 【新知自学】 知识回顾： 1. =?x ___________叫做函数)(x f y =从21x x 到的平均变化率．（类似的则有函数)(x f y =在点0x x =附近的平均变化率为=??x y _______________________）． 2.平均变化率的几何意义是______________ __________________________________________ ___________________________________________. 新知梳理： 1.函数)(x f y =在点0x x =处的瞬时变化率是=??→?x y x 0lim _____________． 2.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =??→?x y x 0lim _____________________． 感悟： 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系： 平均变化率x x f x x f x ?-?+=??)()(y 0，当x ?趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率.即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化的越快. 对点练习： 1.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是（ ） A.)()(00x f x x f y -?+=?叫做函数的增量 B.()()x x f x x f x y ?-?+=??00叫做函数在0x 到x x ?+0之间的平均变化率 C.()()x x f x x f ?-?+00叫做函数()x f y =在0x 处的导数 D.()()0 0x x 0lim x x x f x f --→ 叫做函数()x f y =在0x 处的导数 ' ' （4） ? ? = ____________ [ 导数的计算（复习课） 【学习目标】 1.掌握基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则； 2.会求含有加、减、乘、除运算的函数导数； 3.会求简单复合函数的倒数. 【知识回顾】 1.基本初等函数的导数公式： （1） c ' =___________（c 为常数）； （2） ( x α )' =________（ α 为常数）； （3） (a x )' =________（ a ＞0 且 a ≠ 1 ）； （4） (log x )' =______（ a ＞0 且 a ≠ 1 ）； a （5） (e x )' =_____________； （6） (ln x )' =_____________； （7） (sin x )' = ___________； （8） (cos x )' =____________． 2.设两个函数分别为 f(x)和 g(x), （1） [cf '( x )] = _____________; （2） [f ( x ) ± g ( x )] = ___________； （3） [f ( x ) ? g ( x )] = __________________; ? f ( x ) ? ? g ( x ) ? ' ( g ( x ) > 0) ． 3. 复合函数 y = f ? (x )]，设 u ＝ φ (x ), 则 f '(? ( x )) =_________________. (复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代) 【典例精析】 例 1. 求曲线 y ＝x 2 过下列点的切线方程：（1）P （-1,1）；（2）Q(0，－1).联合例 5 后置处 理 高二数学必修二导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0 ＋Δx 之间的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： （1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2 ，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率． §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1) －f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+)()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数 学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： （1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率． 问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？ 探究点三 平均变化率的应用 例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？ 跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成 果？ 【当堂检测】 1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________ 2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________ 3．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________． 【课堂小结】 1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； （2）计算平均变化率Δy Δx ＝1 2 12) ()(x x x f x f --. 【拓展提高】 1．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ） A ．0()f x x +? B ．0()f x x +? C ．0()f x x ? D ．00()()f x x f x +?- 2．质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．9 6t t +?+? C ．3t +? D ．9t +? §1.1.2 瞬时速度与导数导学案 【学习要求】 1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义． 2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率． 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法． 4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数． 【学法指导】 导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数. 【知识要点】人教版高中数学选修2-2学案：导数的计算
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