第3讲 平面向量
考情解读 1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力．
1．平面向量中的五个基本概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a |a |.
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .
(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有
一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 3．平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．平面向量的三个性质
(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b
|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22
.
热点一 平面向量的概念及线性运算
例1 (1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)
(2)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外
的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →
，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,0)
思维启迪 (1)根据平面向量基本定理解题．(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与OC →＝mOA →＋nOB →
对应． 答案 (1)B (2)D
解析 (1)由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)．
(2)依题意，由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →
. 又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →
(μ>1)， 则OC →
＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，
所以m ＝－λ
μ，n ＝－1－λμ
.
故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1
μ
∈(－1,0)．故选D.
思维升华 对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆．如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．
(1)(2014·陕西)设0<θ<π
2
，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，
则tan θ＝________.
(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →
＝b ，且
CE →
＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.
答案 (1)12 (2)－1
2
解析 (1)因为a ∥b ，
所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π
2，所以cos θ>0，
得2sin θ＝cos θ，tan θ＝1
2
.
(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .
因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF . 因为AF ＝1
3AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．
方法一 因为AB →＝a ，AC →
＝b ，D 为BC 的中点， 所以AD →＝1
2(a ＋b )．
所以AE →＝12AD →＝1
4
(a ＋b )．
所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE →
＝－b ＋14(a ＋b )
＝14a －34
b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－1
2.
方法二 易得EF ＝12MD ，MD ＝1
2CF ，
所以EF ＝14CF ，所以CE ＝3
4
CF .
因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →
＝－b ＋13a ，
所以CE →＝3
4(－b ＋13a )＝14a －34b .
所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－1
2.
热点二 平面向量的数量积
例2 (1)如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →
等于( )
A ．－34
B ．－89
C ．－14
D ．－49
(2)(2013·重庆)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →
|的取值
范围是( ) A.?
??
?0，
52 B.??
??
52，72 C.??
?
?52，2
D.??
?
?72，2 思维启迪 (1)图O 的半径为1，可对题中向量进行转化FD →＝FO →＋OD →，FE →＝FO →＋OE →； (2)利用|OP →|<12，寻找OP →，OA →
的关系．
答案 (1)B (2)D
解析 (1)∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝1
3
，
∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝(13)2
＋0－1＝－89.
(2)∵AB 1→⊥AB 2→
，
∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →) ＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA →2.
∵AP →＝AB 1→＋AB 2→.
∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →. ∵|OB 1→|＝|OB 2→
|＝1，
∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OB 2→·OA →) ＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2，
∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA →2<14，
∴74 |∈??? ?72，2. 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． (1)(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8， AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________． (2)已知点G 是△ABC 的重心，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是________． 答案 (1)22 (2)23 解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋ 1 4AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB → － 316 AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD → ＝22. (2)在△ABC 中，延长AG 交BC 于D ，∵点G 是△ABC 的重心，∴AD 是BC 边上的中线，且AG ＝23AD ，∵AB →·AC →＝|AB →|×|AC →|×cos 120°＝－2，∴|AB →|×|AC →|＝4，∵AG →＝23AD →，2AD →＝AB →＋ AC →，∴AG →＝13 (AB →＋AC →)， ∴AG →2＝[13(AB →＋AC →)]2＝19[AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2]≥19[2|AB →|×|AC →|＋2×(－2)]＝49，∴AG → 2≥49， ∴|AG →|≥23，∴|AG → |的最小值是23. 热点三 平面向量与三角函数的综合 例3 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α (1)若α＝π 4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π 3 ，且a ⊥c ，求tan 2α的值． 思维启迪 (1)应用向量的数量积公式可得f (x )的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x 值． (2)由夹角公式及a ⊥c 可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果． 解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )， c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ????π 4 ???t ＋ 222－3 2 ，－1 22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22 ， 即2sin ????x ＋π4＝－22， ∵π4 4π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12 . ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12. (2)∵a 与b 的夹角为π 3 ， ∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)． ∵0<α ∵a ⊥c ， ∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ????2α＋π 3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－3 5. 思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题． 已知向量a ＝? ???sin x ，3 4，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值； (2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝ 63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π 3 ])的取值范围． 解 (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－3 4. ∴cos 2 x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝8 5 . (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ? ???2x ＋π4＋3 2， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝22，∴A ＝π 4. ∴f (x )＋4cos ????2A ＋π6＝2sin ????2x ＋π4－12， ∵x ∈[0，π3]，∴2x ＋π4∈[π4，11π 12]． ∴ 32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12 . 故所求范围为[ 32－1，2－1 2 ]． 1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB →＝OB →－OA → (其中O 为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量． 2．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直． 3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 4．平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量 的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系． 真题感悟 1．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD → |＝1，则|OA →＋OB →＋OD → |的最大值是________． 答案 7＋1 解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD → |＝1知(x －3)2＋y 2＝1， 即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆． 又O A →＋OB →＋OD → ＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y ) ＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD → |＝(x －1)2＋(y ＋3)2. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7， 故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1. 2．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( ) A.12 B.2 3 C.56 D.712 答案 C 解析 ∵AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋μDC → ， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋μDC →) ＝AB →·AD →＋μAB →·DC →＋λBC →·AD →＋λμBC →·DC → ＝2×2×(－12)＋4μ＋4λ＋2×2×(－12)λμ ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1. ∴2(λ＋μ)－λμ＝3 2 .① ∵CE →·CF →＝(1－λ)CB →·(1－μ)CD → ＝(λμ－λ－μ＋1)CB →·CD → ＝2×2×(－1 2)(λμ－λ－μ＋1) ＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－2 3， ∴λμ－(λ＋μ)＋1＝1 3， 即λμ－(λ＋μ)＝－2 3.② 由①②解得λ＋μ＝5 6. 押题精练 1．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥P A →·PB → ，则λ的取值范围是( ) A ．[1 2，1] B ．[2－2 2，1] C ．[12，1＋22] D ．[1－22，1＋22 ] 答案 B 解析 因为CP →·AB →＝(AP →－AC →)·AB →＝AP →·AB →－AC →·AB →＝λAB →·AB →－AC →·AB →＝2λ－1×2×cos π4＝ 2λ－1，P A →·PB →＝－AP →·PB →＝－λAB →·(1－λ)AB →＝2λ(λ－1)，因为CP →·AB →≥P A →·PB → ，所以2λ－1≥2λ(λ－1)，解得2－22≤λ≤2＋22，又因为P 为AB 边上的点，所以0≤λ≤1，所以2－22≤λ≤1， 故选B. 2．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP → 最小值是__________． 答案 －1 16 解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋(BP → )2.又因为∠AOB ＝60°， OA ＝OB ， ∴∠OBA ＝60°.OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝(|BP → | －14)2－116≥－116.故当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP → 最小值是－116. 3．已知向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝(32，3 2)，x ∈R ，函数f (x )＝m ·n . (1)求f (x )的最大值； (2)在△ABC 中，设角A ，B 的对边分别为a ，b ，若B ＝2A ，且b ＝2af (A －π 6)，求角C 的大小． 解 (1)f (x )＝32sin x ＋32cos x ＝3sin(x ＋π 6)， 所以f (x )的最大值为 3. (2)因为b ＝2af (A －π 6)，由(1)和正弦定理，得sin B ＝23sin 2A . 又B ＝2A ，所以sin 2A ＝23sin 2A ， 即sin A cos A ＝3sin 2A ， 而A 是三角形的内角， 所以sin A ≠0，故cos A ＝3sin A ， tan A ＝ 33 ， 所以A ＝π6，B ＝2A ＝π3，C ＝π－A －B ＝π 2 . (推荐时间：60分钟) 一、选择题 1．设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是a ∥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 设向量a ，b 的夹角为θ，若|a ·b |＝||a ||b |cos θ|＝|a ||b |，cos θ＝±1，则a ∥b ；若a ∥b ，则cos θ＝±1，从而|a ·b |＝||a ||b |cos θ|＝|a ||b |，“|a ·b |＝|a ||b |”是a ∥b 的充要条件． 2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，AP →·BP → 取最小值时P 点坐标是( ) A ．(－3,0) B ．(1,0) C ．(2,0) D ．(3,0) 答案 D 解析 依题意设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP → ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时AP →·BP →取得最小值1.此时P 点坐标为(3,0)． 3．已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝π3，则|a ＋b |为( ) A ．9 B ．7 C ．3 D.7 答案 D 解析 |a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝5＋2×1×2×1 2＝7，所以|a ＋b |＝7. 4．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD → ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 答案 C 解析 ∵AC →·BD →＝0， ∴AC ⊥BD . ∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →| ＝1 2 ×5×25＝5. 5．等腰直角三角形ABC 中，A ＝π 2，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边 界上运动，则BP →·AM → 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－2,0] 答案 D 解析 以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，M (1,1)．设P (x ，y )，由于点P 在△ABC 内部或其边界上运动，故x ≥0，y ≥0且x ＋y ≤2，BP →·AM →＝(x －2，y )·(1,1)＝x －2＋y ，所以BP →·AM →的取值范围是[－2,0]． 6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC → ，则△ABM 与△ABC 的面积比为( ) A.15 B.25 C.35 D.925 答案 C 解析 设AB 的中点为D ， 由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →， 即3CM →＝2MD →. 如图所示，故C ，M ，D 三点共线， 且MD →＝35 CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5， 则△ABM 与△ABC 的面积比为3 5. 二、填空题 7．在Rt △ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，D 在边BC 上，BD ＝23，则AB →·AD → ＝________. 答案 23 解析 ∵Rt △ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3， ∴∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，∵BD ＝23，BC ＝2，得到BD BC ＝13，∴BD →＝13BC → ， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB → ) ＝13AC →＋23 AB → ， ∴AB →·AD →＝AB →·(13AC →＋23AB →)＝13AB →·AC →＋23AB →2＝0＋23×12＝23 . 8．(2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC → 的夹角 为________． 答案 90° 解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)， ∴点O 是△ABC 中边BC 的中点， ∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC → 〉＝90°. 9．已知e 1，e 2为相互垂直的单位向量，若向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的夹角等于60°，则实数λ＝________. 答案 2±3 解析 因为e 1，e 2为相互垂直的单位向量，则不妨设e 1，e 2分别为直角坐标系中x ，y 轴的正方向的单位向量，则向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的坐标为(λ，1)，(1，λ)，因为向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2 的夹角等于60°，所以由向量数量积的定义可得cos 60°＝(λe 1＋e 2)·(e 1＋λe 2)|λe 1＋e 2|·|e 1＋λe 2|?12＝2λ λ2 ＋1λ2＋1 ?λ＝2±3. 10.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB → ，它们的夹角为90°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB → ，其中x 、y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 答案 2 解析 设∠AOC ＝α，则∠COB ＝90°－α， ∴OC →＝cos α·OA →＋sin α·OB → ，即? ???? x ＝cos αy ＝sin α. ∴x ＋y ＝cos α＋sin α＝2sin ????α＋π 4≤ 2. 三、解答题 11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π 4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈????π2，3π4. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |； (2)若tan θ＝－43 ，求OA →·OB →的值． 解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)． 在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π 4－θ. 由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA | sin B ， 即|OA |＝22sin ???? 3π4－θ. (2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ ＝42sin ????3π4－θcos θ. 因为tan θ＝－4 3，θ∈????π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35 . 又sin ????3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π 4sin θ ＝ 22×????－35－????－22×4 5＝210 ， 故OA →·OB → ＝42×210×????－35＝－1225 . 12．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量m ＝(cos B,2cos 2C 2－1)与向量 n ＝(2a －b ，c )共线． (1)求角C 的大小； (2)若c ＝23，S △ABC ＝23，求a ，b 的值． 解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，m ∥n ， ∴c cos B ＝(2a －b )cos C ， ∴sin C cos B ＝(2sin A －sin B )cos C ， sin A ＝2sin A cos C ，∴cos C ＝1 2， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π 3. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2＋b 2－ab ＝12，① ∵S △ABC ＝1 2ab sin C ＝23， ∴ab ＝8，② 由①②得????? a ＝2b ＝4或????? a ＝4 b ＝2 . 13．在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB → . (1)求|AB →－AC →|； (2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC → ，令k ＝x·y ，求k 的最小值． 解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD → |＝511|DB →|. 又AD ＝5，所以DB ＝11. 在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75， 在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14. 所以|AB →－AC →|＝|CB → |＝14. (2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC → |＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝1 2. 由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC → ， 知k ＝x ·y ＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2 ＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×1 2＋100t ＝80t 2＋356t ＋80. 由二次函数的图象， 可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516. 高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（） A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 平面向量练习题集答案 典例精析 题型一向量的有关概念 【例1】下列命题： ①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. 其中真命题的序号是. 【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练1】下列各式： a?； ①|a|＝a ②(a?b) ?c＝a?(b?c)； ③OA－OB＝BA； ④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN； ⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b). 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 a?正确；(a?b) ?c≠a?(b?c)；OA－OB＝BA正确；如下图所示，【解析】选D.| a|＝a MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN， 两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确； 因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线， 即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确. 题型二 与向量线性运算有关的问题 【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM = DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 3 1 ,设AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN . 【解析】在?ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝1 2 (a －b )， AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝1 2(a ＋b ). 又DM ＝13DO ， ON ＝1 3OC ， 所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1 3DO ＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56 b ， AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋1 3OC ＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝2 3(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16 b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝1 2 时，则PA ?(PB ＋PC )的值为 . 【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )， 即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝1 2(AB ＋AC )， 所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ， 所以BP ＝PC ， 所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0， 所以PA ? (PB ＋PC )＝PA ?0＝0，故填0. 考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . 培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题， 观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 平面向量练习题 一．填空题。 1． BA CD DB AC +++等于________． 2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________． 4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________． 5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与CD 共线，则|BD |的值等于________． 7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______． 8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______ 9. 已知向量a,b 的夹角为ο120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____ 11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____ 13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最小值是 . 14．将圆22 2=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . 二．解答题。 1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）． （1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角； 新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】 由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A高考数学平面向量专题卷(附答案)
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