初三数学三角函数专题训练三
1．（2014?安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）
A．B． C． D．
2．（2015?大庆模拟）如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）
A．B．1 C．D．
3．（2011?南充）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；
④BM=DM．正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2011?昆明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（）
A．B．C． D．
5．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AC，则tan∠DAC的值为（）
A． B．C．D．
6．（1998?台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）
A．B．1 C．D．
7．（2011?黔东南州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan∠ACD的值为（）
A．B．C．D．
8．（2006秋?微山县期末）已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1=0的两根，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
9．（2011?南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，则AC?BC的值为（）
A．14 B．16C．4D．16
10．（2008?龙岩）已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1
11．（2007?昌平区二模）如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．则
tana?tana1+tana1?tana2+…+tana4?tana5的值为（）
A．B．C．1 D．
12．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（）A．B．C．D．或
13．（2005?泰安）直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4．
（1）将△ABC如图1那样折叠，使点C落在AB上，折痕为BD；
（2）将△ABD如图2那样折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．
则tan∠DEA的值为（）
A．B．C．D．
14．（2012?德清县自主招生）如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（）
A．3 B．2 C．D．
15．（2012?桐城市校级二模）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=（）
A．B．C．D．
16．（2014秋?肥西县期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC 于点D，那么=（）
A．sin∠BAC B．cos∠BAC C．tan∠BAC D．cot∠BAC
17．（2003?海淀区模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）
A．B． C． D．
18．（2014?苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则
tan∠BPC=．
19．（2009?泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线OC
将△COA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为．
20．（2007?安顺）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．
21．（2009?遂昌县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若BD=6，CD=3，则sin∠DBA=．
22．（1998?温州）如图，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC于C，DE∥AC交BC于E，
若DE=BD，则cosA=．
23．（2011?新昌县模拟）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC=90°且AB=3AD，则
tanα=．
24．（2001?杭州）如图，矩形ABCD（AD＞AB）中AB=a，∠BDA=θ，作AE交BD于E，且AE=AB，试用a与θ表示：AD=，BE=．
25．（2003?上海）正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′=．
26．（2009?益阳）如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到
△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′的值为．
27．（2012?南岗区校级模拟）矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
28．（2012?芜湖县校级自主招生）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad
A=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为（）A．B．1 C．D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．
（3）已知sinα=，其中α为锐角，试求sadα的值．
29．（2003?新疆）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinαcosα；若∠α＜45°，则sinαcosα；若∠α＞45°，则sinαcosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
30．（2014?上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A 作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=，求BE的值．
2016年05月16日187********的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．（2014?安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）
A．B． C． D．
【分析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．
【解答】解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∴
∵AE：EB=4：1，
∴=5，
∴=，
设AB=2x，则BC=x，AC=x．
∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．
则tan∠CFB==．
故选：C．
2．（2015?大庆模拟）如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）
A．B．1 C．D．
【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x，
∴tanA===，
故选A．
3．（2011?南充）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；
④BM=DM．正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，==；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=；
②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a=b时取等号）解答；
③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．
【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE
∴==
①∴tan∠AEC=，
∴tan∠AEC=；故本选项正确；
②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b）2，
∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab，
S△ABC+S△CDE=（a2+b2）≥ab（a=b时取等号），
∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；
④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．
∵点M是AE的中点，
则MN为梯形中位线，
∴N为中点，
∴△BMD为等腰三角形，
∴BM=DM；故本选项正确；
③又MN=（AB+ED）=（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM；故本选项正确．
故选D．
4．（2011?昆明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（）
A．B．C． D．
【分析】设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，运用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出；
【解答】解：设AD=x，则CD=x﹣3，
在直角△ACD中，（x﹣3）2+=x2，
解得，x=4，
∴CD=4﹣3=1，
∴sin∠CAD==；
故选A．
5．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AC，则tan∠DAC的值为（）
A． B．C．D．
【分析】欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中．
过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在Rt△ACE 中，求得∠DAC的正切值．
【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E．
∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°，
∴BD=DC，
设CD=BD=1，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，则AD=2．
在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1，
则CE=，DE=．
∴tan∠DAC===．
故选C．
6．（1998?台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）
A．B．1 C．D．
【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AB=BD，
∴E是CD中点，
∴AC=2BE，
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，
∴tanA===，故选A．
7．（2011?黔东南州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan∠ACD的值为（）
A．B．C．D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，再根据等边对等角的性质可得∠A=∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD 的值．
【解答】解：∵CD是AB边上的中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴tan∠A===，
∴tan∠ACD的值．
故选D．
8．（2006秋?微山县期末）已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1=0的两根，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
【分析】先解出方程的两根，讨论sinα，tanβ的值．∵在三角形中，角的范围是（0，180°），∴sinα必大于0，此时只要考虑tanβ的值即可，若tanβ＞0，则β为锐角；tanβ小于0，则β为钝角．再把x的两个值分别代入sinα，tanβ中，可求出α，β的值，从而判断△ABC的形状．
【解答】解：由2x2﹣3x+1=0得：（2x﹣1）（x﹣1）=0，∴x=或x=1．
∴sinα＞0，tanβ＞0
若sinα=，tanβ=1，则α=30°，β=45°，γ=180°﹣30°﹣45°=105°，
∴△ABC为钝角三角形．
若sinα=1，tanβ=，则α=90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．
故选B．
9．（2011?南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，则AC?BC的值为（）
A．14 B．16C．4D．16
【分析】解法一：利用二倍角公式sin2α=2sinαcosα、锐角三角函数的定义解答．
解法二：作△ABC的中线CD，过C作CE⊥AB于E，求出AD=CD=BD=2，求出CE、DE、BE，根据勾股定理求出BC、AC，代入求出即可．
【解答】解：
解法一：
∵sin30°=2sin15°cos15°=，∠A=15°，
∴2××=；
又∵AB=8，
∴AC?BC=16．
解法二：
作△ABC的中线CD，过C作CE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，
∴AD=DC=DB=AB=4，
∴∠A=∠ACD=15°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=30°，
∴CE=CD=2，
∴S△ABC=AC?BC=AB?CE，即AC?BC=×8×2，
∴AC?BC=16
故选：D．
10．（2008?龙岩）已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1
【分析】根据锐角三角函数的概念，可以用直角三角形的边进行表示，再进一步根据三角形的三边关系进行分析．
【解答】解：设在直角三角形ABC中，∠A=α，∠C=90°，
故sinα=，cosα=；
则m=sinα+cosα=＞1．
故选A．
11．（2007?昌平区二模）如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．则
tana?tana1+tana1?tana2+…+tana4?tana5的值为（）
A．B．C．1 D．
【分析】根据锐角三角函数的定义，分别在Rt△ACB，Rt△A1CB1，…，Rt△A5CB5中求tana，tana1，tana2，…，tana5的值，代值计算．
【解答】解：根据锐角三角函数的定义，得tana==1，tana1==，tana2==…，
tana5==，
则tana?tana1+tana1?tana2+…+tana4?tana5=1×+×+×+×+×
=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
=1﹣
=．
故选A．
12．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（）A．B．C．D．或
【分析】先根据勾股定理求出第三边，再根据正切函数的定义求出较小锐角的正切值．【解答】解：当两条边长为3和4是直角边时，则较小锐角的正切值=；
当3是直角边，4是斜边时，另一条边==，则较小锐角的正切值=．
故选D．
13．（2005?泰安）直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4．
（1）将△ABC如图1那样折叠，使点C落在AB上，折痕为BD；
（2）将△ABD如图2那样折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．
则tan∠DEA的值为（）
A．B．C．D．
【分析】直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，就是已知tan∠ABC=，根据
轴对称的性质，可得∠DEA=∠A，就可以求出tan∠DEA的值．
【解答】解：根据题意：直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，即
tan∠ABC==；
根据轴对称的性质，∠CBD=a，则由折叠可知∠CBD=∠EBD=∠EDB=a，∠ABC=2a，由外角定理可知∠AED=2a=∠ABC，
∴tan∠DEA=tan∠ABC=．
故选A．
14．（2012?德清县自主招生）如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（）
A．3 B．2 C．D．
【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN=CE．
根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．
【解答】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN=CE．则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，
∴BE=BN．∴∠NBE=90°．
∵∠ABE=45°，∴∠ABE=∠ABN，
∴△NAB≌△EAB．
设EC=MN=x，AD=a，则AM=a，DE=2a﹣x，AE=AN=a+x，
∵AD2+DE2=AE2，
∴a2+（2a﹣x）2=（a+x）2，
∴x=a．
∴tan∠AEB=tan∠BNM==3．
故选A．
15．（2012?桐城市校级二模）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=（）
A．B．C．D．
【分析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易证△ADE≌△DCF，可得∠α=∠CDF，DE=CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，从而得出sin∠CDF，即可求sinα．【解答】解：过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，
∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，
∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°，
即EF与l2，l3，l4都垂直，
∴DE=1，DF=2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADE+∠CDF=90°，
又∵∠α+∠ADE=90°，
∴∠α=∠CDF，
∵AD=CD，∠AED=∠DFC=90°，
∴△ADE≌△DCF，
∴DE=CF=1，
∴在Rt△CDF中，CD==，
∴sinα=sin∠CDF===．
故选：B．
16．（2014秋?肥西县期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC 于点D，那么=（）
A．sin∠BAC B．cos∠BAC C．tan∠BAC D．cot∠BAC
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由角的平分线的性质得CD=DE，证明AB﹣AC=BE，则
=tan∠BDE，再证明∠BAC=∠BDE即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，
∴CD=DE．
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）
∴AE=AC．
∴==tan∠BDE．
∵∠BAC=∠BDE，（同角的余角相等）
∴=tan∠BDE=tan∠BAC，
故选C．
17．（2003?海淀区模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）
A．B． C． D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴==，
设AD=2a，则AC=5a，
根据勾股定理得到CD=a，
因而sinA==．
故本题选B．
二．填空题（共9小题）
18．（2014?苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=
．
【分析】先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE 中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，
∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE=，
∴tan∠BPC=tan∠BAE=．
故答案为：．
19．（2009?泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线OC
将△COA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为．
【分析】根据题意有：沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD 恰好与MB垂直，可得：∠B=2∠A，且∠ACB=90°，故∠A=30°，则tanA的值为．
【解答】解：在直角△ABC中，
∴∠ACM+∠MCB=90°，
CM垂直于斜边AB，
∴∠ABC+∠MCB=90°，
∴∠B=∠ACM，OC=OA（直角三角形的斜边中线等于斜边一半）．
∴∠A=∠1．
又∵∠1=∠2，
∴∠A=30°．