导数在生活中的应用
【例1】一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为错误！未找到引用源。，那么速度为零的时刻是( )
A ．1秒末
B ．0秒
C ．4秒末
D ．0,1,4秒末
【例2】已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为错误！未找到引用源。．求产量q 为何值时，利润L 最大？
【例3】如图，一矩形铁皮的长为cm 8，宽为cm 5，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
解：设小正方形的边长为cm x ，则盒子底面长为82x -，宽为52x -
32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+
'2125240V x x =-+，令0V '=得1x =或10
3
x =
（舍去） (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值
练习：
1、甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是P ＝119 200v 4－1
160v 3＋15v ，
（1）求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
2、在长为100千米的铁路线AB 旁的C 处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA 为20千米.由铁路上的B 处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k 和3k （k ＞0，k ∈R ），为节约运费，在铁路的D 处修一货物转运站，设AD 距离为x 千米，沿CD 直线修一条公路(如图).
(1)将每吨货物运费y (元)表示成x 的函数. (2)当x 为何值时运费最省？
3、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km, 10CD km =,为了处
20100x
A B
C D
理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为ykm 。 （I ）按下列要求写出函数关系式：
① 设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ② 设()OP x km =，将y 表示成x 的函数关系式。
（II ）请你选用（I ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。
4、 两县城A 和B 相距20Km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB
上选择一点C 建造垃圾理厂，其对城
市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和。记C 点到城A 的距离xKm ，建在C 处的垃圾处理厂对城B 的影响度为Y ，统计调查表明；垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城B 的平方成反比，比例系数为4；城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为K ，当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B ）总影响度为0.065
（Ⅰ）将Y 表示成X 的函数；（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点城A 的距离；若不存在，说明理由。
5、如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<<），且2
sin 5
θ=
，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段
笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为
2
a
万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，3(km)OA =． （I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；
（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．
（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．
6、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
803
π
立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．
7、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=
35
k
x +（0≤x ≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f （x ）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和。
Ｏ
A
E
D
B
H
P
（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f （x ）达到最小，并求最小值。
8、某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x +万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。 （Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；
（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？
9、第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息
区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．
（1）求S 关于x 的函数关系式；
（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值． 解：（1）设AF y =，则2
2
x y x y l ++
+=，整理，得222()
l lx
y l x -=
-．………3分 2(2)
4(12)
l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分
（2）()()]22'
222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ????
-+-+=?=-?-∈ ? ? ? ?--????
∴当22
2
b l -≤
时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=
-； 当222b l ->
时，在220,2x l ??-∈ ? ???上，'0S >，S 递增，在22,2x l b ??-∈ ? ???
上，'
0S <，S 递减，故当222x l -=
时，2
max 3224
S l -=. 10、某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；
(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)
【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分
但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x
2不恒成立,不满足条件②,
故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分
(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ′(x )=1-2x =x －2
x ≥0. 所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，
由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x
2在x ∈[2，10]上恒成立，
令g (x )=2ln x -x 2，则g ′(x )=2x －12=4－x
2x ，由g ′(x )>0得x <4， ∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.
∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,
综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，
所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分
11、某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿
其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分
设DP y =，则PC x y =-．
A
B
C
D
（第17题）
B '
P
因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．
由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+?=-，12x <<．……5分
（2）记△ADP 的面积为1S ，则
11(1)(2)S x x =-- ………………………………………………………………6分
23()222x x
=-+≤-，
当且仅当2x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．……………………………………8分 故当薄板长为2米，宽为22-米时，节能效果最好． ……………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则
221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x
=-+--=-+，12x <<．…………………………10分
于是，3
3222142(2)022x S x x x x
-+'=--==?=．……………………………11分 关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．
所以当32x =时，2S 取得最大值． …………………………13分
故当薄板长为32米，宽为322-米时，制冷效果最好． ………………………14分
12、如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是
半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （1）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （2）求面积S 的最大值．
2r C
D
A
B 2r
高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点 （2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ．y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A ． []0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--???? D ．1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）． A ． n B ．1n - C ． (1)2 n n - D ． 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2
7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f （x ）的图象如图所示，则导函数 y=f'（x ）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D． (－2,0)∪(0,2) 12.设f （x ）=cosx ﹣sinx ，把f （x ）的图象按向量=（m ，0）（m ＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x ）的图象，则m 的值可以为（ ）
导数练习题带答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
导数及其应用 一、选择题 1.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 2.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ． 2 13.设函数()f x ＝x 3 ﹣x 2 ，则)1(f '的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．5 4.已知函数???>+<+=) 0()0(1)(x a x x a x f x ，若)(lim 0 x f x →存在，则= -)2(' f A.2ln 4 B. 45 C.2- D.2ln 4 15.设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速 度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 6.已知函数1)(2 3--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞Y D ．) 3,3(-7.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215 243 s t t t =-+，那么速度为零的时 刻是 （ ） A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末 8.下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ． dx x ?+1 0)1( C ．dx ?1 01 D ．dx ?1021 9.1 1lim 10 0-+→x x x 的值是 A.不存在 B.0 C.2 D.10
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==
导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的
导数练习题（B ） 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++=在区间 （1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2 ()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值．
1.图1是某建筑工地的某塔吊图片（塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”），为了了解塔吊“上部”的一些结构情况，学校数学兴趣小组将塔吊“上部”的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中A 、D 、E 、B 四点共线，通过测量得知起重臂BD =30米，平衡臂AD =8米，CA 、CB 均为拉杆. 由于起重臂达到了一定长度，在BD 上需要加拉杆CE ，且3:2:=ED BE ，记βα=∠=∠CED CAD ,. （1）若CD ⊥AB ，现要求βα2≥，问CD 的长至多为多少米? （2）若CD 不垂直于AB ，现测得?=?=15,30βα，求CD 的长.（选用下列参考数据进行计算:304 5293,10421915sin ,11728015cos ≈≈?≈?） 图1 3、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝ 1 at t +；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常 数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为94 万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式； （2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值． B C E D A
腰60 CA CB ==米， 2 cos 3 CAB ∠=.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸 AC，AB上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等. （1）若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点（靠近点C），求此时水上观光通道EF 的长度； （2）当AE为多长时，观光通道EF的长度最短？并求出其最短长度.
导数应用练习题答案 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 2 1(2)()[2,2]1f x x = -+； (3)()[0,3]f x =； 2 (4)()1 [1,1]x f x e =-- 解：2 (1)()23 [1,1.5]f x x x =--- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14 ξ=。 解：2 1(2)()[2,2]1f x x = -+ 该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1 (2)5 f = ，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使22 2()0(1)f ξ ξξ-'= =+，解出0ξ=。 解：(3)()[0,3]f x = 该函数在给定闭区间上连续，其导数为() f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =， (3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈， 使()0 f ξ'==，解出2ξ=。 解：2 (4)()e 1 [1,1]x f x =-- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2 ()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2 ()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。 2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 3 (1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2] f x x =； 32(3)()52 [1,0] f x x x x =-+-- 解：3 (1)()[0,](0)f x x a a =>
一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23 - ），=b （ 16 - ）． ∵()12++= 'bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142 =++b a ，解之得6 1,32- =- =b a ２．函数()()1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 2112 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 章末检测 一、选择题 1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( ) A．(－1,3) B．(－1，－3) C．(－2，－3) D．(－2,3) 答案 B 解析∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1. f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)． 2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( ) A．(－∞，－1)及(0,1) B．(－1,0)及(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞) 答案 A 解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D 解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值， 即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5. 4．函数y＝ln 1 |x＋1|的大致图象为( ) 答案 D 解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x＞－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D. 5．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点所在象限是( ) A．第一B．第二 C．第三D．第四 答案 C 解析∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限． 6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值围是( ) A．(－∞，－3) B．[－3，3] C．(3，＋∞) D．(－3，3) 答案 B 解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0?－3≤a≤ 3. 7．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( ) A．e2B．ln 2 C.ln 2 2D．e 答案 D 解析f′(x)＝x·(ln x)′＋(x)′·ln x＝1＋ln x. ∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2， ∴ln x0＝1， 一、导数应用 1． 单调区间：一般地，设函数 )(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)( 导数练习题 1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，在x ＝0处的切线与直线3x ＋y ＝0平行． (1)求f (x )的解析式； (2)已知点A (2，m )，求过点A 的曲线y ＝f (x )的切线条数． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意可得????? f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0，f ′(0)＝c ＝－3，解得???? ? a ＝1， b ＝0， c ＝－3. 所以f (x )＝x 3－3x . (2)设切点为(t ，t 3－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2－3，所以切线斜率k ＝3t 2－3， 切线方程为y －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(x －t )． 又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )，解得m ＝－2t 3＋6t 2－6. 设g (t )＝－2t 3＋6t 2－6，令g ′(t )＝0， 即－6t 2＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2. 当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表： 作出函数草图(图略)，由图可知： ①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6 1．设函数f(x)在0x 处可导，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 等于 A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x -- 2．若13)()2(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则)('0x f 等于 A ．32 B ．2 3 C ．3 D ．2 3．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为 A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角 4．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f 5．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （1）x x x f x f x ??--→?2)2()(lim 000 ； （2）x x x f x x f x ??--?+→?) ()(lim 000； （3）x x x f x x f x ??+-?+→?)()2(lim 000 （4）x x x f x x f x ??--?+→?)2()(lim 000. A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程是___. 7．已知曲线x x y 1+ =，则==1|'x y _____________. 8．设3)('0-=x f ，则=---→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 _____________. 9．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物 高二上学期《导数及其应用》 单元测试（数学文） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ） A ．3 B ． 52 C ．2 D ．32 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分） 11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 导数练习题含答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 导数练习题 班级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量 与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数 2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝ 2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D． 0.44 3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx) 上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D． 4x 4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在 t＝3时的瞬时速度为( ) A． 6 B．18 C．54 D． 81 5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝ 3 2 处的瞬时变化率是( ) A．3 B．－3 C． 2 D． －2 6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 B． 与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 7．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方 程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋ 2 D． y＝－x－2 8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A．4 B．16 C．8 D．2 9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D． ( 1 2 ， 1 4 ) 10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的 切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝ 1 B． a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－ 1 D． a＝－1，b＝－1 11．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( ) A．0 B．2x C． 6 D ．9 12．已知函数f(x)＝ 1 x ，则f′(－3)＝ ( ) A． 4 B. 1 9 导数及简单应用专项提升演练 一、选择题（每题5分，共40分） 1、设函数f (x )的导数为f ′(x )，且x f x x f ln )1(2)(+'=，则)1(f '＝( ) A ．-e B ．-1 C ．1 D ．2 2、设曲线y ＝x ＋1x －1 在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 3、已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.)(∞+ ?????，和121,0 B ．(0,1)和(2，＋∞) C.)(∞+ ?????， 和221,0 D ．(1,2) 4、函数x x x f ln 2 1)(2-=的最小值为 ( ) A ．2 1 B ．1 C ．0 D ．不存在 5、已知函数x ax x x f ln 3)(2++=在)(∞+,1上是增函数，则实数a 的范围( ) A ．](62,-∞- B ． ?????-∞-26, C ．[ )∞+-,62 D ．[)∞+-,5 6、设21,x x 是x a ax x x f 2232)(+-=的两个极值点，若212x x <<，则实数a 的取值范围( ) A ．)3,2( B ．),2(+∞ C ．)6,2( D.][6,2 7、已知函数)0()(2>+=a a x x x f 在[)∞+,1上的最大值为3 3则a 的值( ) A ．13- B ． 43 C ．34 D ．13+ 8、已知函数)(x f '是奇函数)(x f （R x ∈）的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时 0)()(<-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围( ) A ．)(1,0)1,( --∞ B ．(),1)0,1(∞+- C ．)(0,1)1,(---∞ D.)()(∞+,11,0 函数导数应用题 1.根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (件) 之间近似地满足关系式* 2* 219,,1560 1020,540 x x x p x x x ?∈??-=?+?∈??N N , ≤≤, ≤≤(日产品废品率=日废品量日产量 × 100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y =日正品赢利额-日废品亏损额） （1）将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数； （2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？ 1．解：（1）由题意可知， 2 *3 *24219,,152(1)5 1020,.3 180x x x x x y x p px x x x x ?-∈??-=--=??-∈??N N , ≤≤, ≤≤ （2）考虑函数2 3 24219,15()5 1020,3180x x x x f x x x x ?-??-=??-?? , ≤≤, ≤≤ 当159x -<≤时，'()0f x <，函数()f x 在(15-上单调减． 所以当15x =-()f x 取得极大值，也是最大值， 又x 是整数，64(8)7f = ，(9)9f =，所以当8x =时，()f x 有最大值647 ． 当1020x ≤≤时，22 5100'()036060 x x f x -=-=≤，所以函数()f x 在[10,20]上单调减， 所以当10x =时，()f x 取得极大值100 9 ，也是最大值． 由于1006497 >，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大． 答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是100 9 千元． 2.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比. (Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻 高二选修2-2测试题(导数及其简单应用) 一、 选择题（本大题共有10小题，每小题5，共50分） 1. 函数y =(2x ＋1)3 在x =0处的导数是（ ） A.0 B.1 C.63 D.3 2．若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则 x y ??=（ ） A . 4 B. 4Δx C. 4+2Δx D. 2Δx 3.若()()()k x f k x f x f k 2lim ,20000--='→则的值为（ ） A ．-2 B. 2 C.-1 D. 1 4、曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4) 5.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 6.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ） A ．单调递增， B 、有增有减 C 、单调递减， D 、不确定 9. 抛物线y =(1-2x)2在点x =32 处的切线方程为（ ） A. y =0 B .8x －y －8=0 C ． x =1 D . y =0或者8x －y －8=0 10.函数()12ln 2+=x y 的导数是( ) A. 1242+x x B. 1212+x C.()10ln 1242+x x D. () e x x 22log 124+ 二、填空题(每小题5分，共10分) 11.若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是_________ 12.若函数a x x y +-=2323在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值 1．已知函数()222x f x e x ax =+--. （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）若()()2 2g x f x x =-+，且()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 2．已知函数2 ()ln f x x mx =-，2 1()2 g x mx x =+，m R ∈，令()()()F x f x g x =+. （1）当1 2 m = 时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值； 3．已知函数)2(sin )(2 e a ax x e x f x -+-=，其中R a ∈，???=71828.2e 为自然对数的底数. （1）当0=a 时，讨论函数)(x f 的单调性； （2）当 12 1 ≤≤a 时，求证：对任意的),0[+∞∈x ，0)( 1.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形， 左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π 立方米，且2l r ≥．假设该容 器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ． 解：（I ）设容器的容积为V ， 由题意知23480,,33V r l r V πππ=+=又故3 2224 8044203()333V r l r r r r r ππ-==-=- 由于2l r ≥因此0 2.r <≤ 所以建造费用222420 2342()34, 3y rl r c r r r c r ππππ=?+=?-?+ 因此21604(2),0 2. y c r r r π π=-+<≤ （II ）由（I ）得322 1608(2)20 '8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<- 由于3,20,c c >->所以 当 3200,2r r c - ==-时 ,m 则 0m > （1）当 9 022m c <<> 即时， ∈∈当r=m 时,y'=0; 当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0. 所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。 （2）当2m ≥即 9 32c <≤ 时， 当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减， 所以r=2是函数y 的最小值点， 综上所述，当 9 32c <≤ 时，建造费用最小时2;r = 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴导数练习题及答案
导数的应用练习题及详解
导数练习题(含答案)精编版
导数经典练习题及答案
(word完整版)高二数学导数及其应用练习题
导数练习题含答案完整版
导数及简单应用试题
函数导数应用题
导数及其简单应用练习题
导数练习题(精编)
导数应用题(解析)
(完整版)高中数学导数练习题
相关主题
文本预览