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课时提能演练(二十三)
(45分钟 100分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1.在△ABC 中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于______.
2.(2012·盐城模拟)在△ABC 中，已知(a+b+c)(a+b-c)=ab,则C 的大小为______.
3.(2012·淮安模拟)在△ABC 中，若a b c cosA cosB sinC
==，则△ABC 的形状是______. 4.若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是______.
5.(2011·新课标全国卷)△ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为______.
6.(2012·连云港模拟)在△ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，cosA = tanB=3,且a=4，则c 等于______.
7.在△ABC 中，A=3π,BC=3,则△ABC 的周长为______.
8.(2012·扬州模拟)已知△ABC 的面积是30，内角A 、B 、C 所对边分别为a,b,c ，12cosA ,13=若c-b=1，则a 的值是______. 二、解答题(每小题15分，共45分)
9.(2012·南通模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若bcosC=(2a-c)cosB.
(1)求角B ；
(2)设AC 2,BA BC 2== ，求a+c 的值.
10.(2012·苏州模拟)如图，在△ABC 中，已知AB=3，AC=6，BC=7，AD 是∠BAC 平分线.
(1)求证：DC=2BD ；
(2)求AB DC 的值.
11.在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边的边长分别是a,b,c,已知c=2，C .3
π=
(1)若△ABC a,b ；
(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A ，求△ABC 的面积.
【探究创新】
(15分)已知函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x
(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期;
(2)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c,若cosB=13，C 1f()24=-，求b.
答案解析
1.【解析】由题意知，A=180°-45°-60°=75°，∴b 最小， 由正弦定理知
b c ,sinB sinC =
∴c sinB b sinC 3
==
2.【解析】由(a+b+c)(a+b-c)=ab,
得(a+b)2-c 2=ab,
即a 2+b 2-c 2+ab=0，
∴a 2+b 2-c 2=-ab, 由222
a b c ab
1
cosC C 120.2ab 2ab 2+--===-=?知
答案：120°
3.【解析】设△ABC 外接圆半径为R ，则由正弦定理知a=2R 〃sinA ， b=2R 〃sinB ，c=2R 〃sinC ，
∴原等式可化为
sinA
sinB
sinC
1,cosA cosB sinC ===
∴tanA=tanB=1,
∴A=B=45°,∴C=90°,
故△ABC 为等腰直角三角形.
答案：等腰直角三角形
【变式备选】在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2+b 2)sin(A-B)=(a 2-b 2)sin(A+B),判断三角形的形状.
【解析】由已知得a 2［sin(A-B)-sin(A+B)］
=b 2［-sin(A+B)-sin(A-B)］,
∴2a 2cosAsinB=2b 2cosBsinA.
由正弦定理，得
sin 2AcosAsinB=sin 2BcosBsinA.
∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,
∴sin2A=sin2B,由0＜A+B ＜π，
得2A=2B 或2A=π-2B,
即△ABC 是等腰三角形或直角三角形.
4.【解题指南】可考虑先求中间角的大小后结合三角形内角和定理求解.
【解析】设三边长为5x,7x,8x ，最大的角为C ，最小的角为A.
由余弦定理得：()()()2225x 8x 7x 1cosB ,25x 8x 2
+-==?? 所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°.
答案：120°
5.【解析】设AB=c,BC=a,AC=b ，由余弦定理
b 2=a 2+
c 2-2accosB ，
得49=a 2+25-2×5a ×1()2-，
解得a=3，∴S △ABC =12acsinB=12×3×5×sin120°.
【方法技巧】正、余弦定理求解面积问题
正弦定理、余弦定理是解三角形的重要工具，应用十分广泛，与三角形的边或角有关的很多问题都可用它们来解决．同时在求解三角形面积问题中的应用也很广泛.
①当给出三角形两个角的三角函数值及其中一个角所对的边长，求三角形的面积时，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查
利用三角公式进行恒等变形的技巧和运算能力.
②当以向量为背景考查正、余弦定理的应用时，关键是把三角形的面积用向量表示出来，用正余弦定理求出边长.
6.【解题指南】先求出角C ，再由正弦定理求边c.
【解析】由
得
∴tanA=2, 又tanC=-tan(A+B)=
tanA tanB tanB tanA 1+- =1, 又0 可得sinC c a sinA =?= 7.【解题指南】BC=3，即a=3，2A B C 33 π π=∴+=，， ∴2C B 3 π= -，把周长a+b+c 转化为利用B 表示的式子再化简即可. 【解析】∵BC=3，即a=3,A ,3 π= ∴22B C ,C B,33 ππ+=∴=- ∴b c 3,2sinB sin(B)sin 33 ==ππ - 得2a b c 33sin(B)3π++=++- =3cosB+=6sin(B+6π)+3. 答案：6sin(B )36π++ 8.【解析】由12cosA 13=得5sinA ,13= ∵1 2bcsinA=30,∴bc=156, 又22222b c a (b c)2bc a 12cosA ,2bc 2bc 13 +--+-=== ∴212156a 12,215613 +?-=?∴a=5. 答案：5 9.【解析】(1)由正弦定理得： sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB 则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB ∴sin(B+C)=2sinAcosB, 又A+B+C=π，且sinA ≠0, ∴cosB=12 . ∵0 (2)∵BA BC 2= ， ∴ca 〃cosB=2, ∵cosB=12 ,∴ac=4, 由余弦定理：b 2=a 2+c 2-2accosB 得： a 2+c 2= b 2+2accosB=8, ∴(a+c)2=a 2+c 2+2ac=16, ∴a+c=4. 10.【解题指南】第(1)问，求证两线段的长度关系，联系已知条件AB=3，AC=6，恰好AC=2AB ，运用正弦定理可得三角形两边之间的比例关系；第(2)问，关键是求两向量的夹角，运用余弦定理可求之. 【解析】(1)在△ABD 中， 由正弦定理得 AB BD sin ADB sin BAD =∠∠ ①, 在△ACD 中，由正弦定理得 AC DC sin ADC sin CAD =∠∠ ②, 又AD 平分∠BAC ， 所以∠BAD=∠CAD ，sin ∠BAD=sin ∠CAD, sin ∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin ∠ADC, 由①②得BD AB 3DC AC 6 ==， 所以DC=2BD. (2)因为DC=2BD ， 所以2DC BC.3 = 在△ABC 中， 因为222AB BC AC cosB 2AB BC +-= =22237611,23721 +-=?? 所以2AB DC AB (BC)3 = 2AB BC cos(B)32112237().3213 =π-=???-=- 11.【解题指南】(1)利用余弦定理和面积公式求出a,b 的值；(2)利用两角和、差的正弦公式和倍角公式得到角的关系，利用正余弦定理求出边长，再求面积. 【解析】(1)由余弦定理及已知条件得， a 2+ b 2-ab=4, 又因为△ABC 所以1absinC 2 = 得ab=4. 联立方程组22a b ab 4,ab 4?+-=?=? 解得a=2，b=2． (2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即sinBcosA=2sinAcosA ， 当cosA=0时，A B 26 ππ==，， a b == 当cosA ≠0时，得sinB=2sinA ， 由正弦定理得b=2a ， 联立方程组22a b ab 4,b 2a ?+-=?=? 解得a b == 所以△ABC 的面积1 S absinC 2== 【探究创新】 【解析】(1)∵f(x)=cos(2x+3 π )+sin 2x =cos2xcos 3π-sin2xsin 3π+1cos2x 2- 111cos2x cos2x 22212 =+-=+， ∴最小正周期2T 2 π= =π， 令2k 2x 2k (k Z)22 πππ-≤≤π+∈， 得k x k ,k Z 44πππ-≤≤π+∈， ∴f(x)的单调递减区间是 k ,k (k Z).44 πππ-π+∈［］ (2)由(1)( )1f x 2=+得： C 11f()224sinC =+=-∴=， 又cosB=13 ，∴sinB 3 == 又∵b c sinB sinC =， 即c sinB 88b b .sinC 33==== ，故
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