第五章数理统计的基础知识
5.1 数理统计的基本概念
习题一
已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知),X1,X2,?,Xn为X的样本，则().
(A)1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量；(B)1n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量；
(C)X1+X2是一个统计量；(D)1n∑i=1nXi2-D(X)是一个统计量.
解答：
应选(C).
由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.
习题2
观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm),得到如下表中所列的数据. 按区间[70,80),[80,90),?,[150,160),将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率),并画出频率累积的直方图.
解答：
分组数据统计表
分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E(Xˉ),E(S2).
解答：
由X～B(10,3100),得
E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,所以
E(Xˉ)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.
习题6
设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料
f(2)(x)=2F(x)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>00,其它,
又X(1)的概率密度为
f(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>00,其它.
习题9
设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：
(1)没有元件在800h之前失效的概率；
(2)没有元件最后超过3000h的概率.
解答：
(1)总体X的概率密度f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它,
分布函数F(x)={1-e-0.0015x,x>00,其它,
{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X(1)>800},有
P{X(1)>800}=[P{X>800}]6=[1-F(800)]6
=exp(-0.0015×800×6)=exp(-7.2)≈0.000747.
(2){没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X(6)<3000}
P{X(6)<3000}=[P{X<3000}]6=[F(3000)]6
=[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6
≈0.93517.
习题10
设总体X任意，期望为μ,方差为σ2,若至少要以95%的概率保证∣Xˉ-μ∣<0.1σ,问样本容量n应取多大？
解答：
因当n很大时，Xˉ-N(μ,σ2n),于是
P{∣Xˉ-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ ≈Φ(0.1σσ/n)-Φ(-0.1σσ/n)=2Φ(0.1n)-1≥0.95, 则Φ(0.1n)≥0.975,查表得Φ(1.96)=0.975,因Φ(x)非减，故0.1n≥1.96,n≥384.16,故样本容量至少取385才能满足要求. 5.2 常用统计分布 习题1 对于给定的正数a(0 χ2(n),t(n),F(n1,n2)分布的上a分位点，则下面的结论中不正确的是(). (A)z1-a(n)=-za(n);(B)χ1-a2(n)=-χa2(n); (C)t1-a(n)=-ta(n);(D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 解答： 应选(B). 因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是对的.(B)是错的. 对于F分布，若F～F(n1,n2),则 1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2) 由于1F～F(n2,n1),所以 P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a, 即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的. 习题2(1) 2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (1)X1-X2X32+X42; 解答： 因为Xi～N(0,1),i=1,2,?,n,所以： X1-X2～N(0,2),X1-X22～N(0,1),X32+X42～χ2(2), 故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422～t(2). 习题2(2) 2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (2)n-1X1X22+X32+?+Xn2; 解答： 因为Xi～N(0,1),∑i=2nXi2～χ2(n-1),所以 n-1X1X22+X32+?+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)～t(n-1). 习题2(3) 2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2. 解答： 因为∑i=13Xi2～χ2(3),∑i=4nXi2～χ2(n-3),所以： (n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)～F(3,n-3). 习题3 设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X～N(0,22)的简单随机样本，且 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2, 则a=?,b=?时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少？ 解答： 解法一Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2, 令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4),则 Y=Y12+Y22, 为使Y～χ2(2),必有Y1～N(0,1),Y2～N(0,1),因而 E(Y1)=0,D(Y1)=1,E(Y2)=0,D(Y2)=1, 注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4,由 D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2)) =a(4+4×4)=20a=1, D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4) =b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1, 分别得a=120,b=1100.这时Y～χ2(2),自由度为n=2. 解法二因Xi～N(0,22)且相互独立，知 X1-2X2=X1+(-2)X2～N(0,20),3X3-4X4=3X3+(-4)X4～N(0,100), 故X1-2X220～N(0,1),3X3-4X4100～N(0,1),为使 Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2～χ2(2), 必有X1-2X21/a～N(0,1),3X3-4X41/b～N(0,1), 与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是 1a=20,1b=100,即a=120,b=1100. 习题4 设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32).X1,X2,?,X9和Y1,Y2,?,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量 T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92 服从自由度为9的t分布. 解答： 首先将Xi,Yi分别除以3,使之化为标准正态. 令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,?,9,则 X′i～N(0,1),Y′i～N(0,1); 再令X′=X′1+X′2+?+X′9,则X′～N(0,9),X′3～N(0,1), Y′2=Y′12+Y′22+?+Y′92,Y′2～χ2(9). 因此 T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92=X1′+X2′+?+X9′Y′12+Y′22+?+Y′92=X′Y′2=X′/ 3Y′2/9～t(9), 注意到X′,Y′2相互独立. 习题5 设总体X～N(0,4),而X1,X2,?,X15为取自该总体的样本，问随机变量 Y=X12+X22+?+X1022(X112+X122+?+X152) 服从什么分布？参数为多少？ 解答： 因为Xi2～N(0,1),故Xi24～χ2(1),i=1,2,?,15, 而X1,X2,?,X15独立，故 X12+X22+?+X1024～χ2(10),X112+X122+?+X1524～χ2(5), 所以 X12+X22+?+X1024/10X112+X122+?+X1524/5=X12+X22+?+X1022(X112+X122+ ?+X152)=Y 习题6 证明：若随机变量X服从F(n1,n2)的分布，则 (1)Y=1X服从F(n2,n1)分布；(2)并由此证明F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1). 解答： (1)因随机变量X服从F(n1,n2),故可设X=U/n1V/n2,其中U服从χ2(n1),V服从 χ2(n2),且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1,由F分布之定义知 Y=1x=V/n2U/n1, 服从F(n2,n1). (2)由上侧α分位数和定义知 P{X≥F1-α(n1,n2)}=1-α,P{1X≤1F1-α(n1,n2)=1-α, 即P{Y≤1F1-α(n1,n2)=1-α,1-P{Y>1F1-α(n1,n2)=1-α,故 P{Y>1F1-α(n1,n2)=α, 而P{Y≥Fα(n2,n1)}=α. 又Y为连续型随机变量，故P{Y≥1F1-α(n1,n2)=α,从而 Fα(n2,n1)=1F1-α(n1,n2), 即F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1). 习题7 查表求标准正态分布的上侧分位数：u0.4,u0.2,u0.1与u0.05. 解答： u0.4=0.253,u0.2=0.8416,u0.1=1.28,u0.05=1.65. 习题8 查表求χ2分布的上侧分位数：χ0.952(5),χ0.052(5),χ0.992(10)与χ0.012(10). 解答： 1.145,11.071, 2.558,2 3.209. 习题9 查表求F分布的上侧分位数：F0.95(4,6),F0.975(3,7)与F0.99(5,5). 解答： 0.1623,0.0684,0.0912. 习题10 查表求t分布的下侧分位数：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与t0.005(10). 解答： 2.353, 3.365,1.415,3.169. (2)P{Xˉ>4.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z≤2.25} ≈1-Φ(2.25)=1-0.9878=0.0122. 习题2 设总体X服从正态分布N(10,32),X1,X2,?,X6是它的一组样本，设 Xˉ=16∑i=16Xi. (1)写出Xˉ所服从的分布；(2)求Xˉ>11的概率. 解答： (1)Xˉ～N(10,326),即Xˉ～N(10,32). (2)P{Xˉ>11}=1-P{Xˉ≤11}=1-Φ(11-1032) ≈1-Φ(0,8165)≈1-Φ(0.82)=0.2061. 习题3 设X1,X2,?,Xn是总体X的样本，Xˉ=1n∑i=1nXi,分别按总体服从下列指定分布求E(Xˉ),D(Xˉ). (1)X服从0-1分布b(1,p);(2)*X服从二项分布b(m,p); (3)X服从泊松分布P(λ);(4)X服从均匀分布U[a,b]; (5)X服从指数分布e(λ). 解答： (1)由题意，X的分布律为： P{X=k}=Pk(1-P)1-k(k=0,1). E(X)=p,D(X)=p(1-p). 所以 E(Xˉ)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1n?np=p, D(Xˉ)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(X1)=1n2?np(1-p)=1np(1-p). (2)由题意，X的分布律为： P{X=k}=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,?,m). 同(1)可得 E(Xˉ)=mp,D(Xˉ)=1nmp(1-p). (3)由题意，X的分布律为： P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0,k=0,1,2,?). E(X)=λ,D(X)=λ. 同(1)可得 E(Xˉ)=λ,D(Xˉ)=1nλ. (4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212,同(1)可得 E(Xˉ)=a+b2,D(Xˉ)=(b-a)212n. (5)由E(X)=1λ,D(X)=1λ2,同(1)可得 D(Xˉ)=1λ,D(Xˉ)=1nλ2. 习题4 某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求： （1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率； （2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。 解答： （1）由题意知Xˉ～N(5,1n),n=9，则标准化变量 Z=Xˉ-51/9=Xˉ-51/3～N(0,1). 而P{4.4 =P{-1.8 =0.7257-0.0359=0.6898 （2）P{Xˉ<6}=P{Xˉ-51/3<6-51/3=P{Z<3}≈Φ(3)=0.9987. 习题5 设X1,X2,?,X16及Y1,Y2,?,Y25分别是两个独立总体N(0,16)和N(1,9)的样本，以Xˉ和Yˉ分别表示两个样本均值，求P{∣Xˉ-Yˉ∣>1}. 解答： Xˉ～N(0,1616)，Yˉ～N(1,925)，Xˉ-Yˉ～N(-1,1+925)，即 Xˉ-Yˉ～N(-1,3425)． 标准化变量Xˉ-Yˉ，令Z=Xˉ-Yˉ34/5～N(0,1)，所以 P{∣Xˉ-Yˉ∣>1}=1-P{∣Xˉ-Yˉ∣≤1}=1-P{-1≤Xˉ-Yˉ≤1} =1-P{0≤Xˉ-Yˉ+134/5≤234/5 ≈1-Φ(1.715)+Φ(0) =1-0.9569+0.5=0.5431． 习题6 假设总体X服从正态分布N(20,32),样本X1,?,X25来自总体X,计算 P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182. 解答： 令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi,由于X1,?,X25相互独立同正态分布N(20,32),因此有Y1与Y2相互独立，且Y1～N(320,122),Y2～N(180,92), Y1-Y2～N(140,152), P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182}, =P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ(2.8)=0.997. 习题7 从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01,试求总体的标准差. 解答： 设总体X～N(μ,σ2),样本均值为Xˉ,则有 Xˉ-μσ/n=Xˉ-μσ/4～N(0,1). 因为 P{∣Xˉ-μ∣>2}=P{∣Xˉ-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ(8σ)]=0.01, 所以Φ(8σ)=0.995. 查标准正态分布表，得8σ=2.575,从而σ=82.575=3.11. 习题8 设在总体N(μ,σ2)中抽取一容量为16的样本，这里μ,σ2均为未知. (1)求P{S2/σ2≤2.041},其中S2为样本方差；(2)求D(S2). 解答： (1)因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知 (n-1)S2σ2～χ2(n-1). 这里n=16,于是 P{S2/σ2≤2.041}=P(15S2σ2≤15×2.041) =1-P{15S2σ2>30.615(查χ2分布表可得) =1-0.01=0.99. (2)因为(n-1)S2σ2～χ2(n-1),又知 D((n-1)S2σ2)=2(n-1), 所以 D(S2)=σ4(n-1)2D((n-1)S2σ2)=σ4(n-1)2?2(n-1)=2n-1σ4=215σ4 (因为n=16). 习题9 设总体X～N(μ,16),X1,X2,?,X10为取自该总体的样本，已知P{S2>a}=0.1,求常数a.解答： 因为(n-1)S2σ2～χ2(n-1),n=10,σ=4,所以 P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1. 查自由度为9的χ2分布表得，916a=14.684,所以a≈26.105. 习题10 设X1,X2,?,Xn和Y1,Y2,?,Yn分别取自正态总体 X～N(μ1,σ2)和Y～N(μ2,σ2) 且相互独立，问以下统计量服从什么分布？ (1)(n-1)(S12+S22)σ2;(2)n[(Xˉ-Yˉ)-(μ2-σ2)]2S12+S22. 解答： (1)由(n-1)S12σ2～χ2(n-1),(n-1)S22σ2～χ2(n-1),由χ2(n)的可加性 (n-1)(S12+S22)σ2～χ(2(n-1)). (2)Xˉ-Yˉ～N(μ1-μ2,2σ2n),标准化后(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)σ2n～N(0,1),故有 [(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]22σ2n～χ2(1), 又由(n-1)(S12+S22)σ2～χ2(2n-2),注意F分布定义 [(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]21n2σ2/1(n-1)(S12+S22)σ2/2(n-1)=n[(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]2S1 习题11 分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率. 解答： 用S12和S22分别表示两个样本方差，由定理知 F=S12/σ12S22/σ22=S12/20S22/35=1.75S12S22～F(8-1,10-1)=F(7,9). 又设事件A={S12≥2S22},下面求P{S12≥2S22},因 P{S12≥2S22}=P{S12S22≥2=P{S12/20S22/35≥2×3520=P{F≥3.5}. 查F分布表得到自由度为n1=7,n2=9的F分布上α分布点Fα(n1=7,n2=9)有如下数值： F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20, 因而F0.05(7,9)=3.29<3.5 0.025≤P{S12≥2S22}≤0.05. 总习题解答 习题1 设总体X服从泊松分布.一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,计算样本均值，样本方差和经验分布函数. 解答： 样本的频率分布为xˉ=4,s2=3.6.经验分布函数为 F10(x)={0,x<11/10,1≤x<22/10,2≤x<34/10,3≤x<47/10,4≤x<58/10,5≤x<69/10,6≤x<71 ,x≥8. 习题2 A厂生产的某产种电器的使用寿命服从指数分布，参数λ未知. 为此，抽查了n件电器，测量其使用寿命，试确定本问题的总体、样本及样本的分布. 解答： 总体是这种电器的使用寿命，其概率密度为 f(x)={λe-λx,x>00,x≤0(λ未知), 样本X1,X2,?,Xn是n件某种电器的使用寿命，抽到的n件电器的使用寿命是样本的一组观察值.样本X1,X2,?,Xn相互独立，来自同一总体X,所以样本的联合密度为 f(x1,x2,?,xn)={λne-λ(x1+x2+?+xn),x1,x2,?,xn>00,其它. 习题3 设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，求： (1)来自X的简单随机样本X1,X2,?,Xn的密度f(x1,x2,?,xn); (2)Y=max{X1,X2,?,Xn}的密度fY(x); Z=min{X1,X2,?,Xn}的密度fZ(x). 解答： (1)X的密度为f(x)={1b-a,x∈(a,b)0,其它, 由于X1,X2,?,Xn独立且与X同分布，所以有 f(x1,x2,?,xn)=∏i=1nf(xi)={1(b-a)n,a≤x1≤?≤xn≤b0,其它. (2)由题设X在[a,b]上服从均匀分布，其分布函数为 F(x)={0,x 由Y=max{X1,X2,?,Xn}及Z=min{X1,X2,?,Xn}分布函数的定义 FY(x)=[F(x)]n, FZ(x)=1-[1-F(x)]n, 于是有 fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,x∈[a,b], fZ(x)=n[1-Fn-1(x)]n-1?f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,x∈[a,b]. 习题4 在天平上重复称一重量为a的物品，假设各次称量的结果相互独立，且服从正态分布 N(a,0.2).若以Xˉ表示n次称量结果的算术平均值，求使P{∣Xˉ-a∣<0.1}≥0.95成立的称量次数n的最小值. 解答： 因为Xˉ=1n∑i=1nXi～N(a,(0.2)2n),所以 Xˉ-a0.2/n～N(0,1), 故 P{∣Xˉ-a∣<0.1}=P{∣Xˉ-a0.2/n∣<0.10.2/n=2Φ(n2)-1≥0.95, 即Φ(n2)≥0.975,查正态分布表得n2≥1.96,所以n≥15.37,即n=16. 习题5 设总体X～N(20,3),从X中抽取两个样本X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,X15,求概率P{∣Xˉ-Yˉ∣>0.3}. 解答： 因为X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,Y15独立同分布，所以 Xˉ～N(20,310),Yˉ～N(20,0.2), 于是Xˉ-Yˉ～N(0,0.5). P{∣Xˉ-Yˉ∣>0.3}=P{∣Xˉ-Yˉ∣/0.5>0.3/0.5} =1-P{∣Xˉ-Yˉ∣/0.5≤0.3/0.5} =2[1-Φ(0.3/0.5)]=2[1-0.6628] =0.6744(查正态分布表). 习题6 设总体X～N(μ,σ2),假如要以0.9606的概率保证偏差∣Xˉ-μ∣<0.1,试问：当σ2=0.25时，样本容量n应取多大？ 解答： P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=0.9606,即 P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=P{∣Xˉ-μ0.25/n∣<0.10.25/n=2Φ(0.1n0.25)-1=0.9606, ?Φ(0.1n0.25)=0.9803?n5=2.06?n≈106. P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=0.9606,即 P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=P{∣Xˉ-μ0.25/n∣<0.10.25/n. 习题7 设X1ˉ和X2ˉ分别为来自正态总体N(μ,σ2)的容量为n的两个简单随机样本 X11,X12,?,X1n和X21,X22,?,X2n的均值，试确定n,使两个子样的均值之差超过σ的概率小于0.05. 解答： Xiˉ～N(μ,σ2n)(i=1,2),且X1ˉ和X2ˉ相互独立，故有 X1ˉ-X2ˉ～N(0,2σ2n), 从而X1ˉ-X2ˉσ/2/n～N(0,1), P(∣X1ˉ-X2ˉ∣>σ)=P{∣X1ˉ-X2ˉ∣σ2/n>n2=2Φ(-n2) =2[1-Φ(n2)]<0.05, 故Φ(n2)>0.975,查正态分布表n2≥1.96,所以n>7.68,即取n=8. 习题8 设总体X～f(x)={∣x∣,∣x∣<10,其它，X1,X2,?,X50为取自X的一个样本，试求：(1)Xˉ的数学期望与方差；(2)S2的数学期望；(3)P{∣Xˉ∣>0.02}. 解答： μ=E(X)=∫-11x∣x∣dx=0, σ2=D(X)=E(X2)-[E(X)]2=E(X2)=∫-11x2∣x∣dx=12. (1)Xˉ=1n∑i=1nXi(n=50) ?E(Xˉ)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=0,D(Xˉ)=σ2n=12n=1100; (2)E(S2)=[1n-1∑i=1n(Xi-Xˉ)2]=1n-1E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2] =1n-1E(∑i=1nXi2-nXˉ2)=1n-1(∑i=1nD(X1)-nD(Xˉ)) =1n-1(n?12-n?12n)=12; (3)P{∣Xˉ∣>0.02}=1-P{∣Xˉ∣≤0.02} =1-P{∣Xˉ-μD(Xˉ)∣≤0.02-μD(Xˉ) =1-P≥{∣X1/10∣≤0.2=2[1-Φ(0.2)]=0.8414. 习题9 从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02,求总体的标准差. 解答： 由于Xˉ～N(μ,σ2n),故有 0.02=P{∣Xˉ-μ∣≥4}=P{∣Xˉ-μσ/n∣≥4σ/n ≈2(1-Φ(4σ/n))≈2(1-Φ(12.65σ)), Φ(12.65σ)=0.99, 即有12.65σ=u0.01=2.33,解得σ≈5.43. 习题10 设X1,?,Xn是取自总体X的样本，Xˉ,S2分别为样本均值与样本方差，假定 μ=E(X),σ2=D(X)均存在，试求E(Xˉ),D(Xˉ),E(S2). 解答： E(Xˉ)=1n∑i=1nE(Xi)=1n∑i=1nE(X)=μ, D(Xˉ)=1n2∑i=1nD(Xi)=1n2∑i=1nD(X)=σ2n, E(S2)=E(1n-1(∑i=1nXi2-nXˉ2))=1n-1(∑i=1nE(Xi2)-nE(Xˉ2)) =1n-1(∑i=1nE(X2)-nE(Xˉ2)) =1n-1(∑i=1n(μ2+σ2)-n(μ2+(σ2n)))=σ2. 注：本题证明了对于任何存在均值μ与方差σ2的总体分布，均有 E(Xˉ)=μ,E(S2)=σ2. 习题11 设总体X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),从总体中抽取简单随机样本X1,?,X2n(n≥2),其样本均值为Xˉ=12n∑i=12nXi,求统计量Y=∑i=1n(Xi+Xn+i-2Xˉ)2的数学期望. 解答： 注意到Xi+Xn+i相互独立，同分布N(2μ,2σ2),则它们可认为是取自同一正态总体 N(2μ,2σ2)的样本，其样本均值为 1n∑i=1n(Xi+Xn+i)=1n∑i=12nXi=2Xˉ. 如果记Zi=Xi+Xn+i,i=1,?,n,即Zi(i=1,?,n)是取自N(2μ,2σ2)的样本，且 Yn-1=1n-1∑i=1n(X i+Xn+i-2Xˉ)2=S2(Z), 则有E(S2(Z))=1n-1E(Y)=2σ2,所以E(Y)=2(n-1)σ2. 习题12 设有k个正态总体Xi～N(μi,σ2),从第i个总体中抽取容量为ni的样本Xi1,Xi2,?,Xini,且各组样本间相互独立，记 Xiˉ=1n∑j=1niXij(i=1,2,?,k),n=n1+n2+?+nk, 求W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2的分布. 解答： 因为∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2σ2=(ni-1)Si2σ2～χ2(ni-1),且(ni-1)Si2σ2(i=1,2,?,k)相互独立，故W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2=∑i=1k(ni-1)Si2σ2～χ2(∑i=1k(ni-1)), 而∑i=1k(ni-1)=∑i=1kni-k=n-k,故 W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2～χ2(n-k). 习题13 已知X～t(n),求证X2～F(1,n). 解答： 设X=U/Yn,其中U～N(0,1),Y～χ2(n).且U与Y相互独立，于是， U2～χ2(1), 且U2与Y也相互独立，所以 X2=U2/(Yn). 根据F变量的构成模式知，X2应服从F(1,n)分布. 习题14 设X1,X2,?,X9是取自正态总体X～N(μ,σ2)的样本，且 Y1=16(X1+X2+?+X6),Y2=13(X7+X8+X9), S2=12∑i=79(Xi-Y2)2, 求证Z=2(Y1-Y2)S～t(2). 解答： 易知 Y1=16(X1+X2+?+X6)～N(μ,σ26), Y2=13(X7+X8+?+X9)～N(μ,σ23), 且Y1与Y2独立，故Y1-Y2～N(0,σ22),又 2S2σ2=∑i=79(Xi-Y2)2/σ2～χ2(2),Y1-Y2与2S2σ2 独立，从而 (Y1-Y2)/σ22S2σ2/2=2(Y1-Y2)S=Z～t(2). 习题15 设X1,?,Xn,Xn+1是取自正态总体X～N(μ,σ2)的样本， Xnˉ=1n∑i=1nXi,Sn=1n-1∑i=1n(Xi-Xnˉ)2, 试确定统计量nn+1?Xn+1-XnˉSn的分布. 解答： 将统计量改写成下列形式： nn+1?Xn+1-XnˉSn=(Xn+1-Xnˉ)/1+1nσ(n-1)Sn2σ2/(n-1)(*)由于Xn+1与Xi(i=1,?,n)相互独立， Xnˉ=1n∑i=1nXi～N(μ,σ2n),Xn+1～N(μ,σ2), 所以Xn+1-Xnˉ～N(0,(1+1n)σ2),从而 (Xn+1-Xnˉ)/(1+1nσ)～N(0,1), 注意到Xnˉ与Sn2相互独立，Xn+1也与Sn2相互独立，且 (n-1)Sn2σ2～χ2(n-1), 故由(*)式即得 nn+1?Xn+1-XnˉSn～t(n-1). 假设X1,X2,?,X9是来自总体X～N(0,22)的简单随机样本，求系数a,b,c,使 Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2 服从χ2分布，并求其自由度. 解答： 由于X1,X2,?,X9相互独立且取自总体X～N(0,22),由正态分布的线性运算性质有X1+X2～N(0,8),X3+X4+X5～N(0,12),X6+X7+X8+X9～N(0,16), 于是，由χ2=χ12+?+χk2有 Q=(X1+X2)28+(X3+X4+X5)212+(X6+X7+X8+X9)216～χ2(3), 故a=1/8,b=1/12,c=1/16,自由度为3. 习题17(1) 17.从总体X～N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本. 在下列情况下分别求Xˉ与μ之差的绝对值小于2的概率： (1)已知σ2=25; 解答： 由σ=5,U统计量(Xˉ-μ)/σn～N(0,1), P{∣Xˉ-μ∣<2}=P{∣Xˉ-μ∣/σn<2/516 =P{∣U∣<1.6}=2Φ(1.6)-1=0.8904. 习题17(2) 17.从总体X～N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本. 在下列情况下分别求Xˉ与μ之差的绝对值小于2的概率： (2)σ2未知，但s2=20.8. 解答： 由T统计量(Xˉ-μ)/Sn～t(n-1), P{∣Xˉ-μ∣<2}=P{∣Xˉ-μ∣/Sn<2/20.816 =P{∣T∣<1.76}=1-2×0.05=0.90. 习题18(1) 18.设X1,X2,?,X10取自正态总体N(0,0.32),试求 (1)P{∑i=110Xi2>1.44; 由∑i=1n(Xi-μ)2σ2～χ2(n)题中μ=0,因此 P{∑i=110Xi2>1.44=P{∑i=110Xi2(0.3)2>1.44(0.3)2=P{χ2(10)>16}=0.1. 习题19 (1)设总体X具有方差σ12=400,总体Y具有方差σ22=900,两总体的均值相等，分别自这两个总体取容量为400的样本，设两样本独立，分别记样本均值为Xˉ,Y,ˉ试利用切比雪夫不等式估计k,使得P{∣Xˉ-Yˉ∣ (2)设在(1)中总体X和Y均为正态变量，求k. 解答： (1)由题设 E(Xˉ-Yˉ)=E(Xˉ)-E(Yˉ)=0, D(Xˉ-Yˉ)=D(Xˉ)+D(Yˉ)=400400+900400=134(由两样本的独立性). 由切比雪夫不等式 P{∣Xˉ-Yˉ∣ 按题意应有1-1k2×134=0.99,解得k=18.028. (2)由题设X,Y均为正态变量，故有 Xˉ-Yˉ～N(0,134). 因此 P{∣Xˉ-Yˉ∣ =P{-k13/4 =Φ(k13/4)-Φ(-k13/4)=2Φ(k13/4)-1, 要使2Φ(k13/4)-1≥0.99,即 Φ(k13/4)≥0.995=Φ(2.58),k13/4≥2.58,k≥4.651. 习题20 假设随机变量F服从分布F(5,10),求λ的值使其满足P{F≥λ}=0.95. 解答： 一般书中给出的F分布表，给出P{F≥λ}=α的α值只有α=0.01,α=0.05等几个较小的值，而现α=0.95,不能直接查F表得到λ,但是注意到P{F≥λ}=0.95,并且 P{F≤λ}=P{F-1≤λ-1}=0.05, 而F-1～F(10,5),因此可查表得 1λ=F0.05(10,5)=4.74,λ≈0.21. 习题21 设X1,X2,?,Xn是总体X～N(μ,σ2)的一个样本，证明： E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]2=(n2-1)σ4. 解答： 因为 χ2=∑i=1n(Xi-Xˉ)2/σ2～χ2(n-1),E(χ2)=n-1,D(χ2)=2(n-1),所以 E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]2=σ4E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2/σ2]2 =σ4E[χ2]2=σ4[D(χ2)+[E(χ2)]2] =σ4[2(n-1)+(n-1)2]=(n2-1)σ4. 概率经典测试题及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是 () A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式 B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4 C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1 D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案． 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误； B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误； C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确； D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误； 故选：C． 【点睛】 此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（） A．2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团， 于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种， 所以，所求概率为31 93 ，故选C． 概率论第五章习题解答（科学出版社） 1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h 的概率。 解 设这16只元件的寿命为i X ，1,2, ,16i =，则16 1 i i X X ==∑， 因为()100i E X μθ===，22()10000i D X σθ=== 于是随机变量 16 16 1600 1600 400 i i X n X X Z μ -?--= = = ∑∑近似的服从(0,1)N 160019201600{1920}{ }400400X P X P -->=>1600 {0.8}400X P -=> 1600 1{0.8}400 X P -=-<1(0.8)=-Φ＝10.78810.2119=-=. 2\（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率； （2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为i X ，1,2, ,50i =（以千美元 计）服从韦布尔分布，均值()5i E X =，方差()6i D X =求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。 解 （1）设每个投保人索赔金额为i X ，1,2,,10000i =，则索赔总金额为10000 1 i i X X == ∑ 又 ()280i E X =，2()800i D X =，所以， 索赔总金额不超过2700000美元的概率 {2700000}1`{270000}P X P X >=-≤ 10000 1 28010000 27000002800000 1{ }800100 80000 i i X P =-?-=-≤ ?∑ 10000 1 2800000 101{ }80000 8 i i X P =-=-≤- ∑ 10000 1 2800000 1{ 1.25}80000 i i X P =-=-≤-∑近似的服从(0,1)N 苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013年8月 习题1-1 样本空间与随机事件 1．选择题 （1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）AB AC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C （2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ） A {}123T T T t ++> B {}123TT T t > C {}{}123min ,,T T T t > D {}{} 123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。 解：{},18543 ，，，＝Ω ；{} 18,,12,11 ＝A 。 （2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。 解：{ } ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。 （3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量 长度与规格的误差不超过0.1。 。 3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ， B ， C 都发生：解： ABC ； （2） A ， B ，C （3） A 发生， B 与 C （4） A ， B ， C 中至少有一个发生：解：C B A ?? （5） A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示 下列各事件： （1）只有一个是次品； 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的 概率论与数理统计（复旦第三版） 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 10.760.840.9.n i i X P n =??????≤ ≤≥???????? ∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不 足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ 【经典例题】 【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ????0≤x≤4， 0≤y≤4，满足条件的关系式 为－2≤x－y≤2. 习题5-1 1. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||2}P X E X -（）≥. 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2 () {()}D X P X E X εε -≥≤ , 所以 1{||2} 2 P X E X -（）≥≤. 2. 设随机变量X , Y 的数学期望分别是2和-4, 方差分别是1和4, 而相关系数为0.5. 则根据切比雪夫不等式估计 {|2|P X Y +≥12}. 解 {2}2()() 22(4) E X Y E X E Y +=+=?+-=, {2}4()()22Cov(,)D X Y D X D Y X Y +=+-? 840.5124=-???=. 所以, {|2|P X Y +≥12}≤ 2 4112 36 = . 3. 设随机变量X 的数学期望E (X ) = μ, 方差D (X ) = σ2 , 由切比雪夫不等式估计P {|X -μ|≥3σ}. 解 令ε = 3σ, 则由切比雪夫不等式P {|X -μ|}≥ε}≤ 2 () D X ε , 有 P {|X -μ|≥3σ}≤ 22 1(3) 9 σ σ= . 4. 独立重复地做一项试验, 假设每次试验成功的概率为0.7 5. 用切比雪夫不等式求: 至少需要做多少次 试验, 才能以不低于0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间? 解 假设做n 次试验, 才能以0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间. 用X 表示试验成功的次数, 从而~(,0.75)X B n , 由题设, 要使 {0.740.76}{ 0.750.01}0.90X X P P n n < <=-<≥. 又由切比雪夫不等式得 2 2 ( )0.750.25{0.740.76}{ 0.750.01}110.01 0.01 X D X X n P P n n n ?< <=-<- =- ?≥. 要满足题意, 只需2 0.750.2510.900.01 n ?- ?≥即可. 解之得 2 0.750.25 187500.010.10 n ? =?≥ . 习题 5-2 1. 一本书有十万个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 用中心极限定理求排版后错误不多于15个的概率. 解 设 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 【经典例题】 【例1】（2012）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 1 2 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为 扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选 A ． 【例2】（2013）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012）节日前夕，小在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4秒任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ??0≤x ≤4， 0≤y ≤4，满足条件的关系 式为－2≤x －y ≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位， 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 整理得0.95,10n ??Φ≥ ? ??? 查表 1.64,10n ≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互 不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）, ()140,()42,E X D X == 1400.95{0}().42m P X m P X m -?? =≤≤=≤=Φ ??? 查表知 140 1.64,42 m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V = ∑=20 1 k k V ，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知:E (V k )=5,D (V k )= 100 12 ,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 20 1 205 ~(0,1).100100 20201212 k k V Z N =-?= =??∑近似的 于是105205{105}1010020201212P V P ????-?? >=>???? ????? 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-?? =>≈-Φ=? ???????? 即有 P {V >105}≈ 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少 第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题： 1.设随机变量μξ=)(E ，方差2 σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9 1 . 2.设n ξξξ,,, 21是 n 个相互独立同分布的随机变量， ),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑== n i i n 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 2 28εεξεμξn D P =≤ ≥-)(}|{| ，并估计≥ <-}|{|4μξP n 21 1- . 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2,,9)i DX i == , 令9 1 i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式 直接可得{} ≥<-ε9X P 2 9 1ε- . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以 99 9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 99 9 2 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足：2 (),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1 16 ≤ . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2 (),()E X D X μσ==, 则对任意 的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221 {||4}.(4)16 P X σμσσ-≥≤= 1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。 一．填空题（82142'=?'） 1．已知41)(=A P ,31)(=A B P ,2 1)(=B A P ,则=)(B A P Y 31。 2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为7 3482325=?C C ； 3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X 的概率分布为K ,2,1,5.05.05.0)(1==?==-k k X P k k ，X 服从分布)5.0(G 。 4．设随机变量X 的密度函数为?????<≥=1 ,01,)(2x x x c x p ，则常数=c 1 ，X 的分布函数 =)(x F ?? ???>-≤1,111 ,0x x x 。 5．设随机变量X 的密度函数为???<<=其他 ,010,2)(x x x p X ，则随机变量2X Y =的密度函数=)(y p Y ???<< 其它,010,1y 。 6．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F d a F c b F d b F +--。 7．设)2,1(~N X ，)4,3(~N Y ，且X 和Y 相互独立，则Y X Z +=2的密度函数=)(z p Z +∞<<-∞--z e z ,621 24)5(2 π。 8．)5.0,9,4,0,1(~),(N Y X ，则~Y )9,0(N ，=-])[(2Y X E 8 。 9．设),(Y X 的联合概率分布为 则X 的概率分布为 相关系数=XY ρ3 2-。 10．设随机变量n X X X ,,21Λ独立同分布, μ=1EX , 81=DX ,记∑==n i i n X n Y 11，则用切比雪夫不等式估计≥<-)2(μn Y P n 21-。 二．简答题（6'） 叙述数学期望和方差的定义（离散型），并且说明它们分别描述什么？ 数学期望：i i i p x ∑∞=1绝对收敛，则i i i p x EX ∑∞ ==1。（2分） EX 描述X 取值的平均。（1分） 方差： 2)(EX X E -存在，则2 )(EX X E DX -=（2分） DX 描述X 相对于EX 的偏差。（1分） 三．分析判断题（判断结论是否正确，并说明理由，0125'=?'） 1．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，b a <，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -。 不一定正确。（2分） 如X 为连续型随机变量，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -；如X 为离散型随机变量，且 0)(≠=a X P ，则≠≤≤)(b X a P )()(a F b F -（或举反例） 。（3分） 2．若随机变量X 和Y 不相关，则DX Y X D ≥-)(。 正确。（2分） .) 1)(,(2)(分）（分（分） 11DX DY DX Y X Cov DY DX Y X D ≥+=-+=- 四．计算题（65018810101'='+'+'+'+'） 1．（01334'='+'+'）进行4次独立试验，在每次试验中A 出现的概率均为3.0。如果A 不出现，则B 也不出现；如果A 出现一次，则B 出现的概率为6.0；如果A 出现不少于两次， 必然事件 1、有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a、b为实数，那么a＋b＝b＋a．其中是必然事件的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、纸箱里装有2个篮球、8个白球，从中任意摸出3个球时，至少有一个是 3、一个不透明的口袋中有10个白球和12个黑球，“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，n等于（） Ａ、10 Ｂ、11 Ｃ、12 Ｄ、13 4、下列事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身 C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0 可能事件 1、下列事件：（1）明天是晴天；（2）小明的弟弟比他小：（3）巴西与土耳其进行足球比赛，巴西队会赢；（4）太阳绕着地球转。属于不确定事件的有： 2、下列事件中，属于随机事件的是（） A. 掷一枚普通正六面体骰子，所得点数不超过6 B.买一张彩票中奖 C. 太阳从西边落下 D.口袋中装有10个红球，从中摸出一个是白球 3、下列事件： ①打开电视机，它正在播广告； ②从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球； ③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13； ④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上 其中是可能事件的为（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4、下列事件中，属于不确定事件的有（） ①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5、在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球有3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，?请你写出这个实验中的一个可能事件： _________． 6、篮球投篮时，正好命中，这是事件。在正常情况下，水由底处自然流向高处，这是事件。 第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解 5.01 解：这是检验正态总体数学期望μ是否为32.0 提出假设：0.32:, 0.32:10≠=μμH H 由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61 .10 .320 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u 计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(6 1=+++++?=x 89.061 .10 .326.310 0-=-= -= n x u σμ 因 0.89 1.96u =< 它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为 0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显著为 32.0kg/cm 2。 5.02 解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10 提出假设：10:, 10:10>≤μμH H 即：10:, 10:10>=μμH H 由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ， km x 万1.10=，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51 .010 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251 .010 1.100 =-= -= n x u σμ 因 2.24 1.64u => 它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ 所以可以认为这批新摩托车的平均寿命μ有显者提高。 5.03 解：这是检验正态总体数学期望μ是否小于240 提出假设：240:,240:10<≥μμH H 即：240:, 240:10<=μμH H 由题设，样本容量6n =，6252=σ，256250==σ，220=x ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~625 240 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='-≤λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1-≤u 计算得：959.1625 240 2200 -=-= -= n x u σμ 因 1.959 1.64u =-<- ○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○ ………… 学校: ___ ___ _ _ __ _姓名：___ _ __ ___ _ _班级：__ __ _ _ ___ _ _考号：_ _____ __ ___ ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … …○ … … … … 订… … … … ○ … ………线…………○………… 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a 和b 所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有 家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 复习题5及答案 一、填空题 1.甲、乙、丙三人在同一时间内分别破译某个密码，设甲、乙、丙三人能单独译出的概率分别为0.8，0.7和0.6，则密码能被译出的概率为_________. 由加法定理和独立性可得所求概率为： 0.8+0.7+0.6－0.8*0.7－0.8*0.6－0.7*0.6+0.8*0.7*0.6 2. 设()0.8,()0.5P A P A B =-=且A 与B 独立，则()P B =___________。 ()()()()0.5()()()0.51()0.625() ()0.375 P A B P A AB P A P AB P A P A P B P B P A P B -=-=-=-=?-===故 3. 设随机变量X 服从参数2λ=的泊松分布，则(1)P X ≥= _____________。 2 2 2 (1)1(0)110! P X P X e e --≥=-==- =- 4. 设随机变量X 、Y 相互独立，且()1D X =，()2D Y =，则(32)D X Y -=_____。 由 独 立 随 机 变 量 的 方 差 的性质可得 (32)(3)(2)9()4()17 D X Y D X D Y D X D Y -=+-=+= 5.12,,,n X X X 是来自总体 X 的样本，若统计量 1 n i i i a X μ ==∑是总体均值E X 的无 偏估计量，则1 n i i a ==∑_________。 由无偏估计量的定义 1 1 1 1 ()()()1n n n n i i i i i i i i i i E E a X a E X a a μμμ====== ==? =∑∑∑∑ 6. 设1217,,,X X X 是总体(,4)N u 的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=， 则a =____________. （注：2222 0.01 0.0050.010.005(17)33.4,(17)35.7,(16)32.0,(16)34.3χχχχ====） 2 2 2 2 2 0.011616()()0.01 4 4 16165.1(16)32.04 4 8 S a P S a P S a a χχ>=> ==== 由定理知（17-1），故 于是 概率统计练习册习题解答 苏州科技学院 概率论与数理统计》活页练习册习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013 年12 月 习题1-1 样本空间与随机事件 1选择题 （1）设A,B,C为三个事件，则A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（D） （A）AB IJ AC U BC（B）A U B U C（C ）AB CU A B C UA BC （D ） AUBUC （2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件系统的寿命超过t”可表示为（D） A ;T1T2T3k B ITT2T3 t? C :min 汀,T2,T3? t? D ;max：T1，T2,T3i >t? 2?用集合的形式表示下列随机试验的样本空间「与随机事件A:对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示射击次数不超过5次”。 解：Q = {l,2,3,，}； A = {1,2,3,4,}。 3?设某工人连续生产了4个零件，A i表示他生产的第i 个零件是正品（i=123,4 ），试用A表示下列各事件： （1 ）只有一个是次品； (2)至多有三个不是次品；卜- A- A3 一A4 习题1-2 随机事件的概率及计算 1填空题 (1)已知 A B，P(A)=0.4，P(B)=0.6，贝P(A)二—0.6，P(AB)二 二0 ，P(AB)二0.4。 P(A B) (2)设事件A与B互不相容，P(A) =0.4, P(B) = 0.3，则P(AB)= 0.3 ，P(AU B)= 0.6 。 2 ?选择题 (1)如果P(AB) =0，则(C ) (A) A与B互不相容(B) A 与B互不相容 (C) P(A_B)二P(A) (D) P(A_B) =P(A) _P(B) (2)两个事件A与B是对立事件的充要条件是 (C ) (A) P(AB) = P(A) P(B) (B) P(AB) =0 且P(A B) =1 一、单项选择题 1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2 x B. C. 2 x D. x 10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2 x B. 1 C. 2 x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从 ( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。概率经典测试题及答案
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