七年级数学竞赛辅导材料（下）
9、一元一次方程解的讨论
10、二元一次方程的整数解
11、二元一次方程组解的讨论
12、用交集解题
13、用枚举法解题
14、经验归纳法
15、乘法公式
16、整数的一种分类
初一（下）数学竞赛辅导(9)
一元一次方程解的讨论
一、内容提要：
1、方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：
序 号 1 2 3 4 5 方 程 2x ＋6＝0 x （x －1）=0 |x|=6 0x=0 0x=2 解（或根） x=－3 x=0或x=1 x=±6 所有的数 无解
2、关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，分情况讨论它的解，列表如下：
序号 a 的范围 解（或根）
1 当a ≠0时
有唯一的解 x=a
b
2 当a=0且b ≠0时 无解
3 当a=0且b ＝0时 有无数多解。
3、求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解。 当a ｜b 时，方程有整数解；
当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 。 二、例题：
例1：a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？
解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x=a
4
；
②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解； ③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解；
④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x=a
4
，∴只要a 与4同号，即当a>0且a ≠2
时，方程的解是正数。
例2：k 取什么整数值时，方程①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？②（1－x ）k=6的解是负整数？
解：①化为最简方程（k ＋2）x=4
当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。 ②化为最简方程kx=k －6，
当k ≠0时x=k k 6 =1－k
6
，
只要k 能整除6， 即 k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数 当 k=1，2，3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
例3：己知方程a(x －2)=b(x+1)－2a 无解。问a 和b 应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (a －b)x=b ∵方程无解，∴a －b=0且b ≠0 ∴a 和b 应满足的关系是a=b ≠0。
例4 a 、b 取什么值时，方程（3x －2）a+（2x －3）b=8x －7有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b －8）x=2a+3b －7， 根据 0x ＝0时，方程有无数多解，可知
当 ???=-+=-+07320823b a b a 时，原方程有无数多解。
解这个方程组得?
??==12
b a
答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。
三、练习：
1、根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x+1)=0， ②x 2=9， ③|x|=9， ④|x|=－3， ⑤3x+1=3x －1， ⑥x+2=2+x 2、关于x 的方程ax=x+2无解，那么a________。 3、在方程a(a －3)x=a 中，当a 取值为_______时，有唯一的解；当a_______时无解；当a_______时，有无数多解；当a_______时，解是负数。 4、k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？
① x=k 4 ②x=16-k ③x=k k 32+ ④x=1
23+-k k
5、k 取什么值时，方程x －k=6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？
6、m 取什么值时，方程3（m+x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？
7、己知方程2
2
1463+=
+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？ 8、m 取什么整数值时，方程m m x 3
2
1)13(-=-的解是整数?
9、己知方程ax x b 2
3
1)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
练习9
序号 参考答案
序号 参考答案
1 1． ①－1 ②±3 ③±9 ④无解 ⑤无解 ⑥无数多个解
2 a=1
3
a ≠3，a ≠0；a=3；a=0； a<3且a ≠0
4 ① k=±1，±2，±4 ②2，0，3，－1，4，－2，7，－
5 ③±1，±3 ④4，－5，0－2（1
5
3123+-+
=+-k k k ） 5 ①k<0 ②k ≤0 6 ①m=－1 ②m ＜－1
7
2a+b>0
8
化为最简方程mx=m+3， 当m=
±1，±3时，有整数解
9
化为最简方程(3a －b)x=b+2 当???=+=-0203b b a 时方程无解，解得???
??-=-=2
32b a
初一（下）数学竞赛辅导材料（10）
二元一次方程的整数解
一、内容提要：
1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a ，b 的最大公约数能整除c ，则方程有整数解。即如果（a ，b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解。
显然a ，b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1、5x －2y=7、9x+3y=6都有整数解。
反过来也成立，方程9x+3y=10和 4x －2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a ，b ）中的a ，b 实为它们的绝对值。 2、二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。
方法一：整除法。求方程5x+11y=1的整数解。
解：x=
5111y -=y y
y y 25
15101--=-- (1) ， 设k k y (5
1=-是整数）
，则y=1－5k (2) ，把（2）代入（1）得x=k －2(1－5k)=11k －2， ∴原方程所有的整数解是?
??-=-=k y k x 512
11（k 是整数）。
方法二：公式法。 设ax+by=c 有整数解：??
?==00y y x x 则通解是?
??-=+=ak y y bk
x x 00（x 0、y 0可用观察法）。
3、求二元一次方程的正整数解：
1）求出整数解的通解，再解x ，y 的不等式组，确定k 值。2）用观察法直接写出。 二、例题：
例1：求方程5x －9y=18整数解的通解。
解：x=
53235310155918y y y y y -++=-++=+，设k y
=-5
3（k 为整数）
，y=3－5k ，代入得x=9－9k , ∴原方程整数解是：?
??-=-=k y k
x 5399（k 为整数）。
又解：当x=0时，y=－2，∴方程有一个整数解???-==20y x ，它的通解是???--=-=5k 2y k
9x （k 为整数）。
从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2：求方程5x+6y=100的正整数解。
解：x=
52056100y y y --=-(1)，设k y
=5
(k 为整数)，则y=5k ，(2) 把（2）代入（1）得x=20－6k ，∵??
?>>00y x 解不等式组???>>-0
50
620k k
k
得0＜k<620
，k 的整数解是1、2、3，∴正整数解是?
??==514y x 、???==108y x 、???==152y x 。
例3：甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得：3x+5y=38（x ，y 都是正整数）， ∵x ＝1时，y=7，∴??
?==71y x 是一个整数解，∴通解是?
??-=+=k y k
x 3751（k 为整数）， 解不等式组??
?>->+0
37051k k 得解集是37
51<<-k ∴整数k=0、1、2，
把k=0、1、2代入通解，得原方程所有的正整数解??
?==71y x 、???==46y x 、?
??==111
y x 。 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
三、练习题：
1、求下列方程的整数解。
①公式法：x+7y=4、5x －11y=3； ②整除法：3x+10y=1、11x+3y=4。 2、求方程的正整数解：①5x+7y=87、②5x+3y=110。
3、一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4、兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5、下列方程中没有整数解的？是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
4x ＋2y=11、②10x －5y=70、③9x+3y=111、④18x －9y=98、⑤91x －13y=169、⑥120x+121y=324。 6、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？
7、用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：
y= 1 4 －2 x=
=-3
71y
二元一次方程的整数解练习参考答案： 序号 参考答案
序号
参考答案
1
①???-=+=k y k x 074、???-=-=k y k x 52115；②???-=-=k y k x 31310、?
??-=-=k y k x 11513（为k 整数）
2
①???==???==??
?==11669112y x y x y x ②??
?-=+=k
y k x 50322 －0322
＜＜k …… 3 有6种截法??
?345
乙＝甲＝??
?2810乙＝甲＝??
?2215乙＝甲＝??
?1620乙＝甲＝??
?10
25乙＝甲＝?
??519
乙＝甲＝ 4 16、13 . 5 A 、D 6 12
7
略
初一（下）数学竞赛辅导材料（11）
二元一次方程组解的讨论
一、内容提要： 1、二元一次方程组??
?=+=+222
1
11c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：
② 当
2
1
2121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ③ 当
2
1
2121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ④ 当
21
21b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ???
????--=--=1
221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）
2、 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3、 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不
等式或加以讨论。（见例2、3） 二、例题：
例1. 选择一组a ，c 值使方程组?
??=+=+c y ax y x 27
5
2， 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解
解比例得a=10， c=14。
3， 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10， c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组??
?=+=+31
35y x a
y x 的解是正数？
解：把a 作为已知数，解这个方程组
得???????-=-=23152331a y a x ∵???>>00y x ∴???????>->-0
2
31502331a a
解不等式组得???
?
??
?><5
313
31
a a 解集是6311051< 3 1 1051< ??=+=+144 2y x my x 的解x 和y 都是整数？ 解：把m 作为已知数，解方程组得??? ????-= --=828 81m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。 ∵y 是整数，∴m －8取2的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m －8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。 经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。 例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买x ， y ， z 粒，依题意得 ?? ? ? ?=++=++)2(1007143)1(100z y x z y x 由（1）得x= 100－y －z (3) 把（3）代入（2），整理得 y=－200+3z －7 z 设 k z =7 (k 为整数) 得z=7k ， y=－200+20k ， x=300－27k ∵x ，y ，z 都是正整数∴??? ??>>+->-07020200027300k k k 解得? ?? ????>><0.10.9100k k k （k 是整数） ∴10＜k<9 1 11 ， ∵k 是整数， ∴k=11 即x=3（桃）， y=20（李）， z=77（榄橄） (答略) 二元一次方程组解的讨论练习题 1、不解方程组，判定下列方程组解的情况： ① ???=-=-96332y x y x ②???=-=-32432y x y x ③???=-=+1 53153y x y x 2、a 取什么值时方程组?????+-=--+=+2 29691 32 2 a a y x a a y x 的解是正数？ 3、a 取哪些正整数值，方程组???=--=+a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？ 4、要使方程组? ? ?=-=+12y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？ 5、（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？ 二元一次方程组解的讨论参考答案 1、①无数多个解 ②无解 ③唯一的解 2、a>1 3、 a=1 4、 –5，-3，-1，1 5、 ?????78154鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝?????81118鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝?? ???84412鸡雏＝鸡母＝鸡翁＝ 初一（下）数学竞赛辅导材料（12） 用交集解题 一、内容提要： 4， 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6 的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。 5， 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集。 6， 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集。 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 例如不等式组?? ?<->) 2(2) 1(62 x x 解的集合就是 不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x>3. 如数轴所示： 0 2 3 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2） 二、例题： 例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。 解：除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝ 除以5余3的自然数集B ＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数。 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。 解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是 ｛1，3，7，9｝； 其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组。 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人，订阅B 种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人 两种都没有订，问只订A 种、只订B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A 、B 两种都订的人数集合）。 ∴只订A 种刊物的人数是28－6＝22人； 只订B 刊物的人数是21－6＝15人； 小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。 整 数集正数集正整数 集 A B B ＝21A ＝28只B 15 只A 22 6 设N ，N （A ），N （B ），N （AB ），N 分别表示总人数，订A 种、B 种、AB 两种、都不订的人数，则得 ［公式一］N ＝N + N （A ）+N （B ）－N （AB ）。 例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的 有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人， 问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？ 解：仿公式一，得［公式二］： N ＝N + N （A ）+N （B ）+N(C)－N （AB ）－N （AC ）－N(BC)+N(ABC) ①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人） ②求N （BC ）可用公式二： ∵40＝24＋18＋10－6－4－N （BC ）＋1 ∴N （BC ）＝3， 即同时会打篮球和排球的是3人 ③只会打排球的是10－3－1＝6（人） 例5. 十进制中，六位数8719xy 能被33整除，求x 和y 的值 解：∵0≤x ，y ≤9， ∴0≤x+y ≤18， －9≤x －y ≤9，x+y>x －y ∵33＝3×11， ∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2，5，8，11，14，17 (1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数， 故x －y=－4，7 ∵x+y 和x －y 是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解： ???-=-=+48y x y x ?? ?-=-=+414 y x y x ?? ?=-=+711 y x y x ?? ?=-=+717 y x y x 解得? ??==62y x ? ??==95 y x ? ??==29 y x ? ??==512 y x （x=12不合题意舍去）答：x=2，y=6或x=5，y=9或x=9，y=2 ABC 1 AB 6AC 4 A 24B 18 C 10 用交集解题练习题 1、负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿ 2、等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。 3、12的正约数集合A ＝｛ ｝，30的正约数集合B ＝｛ ｝ 12和30的公约数集合C ＝｛ ｝，集合C 是集合A 和集合B 的＿＿ 4、解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上： ①???-<->563x x ②???<>-052x x ③?? ???->-->22131 x x ④???<+>-0202x x 5、某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。 6、九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？ 7、求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。 8、 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打 排球有几人？②只会打排球是几人？ 9、 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A 和B 进行表决，赞成A 的有52票，赞成B 的有60 票，其中A 、B 都赞成的有36人，问对A 、B 都不赞成的有几人？ 10、数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？） 11、053=+-+-+y x y x 12、十进制中，六位数2851xy 能被21整除，求x ，y 的值（仿例5） 用交集解题参考答案 1、负分数 2、等腰，直角 3、交集 4 、 ①x>5， ② x<-2， ③-3 8、11人，6人 9、由 100＝N ＋52＋60－36得N ＝24 10、30人，7人； 32人，9人 11、?? ?=-=41y x 12、? ??== ,5,0y x （仿例5） 初一（下）数学竞赛辅导材料（13） 用枚举法解题 一、内容提要： 有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： 例5. 按一定的顺序，有系统地进行； 例6. 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； 例7. 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 二、例题： 1 例1 如图由西向东走， 从A 处到B 处有几 种走法？ 1 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从A 到C 有三种走法，在C 处标上3， 从A 到M （N ）有3＋1＝4种， 从A 到P 有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B ，可得1＋1＋11＝13（种走法） 1， 写出由字母X ，Y ，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。 解法一：按X 4，X 3，X 2，X ，以及不含X 的项的顺序列出（如左） 解法二：按X →Y →Z →X 的顺序轮换写出（如右） X 4 ， X 4 ， Y 4 ， Z 4 X 3Y ， X 3Z ， X 3Y ， Y 3Z ， Z 3X X 2Y 2， X 2Z 2， X 2YZ ， X 3Z ， Y 3X ， Z 3Y XY 3， XZ 3， XY 2Z ， XYZ 2， X 2Y 2， Y 2Z 2 ， Z 2X 2 Y 4， Z 4 Y 3Z ， Y 2Z 2， YZ 3。 X 2YZ ， Y 2ZX ， Z 2XY 解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略) 2， 讨论不等式ax 解：把a 、b 、c 都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表 ax<0的解集 b 正 负 零 a 正 负 零 当a>0时，解集是x< a b ， 当a<0时，解集是x>a b ， 当a=0，b>0时，解集是所有学过的数， 当a=0，b ≤0时，解集是空集(即无解) 例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位， 再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计： 边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10 边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在下的▽有：1 边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3 边长4单位，顶点在上的△有：1 合计共27个 411134311C A B P M N 用枚举法解题练习题 1． 己知x ，y 都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿ 2． a+b=37，适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3． xyz=6，写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿ 4． 如图线段AF 上有B ，C ，D ，E 四点，试分别写出以A ，B ，C ，D ，E 为一端且不重复的所有线段， 并统计总条数。 A B C D E F 5. 写出以a ，b ，c 中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。 6、 除以4余1 两位数共有几个？ 7、 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？ 8. 把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正 方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？ 9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从 A 到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 10. 列表讨论不等式ax>b 的解集. 11. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数， 则这个正整数的最小值是＿＿ 练习13 1. 8组 2. 18组 3. 9组 4. 15条 5. 10个 6. 22个（从13，17，…97） 7. 25种 8. 1＋22＋32＋42＝30个， 55个， 385个 9. 70种 1. 当a>0时，x< a b ； 当a<0时，x>a b ； 当a=0，b ≥0时，无解；当a=0，b<0时，有无数多个解。 2. 27 A B 初一（下）数学竞赛辅导材料（14） 经验归纳法 一、内容提要： 1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 ①由( －1)2＝1 ，（－1 ）3＝－1 ，（－1 ）4＝1 ，……， 归纳出－1 的奇次幂是－1，而－1 的偶次幂是 1 。 ②由两位数从10 到99共90 个（9 ×10 ）， 三位数从100 到999 共900个（9×102）， 四位数有9×103＝9000个（9×103）， ………… 归纳出n 位数共有9×10n-1(个) 5．由1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42…… 推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试 验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明） 二、例题： 例1平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点， 1 2 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4 ……… 第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点 由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个）， 这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］× 21 + n ，即 2)1 (- n n 个交点。 例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数） 解：当n ＝1时，3n＝3，（n＋1）！＝1×2＝2 当n ＝2时，3n＝9，（n＋1）！＝1×2×3＝6 当n ＝3时，3n＝27，（n＋1）！＝1×2×3×4＝24 当n ＝4时，3n＝81，（n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120 当n ＝5时，3n＝243，（n＋1）！＝6！＝720…… 猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。例3求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。 分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。 解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2 x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1，x2=2，x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1，x3=2，x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1，x4=2，x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1，x5=2，x6=6 ………… 由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解为x1=x2=x3＝……=x2001=1，x =2，x2003=2003。 2002 经验归纳法练习题 6、 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n 位数有＿＿＿＿个。 7、 十进制的两位数21a a 可记作10a 1＋a 2，三位数321a a a 记作100a 1+10a 2+a 3，四位数 4321a a a a 记作＿＿ ＿＿，n 位数＿＿＿记作 8、 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43 ＝（＿＿＿）2 ，13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n 3=( )2。 9、 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） ①－个 1101111 252222个＝（＿＿＿）2； ； 121111n 个－ 2 2222n 个＝（ ＿＿）2 。 ② 位91111 位95655＝（＿＿＿＿）2； n 位 n 位56551111＝（＿＿＿）2 10、 把自然数1到100一个个地排下去：123......91011 (99100) a) 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少 6．计算 12111?＋13121?＋14131?＋…＋20 191 ?＝ （提示把每个分数写成两个分数的差） 7．a 是正整数，试比较a a+1和(a+1)a 的大小. 8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽3等分，把长8等分，分成24个 小长方形，那么这24个长方形中， 两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。 本题如果改为把宽m 等分，长n 等分(m ，n 都是大于1的自然数)那么这mn 个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个 9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。 本题如果改为把长m 等分，宽n 等分，高p 等分，（m ，n ，p 都是大于2的自然数）那么这mnp 个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。 10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。 11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。 练习 14 3，30，3×102，3×10n-1 11、 10n-1a 1+10n-2a 2_＋……+10a n-1+a n 4. ①333332， 个 n 2333 ② 位 923433， 位 n 2 3433 5.①192位，②901位（50个18，加上1） 6. ∵ 12111 ＝111－121 (220) 9 7. a=1，2时，a a+1<(a+1)a …… 1， 4，14，6； 4， 2m+2n-8， (m-2)(n-2) 2， 8，24，24，8； 8，4×［（m －2）＋（n-2）+(p-2)］，2［（m-2）(n-2)+(m-2)］(p-2)+(n-2)(p-2)］， (m-2)(n-2)(p-2) 10. 64，8 11. 3334 初一（下）数学竞赛辅导材料（15） 乘法公式 一、内容提要： 例1乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 例2基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2， 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2 立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广： 2．多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 3．二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） （a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 4．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 （a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ………… 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数 (a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n (a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地： （a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 4.公式的变形及其逆运算 由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n－ b n能被a－b整除， a2n+1+b2n+1能被a+b整除， a2n－b2n能被a+b及a－b整除。 二、例题： 例1. 己知x+y=a xy=b 求①x2+y2②x3+y3③x4+y4④x5+y5 解：①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b ②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab ③x 4+y 4＝(x+y)4－4xy （x 2+y 2）－6x 2y 2＝a 4－4a 2b ＋2b 2 ④x 5+y 5＝（x+y ）(x 4－x 3y+x 2y 2－xy 3+y 4) =(x+y)［x 4+y 4－xy(x 2+y 2)+x 2y 2］ =a ［a 4－4a 2b+2b 2－b(a 2－2b)+b 2］ ＝a 5－5a 3b+5ab 2 例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为a ， a+1， a+2， a+3 (a 为整数) a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a 2+3a)(a 2+3a+2)+1 =(a 2+3a)2+2(a 2+3a)+1=(a 2+3a+1)2 ∵a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数 ∴a 2+3a+1是整数 证毕 例3. 求证：2222＋3111能被7整除 证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111 根据 a 2n+1+b 2n+1能被a+b 整除，（见内容提要：4） ∴4111＋3111能被 4＋3整除 ∴2222＋3111能被7整除 例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)2=100a 2+2×10a ×5+25=100a(a+1)+25 ∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。 如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 252=625 (6=2×3)， 352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5) …… 三、练习：15 1． 填空： ①a 2+b 2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a －b)2+___ ③a 3+b 3=(a+b)3－3ab(___) ④a 4+b 4=(a 2+b 2)2－____ ，⑤a 5+b 5=(a+b)(a 4+b 4)－_____ ⑥a 5+b 5=(a 2+b 2)(a 3+b 3)－____ 2． 填空： ①(x+y)(___________)=x 4－y 4 ②(x －y)(__________)=x 4－y 4 ③(x+y)( ___________)=x 5+y 5 ④（x －y ）(__________)=x 5－y 5 3.计算： ①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952= 4. 计算下列各题 ，你发现什么规律 ⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74= 5..已知x+ x 1=3， 求①x 2+21x ②x 3+31x ③x 4+41 x 的值 6.化简：①（a+b ）2(a －b)2 ②(a+b)(a 2－ab+b 2) ③(a －b)((a+b)3－2ab(a 2－b 2) ④(a+b+c)(a+b －c)(a －b+c)(－a+b+c) 7.己知a+b=1， 求证：a 3+b 3－3ab=1 8.己知a 2=a+1，求代数式a 5－5a+2的值 9.求证：233＋1能被9整除 10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方 11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们 的直径分别是a ，b ，c 例8. 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长 例9. 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。 练习15 4. 十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的 百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积 3， n(n+1)+(n+1)=(n+1)2 4， ①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0 ② 2 (ab+ac+bc) a b c 七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套） 初一数学竞赛讲座 第1讲数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力. 数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”. 因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了. 任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作. ”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重. 数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆. 主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的. 特别地，如果r=0，那么a=bq. 这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数. 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c. 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的. （1）式称为n的质因数分解或标准分解. 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）. 5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数. 因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的. 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解. 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决. 这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数. 例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差. 结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998. 问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a 3，a 2，a 1，a 0，则这个四位 数可以写成：1000a 3+100a 2+10a 1+a 0，它的各位数字之和的10倍是10（a 3+a 2+a 1+a 0）=10a 3+10a 2+10a 1+10a 0，这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是： 990a 3+90a 2-9a 0=1998，110a 3+10a 2-a 0=222. 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a 0=8，a 2=1，a 3=2. 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8. 例2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (a,b,c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数cab bca bac acb ,,,与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc . 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 来. 解：依题意，得 精品文档。___________学年第一学期台山市新宁中学2010—2011 初一数学竞赛试题 分）90分钟，满分：100（说明：本试卷共六大题，包含 20小题；时间： 一、填空题（每题4分，共32分）题号`16 14 15 10 11 12 13 9 选项 17=20.09÷________.计算：1． 号）9. 数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数，则（绩1???1aa?0a值A. C. D. 不存在这样的 B. a 成则这个锐角的度2.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角， 。数___________ ）. ．已知a 名，下图是从不同方向观察这、4、5、64.已知立方体木块约六个面分别标有数字1、2、3姓在地面上堆叠成如图所示的立的正方体，11. 把14个棱长为1 _ 个立方体木块看到的数字情况，数字1和2的对面的数字的积是 订体，然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为 ）（ 4 16 15 137 33 D ． C B．24 ．A．21 2 4 2 别班20102011?aa?12?2,?a0?a ______________。那么5. 若aa两数中的较大者，例12. 12.用表示表示两数中的较小者，用、、)max(a)min(a,b,b bb ca是互不相等的自然数，min 如．Min(3,5)=3,max(3,5)=5 设、、、db____________. 的所有整数之和为6. 绝对值不大于 2010,y)?n m(,nc,(d)?n,mi,x,,max p(q)?x,ma a(,b)?m max?(m)a min(,b?p,in c, d)q ，使得运算结果是中添加＋－×÷的运算（可以加括号）k3，，k7．设k=13，在3， 线。35，算式是___________________．）则（ CGBD?ABC?，F、G均为BC18. 已知：如图，边上的点，且、中，D、E都有可能X＜y D．X＞y和yX X＜y C．＝ B yX A．＞． 1DE?3EF BDGF?DE??S为和积的角有中则，1。若，图所三形面之ABC?2精品文档． F 初一数学竞赛系列训练(12) 一、选择题 1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条 4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 5．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( ) A ．90° B ．135° C ．150° D ．180° 第 5 题 第 6 题 第7题 二、填空题 7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点 9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，则 ∠PSQ ＝ 。 11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。 三、解答题 13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G 第13题 第14题 15．如图，已知CB ⊥AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠CDA ， ∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DA ⊥AB 16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？ 17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？ 18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？ 19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。 20．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。 第 15 题 第一讲有理数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、 善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少 个？ 例2、 将99 98 ,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个 数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、 符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算-1-2-3-…-20KK -20KK -20KK 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-20KK+20KK+20KK 提示：仿例5，造零。结论：20KK 。 例8、 计算 9 9 9 9991999999个个个n n n +? 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。 例9、 计算 -+++?----)20021 3121()2001131211( )2001 13121()2002131211(+++?---- 提示：字母代数，整体化：令2001 1 3121,2001131211+ ++=----= B A ，则 例10、 计算 （1）100991 321211?++?+? ；（2）100981421311?+ +?+? 提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1）n m mn n m 1 1+=+； （2）111)1(1+-=+n n n n ； （3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+；（4） ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。 例11计算n +++++ ++++++ 3211 32112111（n 为自然数） 例12、计算1+2+22+23+…+220KK 提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+220KK ，则S=2S -S=220KK -1。 例13、比较20002 2000 164834221+++++= S 与2的大小。 提示：错项相减：计算S 2 1 。 第二讲绝对值 一、知识要点 2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题 一、选择题(4选l 型，每小题选对得5分，否则得0分．本大题满分50分) 1．2003和3002的最大公约数是 ( ) A. 1 B. 7 C. 11 D ．13 2．(16+1．63×2．87-125×0．115+O ．0163×963)÷ 0．11= ( ) A 20 B. 26 C. 200 D ．以上答案都不对 3．(721 +343-271-187)÷(1521 +743-473-38 7) ( ) A 2151 B.3115 C.5631 D ．以上答案都不对 4．已知(3A+2B)：(7A+5B)=13:31，那么(13A+12B)：(17A+15B)= ( ) A ．5：4 B.4：5 C ．9：7 D ．7：9 5．设A=55×1010×2020×3030× 4040×5050，把A 用10进制表示，A 的末尾的零的个数是 ( ) A.260 B.205 C. 200 D ．175 6．中国首位航天员杨利伟乘神舟5号飞船，在约400公里高空绕地球14圈，飞行约21小时，成功返回，圆了中华民族千年飞天梦．假定地球是球体，半径约6400公里，不计升空和降落，杨利伟飞行距离和速度分别是 ( ) A ．60万公里和9．7公里／秒 B.61万公里和8．3公里／秒 C. 60万公里和7．9公里／秒 D ．61万公里和7．8公里／秒 7．图中可数出的三角形个数为 ( ) A ．60 B. 52 C 48 D.42 8．小龙用10元购买两种邮票：“羊城地铁”每张O ．80元，“珠江新桥”每张1．50元．每种至少购1张，多购不限．不同的购买方法种数为 ( ) A ．33 B. 34 C.32 D ．30 9．不超过300，既和12互质，又和50不互质的自然数个数为 ( ) A ．60 B. 20 C ．15 D ．10 10．用重1克、3克、9克、27克、81克、243克和728克(注意：不是729克)的砝码各1个，在天平上分别称量重200克、500克、1000克的物体A ，B ，C ，可以准确称量的是( )(注：砝码可以放在天平的2个盘) A ．A B ．B C A 和B D ．A ，B 和C 二、填空题(每小题答对得5分，否则得0分．本大题满分共50分) 11．设A=1+3+5+…+2003，则A 的末位数字是 12．以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，那么被乘数是 13．如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套 得一个三角形．所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有 种． 14．3个边长2厘米的正方形如图，甲的中心在乙的一个顶点上，乙的中 心在丙的一个 顶点上，甲与丙不重叠．则甲乙丙总共覆盖的面积是 平方厘米． 15．化简： 16．图中△ABC，△BCD，△CDA 的面积分别为49，27和14平方米， 则△AOD 的面积为 平方米． 神舟五号飞天 × 神 飞天神舟五号 2017 年上初一数学竞赛试题 （ 考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 720 =1） （ ． 8） A.只能是1 B.除1以外还有1个 C.共有3个 D.共有4个 二、填空题（每题3分，共18分） 9．观察下列等式：111122? =-，222233 ?=-，33 3344?=-，……则第n 个等式为____________ ． 10.点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于__________. 11、小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 密 封 线 学校： 班级： 姓名： 考 那么，当输入数据为8时，输出的数据为 ． 12、现对某商品降价20 销售量要比按原价销售时增加的百分数为13. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 ． 14.已知231x y =-?? =?是二元一次方程组1 1 ax by bx ay +=??+=?的解,则()()a b a b +-的值是 . 18.（619.(620.（8c,d 互 （1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？ （2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应 交水费多少元？ 22.（10分）有铅笔、圆珠笔、钢笔三种学习用品。若购买铅笔3支、圆珠笔7支、钢笔1支共需35元，若购买铅笔4支、圆珠笔10支、钢笔1支共需42元。现购买铅笔、圆珠笔、钢笔各1支共需多少元？ 初一数学竞赛系列训练５（附答案） 一、选择题 1、若代数式2y 2+3y +7的值是2，则代数式4y 2+6y -9的值是( ) A 、1 B 、-19 C 、-9 D 、9 2、在代数式xy 2中，x 与 y 的值各减少25%，则代数式的值( ) A 、减少50% B 、减少75% C 、减少其值的6437 D 、减少其值的64 27 3、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( ) A 、26 B 、28 C 、36 D 、38 4、在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，且abc ＝1则c b a 111++的值( ) A 、是整数 B 、是零 C 、是负数 D 、正、负不定 6、如果11111=++=++z y x z y x ，那么下列说法正确的是( ) A 、x 、y 、z 中至少有一个为1 B 、x 、y 、z 都等于1 C 、x 、y 、z 都不等于1 D 、以上说法都不对 二、填空题 7、某人上山、下山的路程都是S ，上山速度为v ，下山速度为u ，则此人上、下山的平均速度是 ． 8、已知032)-(2=-+y x ，则代数式x x +y y -x y -y x 的值是 ． 9、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m ＝a 2+b 2，n ＝c 2+d 2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是 ． 10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y x y x y x -+=* 则()()31*191211**＝ ． 初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002 2017年上初一数学竞赛试题 （ 考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 2、如果022=-+-x x ，那么x 的取值范围是（ ） A ．2>x B ．2 F 初一数学竞赛系列训练(1) 一、选择题 1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条 4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 5．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( ) A ．90° B ．135° C ．150° D ．180° 第 5 题 第 6 题 第7题 A B C D E 二、填空题 7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点 9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，则∠PSQ ＝ 。 11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。 三、解答题 13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G A B C D E G l A B C D E F G H P Q R S 第10题 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解： 第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分 初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、内容提要： 如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。 如1001100－2＝98（能被7整除） 又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除 如1001100－1＝99（能11整除） 又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除） 第二讲倍数约数 一、内容提要 1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B 的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。 4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。若用字母表示可记作：A ＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。 例如23＝3×7＋2，则23－2能被3整除。 第三讲质数合数 一、内容提要 1、正整数的一种分类： 1? ????质数 合数 质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。 合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。 2、根椐质数定义可知 ①质数只有1和本身两个正约数。 ②质数中只有一个偶数2。 如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2； 如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。 3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。 第四讲零的特性 一、内容提要 （一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。 1、零是表示具有相反意义的量的基准数。 例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支平衡可记作结存0元。 2、零是判定正、负数的界限。 若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0 记作a＞0 ? a是正数读作a＞0等价于a是正数 b<0 ? b 是负数 c≥0 ? c是非负数（即c不是负数，而是正数或0） d≤0 ? d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0) e≠0 ? e不是0（即e不是0，而是负数或正数） 3、在一切非负数中有一个最小值是0。 例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。 初一数学奥林匹克竞赛题（含答案） 初一奥数题一 甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？ S的末四位数字的和是多少？ 4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米 共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程． 5．求和： 6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数． 8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除． 9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答： 所以x=5000(元)． 所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24． 3．因为 a-b≥0，即a≥b．即当b ≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立． 4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则 有 由②有2x+y=20，③ 由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20． 所以x=8(千米)，于是y=4(千米)． 5．第n项为 所以 6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数． 7．设 由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即 (4-m)pq+1=2(p+q)． 可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q． (1)若m=1时，有 解得p=1，q=1，与已知不符，舍去． (2)若m=2时，有 因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解． (3)若m=3时，有 解之得 故 p＋q=8． 8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x． 9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以 七年级“希望杯”竞赛试卷 (考试时间90分钟，满分100分) 一、选择题(每小题只有一个正确选项，每小题3分，共10题，总共30分) 1．x 是任意有理数，则2x x + 的值( ). A ．大于零 B ． 不大于零 C ．小于零 D ．不小于零 2.某超市为了促销，先将彩电按原价提高了40%，然后在广告中写上“××节大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电的原价为（ ） A. 2150元 B.2200元 C.2250元 D. 2300元 3.设0a b c ++=，abc ＞0，则 b c c a a b a b c +++ ++的值是（ ） A ． 3- B. 1 C. 31-或 D. 31-或 4.把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图（1）所示的立方体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）． A ．21 B.24 C.33 D.37 5.某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。如果每只老虎每天吃肉 4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉 （ ） A. 625千克 B. 725千克 C.825千克 D.9 25千克 6.假设有2016名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1…… 的规律报数，那么第2010名学生所报的数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a ，b ，c 三个数的和为（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、不存在 8. 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有 ………………（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 9. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米=10-9米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ） A 、0.5×10-9米 B 、5×10-8米 C 、5×10-9米 D 、5×10-10米 10、已知a 、b 都是正整数,那么以a 、b 和8为边组成的三角形有（ ） A 3个 B 4个 C 5个 D 无数个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算： 2016 20151 431321211?++?+?+? = 。 12.平时我们常说的“刹那间……”，在梵文书《僧袛律》里有这样一段文字：“一刹那者为一念， 二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜（24小时）有三十须臾。”那么，一刹那．．． 是 秒。 13. 当ｘ＝﹣2时，37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3 7ax bx +-的值是 。 14.对于任意有理数a b c d 、、、，我们规定a c b ad bc d =-，如果21x - 281≤-，那么x 的取 值范围是 。 15.m 为正整数，已知二元一次方程组210 320 mx y x y +=?? -=?有整数解，即x 、y 均为整数，则 2________m =。 16. 如图（3），已知AB ∥CD ，且0 40,70B D ∠=∠=，那么 ____________DEB ∠=。 （1） A B C D E （3） （共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用 第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==. 中数学竞赛辅导资料（11） 二元一次方程组解的讨论 甲内容提要 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要 求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当 己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 乙例题 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组???=+=+31 35y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得???????-=-=23152331a y a x ∵???>>00y x ∴???????>->-02 31502331a a 解不等式组得??? ????><531331a a 解集是6311051<
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