第一部分 专题复习 培植新的增分点
专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式
第一讲 集合与常用逻辑用语
基础·单纯考点
[例1] 解析：(1)∵A ＝{x >2或x <0}，B ＝{x |－5 (2)依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ?P ，于是???? ?2a ＋1<3a －5， 2a ＋1>3，3a －5≤22， 解得6 为(6，9]． 答案：(1)B (2)D [预测押题1] (1)选A 本题逆向运用元素与集合的关系求参数的取值范围，抓住1?A 作为解题的突破口，1?A 即1不满足集合A 中不等式，所以12－2×1＋a ≤0?a ≤1. (2)选B 对于2x (x － 2)<1，等价于x (x －2)<0，解得0 [例2] 解析：(1)命题p 是全称命题：?x ∈A ，2x ∈B ， 则┐ p 是特称命题：?x ∈A ，2x ?B . (2)①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1 log 2x ≥2，得 x >1；③中由a >b >0，得1a <1 b ，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一为假，④不正确． 答案：(1)D (2)A [预测押题2] (1)选A 因为x 2－3x ＋6＝????x －322＋154>0，所以①为假命题；若ab ＝0， 则a 、b 中至少一个为零即可，②为假命题；x ＝k π＋π 4 (k ∈R )是tan x ＝1的充要条件，③为 假命题． (2)解析：“?x ∈R ，2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“?x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，22] [例3] 解析：(1)当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0，1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件． (2)因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，所以－m n >0，1 n <0，即m >0，n <0，但此为充 要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0. 答案：(1)A (2)B [预测押题3] (1)选B 由10a >10b 得a >b ，由lg a >lg b 得a >b >0，所以“10a >10b ”是“lg a >lg b ”的必要不充分条件． (2)解析：由|x －m |<2，得－2 －2 ????m －2<2， m ＋2>3，由此解得1 答案：(1，4) 交汇·创新考点 [例1] 选A 在同一坐标系下画出椭圆x 2＋y 24 ＝1及函数y ＝2x 的图象，结合图形不难得知它们的图像有两个公共点，因此A ∩B 中的元素有2个，其子集共有22＝4个． [预测押题1] 选B A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则 这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即? ????4－4a －1≤09－6a －1>0，所以? ??a ≥34，a <43 ，即34≤a <4 3，选B. [例2] 解析：对①：取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以B ＝N *，A ＝N 是“保序同构”；对②： 取f (x )＝92x －7 2 (－1≤x ≤3)，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}是“保序同构”；对 ③：取f (x )＝tan ? ???πx －π 2(0 答案：①②③ [预测押题2] 解析：∵A ?M ，且集合M 的子集有24＝16个，其中“累计值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}，共3个，故“累积值”为奇数的集合有3个． 答案：3 [例3] 解析：对于①，命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；对于②当b ＝a ＝0时，l 1⊥l 2，故②不正确，易知③正确．所以正确结论的序号为①③. 答案：①③ [预测押题3] 选D 由y ＝tan x 的对称中心为??? ?k π 2，0(k ∈Z )，知A 正确；由回归直线 方程知B 正确；在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ，C 正确． 第二讲 函数的图像与性质 基础·单纯考点 [例1] 解析：(1)由题意，自变量x 应满足{x ＋3>0，1－2x ≥0，解得? ????x ≤0，x >－3，∴－3 (2)设t ＝1＋sin x ，易知t ∈[0，2]，所求问题等价于求g (t )在区间[0，2]上的值域． 由g (t )＝13t 3－5 2 t 2＋4t ，得g ′(t )＝t 2－5t ＋4＝(t －1)(t －4)．由g ′(t )＝0，可得t ＝1或t ＝4. 又因为t ∈[0，2]，所以t ＝1是g (t )的极大值点．由g (0)＝0，g (1)＝13－52＋4＝116，g (2)＝1 3 ×23 －52×22＋4×2＝2 3 ，得当t ∈[0，2]时，g (t )∈????0，116，即g (1＋sin x )的值域是????0，116. 答案：(1)A (2)? ???0，116 [预测押题1] (1)解析：∵f (π4)＝－tan π4＝－1，∴f (f (π 4 ))＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 (2)由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图像关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2. 答案：－2x 2＋2 [例2] 解析：(1)曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e － x 向左平移1个单位 长度得到y ＝e －(x ＋1)，即f (x )＝e －x － 1. (2)由题图可知直线OA 的方程是y ＝2x ；而k AB ＝0－2 3－1 ＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝ －(x －3)＝－x ＋3.由题意，知f (x )＝?????2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1 ????2x 2 ，0≤x ≤1， －x 2 ＋3x ，1 4，显然，当x ＝32时，取得最大值9 4 ；当x ＝3时，取得最小值0. 综上所述，g (x )的值域为??? ?0，94. 答案：(1)D (2)B [预测押题2] (1)选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错． (2)选B 因为f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数．因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2，再结合选项中的图像得出正确选项为B. [例3] 解析：(1)函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A ，D 是奇函数，不符合；选项B 是偶函数但单调性不符合；只有选项C 符合要求． (2)∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4， ① ∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4， ② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8. ③ 又∵lg(log 210)＝lg ??? ?1lg 2＝lg(lg 2)－1 ＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(lg 210))＝f (－lg(lg 2))＝5. 又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8， ∴f (lg(lg 2))＝3. 答案：(1)C (2)C [预测押题3] (1)选A 依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x )＝f (|x |)，不 等式f (1－2x ) (2)解析：∵f (x )＝－f ??? ?x ＋32， ∴f ??? ?x ＋3 2＝－f (x ＋3)＝－f (x )， ∴f (x )＝f (x ＋3)，∴f (x )是以3为周期的周期函数． 则f (2014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3. 答案：3 (3)解析：因为函数f (x )的图像关于y 轴对称，所以该函数是偶函数，又f (1)＝0，所以f (－ 1)＝0.又已知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )在(－∞，0)上为增函数.f （－x ）＋f （x ） x <0， 可化为xf (x )<0，所以当x >0时，解集为{x |x >1}；当x <0时，解集为{x |－1 综上可知，不等式的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 交汇·创新考点 [例1] 解析：设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )．∵f (x ) 是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2 ＋4x (x <0)，∴f (x )＝? ????x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x ) ＝5得?????x 2－4x ＝5，x ≥0，或? ????x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )<5，得－5 f (x ＋2)<5，得－5 答案：{x |－7 [预测押题1] 解析：根据已知条件画出f (x )图像如图所示．因为对称轴为x ＝－1，所以(0，1)关于x ＝－1的对称点为(－2，1)． 因f (m )<1，所以应有－2 因f (x )在(－1，＋∞)上递增，所以f (m ＋2)>f (0)＝1. 答案：> [例2] 解析：因为A ，B 是R 的两个非空真子集，且A ∩B ＝?，画出韦恩图如图所示，则实数x 与集合A ，B 的关系可分为x ∈A ，x ∈B ，x ?A 且x ?B 三种． (1)当x ∈A 时，根据定义，得f A (x )＝1.因为A ∩B ＝?，所以x ?B ，故f B (x )＝0.又因为A ?(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ，所以f A ∪B (x )＝1. 所以F (x )＝f A ∪B （x ）＋1f A （x ）＋f B （x ）＋1＝1＋1 1＋0＋1 ＝1. (2)当x ∈B 时，根据定义，得f B (x )＝1.因为A ∩B ＝?，所以x ?A ，故f A (x )＝0.又因为B ?(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ，所以f A ∪B (x )＝1. 所以F (x )＝f A ∪B （x ）＋1f A （x ）＋f B （x ）＋1＝1＋1 1＋0＋1 ＝1. (3)当x ?A 且x ?B ，根据定义，得f A (x )＝0，f B (x )＝0.由图可知，显然x ?(A ∪B )，故f A ∪B (x ) ＝0，所以F (x )＝f A ∪B （x ）＋1f A （x ）＋f B （x ）＋1＝0＋1 0＋0＋1 ＝1. 综上，函数的值域中只有一个元素1，即函数的值域为{1}． 答案：{1} [预测押题2] 解：当x ∈A ∩B 时，因为(A ∩B )?(A ∪B )，所以必有x ∈A ∪B . 由定义，可知f A (x )＝1，f B (x )＝1，f A ∪B (x )＝1，所以F (x )＝f A ∪B （x ）＋1f A （x ）＋f B （x ）＋1＝ 1＋1 1＋1＋1 ＝23 . 故函数F (x )的值域为{2 3 }． 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 基础·单纯考点 [例1] 解析：(1)当x ＝－1，y ＝1a －1a ＝0，所以函数y ＝a x －1 a 的图像必过定点(－1，0)， 结合选项可知选D. (2)a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32，b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52，c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72，∵log 32>log 52>log 72，∴a >b >c . 答案：(1)D (2)D [预测押题1] (1)选A 函数y ＝x －x 13 为奇函数．当x >0时，由x －x 13 >0，即x 3>x ，可得x 2>1，故x >1，结合选项，选A. (2)选B 依题意的a ＝ln x ∈(－1，0)，b ＝????12ln x ∈(1，2)，c ＝e ln x ∈(e －1，1)，因此b >c >a . [例2] 解析：(1)由f (－1)＝1 2 －3<0，f (0)＝1>0及零点定理，知f (x )的零点在区间(－1， 0)上． (2)当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1， 即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝1 4 ；当f (x )＋1＝1即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函 数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点． 答案：(1)B (2)C [预测押题2] 解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0 答案：(0，1] [例3] 解：(1)由年销售量为x 件，按利润的计算公式，有生产A ，B 两产品的年利润y 1，y 2分别为y 1＝10x －(20＋mx )＝(10－m )x －20(x ∈n ，0≤x ≤200)，y ＝18x －(8x ＋40)－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40(x ∈n ，0≤x ≤120)． (2)因为6≤m ≤8，所以10－m >0，函数y 1＝(10－m )x －20在[0，200]上是增函数，所以当x ＝200时，生产A 产品有最大利润，且y 1max ＝(10－m )×200－20＝1980－200m (万美元)． 又y 2＝－0.05(x －100)2 ＋460(x ∈N ，0≤x ≤120)，所以当x ＝100时，生产B 产品有最大利润，且y 2max ＝460(万美元)． 因为y 1max －y 2max ＝1980－200m －460＝1520－200m ???? ?>0，6≤m <7.6， ＝0，m ＝7.6，<0，7.6 所以当6≤m <7.6时，可投资生产A 产品200件； 当m ＝7.6时，生产A 产品或生产B 产品均可(投资生产A 产品200件或生产B 产品100件)； 当7.6 [预测押题3] 解：(1)设投入广告费t (百万元)后由此增加的收益为f (t )(百万元)，则f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)． 所以当t ＝2时，f (t )max ＝4，即当集团投入两百万广告费时，才能使集团由广告费而产生的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告费的费用为(3－x )(百万元)，则由此 两项所增加的收益为g (x )＝????－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－1 3 x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)．对g (x )求导，得g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝－x 2 ＋4＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)．当0≤x <2时，g ′(x )>0，即g (x )在[0，2)上单调递增；当2 单调递减．∴当x ＝2时，g (x )max ＝g (2)＝25 3 . 故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样集团由此所 增加的受益最大，最大收益为25 3 百万元． 交汇·创新考点 [例1] 选B ∵??? ?x －π 2f ′(x )>0，x ∈(0，π)且x ≠π2， ∴当0 2 )上单调递减． 当π2 ?π 2，π上单调递增． ∵当x ∈[0，π]时，0 ∴x ∈[π，2π]时，仍有0 y ＝f (x )与y ＝sin x 的简图． 则y ＝f (x )与y ＝sin x 在x ∈[－2π，2π]有4个交点． 故函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上有4个零点． [预测押题] 选D 根据f ????x ＋54＝－f ????x －54，可得f ??? ?x ＋52＝－f (x )，进而得f (x ＋5)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以5为周期的周期函数．当x ∈[－1，4]时，f (x )＝x 2－2x ，在[－1，0]内有一个零点，在(0，4]内有x 1＝2，x 2＝4两个零点，故在一个周期内函数有三个零点．又因为2012＝402×5＋2，故函数在区间[0，2010]内有402×3＝1206个零点，在区间(2010，2012]内的零点个数与在区间(0，2]内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f (x )在[0，2012]上零点的个数为1207. 第四讲 不等式 基础·单纯考点 [例1] 解析：(1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－1 2 原不等式的解集为??? ?－1 2，1. (2)由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为??? ? ??x |－1 而f (10x )>0，∴－1<10x <12，解得x 2 ，即x <－lg 2. 答案：(1)A (2)D [预测押题1] (1)选B 当x >0时，f (x )＝－2x ＋1 x 2 >－1，∴－2x ＋1>－x 2，即x 2－2x ＋1>0，解得x >0且x ≠1. 当x <0时，f (x )＝1 x >－1，即－x >1，解得x <－1.故x ∈(－∞，－1)∪(0，1)∪(1，＋∞)． (2)解析：∵f (x )＝x 2 ＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －a 24 ＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋14a 2＝????x ＋12a 2 .又∵f (x ) ＋ax ＋a 24－c ＝0的两根． 由一元二次方程根与系数的关系得???? ?2m ＋6＝－a ，m （m ＋6）＝a 2 4－c ， 解得c ＝9. 答案：9 [例2] 解析：(1)曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l ：y ＝2x 向左平移时，(2x －y )的值在逐渐变小，当l 通过点A (－2，2)时，(2x －y )min ＝－6. (2)设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1600x ＋2400y ，则约束条件为 ?????36x ＋60y ≥900， x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈n ， 作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小 值z min ＝36800(元)． 答案：(1)A (2)C [预测押题2] (1)选C 题中的不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，平移直线x －y ＝0，当平移经过该平面区域内的点(0，1)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时x －y 取得最小值，最小值是x －y ＝0－1＝－1；当平移到经过该平面内区域内的点(2，0)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时x －y 取得最大值，最大值是x －y ＝2－0＝2.因此x －y 的取值范围是[－1，2]． (2)解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12×??? ? 2a ＋2×2＝3，解得a ＝ 2. 答案：2 [例3] 解析：(1)因－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，∴（3－a ）（a ＋6）≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当a ＝－32 时等号成立． (2)f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a 2 时等号成立，此 时f (x )取得最小值4a . 又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，∴a 2 ＝3，即a ＝36. 答案：(1)B (2)36 [预测押题3] (1)选D 依题意，点A (－2，－1)，则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1(m >0， n >0)，∴1m ＋2n ＝????1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋????n m ＋4m n ≥4＋2n m ×4m n ＝8，当且仅当n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝12时取等号，即1m ＋2 n 的最小值是8. (2)选A 由已知得a ＋2b ＝2.又∵a >0，b >0，∴2＝a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≤1 2 ，当且仅当 a ＝2 b ＝1时取等号． 交汇·创新考点 [例1] 选C 作出可行域，如图中阴影部分所示，三个顶点到圆心(0，1)的距离分别是1，1，2，由A ?B 得三角形所有点都在圆的内部，故m ≥2，解得：m ≥2. [预测押题1] 选C 如图，若使以(4，1)为圆心的圆与阴影部分区域至少有两个交点， 结合图形，当圆与直线x －y －2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a ＝????122＝12 ，当圆的半径增大到恰好过点A (2，2)时，圆与阴影部分至少有两个公共点，此时a ＝5，故a 的取值范 围是1 2 [例2] 选C z ＝x 2 －3xy ＋4y 2 (x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2 xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y · 4y x －3＝1.当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2， ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2.∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取得最大值2. [预测押题2] 解析：4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2 ＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×??? ?2x ＋y 22＋1， ∴(2x ＋y )2≤85，∴(2x ＋y )max ＝210 5. 答案：2105 第五讲 导数及其应用 基础·单纯考点 [例1] 解析：(1)∵点(1，1)在曲线y ＝x 2x －1上，y ′＝－1（2x －1）2 ，∴在点(1，1)处的切线 斜率为y ′|x ＝1＝－1 （2－1）2 ＝－1，所求切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)因为y ′＝2ax －1 x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其 斜率为0，故2a －1＝0，a ＝1 2. 答案：(1)x ＋y －2＝0 (2)1 2 [预测押题1] 选D 由f (x ＋2)＝f (x －2)，得f (x ＋4)＝f (x )，可知函数为周期函数，且周期为4.又函数f (x )为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (x －2)＝f (2－x )，即函数的对称轴是x ＝2，所以f ′(－5)＝f ′(3)＝－f ′(1)，所以函数在x ＝－5处的切线的斜率k ＝f ′(－5)＝－f ′(1)＝－1. [例2] 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)? ???e x －1 2.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． [预测押题2] 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝1 3 x 3＋x 2－3x ＋1，又f ′(x )＝x 2＋2x －3，所以f ′(2) ＝5.又f (2)＝53，所以所求切线方程为y －5 3 ＝5(x －2)，即15x －3y －25＝0.所以曲线y ＝f (x )在 点(2，f (2))处的切线方程为15x －3y －25＝0. (2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx －3m 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－3m 或x ＝m .当m ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，不符合题意；当m >0时，f (x )的单调递减区间是(－3m ，m )，若f (x )在区间(－2，3) 上是减函数，则? ????－3m ≤－2， m ≥3，解得m ≥3； 当m <0时，f (x )的单调递减区间是(m ，－3m )，若f (x )在区间(－2，3)上是减函数，则? ????m ≤－2，－3m ≥3，解得m ≤－2. 综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)． [例3] 解：(1)f ′(x )＝1－a e x ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所 以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得最小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． (2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1 e x .直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于关于x 的方程kx －1＝x －1＋1e x 在R 上没有实数解，即关于x 的方程：(k －1)x ＝1 e x (*)在R 上没有实 数解． ①当k ＝1时，方程(*)可化为1 e x ＝0，在R 上没有实数解． ②当k ≠1时，方程(*)可化为1 k －1 ＝x e x . 令g (x )＝x e x ，则有g ′(x )＝(1＋x )e x . 令g ′(x ) 当x ＝－1时，g (x )min ＝－1 e ，同时当x 趋于＋∞时，g (x )趋于＋∞，从而g (x )的取值范围 为????－1e ，＋∞.所以当1k ＋1∈????－∞，－1e 时，方程(*)无实数解，解得k 的取值范围是(1－e ，1)．综合①②，得k 的最大值为1. [预测押题3] 解：(1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ，由题意可知f ′(2 3)＝1，解得a ＝1. 故f (x )＝x －2 x －3ln x ，∴f ′(x )＝（x －1）（x －2）x 2 ，由f ′(x )＝0，得x ＝2. ∴f (min (2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2 －3x ＋2 x 2 (x >0)，由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1 ，x 2 ，并令h (x )＝ax 2 －3x ＋2，则????? Δ＝9－8a >0， x 1 ＋x 2＝3a >0， x 1x 2 ＝2a >0. 也可以为?????Δ＝9－8a >0，－－32a >0， h （0）>0. 解得0 8. 交汇·创新考点 [例1] 解：(1)证明：设φ(x )＝f (x )－1－a ????1－1x ＝a ln x －a ????1－1x (x >0)，则φ′(x )＝a x －a x 2.令φ′(x )＝0，则x ＝1，易知φ(x )在x ＝1处取到最小值，故φ(x )≥φ(1)＝0，即f (x )－1≥a ??? ?1－1x .(2)由f (x )>x 得a ln x ＋1>x ，即a >x －1ln x .令g (x )＝x －1 ln x (1 x －1x （ln x ）2 .令h (x )＝ln x － x －1x (1 x 2>0，故h (x )在定义域上单调递增，所以h (x )>h (1)＝0.因为h (x )>0，所以g ′(x )>0，即g (x )在定义域上单调递增，则g (x ) ln x 范围为[e －1，＋∞)． [预测押题1] 解：(1)由f (x )＝e x (x 2＋ax －a )可得，f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]．当a ＝1时，f (1)＝e ，f ′(1)＝4e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e. (2)令f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]＝0，解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.当－(a ＋2)≤0，即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以方程f (x )＝k 在[0，＋∞) 上不可能有两个不相等的实数根．当－(a ＋2)>0，即a <－2时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如 由上表可知函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－(a ＋2))＝a ＋4 e a ＋2.因为函数f (x )在(0，－(a ＋2))上是减函数，在(－(a ＋2)，＋∞)上是增函数，且当x ≥－a 时，有f (x )≥f (－a )＝e － a (－a )>－a ，又f (0)＝－a ，所以要使方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k 的取值 范围是? ????a ＋4e a ＋2，－a . [例2] 选C 法一：曲线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的曲边图形的面积S ＝??0 1x d x ＝ ? ?23x 321 0＝ 23，又∵S △AOB ＝12，∴阴影部分的面积为S ′＝23－12＝16，由几何概型可知，点P 取自阴影部分的概率为P ＝1 6 . 法二：S 阴影＝? ?0 1(x －x )d x ＝16，S 正方形OABC ＝1，∴点P 取自阴影部分的概率为P ＝1 6. [预测押题2] 解析：画出草图，可知所求概率P ＝S 阴影S △AOB ＝??0 4 x d x 18＝ ??23x 324018＝16318＝827. 答案：8 27 [例3] 解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a 1＋a 2 ，故f (x )>0 的解集为{x |x 1 1＋a 2. (2)设d (a )＝a 1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2（1＋a 2）2 (a >0)．令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0 －k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增；当1 k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而d （1－k ）d （1＋k ）＝ 1－k 1＋（1－k ） 2 1＋k 1＋（1＋k ）2 ＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3 <1，故d (1－k ) 值 1－k 2－2k ＋k 2. [预测押题3] 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x )＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b （x ＋1）2 .当a >b 时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞) 上单调递增；当a (2)① 计算得f (1)＝a ＋b 2>0，f (b a )＝2ab a ＋b >0，f (b a )＝ab >0.因为f (1)f (b a )＝a ＋b 2·2ab a ＋b ＝ab ＝????f （b a ）2，即f (1)f (b a )＝? ???f （b a ）2. (*)所以f (1)，f (b a )，f (b a )成等比数列．因为a ＋b 2 ≥ab ，所以f (1)≥f (b a )．由(*)得f (b a )≤f (b a )． ②由①知f (b a )＝H ，f (b a )＝G .故由H ≤f (x )≤G ，得f (b a )≤f (x )≤f (b a )． (**)当a ＝b 时，(b a )＝f (x )＝f (b a )＝a .这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a >b 时，0 ， 由f (x )在(0，＋∞)上单调递增(**)式，得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值范围为???? b a ，b a ；当a 时，b a >1，从而b a >b a ，由f (x )在(0，＋∞)上单调递减与(**)式，得b a ≤x ≤b a ，即x 的取值 范围为??? ? b a ，b a .综上，当a ＝b 时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a >b 时，x 的取值范围为 ????b a ，b a ；当a 专题二 三角函数、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图像与性质 基础·单纯考点 [例1] 解析：(1)1－2sin （π＋θ）sin ??? ?3π 2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈??? ?π 2，π，∴sin θ－cos θ>0，故原式＝sin θ－cos θ. (2)由已知得|OP |＝2，由三角函数定义可知sin α＝12，cos α＝3 2，即α＝2k π＋ π6 (k ∈Z )．所以2sin2α－3tan α＝2sin ????4k π＋π3－3tan ? ???2k π＋π6＝2sin π3－3tan π6＝2×3 2－ 3×33 ＝0. 答案：(1)A (2)D [预测押题1] (1)选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝310 10 . (2)解析：由A 点的纵坐标为35及点A 在第二象限，得点A 的横坐标为－45，所以sin α＝3 5， cos α＝－45，tan α＝－34.故tan2α＝2tan α1－tan 2 α＝－24 7. 答案：35 －247 [例2] 解析：(1)∵34T ＝512π－????－π3＝3 4π，∴T ＝π，∴2πω ＝π(ω>0)，∴ω＝2.由图 像知当x ＝512π时，2×5 12π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z )．∵－π2<φ<π2， ∴φ＝－π 3 . (2)y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位后得到y ＝cos ??? ?2????x －π 2＋φ的图像，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．∵其图像与y ＝sin ? ???2x ＋π 3的图像重合，∴φ－π＝π3－π2＋2k π，∴φ＝ π 3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又∵－π≤φ<π∴φ＝5π6 . 答案：(1)A (2)5π 6 [预测押题2] (1)选C 将y ＝sin ? ???2x ＋π 4的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单 位得y ＝sin ? ???2x ＋3π 4＋2的图像，其对称中心的横坐标满足2x ＋3π4＝k π，即x ＝k π2－3π8， k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝π 8 . (2)选C 根据已知可得，f (x )＝2sin π 4 x ，若f (x )在[m ，n ]上单调，则n －m 取最小值．又 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝－1时，y ＝－2，故(n －m )min ＝2－(－1)＝3. [例3] 解：(1)f (x )4cos ωx ·sin ? ???ωx ＋π 4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ω x ·cos2ωx )＋2＝2sin ????2ωx ＋π 4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而由2π2ω ＝π， 故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ? ???2x ＋π 4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π5，即π8≤x ≤π 2 时，f (x )单调递减；综上可 知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π 2 ]上单调递减． [预测押题3] 解：(1)因为f (x )＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＋a ＝sin(2x ＋π6)＋a ＋1 2 ，所以T ＝ π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π 3 ＋k π，k ∈Z .故函数f (x )的 单调递减区间是??? ?π6＋k π，2π 3＋k π(k ∈Z )． (2)因为－ π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，－12≤sin ? ???2x ＋π6≤1.因为函数f (x )在??? ?－π6，π3上的最大值与最小值的和为????1＋a ＋12＋????－12＋a ＋12＝32，所以a ＝0. 交汇·创新考点 [例1] 解：(1)f (x )＝1＋cos （2ωx －π 3） 2－1－cos2ωx 2＝12????cos ????2ωx －π3＋cos2ωx ＝ 1 2 ????????12cos2ωx ＋32sin2ωx ＋cos2ωx ＝12????32sin2ωx ＋32cos2ωx ＝32??? ?12sin2ωx ＋32cos2ωx ＝ 32sin ?? ??2ωx ＋π3.由题意可知，f (x )的最小正周期T ＝π，∴2π|2ω| ＝π.又∵ω>0，∴ω＝1，∴f (π12)＝32sin ????2×π12＋π3＝32 sin π2＝3 2. (2)|f (x )－m |≤1，即f (x )－1≤m ≤f (x )＋1.∵对?x ∈??? ?－7π 12，0，都有|f (x )－m |≤1， ∴m ≥f (x )max －1且m ≤f (x )min ＋1.∵－7π12≤x ≤0，∴－5π6≤2x ＋π3≤π3，∴－1≤sin ? ???2x ＋π 3≤32，∴－32≤32sin ? ???2x ＋π3≤34，即f (x )max ＝34，f (x )min ＝－32，∴－14≤m ≤1－3 2.故m 的取值范围为????－14 ，1－3 2. [预测押题1] 解：(1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－????122＝－14. (2)f (x )＝cos x ·cos ????x －π3＝cos x ·? ?? ??1 2cos x ＋ 32sin x ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos2x )＋34sin2x ＝12cos ????2x －π3＋14.f (x )<14等价于12cos ????2x －π3＋14<1 4，即cos ????2x －π3<0.于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12 成立的x 的取值集合为???? ??x |k π＋5π12 [例2] 解析：因为圆心由(0，1)平移到了(2，1，)，所以在此过程中P 点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P 点作x 轴的垂线，垂足为A ，圆心为C ，与x 轴相 切与点B ，过C 作P A 的垂线，垂足为D ，则∠PCD ＝2－π2，|PD |＝sin ? ???2－π 2＝－cos2，|CD | ＝cos ? ???2－π2＝sin2，所以P 点坐标为(2－sin2，1－cos2)，即OP → 的坐标为(2－sin2，1－cos2)． 答案：(2－sin2，1－cos2) [预测押题2] 选A 画出草图，可知点Q 点落在第三象限，则可排除B 、D ；代入A ， cos ∠QOP ＝6×（－72）＋8×（－2）62＋82 ＝－502100＝－22，所以∠QOP ＝3π 4.代入C ，cos ∠QOP ＝6×（－46）＋8×（－2）62＋82 ＝－246－16100≠－2 2. 第二讲 三角恒等变换与解三角形 基础·单纯考点 [例1] 解：(1)因为f (x )＝2cos ????x －π12，所以f (－π6)＝2cos ????－π6－π12＝2cos ????－π 4＝2cos π4＝2×2 2 ＝1. (2)因为θ∈??? ?3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝－1－????352＝－45，cos2 θ＝2cos 2θ－1＝2×(35)2－1＝－275，sin 2θ＝2sin θcos θ ＝2×35×????－45＝－24 25 .所以f (2θ＋π3)＝2cos ????2θ＋π3－π12＝2cos ????2θ＋π4＝2×??? ?22cos2θ－2 2sin2θ＝cos2θ－sin2θ＝－7 25－????－2425＝1725. [预测押题1] 解：(1)由已知可得f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ? ???ωx ＋π 3.所以函数 f (x )的值域为[－23，23]．又由于正三角形ABC 的高为23，则BC ＝4，所以函数f (x )的 周期T ＝4×2＝8，即2πω ＝8，解得ω＝π 4. (2)因为f (x 0)＝83 5，由(1)得f (x 0)＝23sin ????πx 04＋π3＝835，即sin ????πx 04＋π3＝45.由x 0∈ ????－103，23得πx 04＋π3∈????－π2，π2.所以cos ???πx 04 ＋π3＝1－????452 ＝35，故f (x 0＋1)＝23sin ????πx 04＋π4＋π3＝23sin ??? ?????πx 04＋π3＋π4 ＝23????sin ????πx 04＋π3cos π4＋cos ????πx 04＋π3sin π4＝23????45×22＋35× 22＝765 . [例2] 解：(1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理 得P A 2＝3＋14－2×3×12cos30°＝7 4. 故P A ＝7 2 . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3 sin150° ＝ sin αsin （30°－α） ，化简得3sin α＝4sin α.则tan α＝34，即tan ∠PBA ＝3 4. [预测押题2] 解：(1)由正弦定理得2sin B cos C ＝2sin A －sin C .∵在△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，∴sin C (2cos B －1)＝0.又0 2 ，注意到 0 3. (2)∵S △ABC ＝1 2 ac sin B ＝3，∴ac ＝4，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥ac ＝4，当且仅当a ＝c ＝2时，等号成立，∴b 的取值范围为[2，＋∞)． 交汇·创新考点 [例1] 解：(1)∵f (x )＝cos ????2x －4π3＋2cos 2x ＝cos ????2x ＋π 3＋1，∴f (x )的最大值为2.f (x ) 取最大值时，cos ? ???2x ＋π 3＝1，2x ＋π3＝2k π(k ∈Z )，故x 的集合为{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }． (2)由f (B ＋C )＝cos ????2（B ＋C ）＋π3＋1＝32，可得cos ? ???2A －π3＝1 2，由A ∈(0，π)，可 得A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π 3＝(b ＋c )2－3bc ，由b ＋c ＝2， 知bc ≤ ????b ＋c 22＝1，当b ＝c ＝1时，bc 取最大值，此时a 取最小值1. [预测押题1] 解：(1)由已知得AB →·AC → ＝bc cos θ＝8，b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，故b 2＋c 2 ＝32.又b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤16，(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，即bc 的最大值为16. 即8cos θ ≤16，所以cos θ≥1 2.又0<θ<π，所以0<θ≤π3，即θ的取值范围是(0，π3]． (2)f (θ)＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin ? ???2θ＋π 6＋1.因为0<θ≤π3，所以π6<2θ＋π6≤5π6， 12≤sin ????2θ＋π6≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×1 2＋1＝2；当2θ＋π6＝π2，即θ＝π 3时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3. [例2] 解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝4 5 .从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝12606365×45 ＝1040(m)．所以索道AB 的长为1040m. (2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离 A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋5t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×12 13 ＝200(37t 2 －70t ＋50)，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝35 37 (min)时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×5 13 ＝500(m)．乙从B 出发时，甲 已经走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需要走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ， 由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤625 14 ，所以使两位游客在C 处互相等待的时间不 超过3min ，乙步行的速度控制在???? 125043，62514(单位：m/min)范围内． [预测押题2] 解：(1)因为点C 的坐标为??? 35，45，根据三角函数的定义，得sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝3 5 .因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°.所以cos ∠BOC ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos60°－sin ∠COA sin60°＝35×12－45×32＝3－43 10. (2)因为∠AOC ＝θ? ???0<θ<π 2，所以∠BOC ＝π3＋θ.在△BOC 中，|OB |＝|OC |＝1，由余弦 定理，可得f (θ)＝|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |·cos ∠COB ＝12＋12－2×1×1×cos ? ???θ＋π 3＝2－2cos ????θ＋π3.因为0<θ<π2，所以π3<θ＋π3<5π6.所以－3 2 ???θ＋π3<12.所以1<2－ 2cos ????θ＋π 3<2＋ 3.所以函数f (θ)的值域为(1，2＋3)． 第三讲 平面向量 基础·单纯考点 [例1] 解析：以向量：a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λ μ ＝4. 答案：4 [预测押题1] (1)选A 由已知，得AB →＝(3，－4)，所以|AB →|＝5，因此与AB → 同方向的单 位向量是15 AB → ＝????35，－45. (2)选C 如图，连接BP ，则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR → ，① AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB → ，② ①＋②，得2AP →＝a ＋b －RB → .③ 又RB →＝12QB →＝12(AB →－AQ → )＝12??? ?a －12AP →，④ 将④代入③，得2AP → ＝a ＋b －12??? ?a －12AP →， 解得AP →＝27a ＋47 b . [例2] 解析：(1)由已知得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，因此AB →在CD → 方向上的投影为 AB →·CD →|CD →| ＝1552 ＝322. (2)设AB 的长为a (a >0)，又因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12 AB →，于是AC →·BE → ＝ (AB →＋AD →)·(AD →－12AB →)＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2 ＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1. 又a >0，∴a ＝12，即AB 的长为1 2 . 答案：(1)A (2)1 2 [预测押题2] (1)选D a ⊥(a ＋b)?a ·(a ＋b )＝a 2＋a·b ＝|a |2＋|a ||b |cos＝0，故 cos＝－963 ＝－3 2，故所求夹角为5π6. (2)选C 设BC 的中点为M ，则AG →＝23AM →.又M 为BC 中点，∴AM →＝12 (AB →＋AC →)，∴AG → ＝23AM →＝13(AB →＋AC →)，∴|AG →|＝13AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝13 AB →2＋AC →2－4.又∵AB →·AC →＝－2，∠A ＝120°，∴|AB →||AC →|＝4.∵|AG →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|AB →||AC →|－4＝23，当且仅当|AB → | ＝|AC →|时取等号，∴|AG → |的最小值为23 . 交汇·创新考点 [例1] 解析：设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)．由题意知AB →＝(2，1)，AC → ＝(1，2)．由 AP →＝λAB →＋μAC → 知(x －1，y ＋1)＝λ(2，1)＋μ(1，2)，即? ????2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1.∴ ? ?? λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33 ， ∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴? ????3≤2x －y －3≤6， 0≤2y －x ＋3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)， 由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4，2)，N (6，3)，故|MN |＝ 5.又x －2y ＝0，x －2y －3＝0之间的距离d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×2 5 ＝3. 答案：3 [预测押题1] 选D 如图作可行域，z ＝OA →·OP → ＝x ＋2y ，显然在B (0，1)处z max ＝2.故选 D. [例2] 解：(1)∵g (x )＝sin(π2＋x )＋2cos(π2 －x )＝2sin x ＋cos x ，∴OM → ＝(2，1)， ∴|OM → |＝22＋12＝ 5. (2)由已知可得h (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，∵0≤x ≤π2，∴π3≤x ＋π3≤5π 6 ， ∴h (x )∈[1，2]．∵当x ＋π3∈[π3，π2]时，即x ∈[0，π 6 ]时，函数h (x )单调递增，且h (x )∈[3， 2]；当x ＋π3∈(π2，5π6]时，即x ∈(π6，π 2 ]时，函数h (x )单调递减，且h (x )∈[1，2)．∴使得 关于x 的方程h (x )－t ＝0在[0，π 2 ]内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围为[3，2)． [预测押题2] 解：(1)由题设，可得(a ＋b )·(a －b )＝0，即|a |2－|b |2＝0.代入a ，b 的坐标， 可得cos 2α＋(λ－1)2sin 2α－cos 2β－sin 2β＝0，所以(λ－1)2sin 2α－sin 2α＝0.因为0<α<π 2 ， 故sin 2α≠0，所以(λ－1)2 －1＝0，解得λ＝2或λ＝0(舍去，因为λ>0)．故λ＝2. (2)由(1)及题设条件，知a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝4 5.因为0<α<β<π2 ，所 以－π2<α<β<0.所以sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝－3 4 .所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β ＝－34＋431－（－34）× 43 ＝724.所以tan α＝7 24. 课时跟踪检测（二） 余弦定理 层级一 学业水平达标 1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1 2，∴A ＝60°. 2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝ 13 14 ，则最大角的余弦值是( ) A ．－15 B ．－16 C ．－17 D ．－18 解析：选C 由余弦定理，得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×13 14＝9， 所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3 ＝－1 7. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 2 2ab >0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．是锐角或直角三角形 解析：选C 由c 2－a 2－b 2 2ab >0得－cos C >0， 所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形． 4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23 解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝4 3 . 课时跟踪检测（二）楞次定律 一、单项选择题 1．关于感应电流，下列说法正确的是() A．根据楞次定律知，感应电流的磁场一定阻碍引起感应电流的磁通量 B．感应电流的磁场总是阻碍原磁场的变化 C．感应电流的磁场方向与引起感应电流的磁场方向可能相同，也可能相反 D．当导体切割磁感线运动时，必须用右手定则确定感应电流的方向 解析：选C由楞次定律知，感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化，A错误；感应电流的磁场总是阻碍电路中的原磁通量的变化，不是阻碍原磁场的变化，B 错误；由楞次定律知，如果是因磁通量的减少而引起的感应电流，则感应电流的磁场方向与引起感应电流的磁场方向相同，阻碍磁通量的减小；反之，则感应电流的磁场方向与引起感应电流的磁场方向相反，阻碍磁通量的增加，C正确；导体切割磁感线运动时，可直接用右手定则确定感应电流的方向，也可以由楞次定律确定感应电流的方向，D错误。 2.如图所示，一均匀的扁平条形磁铁的轴线与圆形线圈在同一平面 内，磁铁中心与圆心重合，为了在磁铁开始运动时线圈中能得到逆时针方 向的感应电流，磁铁的运动方式应是() A．N极向纸内，S极向纸外，使磁铁绕O点转动 B．N极向纸外，S极向纸内，使磁铁绕O点转动 C．磁铁在线圈平面内顺时针转动 D．磁铁在线圈平面内逆时针转动 解析：选A当N极向纸内，S极向纸外转动时，穿过线圈的磁场由无到有并向里，感应电流的磁场应向外，电流方向为逆时针，A选项正确；当N极向纸外，S极向纸内转动时，穿过线圈的磁场向外并增加，感应电流方向为顺时针，B选项错误；当磁铁在线圈平面内绕O点转动时，穿过线圈的磁通量始终为零，因而不产生感应电流，C、D选项错误。 3.如图所示，圆形金属环放在水平桌面上，有一带正电的微粒以水平 速度v贴近环的上表面距环心d处飞过，则带电微粒在飞过环的过程中， 环中的感应电流方向是() A．始终沿顺时针方向 B．始终沿逆时针方向 C．先沿顺时针方向，再沿逆时针方向 D．先沿逆时针方向，再沿顺时针方向 解析：选D带电微粒靠近圆环过程中，穿过圆环的磁通量方向垂直纸面向里并增加， 课时跟踪检测（一） 命 题 层级一 学业水平达标 1．下列语句不是命题的有( ) ①若a>b ，b>c ，则a>c ；②x>2；③3<4；④函数y ＝a x (a>0，且a≠1)在R 上是增函数． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题． 2．下列命题是真命题的是( ) A ．所有质数都是奇数 B ．若a>b ，则a>b C ．对任意的x ∈N ，都有x 3>x 2成立 D ．方程x 2＋x ＋2＝0有实根 解析：选B 选项A 错，因为2是偶数也是质数；选项B 正确；选项C 错；因为当x ＝0时x 3>x 2不成立；选项D 错，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x 2＋x ＋2＝0无实根. 3．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中，假命题是( ) A ．若a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，则a ⊥b C ．若a ，b 相交，则α，β相交 D ．若α，β相交，则a ，b 相交 解析：选D 由已知a ⊥α，b ⊥β，若α，β相交，a ，b 有可能异面． 4．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．－3 解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件． 5．已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18 ； ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12 相切． 其中真命题的序号为( ) 第一部分 专题复习 培植新的增分点 专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第一讲 集合与常用逻辑用语 基础·单纯考点 [例1] 解析：(1)∵A ＝{x >2或x <0}，B ＝{x |－5 教材回顾(一)运动的描述 一、质点和参考系 1．质点 (1)定义：用来代替物体的有质量的点。 (2)把物体看做质点的条件：物体的大小和形状对研究问题的影响可以忽略不计。2．参考系 (1)定义：在描述物体的运动时，用来做参考的物体。 (2)参考系的特性 [(判断正误) 1．参考系必须是固定不动的物体。() 2．参考系可以是做变速运动的物体。() 3．地球很大，又因有自转，研究地球公转时，地球不可视为质点。() 4．研究跳水运动员转体动作时，运动员可视为质点。() 答案：1.× 2.√ 3.× 4.× 二、位移和路程 注意：速度的方向才是物体运动的方向，位移的方向不一定是运动的方向，如物体在竖 直上抛运动的下落阶段(仍位于抛出点上方)，位移方向与物体运动方向相反。 [小题速验](判断正误) 1．在某一段时间内物体运动的位移为零，则该物体一定是静止的。( ) 2．在某一段时间内物体运动的路程为零，则该物体一定是静止的。( ) 3．在直线运动中，物体的位移大小一定等于其路程。( ) 4．在曲线运动中，物体的位移大小可能等于路程。( ) 答案：1.× 2.√ 3.× 4.× 三、平均速度和瞬时速度 1．速度：描述物体运动快慢的物理量，是矢量，速度的方向就是物体运动的方向。 2．平均速度：位移与物体发生这段位移所用时间的比值，即v ＝Δx Δt ，是矢量，只能粗略描述物体的运动。 3．瞬时速度：物体在某一时刻(或某一位置)的速度，是矢量，能够准确描述物体的运动。 4．速率：瞬时速度的大小，是标量。 5．平均速率：路程与时间的比值，即v ′＝s t 。 [深化理解] 平均速度注意点 1．平均速率不是平均速度的大小。 2．平均速度的方向与位移的方向相同。 3．物体运动的不同阶段，平均速度的大小和方向可能发生变化，所以求解平均速度必须 明确是哪一段位移或哪一段时间内的平均速度。 [小题速验] 课时跟踪检测（一）任意角 层级一学业水平达标 1．－215°是() A．第一象限角B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角 解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角． 2．下面各组角中，终边相同的是() A．390°，690°B．－330°，750° C．480°，－420°D．3 000°，－840° 解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°与750°终边相同． 3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是() A．第一、三象限B．第一、二象限 C．第二、四象限D．第三、四象限 解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z， 当k＝2n＋1，n∈Z， α＝2n·180°＋180°＋45° ＝n·360°＋225°，在第三象限， 当k＝2n，n∈Z， α＝2n·180°＋45° ＝n·360°＋45°，在第一象限． ∴α是第一或第三象限的角． 4．终边在第二象限的角的集合可以表示为() A．{α|90°<α<180°} B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z} C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z} D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z} 解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确． 5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是() A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360° C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360° 解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选 B. (满分50分 时间30分钟) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．一个8.4 Ω的电阻跟一个42.6 Ω的电阻并联，等效电阻的阻值是( ) A ．4 Ω B ．7 Ω C ．12 Ω D ．51 Ω 解析：由并联电路的性质得： 1 R ＝1R 1＋1R 2，解得：R ＝R 1R 2R 1＋R 2＝7 Ω， 故B 正确。 答案：B 2．甲、乙两种由同种材料制成的保险丝，直径分别是d 1＝0.5 mm 、d 2＝1 mm ，熔断电流分别是2 A 和6 A 。把以上两种保险丝各取等长一段并联后再接入电路中，允许通过的最大电流是( ) A ．8 A B ．10 A C ．6 A D ．7.5 A 解析：两保险丝并联后，两端电压相同，由R ＝ρl S 可得R 1R 2＝41，则I 1I 2＝1 4，即当I 1＝2 A 时， I 2已超过熔断电流。 故电路中允许通过的最大电流为I ＝6 A ＋1 4×6 A＝7.5 A 。 答案：D 3．将分压电阻串联在电流表上，改装成电压表，下列说法中正确的是( ) A ．接上分压电阻后，增大了原电流表的满偏电压 B ．接上分压电阻后，电压按一定比例分别降在电流表和分压电阻上，电流表的满偏电压不变 C ．如分压电阻是表头内阻的n 倍，则电压表量程扩大到n 倍 D ．通电时，电流表和分压电阻通过的电流一定相等 解析：接上分压电阻后，电压按一定比例分别加在电流表和分压电阻上，电流表的满偏电压不变，A 错，B 对；分压电阻是电流表内阻的n 倍，则分压电阻分得的电压为nU ，则电压表的量程为(n ＋1)U ，C 错；通电时，电流表和分压电阻串联，故通过的电流一定相等，D 对。 答案：BD 4．(2012·临沂高二检测)磁电式电流表(表头)最基本的组成部分是磁铁和放在磁铁两极之间的线圈，由于线圈的导线很细，允许通过的电流很弱，所以在使用时还要扩大量程。已知某一表头 G ，内阻R g ＝30 Ω，满偏电流I g ＝5 mA ，要将它改装为量程为0～3 A 的电流表，所做的操作是( ) [课时达标检测] 一、选择题 1．已知下列问题： ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组； ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动； ③从a ，b ，c ，d 四个字母中取出2个字母； ④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数． 其中是排列问题的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选B ①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 2．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：选B 由A 2n ＋1－A 2n ＝10，得(n ＋1)n －n(n －1)＝10，解得n ＝5. 3.A 67－A 56A 45 ＝( ) A ．12 B ．24 C ．30 D ．36 解析：选D A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45 ＝36. 4．若n ∈N *，n<20，则(20－n)(21－n)(22－n)…(29－n)·(30－n)等于( ) A ．A 1020－n B ．A 1120－n C ．A 1030－n D ．A 1130－n 解析：选D 从(20－n)到(30－n)共有11个数，其中最大的数为30－n. 5．(兰州模拟)要从a ，b ，c ，d ，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a 不能当副组长，则不同的选法种数是( ) A ．20 B ．16 C ．10 D ．6 解析：选B 不考虑限制条件有A 25种选法，若a 当副组长，有A 14种选法，故a 不当副 组长，有A 25－A 14＝16种不同的选法． 二、填空题 课时跟踪检测（十四） 三角函数模型的简单应用 层级一 学业水平达标 1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过1 2周 期后，乙的位置将移至( ) A ．x 轴上 B ．最低点 C ．最高点 D ．不确定 解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点． 2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t (s)时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定： s 1＝5sin ???2t ＋π6，s 2＝5cos ? ??2t －π3. 则在时间t ＝2π 3时，s 1与s 2的大小关系是( ) A ．s 1＞s 2 B ．s 1＜s 2 C ．s 1＝s 2 D ．不能确定 解析：选C 当t ＝2π 3 时，s 1＝－5，s 2＝－5，∴s 1＝s 2.选C. 3.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s) 满足函数关系式θ＝1 2sin ? ???2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( ) A ．12，1 π B ．2，1 π C ．1 2 ，π D ．2，π 解析：选A 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π 2＝π，故单摆 频率为1 π ，故选A. 4.(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线 近似满足函数y ＝3sin ????π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 解析：选C 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测： 青少年三维创意设计等级考试理论综合试卷（一级）2020年9月分数：100 题数：40 一、单选题(共20题，每题2分，共40分) 1.青少年通过三维设计软件创作月球车模型，其目的是什么？（） A. 激发和提升对宇宙探索的热情 B. 要造一辆真实的月球车，登陆月球 C. 检测软件能不能完成复杂模型的设计 D. 要买一辆月球车模型 试题编号：20200824-38 试题类型：单选题 标准答案：A 试题难度：一般 2.三维模型上的立体文字是通过哪些命令得到的？（） A. 预制文字 + 草图编辑 B. 预制文字 + 拉伸 C. 预制文字 + 图片 D. 预制文字 + 拔模 试题编号：20200824-30 试题类型：单选题 标准答案：B 试题难度：一般 3.在三维软件中观看正方体时，同时最多可以看到几个面？（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 试题编号：20200824-10 试题类型：单选题 标准答案：C 试题难度：一般 4.在三维建模过程中，鼠标的作用不包括哪些？（） A. 旋转工作区 B. 移动工作区 C. 穿透模型 D. 选择功能命令 试题编号：20200824-08 试题类型：单选题 标准答案：C 试题难度：一般 5.熔融沉积式3D打印工艺是将材料加热至熔融状态，然后通过哪种方式才 能形成立体模型呢？（） A. 切削 B. 焊接 C. 逐层堆积 D. 拼插 试题编号：20200824-01 试题类型：单选题 标准答案：C 试题难度：一般 6.判断以下哪个草图轮廓是不能直接拉伸的？（） A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 试题编号：20200824-23 【专项题库+高考领航】2016届高考物理大一轮复习 热点集训（11） 曲线运动运动的合成与分解 对点训练：合运动的轨迹与性质判断 1．下面说法中正确的是() A．做曲线运动的物体速度方向必定变化 B．速度变化的运动必定是曲线运动 C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动 D．加速度变化的运动必定是曲线运动 2.光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴正方向成α角(如图1所示)，与此同时对质点加上沿x轴正方向的恒力F x和沿y轴正方向的恒力F y，则() 图1 A．因为有F x，质点一定做曲线运动 B．如果F y＞F x，质点向y轴一侧做曲线运动 C．质点不可能做直线运动 D．如果F y＜F x tan α，质点向x轴一侧做曲线运动 对点训练：运动的合成与分解 3．(2015·吉林重点中学模拟)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图2所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是() 图2 A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与风力无关 D．运动员着地速度与风力无关 4．(2015·保定一中检测)物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图3所示，则对该物体运动过程的描述正确的是() 图3 A．物体在0～3 s做直线运动 B．物体在3～4 s做直线运动 C．物体在3～4 s做曲线运动 D．物体在0～3 s做变加速运动 5．(多选)(2015·洛阳联考)如图4所示，起重机将货物沿竖直方向以速度v1匀速吊起，同时又沿横梁以速度v2水平匀速向右运动，关于货物的运动下列表述正确的是() 图4 A．货物的实际运动速度为v1＋v2 B．货物的实际运动速度为v12＋v22 C．货物相对地面做曲线运动 D．货物相对地面做直线运动 6．如图5所示，在竖直平面的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示(坐标格为正方形，g取10 m/s2)求： 图5 (1)小球在M点的速度v1； (2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N； (3)小球到达N点的速度v2的大小。 对点训练：关联速度问题 7．(多选)(2013·上海高考)如图6为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，A、B、C不在一条直线上。由于缆绳不可伸长，因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，由此可知C的() 图6 A．速度大小可以介于A、B的速度大小之间 B．速度大小一定不小于A、B的速度大小 C．速度方向可能在CA和CB的夹角范围外 D．速度方向一定在CA和CB的夹角范围内 8.(2015·太原一中检测)如图7所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水 十章 ．改变，不变 B. 改变，改变 C. 不变，不变 答题： A. B. C. D. 参考答案：B 变为原来的两倍 D. 有些尺寸不变，有些尺寸会变小答题： A. B. C. D. 参考答案：A 选中尺寸后，按住Alt键，拖到新的视图中 答题： A. B. C. D. 参考答案：C 不确定，根据系统选项而定 答题： A. B. C. D. 参考答案：B ．旋转 B. 缩放 C. 平移 D. 以上都不对 答题： A. B. C. D. 参考答案：C 以上都正确 答题： A. B. C. D. 参考答案：D ．交替位置视图 B. 更新视图 C. 链接视图 答题： A. B. C. D. 参考答案：B Shift B. Alt C. Ctrl D. Enter 答题： A. B. C. D. 参考答案：C Ctrl ＋ C B. Ctrl ＋ V C. Ctrl ＋ 答题： A. B. C. D. 参考答案：C ．标准三视图 B. 剖视图 C. 辅助视图 答题： A. B. C. D. 参考答案：D A. B. C. 轴测图只能用作辅助性图样，不能作为产品图样。（） 答题：对. 错 参考答案：对 机件上斜度不大的结构，如在一个图形中已表达清楚时，其他图形可按其小端画。（）答题：对. 错 参考答案：对 采用间隙配合的孔和轴，为了表示配合性质，结合表面应画出间隙。（） 答题：对. 错 参考答案：错 零件图和装配图有不同的表达内容和作用，但应采用完全相同的标题栏格式。（） 答题：对. 错 参考答案：对 在零件图中，表达圆柱体时最少需要二个视图。（） 答题：对. 错 参考答案：错 (30)、因其未注出公差要求，故这些尺寸可按末注公差”的要求控制。（） 答题：对. 错 参考答案：对 共指引线。（） 答题：对. 错 参考答案：错 与轴测轴平行的线段，必须按该轴的轴向伸缩系数进行度量。（） 答题：对. 错 参考答案：对 ，则此图形应称为局部放大图。（） 答题：对. 错 参考答案：对 则，该完工零件应予拒收。（） 答题：对. 错 参考答案：对 用样本估计总体 [知识能否忆起] 一、作频率分布直方图的步骤 1．求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． 2．确定组距与组数． 3．将数据分组． 4．列频率分布表． 5．画频率分布直方图． 二、频率分布折线图和总体密度曲线 1．频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图． 2．总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线． 三、样本的数字特征 四、茎叶图 茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，方便记录与表示． [小题能否全取] 1.(教材习题改编)( ) A ．23与26 B ．31与26 C ．24与30 D ．26与30 解析：选B 观察茎叶图可知，这组数据的众数是31，中位数是26. 2．(教材习题改编)把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是( ) A ．0.05 B ．0.25 C ．0.5 D ．0.7 解析：选D 由题知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为 14 20＝0.7. 3．(2012·长春模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为( ) A ．20 B ．25 C ．30 D ．35 解析：选C 由题意知a ×10＋0.35＋0.2＋0.1＋0.05＝1， 则a ＝0.03，故学生人数为0.3×100＝30. 4．(教材习题改编)甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5、6、9、10、5，那么这两人中成绩较稳定的是________． 解析：x ＝7，s 2乙＝4.4， 则s 2甲＞s 2乙，故乙的成绩较稳定． 答案：乙 5．(2012·山西大同)将容量为n 的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n ＝________. 解析：依题意得，前三组的频率总和为2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1＝920，因此有27n ＝920，即n ＝ 60. 第1节电荷__电荷守恒定律 1．自然界中有两种电荷，富兰克林把它们命名为正、负电 荷：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。 2．物体带电的方式有三种：摩擦起电、感应起电、接触起电，这三种起电方式的实质都是电子在物体之间或物体内部的转移。 3．电荷既不会创生，也不会消灭，在电荷的转移过程中， 总量保持不变。 4．元电荷e ＝1.6×10－19 C ，所有带电体的电荷量都等于 e 的整数倍。 5．密立根通过油滴实验确定了电荷量的不连续性，并测 定了元电荷的数值。 一、摩擦起电 两种电荷 1．摩擦起电 通过摩擦使物体带电的方法。 2．两种电荷及作用 (1)两种电荷：用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电。 (2)作用：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。 3．电荷量 (1)定义：电荷的多少，简称电量。 (2)单位：国际单位制中是库仑，符号：C 。 常用单位及其换算关系：1 C ＝106 μC ＝109 nC 。 4．原子结构及电性 (1)原子??? 电子：带负电 原子核??? ? ? 质子：带正电中子：不带电 (2)原子的电性???? ? 中性：核外电子数等于质子数正电：失去电子 负电：得到电子 5．对摩擦起电的微观解释 不同物质的原子核对外层电子的束缚和吸引力不同，两种不同的物质相互摩擦时，由于摩擦力做功，使得束缚能力弱的物体失去电子而带正电，吸引能力强的物质得到电子而带负电。 二、电荷守恒定律 1．元电荷 一个电子所带电量的绝对值，是电荷的最小单元，记作：e ＝1.6×10－19 _C 。任何带电体 所带电荷量都是元电荷的整数倍。 2．电荷守恒定律 电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。也就是说，在任何自然过程中，电荷的代数和是守恒的。 三、静电感应与感应起电 1．静电感应 当带电体靠近不带电的导体时，由于电荷的相互作用，使不带电的导体两端出现等量异种电荷的现象。 2．感应起电 利用静电感应使导体带电的方法。 3．感应起电的适用条件 感应起电只适用于导体。绝缘体的电子因不能自由移动而不能感应起电。 1．自主思考——判一判 (1)丝绸与任何物体摩擦后都带负电。(×) (2)两不带电的物体相互摩擦后，若一个带正电，另一个一定带等量的负电。(√) (3)摩擦起电现象使本没有电子和质子的物体中产生了电子和质子。(×) (4)元电荷实质上是指电子和质子本身。(×) (5)元电荷不是电荷，而是一个表示电荷量的数值。(√) (6)在摩擦起电过程中两物体均带了电，违背了电荷守恒定律。(×) 2．合作探究——议一议 (1) 阶段质量检测（二） 圆锥曲线与方程 (时间120分钟 满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(安徽高考)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B ．x 24 －y 2＝1 C ．y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24 ＝1 解析：选C 由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A 、B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C ． 2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 解析：选C 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断． sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆． 3．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( ) A ．12或32 B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32 解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ．若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k,2c ＝3k ，∴e ＝32 ． 4．设F 1，F 2是双曲线x 23 －y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1 ·PF 2 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：选B 设P(x 0，y 0)，又F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴PF 1 ＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2 ＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4，S △PF 1F 2＝12 |F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1．又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴PF 1 ·PF 2 ＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3． 模块综合检测 (时间：120分钟 满分：160分) 一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上) 1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(9，1 3)，则f (25)的值是________． 解析：设f (x )＝x α，将(9，13)代入得9α ＝13， 即32α＝3－1 ，∴2α＝－1，∴α＝－12， ∴f (x )＝x －12.∴f (25)＝25－12＝1 5. 答案：1 5 2．(2011·新课标高考改编)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________． ①y ＝x 3 ②y ＝|x |＋1 ③y ＝－x 2 ＋1 ④y ＝2 －|x | 解析：y ＝x 3 为奇函数，y ＝－x 2 ＋1在(0，＋∞)上为减函数，y ＝2－|x | 在(0，＋∞)上为 减函数．故只有②符合条件 答案：② 3．若集合A ＝{x |log 12x ≤1 2}，则?R A ＝________． 解析：由log 12x ≤12得x ≥(12)1 2＝2 2. ∴A ＝[ 22，＋∞)．∴?R A ＝(－∞，22 )． 答案：(－∞， 2 2 ) 4．试比较1.70.2 、log 2.1 0.9与0.82.1 的大小关系，并按照从小到大的顺序排列为________． 解析：log 2.10.9<0，1.70.2 >0，0.82.1 >0. ∵1.70.2 >1.70 ＝1，0.82.1 <0.80 ＝1， ∴log 2.10.9<0.82.1 <1.70.2 . 答案：log 2.10.9<0.82.1 <1.70.2 5．设集合M ＝{x |x －m ≤0}，N ＝{y |y ≥－1}，若M ∩N ＝?，则实数m 的取值范围是________． 课时跟踪检测(一) 集合 1．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1 阶段质量检测（一） 三角函数 (时间120分钟 满分150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．y ＝sin x 2 是( ) A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为π 2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数 解析：选A y ＝sin x 2为奇函数，T ＝2π 1 2 ＝4π，故选A. 2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18 D ．36 解析：选C ∵l ＝αr ，∴6＝1×r . ∴r ＝6. ∴S ＝12lr ＝1 2 ×6×6＝18. 3．若－π 2＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选B ∵－π 2＜α＜0， ∴tan α<0，cos α＞0， ∴点P (tan α，cos α)位于第二象限． 4．已知sin α＋3cos α 3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2 解析：选A 由sin α＋3cos α 3cos α－sin α ＝5，得12cos α＝6sin α， 即tan α＝2，所以sin 2 α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ＝2 5. 5．函数y ＝tan ????π2－x ????x ∈????－π4，π 4且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[－1，＋∞) 解析：选B ∵x ∈????－π4，π 4且x ≠0， ∴π2－x ∈????π4，3π4且π2－x ≠π 2， 即π 2－x ∈????π4，π2∪????π2，3π4， 当π 2－x ∈????π4，π2时，y ≥1； 当π 2 －x ∈????π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 6．将函数y ＝sin ????x －π 3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π 3 个单位，得到的图象对应的解析式为( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin ???? 12x －π2 C ．y ＝sin ??? ?12x －π6 D ．y ＝sin ? ???2x －π 6 解析：选C 将函数y ＝sin ????x －π 3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ????12x －π3，然后将其图象向左平移π 3个单位，即将x 变为x ＋π 3 . ∴y ＝sin ??? ?1 2????x ＋π3－π3＝sin ??? ?12x －π6. 7．设函数f (x )＝sin ????2x ＋π 3，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝π 3对称 B ．f (x )的图象关于点???? π4，0对称 C ．把f (x )的图象向左平移π 12个单位，得到一个偶函数的图象 D ．f (x )的最小正周期为π，且在??? ?0，π 6上为增函数 解析：选C 当x ＝π3时，2x ＋π 3 ＝π，f (x )＝sin π＝0，不合题意，A 不正确； 真题集训·章末验收(一) 命题点一：运动的描述、运动图像 1．(2014·全国卷)一质点沿x 轴做直线运动，其v -t 图像如图所示。质点在t ＝0时位于x ＝5 m 处，开始沿x 轴正向运动。当t ＝8 s 时，质点在x 轴上的位置为( ) A ．x ＝3 m B ．x ＝8 m C ．x ＝9 m D ．x ＝14 m 解析：选B 在v -t 图像中，图线与坐标轴围成面积的大小等于质点运动的位移大小，则x 08＝12×(4＋2)×2 m－12×(4＋2)×1 m＝3 m ，故t ＝8 s 时，质点在x 轴上的位置坐标x 8＝5 m ＋3 m ＝8 m ，选项B 正确，A 、C 、D 错误。 2．(多选)(2013·全国卷Ⅰ)如图，直线a 和曲线b 分别是在平直公路上行驶的汽车a 和b 的位置—时间(x -t )图线。由图可知( ) A ．在时刻t 1，a 车追上b 车 B ．在时刻t 2，a 、b 两车运动方向相反 C ．在t 1到t 2这段时间内，b 车的速率先减少后增加 D ．在t 1到t 2这段时间内，b 车的速率一直比a 车的大 解析：选BC 从x -t 图像可以看出，在t 1时刻，b 汽车追上a 汽车，选项A 错误；在t 2时刻，b 汽车运动图像的斜率为负值，表示b 汽车速度反向，而a 汽车速度大小和方向始终不变，故选项B 正确；从t 1时刻到t 2时刻，图像b 斜率的绝对值先减小至零后增大，反映了b 汽车的速率先减小至零后增加，选项C 正确、D 错误。 3．(多选)(2013·全国卷)将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间间隔为 2 s ，它们运动的v -t 图像分别如直线甲、乙所示。则( ) A ．t ＝2 s 时，两球高度差一定为40 m B ．t ＝4 s 时，两球相对于各自抛出点的位移相等 C ．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等 D ．甲球从抛出至达到最高点的时间间隔与乙球的相等 解析：选BD 由于两球的抛出点未知，则A 、C 均错误；由图像可知4 s 时两球上升的高度均为40 m ，则距各自出发点的位移相等，则B 正确；由于两球的初速度都为30 m/s ，则上升到最高点的时间均为t ＝v 0g ，则D 正确。 命题点二：匀变速直线运动规律及应用 4．(2013·全国卷)一客运列车匀速行驶，其车轮在铁轨间的接缝处会产生周期性的撞击。 课时跟踪检测(二十八) 数系的扩充与复数的引入 第Ⅰ组：全员必做题 1．(2010·江苏高考)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 2．(2014·盐城摸底)若复数z ＝(m 2－1)＋(m ＋1)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为________． 3．(2013·苏北三市调研)已知i 是虚数单位，实数a ，b 满足(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，则3a －4b ＝________. 4．若实数a 满足2＋a i 1－i ＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________. 5．(2013·南京、淮安二模)若复数z ＝1－m i 2＋i (i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值是________． 6．(2014·常州质检)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，则z ·z z －z ＝________. 7．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 8．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1 ＝________. 9．(2013·南通二模)已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2 为实数，则实数m 的值为________． 10．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－i z (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第________象限． 11．(2013·湖北黄冈中学)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋i ，z 2＝a －i ，z 1z 2 为纯虚数，则实数a ＝________. 12．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 第Ⅱ组：重点选做题 1．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5：课时跟踪检测(二) 余弦定理
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