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高斯公式散度

第六节 高斯公式 通量与散度

第六节 高斯公式 通量与散度 一、填空题 1. 设∑是球面2222a z y x =++的外侧, 则??∑ zdxdy = . 2. 设∑是球面z z y x 2222=++, cos α、cos β、cos γ 是∑上点的外法线向量的方向余弦, 则 ??∑ ++dS z y x )cos cos cos (γβα=______. 3. divgrad(222z y x ++)= . 二、解答题 1. 指出下列求解过程的错误之处, 并改正之: 设∑是球面2222a z y x =++的外侧, ∑ 所围成的球体Ω 的体积33 4a V π=, 由高斯公式有: ??∑++dxdy z dzdx y dydz x 333=???Ω++dV z y x )(3222=???ΩdV a 23=54a π. 2. 计算曲面积分 ??∑++zdxdy ydzdx xdydz , 其中∑ 是介于z = 0和z = 3之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧. 3. 计算曲面积分??∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑ 为上半球体222a y x ≤+, 2220y x a z --≤≤的表面外侧. 4. 计算曲面积分??∑+-+-zdxdy dzdx x y x dydz z xy )()(22, 其中∑为锥面:)20(22≤≤+=z y x z 的下侧. 5. 计算曲面积分:??∑ --++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 4)1(2)18(2, 其中∑为是由曲线)30(,0,≤≤???==z x y z 绕z 轴旋转一周所成的曲面, 其法向量与z 轴的正向夹角恒大于2 π. 6. 求向量场A = i - j + xyz k 通过由平面y = x 截球2222R z y x ≤++所得的圆面S 朝x 轴正向一侧的通量.

第六节 高斯公式 通量与散度

第六节 高斯公式 通量与散度 格林公式揭示了平面区域上的二重积分与该区域的边界曲线上的曲线积分之间的关系. 本节要介绍的高斯公式则揭示了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 可以认为高斯公式是格林公式在三维空间中的推广. 一、高斯公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 ★ 例4 内容要点 一、高斯公式 定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成,函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有公式 ?????∑++=???? ????+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P Ω (6.1) .)cos cos cos (?????∑ γ+β+α=???? ????+??+??dS R Q P dv z R y Q x P Ω(6.2) 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式. 根据两类曲面积分之间的关系,高斯公式也可表为(6.2) 若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个,可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域,使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件,从而高斯公式仍是成立的. 二、通量与散度 一般地,设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ),,(),,(),,(),,(++=, 其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数,∑是场内的一片有向曲面, n 是曲面∑的单位 法向量则沿曲面∑的第二类曲面积分 ??????∑ ∑ ∑ ++=?=?=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A 称为向量场A 通过曲面∑流向指定侧的通量.而z R y Q x P ??+??+??称为向量场A 的散度, 记为A div ,即z R y Q x P A div ??+??+??= . (6.4) 例题选讲利用高斯公式计算 例1 (E01) 计算曲面积分,)()(??∑ -+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面12 2=+y x 及平 面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧

10、6 高斯公式 通量与散度

§10.6 高斯公式 通量与散度 一、高斯公式 格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,这个关系可陈述如下: 【定理】设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数),,(z y x P 、 ),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有 ?????Ω ∑ ++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv Z R y Q x P )( (1) 或 ?????Ω ∑ γ+β+α=??+??+??dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()( (1') 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, }γ 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦,公式(1)或(1'证:由两类曲面积分的关系,公式(1)与(1')的右端是相等的,因此这里只要证明 公式(1)就可以了。 设闭区域Ω在xoy 面上的投影区域为xy D ,假定穿过Ω内部且平行z 轴的直线与 Ω的边界曲面∑的交点恰好是两个。这样,可设∑由1∑,2∑和3∑三部分组成,

其中1∑和2∑分别由方程),(1y x z z =和),(2y x z z =给定,这里),(),(21y x z y x z ≤,1∑取下侧,2∑取上侧;3∑是以xy D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面上的一部分,取外侧。 根据三重积分的计算法,有 []???????? Ω-=?? ? ???? ? ????=??y x y x D D y x z y x z y x z y x R y x z y x R dxdy dz z R dv z R )],(,,[)],(,,[12) ,() ,(21 (2) ????∑-=1 )],(,,[),,(1 xy D dxdy y x z y x R dxdy z y x R ????∑=2 )],(,,[),,(2 xy D dxdy y x z y x R dxdy z y x R 因为3∑上任意一块曲面在xoy 面上的投影为零,所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知 ??∑=3 0),,(dxdy z y x R 把以上三式相加,得 ????∑ -= xy D dxdy y x z y x R y x z y x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12 (3) 比较(2)、(3)两式,得 ?????Ω∑ =??dxdy z y x R dv z R ),,( 如果穿过Ω内部且平行于x 轴的直线以及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面 ∑的交点恰好有两点,那么类似地可得 ?????Ω∑=??dydz z y x P dv x P ),,( ?????Ω∑ =??dzdx z y x Q dv y Q ),,( 把以上三式两端分别相加,即得高斯公式(1)。 在上述证明中,我们对闭区域Ω作了这样的限制,即穿过Ω内部且平行于坐 标轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好是两点。如果 Ω 不满足这样的条件,

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