广州等七地2013年中考压轴题解析汇编
【2013·广州·24题】已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.
（1）当OC=CD是⊙O的切线；
（2）当OC＞CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED 的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）连接OD。
∵AB是⊙O的直径，AB=4
∴OA=OB=OD=2 ∴OD2=4
∵OA=CD
∴CD=2 ∴CD2=4
∵OC=∴OC2=8
∵OC2=OD2+CD2
∴△ODC是直角三角形，且∠ODC=90°
∴OD⊥CD
∴CD是⊙O的切线
（2）①连接OE、OD。
∵D为CE的中点∴DE=CD
∵CD=OA=2，OA=OD=OE
∴DE=OD=OE=2
∴△ODE是等边三角形∴∠DOE=∠ODE=60°
∵CD=OD=2 ∴∠DOC=∠OCD
∵∠ODE=∠DOC+∠OCD=60°
∴∠DOC=∠OCD=30°
过点D作DF⊥OC于F
则OF=CF=OD·cos∠DOC=2
∴
∵∠DOC=30°，∠DOE=60°∴∠AOE=90°
∴
∴△ACE的周长=AE+DE+CD+OC+OA
=
=
②存在四边形AODE为梯形。
由题意知，当OD∥AE时，四边形AODE为梯形。由对称性知，存在两个这样的梯形，即在AC的上下方各一个。
∵OD∥AE ∴∠DOC=∠EAO
∵△ODC、△AOE是等腰三角形
又OA=OE=OD=CD=2
∴△ODC≌△AOE ∴OC=AE
设OC=AE=m(m
＞，则AC=m+2
∵OD∥AE ∴OD OC AE AC
=
∴2
2
m
m m
=
+
，即m2-2m-4=0
解得m
1
1(舍去)
∴
1
∵∠DOC=∠EAO=∠OCD ∴CE=AE
∴ED=CE-CD=AE-
1-
1
∴AE·
1
1)=4
【2013·广州·25题】已知抛物线y 1=2(0,)ax bx c a a c ++≠≠过点A(1,0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限。
（1）使用a 、c 表示b ;
（2）判断点B 所在象限，并说明理由；
（3）若直线y 2=2x+m 经过点B ，且于该抛物线交于另一点C(,8c
b a
+)，求当x ≥1时y 1的取值范围。
解：（1）∵抛物线过点A （1，0）
∴a+b+c =0 ∴b =-a -c
（2）点B 在第四象限。理由如下：
当y 1=0时，ax 2+bx +c =0 由韦达定理得，x 1·x 2=c a
∵a ≠c ∴x 1·x 2≠1
∵抛物线过点A （1，0） ∴1是方程的根，令x 1=1 ∴x 2≠1
∴抛物线与x 轴有两个交点 ∵抛物线不经过第三象限 ∴抛物线开口向上，即a ＞0 ∴顶点B 在第四象限 （3）∵点C (,8)c b a
+在抛物线上
∴b +8=a ·(
c a )2+b ·c a
+c =
2()c c
a c c a a
+--+ =22
0c c c c a a
--+= ∴b =-8
∴a +c =8……①
∵点C (,8)c b a +在直线y 2=2x+m 上
∴m =-2c a
∵顶点B 的坐标为（-2b
a ，244ac
b a
-） 即B （
4a ，16
c a
-），且在直线y 2上 ∴16c a -=8a -2c a
……②
由①②解方程组得：
4
4
a c =??=? 或 2
6
a c =??=? ∵a ≠c ∴a =2，c =6
∴抛物线的解析式为y 1=2x 2-8x +6
易知A （1，0）和C （3，0）是抛物线与x 轴 的交点，顶点B 坐标为（2，-2）
∵抛物线开口向上
∴当x ≥1时，y 1的取值范围为y 1≥-2
【2013·福州·21题】如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，P 是BC 边上一点，△PAD 的面积为
2
1
，设AB=x ，AD=y （1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当1=y 时，求PB?PC 的值； （3）若∠APD=90°，求y 的最小值。
解：（1）过点A 作AE ⊥BC 于E 。
∵∠B=45°，AB=x
∴AE=AB ·sin ∠ ∵AD=y ，S △APD =
2
1
∴S △APD =
21AD ·AE=21·y =21
∴y 关于x 的函数关系式为y =x
（2）∵∠APD=45°
∴∠APB+∠DPC=135° ∵∠B=45°，AD ∥BC ∴∠BAD=180°-∠B=135° ∴∠BAP+∠PAD=135° ∵AD ∥BC ∴∠PAD=∠APB ∴∠BAP+∠APB=135° ∴∠BAP=∠DPC
∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴∠B=∠C ，AB=CD ∴△ABP ∽△PCD ∴
PB AB
CD PC
=，即PB ·PC=AB ·CD
∵y =1 ∴x
∴
∴PB ·
A P E C
B D A P E C
B D
F
（3）取AD 的中点F ，连接FP ，过点P 作PH ⊥AD 于H ，则PF ≥PH 。
∴当PF=PH 时，PF 有最小值 ∵∠APD=90°，点F 为AD 的中点 ∴PF=
21AD=2
1
y ∵
PH=AE=
2
x ∴当
21y
时，PF 有最小值，即y 有最小值 ∵y
x
∴
21y
，得y 2=2 ∵y ＞0
∴y
y
A
P E C
B
D
F H
【2013·福州·22题】我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y 1=ax 2+bx (a ≠0) （1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a =__________；
当顶点坐标为（m ，m ），m ≠0时，a 与m 之间的关系式是
___________
（2）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =kx (k ≠0)上，请用含k 的代
数式表示b ；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y=x 上，横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且n ≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为B 1，B 2，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ，若这组抛物线中有一条经过D n ，求所有满足条件的正方形边长。
解：（1）当顶点为（1，1）时，
则有-
2b
a
=1，a+b =1 ∴a =-1
当顶点为（m ，m ）时，
则有-
2b
a
=m ，am 2+bm =m 消去b 后即得：am +1=0
（2）由抛物线顶点坐标公式可得，过原点的抛物线的顶点坐标为（-2b
a ，24
b a
-） ∵顶点在直线y =kx (k ≠0)上
∴-2kb
a =24
b a
- ∵a ≠0，b ≠0 ∴b =2k
（3）∵顶点A n 在直线y=x 上
∴由(2)可知，b =2
∴抛物线解析式为y =ax 2+2x
由题意可设，A n 坐标为（n ，n ），并设点D n 所在的那条抛物线的顶点坐标为（m ，m ） 由(1)可知，a =-
1
m
∴这条抛物线的解析式为y =-
1m
x 2
+2x ∵四边形A n B n C n D n 是正方形，A n B n ⊥x 轴，且C n D n 在A n B n 右侧 ∴点D n 的坐标为（2n ，n ）
∴n=1
m
(2n)2+2×2n
得4n=3m
∵m、n都是正整数，且m≤12，n≤12 ∴n=3或6或9
∴满足条件的正方形的边长为3或6或9
【2013·成都·27题】如图，⊙O 的半径r =25，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD 于点H ，P 为CA 延长线上一点，且∠PDA=∠ABD 。 （1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若tan ∠ADB=4
3，PA=3
334-AH ，求BD 的长；
（3）在(2)的条件下，求四边形ABCD 的面积。
解：（1）PD 与⊙O 相切。理由如下：
连接DO 延长交⊙O 于E ，连接AE 。 ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° ∴∠ADE+∠AED=90°
∵∠PDA=∠ABD ，∠ABD=∠AED ∴∠ADE+∠PDA=90° ∴∠PDE=90°，即PD ⊥DE ∴PD 与⊙O 相切 （2）连接BE 。 ∵AC ⊥BD ∴∠AHD=90° ∴tan ∠ADB=DH AH =4
3
∴DH=
3
4AH ∵PA=3334-AH
∴PH=PA+AH=3
34AH
∵在Rt △PHD 中，tan ∠P=3
3
=
PH DH ∴∠P=30°
∵∠P+∠PDH=90°，∠PDH+∠BDE=90° ∴∠BDE=30° ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DBE=90° ∵DE=2r =50
∴BD=DE ·cos ∠BDE=50×
2
3
=253
（3）过点O 作OF ⊥AC 于F ，作OG ⊥AB 于G ，则四边形OFHG 是矩形 ∴FH=OG
由(2)可得，FH=OG=21OD=2
25 ∵OF ⊥AC ∴AC=2AF=2AH+25
由tan ∠ADB=4
3，设AH=3m ，DH=4m
则AC=6m+25，PA=(43-3)m ∴PC=AC+PA=(43+3)m+25 ∵在Rt △PHD 中，∠P=30° ∴PD=2DH=8m
∵PD 是⊙O 的切线，PAC 是⊙O 的割线 ∴PD 2=PA ·PC
∴64m 2=(43-3)m ·[(43+3)m+25] 解得m=0(舍去)或43-3 ∴AC=6m+25=243+7 ∴S 四边形ABCD =
21
AC ·BD =2
1
(243+7)·253 =900+32
175
【2013·成都·28题】在平面直角坐标系中，已知抛物线y =-
2
1x 2
+bx +c (b ，c 为常数)的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限。
（1）如图，若该抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的函数表达式；
（2）平移(1)中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q 。 ① 若点M 在直线AC 下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；
② 取BC 的中点N ，连接NP ，BQ 。试探究BQ
NP PQ +是否存在最大值？若存在，请求
出该最大值；若不存在，请说明理由。 解：（1）由题图知，点B 坐标为（4，-1），则
???-=++--=1481c b c 解得?
?
?-==12
c b ∴抛物线的函数表达式为y =-
2
1x 2
+2x -1 （2）设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则
???=+-=341b k b 解得??
?-==1
1
b k ∴直线AC 的解析式为y =x -1
设顶点P 的坐标为（m ，m -1），则平移后的抛物线解析式为y =-2
1
(x -m)2+m -1 联立y =x -1可得，点Q 坐标为（m -2，m -3）
① 当△MPQ 是等腰直角三角形时，存在如下三种情况，如图①： 一、当PM=PQ 且∠P=90°时，此时，点M 的坐标为（m+2，m -3） ∵点M 在抛物线y =-2
1x 2
+2x -1上 ∴m -3=-
2
1
(m+2)2+2(m+2)-1，即m 2+2m -8=0 解得m=2或-4 ∴M （4，-1）或（-2，-7）
二、当MP=MQ 且∠M=90°时，此时，点M 的坐标为（m ，m -3），则m -3=-2
1m 2
+2m -1，即m 2-2m -4=0
解得m=1+5或1-5(舍去)
∴M （1+5，-2+5）或（1-5，-2-5）
三、当QM=QP 且∠Q=90°时，此时，点M 的坐标为（m ，m -5），则m -5=-2
1m 2
+2m -1，即m 2-2m -8=0
解得m=4或-2 ∴M （4，-1）或（-2，-7）
故，符合条件的点M 的坐标为（4，-1）、（-2，-7）、（1+5，-2+5）、（1-5，-2-5） ②∵P （m ，m -1），Q （m -2，m -3） ∴PQ=22)31()2(+--++-m m m m =22 ∴当NP+BQ 有最小值时，
BQ
NP PQ +有最大值
∵N 是BC 的中点 ∴N （4，1），BN=2为定值 ∴当四边形BNPQ 的周长最小时，NP+BQ 最小
取点B 关于直线AC 的对称点B’(0，3)，取AB 的中点D(2，-1)，连接B’D 交AC 于Q ，过点N 作NP ∥B’D 交AC 于P ，连接DN ，如图②。
易证得PQ ∥DN ，PQ=DN
∴四边形DNPQ 是平行四边形 ∴NP=DQ ∵BQ=B’Q ∴NP+BQ=DQ+B’Q ∵点B’、Q 、D 在同一直线上 ∴NP+BQ=B’D 有最小值
易得NP+BQ=B’D=2242+=25 ∴
BQ NP PQ +的最大值为510
5
222=
【2013·贵阳·24题】在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边，当a 2+b 2=c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）。
（1）当△ABC 的三边长分别为6，8，9时，△ABC 为 三角形；当△ABC 的三边长分别为6，8，11时，△ABC 为 三角形；
（2）猜想：当a 2+b 2 c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2 c 2时，△ABC 为钝角三角形；
（3）判断当a =2，b =4时，△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围。
解：（1）如图，△A’BC 为直角三角形，CA’=6，BC=8，A’B=10。
以点C 为圆心，6为半径画弧；以点B 为圆心，9为半径画弧，两弧相交于点A ，连接AC 、AB ，得到三边长分别为6，8，9的△ABC 。
显然，△ABC 是 锐角 三角形
以点C 为圆心，6为半径画弧；以点B 为圆心，11为半径画弧，两弧相交于点A ，连
∵b -
a ＜c ∴c ＞2 ∴2＜c ＜6 ∵a =2，
b =4 ∴a 2+b 2=20
当c 2=20时，a 2+b 2=c 2，△ABC 是直角三角形，此时，c 当c 2＜20时，a 2+b 2＞c 2，△ABC 是锐角三角形，此时，0＜c ＜则c 的取值范围为2＜c ＜
当c2＞20时，a2+b2＜c2，△ABC是钝角三角形，此时，c＞
则c的取值范围为c＜6
【2013·贵阳·25题】如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l ：y =-
3
x +4与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，一个高为3的等边三角形ABC ，边BC 在x 轴上，将此三角形沿着x 轴的正方向平移。
（1）在平移过程中，得到△A 1B 1C 1，此时顶点A 1恰好落在直线l 上，写出A 1点的坐标 ；
（2）继续向右平移，得到△A 2B 2C 2，此时它的外心P 恰好落在直线l 上，求P 点的坐标； （3）在直线l 上是否存在这样的点，与(2)中的A 2、B 2、C 2任意两点能同时构成三个等腰三角形。如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由。 解：（1）过A 1作x 轴的垂线，垂足为D 。
则A 1D=A 1B 1×sin60°=3∵点A 1恰好落在直线l 上
∴当y x +4，得x 92
∴A 1点的坐标为（92 （2）过A 2作x 轴的垂线，垂足为E ；过点B 2作A 2C 2的垂线，垂足为F 。由等边三角形性质可知，A 2E 与B 2F 的交点就是△A 2B 2C 2的外心P 。
∵B 2E=
12B 2C 2=3
2
，∠PB 2E=30°
∴PE=B 2E ·tan30°=
32∵点P 恰好落在直线l 上
∴当y =+4，得x 32
∴P 点的坐标为（32，2
） （3）存在满足题述条件的点。
由直线l 得，ON=4，易得∠OMN=30° ∴在(2)的条件下，点C 2与点M 重合 ∵点P 是△A 2B 2C 2的外心，且在直线l 上
∴PA2=PB2=PC2
∴点P（
3
2
，
2
）是满足条件的点
以A2B2为边，在△A2B2C2的另一侧作等边△A2B
2
Q1，因为直线l⊥A2B2，所以点Q1在直线l上，显然点Q1是满足条件的点。
过点Q1作Q1H1⊥x
轴于H1，易得Q1H1，由(1)知，点Q1与点A1重合，坐标为
（
9
2
，
2
）
以C2为圆心，3为半径画圆，与直线l交于Q2、Q
3
，显然点Q2、Q3是满足条件的点。
过点Q2作Q
2
H2⊥x轴于H2，易得Q2H2=
3
2
，C2H2∴Q2的坐标为
，-
3
2
)
过点Q3作
Q3H3⊥x轴于H2，易得Q3H3
=
3
2
，C2H3
Q3的坐标为
，
3
2
)
故，满足条件的点的坐标为（
3
2
，
2
）、（
9
2
，
2
）、(
2
，-
3
2
)、
，
3
2
)
【2013·昆明·22题】已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C。
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2，求⊙O的半径。
解：（1）连接OB。
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
∴∠OBA+∠OBC=90°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠C
∴∠OBA+∠C=90°
∵∠PBA=∠C
∴∠PBA+∠OBA=90°
∴∠OBP=90°
∴OB⊥PB
∴PB是⊙O的切线
（2）令OP与AB交于点D
∵OP∥BC，OA=OC，BC=2
∴AD=BD，OD=1
2
BC=1
∵OP=8
∴PD=OP-OD=7
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，且OP∥BC ∴BD⊥OP
∵∠OBP=90°
∴BD2=OD·PD(射影定理)
∴=
∴=
∴⊙O的半径为
【2013·昆明·23题】如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O 、A 两点，直线AC 交抛物线于点D 。 （1）求抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标；
（3）若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意得，A （4，0），C （0，3），B （4，3）
∵抛物线经过O 、A 两点
∴可设抛物线的解析式为y =ax (x -4) ∵抛物线的顶点在BC 边上
∴由抛物线和矩形的对称性可知，顶点E 为BC 的中点， ∴点E 坐标为（2，3）
将点E 坐标代入解析式可求得a =-3
4
∴抛物线的解析式为y =-
34
x 2
+3x （2）设直线AC 的解析为y =kx +b ，则
403
k b b +=??
=? 解得k =-3
4，b =3 ∴直线AC 的解析式为y =-
34
x +3 则，解方程组2334
334
y x y x x ?=-+????=-+??
得：194
x y =???=?? 或
4
0x y =??=?
（此为点A ） ∴点D 坐标为（1，94
） （3）存在。
① 过点D 作DM ∥x 轴交抛物线于M ，在x 轴上取AN=DM ，则四边形ANMD 是平行四边形
易得DM=2，则AN=2
∴当点N在点A右侧时，点N坐标为（6，0）
当点N在点A左侧时，点N坐标为（2，0）
②向左平移AC，与x轴交于点N3，与抛物线交于点M’，当M’N3=AD时，四边形ADN3M’是平行四边形。
过点D作DH⊥x轴于H，过点M’作M’K⊥x轴于K，易证得△AHD≌△N3KM’
∴M’K=DH=9
4
，N3K=AH=3
∵点M’在x轴下方
∴点M’的纵坐标为-9 4
由-3
4
x2+3x =-
9
4
得x
2
∵当x
M’N3≠AD，故舍去
∴点M’的坐标为(2
-
9 4
)
∴点K的坐标为(2
0)
∵N3K=3
∴点N3的坐标为(-1
0)
综上所述，存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为(-1
0)或（2，0）或（6，0）
20 2.（ 2015?苏州）如图，在一笔直的海岸线 初二中考数学压轴题专题 珏辅砸专项突服（一）i*空、选抒压紬礎 选择题中的压轴题和一般选择题相比，具有综合性较强、数形兼备、解题方法多样化、充满思 辨性等特点，要求学生综合运用多种知识解题，思维要有一定的广度和深度，并会运用多种不同的 方法灵活解题?这类题目重点考察学生综合分析问题、解决问题的能力 解题方法：解答这类题目的方法除常用的直选法、观察法外，重点要掌握排除法和代入法 ?根据 题目条件从四个选项中逐次排除选项的方法，包括分析排除法和反例排除法两种 ?若用一般方法不能 求解时，可采用代入法，就是根据题目的有关条件，采用某些特殊情况分析问题，或采用某些特殊 值代入计算分析，或将题目中不易求解的字母用符合条件的某些具体的数字代入，化一般为特殊来 分析问题，通常包括已知代入法、选项代入法和特殊值代入法等 ?特别注意：这些方法在通常都是要 综合灵活运用，不能生搬硬套 ? 填空题与选择题相比，没有选项，因此没有错误选项的干扰，但也就缺少了有关信息提示，给 解题增加了一定难度，要求学生要有扎实、熟练的基础知识和基本技能 ?还要灵活运用多种不同的解 题方法? 解题方法：解答填空题常用的方法有直接求解法、数形结合法、构造法、分类讨论法与转化法 等直接求解法就是从已知出发，逐步计算推出未知的方法，或者说由“因”索“果”的方法 很多题目都 需要将题目中的条件与相关图形或图象结合起来考察，这就是数形结合法 ?有时在分析解题过程中所 需要或所缺少的有关条件可通过作辅助线或建立模型等方法来解决问题的方法就是构造法 ?在题目 的相关条件或信息不够明确具体时， 则应分情况求解，也就是分类讨论法?把不易解决的问题或难点, 通过第三个等价的量，转化为已知的或易于解决的问题来解题的方法就是转化法 苏州市中考真题赏析 1. （ 2014?苏州）如图，△ AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标（2, △ A'0'B',点A 的对应点A 在x 轴上，则点 0的坐标 为（ ） .■），底边0B 在x 轴上?将 △ AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得 （第 B .
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
2020 挑战压轴题中考数学 精讲解读篇 因动点产生的相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值． 2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F． （1）求证：AH=BD； （2）设BD=x，BE?BF=y，求y关于x的函数关系式； （3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2． （1）求直线AB的表达式； （2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值； （3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G． （1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值； （2）CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值；如果变化，请说明理由； （3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．
21、直线y= -x+m 与直线y=3 3 x+2相交于y 轴上的点C ，与x 轴分别交于点A 、B 。 （1）求A 、B 、C 三点的坐标；（3分） （2）经过上述A 、B 、C 三点作⊙E ，求∠ABC 的度数，点E 的坐标和⊙E 的半径；（4分） （3）若点P 是第一象限内的一动点，且点P 与圆心E 在直线AC 的同一侧，直线PA 、PC 分别交⊙E 于点M 、N ，设∠APC=θ，试求点M 、N 的距离（可用含θ的三角函数式表示）。（5分）
21、已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第 一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）（2分）求点A 、E 的坐标； （2）（2分）若y=c bx x 7 362 ++- 过点A 、E ，求抛物线的解析式。 （3）（5分）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及 L 的最小值，并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。
22、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是 BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HO ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 O D B H E C
2006年 21．(10分)如图9，抛物线2 812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)求线段OC 的长. (2)求该抛物线的函数关系式． (3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。
目录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市中考第24题 例2 苏州市中考第29题 例3 黄冈市中考第25题 例4 义乌市中考第24题 例5 临沂市中考第26题 例6 苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 上海市虹口区中考模拟第25题 例2 扬州市中考第27题 例3 临沂市中考第26题 例4 湖州市中考第24题 例5 盐城市中考第28题 例6 南通市中考第27题 例7 江西省中考第25题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 山西省中考第26题 例2 广州市中考第24题 例3 杭州市中考第22题 例4 浙江省中考第23题 例5 北京市中考第24题 例6 嘉兴市中考第24题 例7 河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 上海市松江区中考模拟第24题 例2 福州市中考第21题 例3 烟台市中考第26题 例4 上海市中考第24题 例5 江西省中考第24题 例6 山西省中考第26题 例7 江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例1 上海市松江中考模拟第24题 例2 衢州市中考第24题 例4 义乌市中考第24题
例5 杭州市中考第24题 例7 广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 苏州市中考第29题 例2 菏泽市中考第21题 例3 河南省中考第23题 例4 南通市中考第28题 例5 广州市中考第25题 例6 扬州市中考第28题 例7 兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题 例1 上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 河北省中考第25题 例3 无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 天津市中考第25题 例2 滨州市中考第24题 例3 山西省中考第26题 第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 宁波市中考第26题 例2 上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 连云港市中考第26题 例4 上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 菏泽市中考第21题 例2 广东省中考第22题 例3 河北省中考第26题 例4 淮安市中考第28题 例5 山西省中考第26题 例6 重庆市中考第26题 第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 南京市中考第26题 例2 南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 江西省中考第24题
二次函数与面积 知识点1.铅垂高求三角形面积问题： 例1.如图，顶点为()14-，的抛物线交y 轴于点()30，A ，交x 轴于C B 、两点（点B 在点C 的左侧）. （1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，若以C 为圆心的圆与直线BD 相切，试判断抛物线的对称轴l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；（3）若点P 是抛物线上的一个动点，且位于C A 、两点之间，当P 运动到什么位置时，PAC △的面积最大，并求此时的点P 的坐标和PAC △面积的最大值.
1.抛物线c bx x y ++-=2 经过点C B A 、、，已知()()3001，，，C A -.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 是线段BC 上的一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当BDC △的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E ，x EF ⊥轴于F ，()0，m M 是x 轴上的动点，N 是线段EF 上的一点，若?=∠90MNC ，求m 的取值范围.
2.如图，二次函数c bx x y ++=22 1的图象交x 轴于D A 、两点，并经过点B ，且()02，A ，()68，B . （1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及点D 的坐标；（3）该二次函数的对称轴交x 轴于点C ，连结BC ，并延长BC 交抛物线于点E ，连结DE BD 、，求BDE △的面积；（4）抛物线上有动点P ，是否存在BCD ADP S S △△2 1= ，若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由.
3.如图，矩形OCDE 的三个顶点的坐标分别是()()()404303，，，，，E D C ，点A 在DE 上，以A 为顶点的抛物线经过点C ，且对称轴1=x 交x 轴于点B ，连结AC EC 、，点Q P 、为动点，设运动时间为t 秒. （1）求抛物线的解析式；（2）在图①中，若点P 在线段OC 上从点O 向点C 以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE 上从点C 向点E 以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，当t 为何值时，PCQ △为直角三角形；（3）在图②中，若点P 在对称轴上从点A 向点B 以1个单位/秒的速度运动，过点P 作AB PF ⊥，交AC 于点F ，过点F 作AD FG ⊥于点G ，交抛物线于点Q ，连结CQ AQ 、，当t 为何值时，ACQ △的面积最大，并求这个最大值.
中考数学选择填空压轴题 一、动点问题 1．如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图 象大致是（） 2．如图，A ，B ，C ，D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运动，设运动 时间为x （s ）．∠APB=y （°），右图函数图象表示y 与x 之间函数关系，则点M 的横坐标应为． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=10，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时， 始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则|h 1－h 2|等于（） A 、5B 、6C 、7D 、8 4．如图，已知Rt △ABC 的直角边AC =24，斜边AB =25，一个以点P 为圆心、半径为1的圆在△ABC 内部沿顺 时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当点P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（） A. 563 B.25C.112 3 D.56 5．在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的 速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t =秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周 长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍． 6．如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点 从A 点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（） A ．2B ．4π-C ．πD ．π1- 7 3cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且2 cm ． A ．8B ．9C ．8D ．9 8．△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC ＝60°，D 是的中点，AD ＝ａ，则四边形ABDC 的面积为 ． 在 梯 中， 9．如图， 14AD BC BC ∠=∥，，点M 是线段 上一定点，且D A B →→→的路线 BC 点B 停止．在点P 的运动运动，运动到PMC △为等腰三角形的 过程中 ， 使 点P 有个 10．如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点， A D C E F G B A O D B F K E G M C
第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1 因动点产生的相似三角形问题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题§1．3 因动点产生的直角三角形问题§1．4 因动点产生的平行四边形问题§1．5 因动点产生的面积问题§1．6因动点产生的相切问题§1．7因动点产生的线段和差问题 第二部分图形运动中的函数关系问题 §2．1 由比例线段产生的函数关系问题 第三部分图形运动中的计算说理问题 §3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 §3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 第四部分图形的平移、翻折与旋转 §4．1 图形的平移§4．2 图形的翻折§4．3 图形的旋转§4．4三角形§4．5 四边形§4．6 圆§4．7函数的图象及性质§1．1 因动点产生的相似三角形问题 课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两 边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和 AB DF AC DE =两种情况列方程． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？ 我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减． 图1 图1 图2 例 1 湖南省衡阳市中考第28题 二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）； （2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？
中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交 AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM A B C D E R P H Q
＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积 等于 4 3 ，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围 . P 图 3 B D 图 2 B 图 1
年中考数学选择题压轴题汇编
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3 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 1．（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组()213220y y y a +?->???-≤? 的解集为y 2<-，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．10 B ．12 C ． 14 D ．16 【答案】A 【解析】①解关于x 的分式方程，由它的解为正数，求得a 的取值范围． 2411a x x +=-- 去分母，得2－a ＝4（x －1） 去括号，移项，得 4x ＝6－a 系数化为1，得x ＝ 64a - ∵x 0>且x≠1，∴64a -0>，且64 a -≠1，解得a 6<且a≠2； ②通过求解于y 的不等式组，判断出a 的取值范围． ()213220y y y a +?->???-≤? 解不等式①，得y 2<-； 解不等式②，得y ≤a ； ∵不等式组的解集为y 2<-，∴a 2≥-； ③由a 6<且a≠2和a 2≥-，可推断出a 的取值范围26a -≤<，且a≠2，符合条件的所有整数a 为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A ． 2．（2017内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足（2x －5）（2y －5）＝25，则x ＋y 等于（ ） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）
我选的中考数学压轴题100题精选 【001 】如图，已知抛物线2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线 OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形直角梯形等腰梯形 （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小并求出最小值及此时PQ 的长． ! , 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形若能，求t （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t
近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①
中考数学选择填空压轴题一、动点问题 1．如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）2．如图，A，B，C，D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O 路线作匀速运动，设运动时间为x（s）．∠APB=y（°），右图函数图象表示y 与x之间函数关系，则点M的横坐标应为． 3．如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时， 始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h 1，h 2 ，则|h 1 －h 2 | 等于（） A、5 B、6 C、7 D、8 4．如图，已知Rt△ABC的直角边AC=24，斜边AB=25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC 的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（） A. 56 3 B. 25 C. 112 3 D. 56 5．在ABC △中，12cm6cm AB AC BC D === ，，为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t，那么当t=秒时，过D、P两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍． 6．如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A
滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．4π- C ．π D ．π1- 7．如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ， 6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四EFGB 也是矩形，且2EF BE =，则AFC S =△（ ）2cm ． A ．8 B ．9 C ．8 3 D ．9 3 8．△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC＝60°，D 是的中点，AD ＝ａ，则四边形 ABDC 的面积为 ． 9．如图， 在 梯 形ABCD 中， 90614AD BC ABC AD AB BC ∠====∥，°，，，点M 是 线段BC 上一定点，且MC =8．动点P 从C 点出发沿 C D A B →→→的路线运动，运动到点B 停止．在点P 的运动过程中，使PMC △为等腰三角形的点P 有 个 10．如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点，以 O 为圆心，以OE 为半径画弧是上的一个动点，连结OP ，并延长OP 交线段 BC 于点K ，过点P 作⊙O 的切线， 分别交射线AB 于点M ，交直线BC 于点G . 若3=BM BG ，则BK ﹦ . 二、面积与长度问题 A B C Q M D A D C E F G B D P M A O D B F K E G M C
目 录 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例2 2012年连云港市中考第26题 例3 2010年上海市中考第25题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点． （1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域． 图1 图2 图3 动感体验 请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O 在AB 上运动，观察△OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点P 可以落在对边的垂直平分线上，点M 不能． 请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y 关于x 的函数关系． 思路点拨 1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱． 2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形． 满分解答
（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8． 过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ． 在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65 MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4 （2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况． ②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425 OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ． 在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658 OA =． 图5 图6 （3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ． 在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45 BF y =． 在Rt △ONF 中，4105 OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55 x y x y y +=--+． 整理，得2505040 x y x -=+．定义域为0＜x ＜5． 图7 图8 考点伸展 第（2）题也可以这样思考： 如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85 BF =．
2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案) 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC 于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC 的面积有最大值．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G 下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3 B．3：5 C．4：3 D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）
中考数学专题复习(压轴题) 1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不 相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点坐标为 ??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=o ，6AB =，8AC =，D E ，分别是边 AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于 Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ A B C D E R P H Q
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中考数学压轴题解题技巧 （完整版） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x 的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停