中考压轴题专题1：抛物线中的等腰三角形
基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标
轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论：
（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。
利用中点公式求出AB 的中点M ；
利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；
利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；
将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
（2）AB 为腰时，分两类讨论：
①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物
线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
中考压轴题专题2：抛物线中的直角三角形
基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴
上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论：
（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。
利用中点公式求出AB 的中点M ；
利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论：
①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：
利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；
将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
所需知识点：
一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2
21221y y x x PQ -+-=。
二、 圆的方程：
点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。
则()()R b y a x PM =-+-=
22，得到方程☆：()()22
2
R b y a x =-+-。
∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式：
四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为???
??++22
2121y y ,x x 。
五、 任意两点的斜率公式：
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2
12
1x x y y k PQ --=
。 中考压轴题专题3：抛物线中的四边形
基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或
坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论：
（1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时
二、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等
三、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直
四、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为正方形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：
（1）邻边相等 （2）对角线互相垂直
在四边形ABPQ 为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等
五、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为梯形，求点P 坐标。 分三大类进行讨论：
（1）AB 为底时 （2）AB 为腰时 （3）AB 为对角线时 典型例题：典型例题：
例1（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数
)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交
于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，
tan ∠ACO ＝31
．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样
的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆
与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛
物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出
此时P 点的坐标和△APG
例2（2009年烟台市）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A
B ，两点，与y 轴交于
C 点，且经过点(23)a -，
，对称轴是直线1x =，顶点是M ． （1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点
P ，使以点P A
C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与
B D ，重合），经过A B E ，，三点的圆交直线B
C 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；
（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请
直接写出结论）．
O
B
x
y
A M
C
1
3-
例3.（2009?临沂）如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，
-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标． 思路点拨
1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．
满分解答 （1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解
析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得
21
-=a ．所以抛物线的解析式为
22
5
21)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．
（2）设点P 的坐标为))4)(1(2
1
,(---x x x ．
①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2
1
---=x x PM ，
x AM -=4．
如果
2==CO AO
PM AM ，那么24)
4)(1(21
=----x x x ．解得5=x 不合题意． 如果
21==CO AO PM AM ，那么2
1
4)
4)(1(21
=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(2
1
--=
x x PM ，4
-=x AM
．
解方程24)
4)(1(21
=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．
解方程2
14)
4)(1(21
=---x x x ，得2=x 不合题意．
③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2
1
--=
x x PM ，x AM -=4．
解方程24)
4)(1(21
=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．
解方程2
14)
4)(1(21
=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．
综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．
图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为22
1
-=
x y ．
设点D 的横坐标为m )41(< 5 21,(2-+-m m m ， 点E 的坐标为)22 1 ,(-m m ．所以 )22 1 ()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=． 因此4)22 1(212 ?+-= ?m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）． 图5 图6 例4.如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）， 与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式； （3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两 点，且点P 在第三象限． ①当线段34 PQ AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答． 思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后 续的解题． 2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半 轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系． 3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样 写点E 的坐标就简单了． 满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得 4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--． （2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函 数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30, 3. k b b +=?? =-? 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-． （3）①因为AB ＝4，所以334 PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称， 所以点P 的横坐标为12 -．于是得到点P 的坐标为17,24??-- ??? ，点F 的坐标为70,4??- ? ? ? ．所以75344FC OC OF =-=-=，522 EC FC ==． 进而得到5132 2 OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2??- ?? ? ． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）． 过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △EDH 中，DH ＝1，1322 2 EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23 DH EH ==． ②1(12,2)P --，2 65(1,)2 P --． 图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求 出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F 的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较 小的一个值就是点P的横坐标． 例5.（2010?河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB 的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2）， ②如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）． 故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4）， 例6.（2013?眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C 三点，直线AD与抛物线交于另一点M． （1）求这条抛物线的解析式； （2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标； 若不存在，请说明理由． ．∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3． （2）存在． △APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形： ①以点A为直角顶点． 如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F． ∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形， ∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，-1）． 设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，-1）的坐标代入得： 解得k=1，b=-1， ∴y=x-1．将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得，x2+2x-3=x-1，整理得：x2+x-2=0， 解得x=-2或x=1， 当x=-2时，y=x-1=-3， ∴P（-2，-3）； ②以点P为直角顶点． 此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上． 过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在； 因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合． ∴P（-3，0）； ③以点E为直角顶点．此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能 与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上，即P（-3，0）； 综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（-2，-3）或（-3，0）． 例7.（2010?宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△A O C放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正 半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于 点E，连接A P，当△A PE的面积最大时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△A G C的面积 与（2）中△A PE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标； 若不存在，请说明理由． 解：（1）如图，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），∴c=6．（1分） ∵抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0）， 例8（2012?从化市一模）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标； （2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标； （3）如图（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛 物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标． （1）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4 ∴D（1，4） 例9.（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D(0，3 9 7)，且顶点C的 横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求该二次函数的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． （1）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k （2）∵点A、B关于直线x=4对称∴PA=PB C D O B A y x ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∵∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO
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