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四川省成都七中2012届高三下学期二诊模拟考试数学(理)试题

成都七中高2012级二诊模拟考试

数学试题（理）

一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1、复数i

Z +=

12的虚部是（） 1.1...--D C i B i A

2、若函数()log 2

a y x -ax+2=在区间]1,(-∞上为减函数，则a 的取值范围是（）

)3,1.()3,2.[),2.[)1,0.(D C B A +∞

3、在ABC ?中，10

3cos ,21tan ==

B A ，则=

C tan （） 2.3.1.1.--

D C B A

4、已知C B A ,,三点在球心为O ，半径为3的球面上，且三棱锥ABC O -为正四面体，那么B A ,两点间的球面距离为（）

ππ

D C B A

5、已知点O 是边长为1的等边ABC ?的中心，则=+?+)()(OC OA OB OA （）

1.6

1.9

D C B A

6、以)(x ?表示标准正态总体在区间),(x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布

),(2σμN ，则概率=<-)|(|σμξP （）

)

(2.)

1(.)

1()1(.)

()(.δμ?σ

μ???σμ?σμ?+-----+D C B A 7、已知数列}{n a 满足21=a 且1122--+=+n n n n a a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则

=+)

2(2

2012log S ( )

2010.2011.2012.

2013.

D C B A

8、若抛物线)0(22

>=p px y 与双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 有相同的焦点下，点A 是

两曲线的一个交点，且x AF ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间

可能是（）

)

,3(.)

,4(.)4,6(.)4

,0(.π

ππ

ππππD C B A

9、b a ,为正实数，且111=+b a ，则ab

22+的最大值为（）

165.169.21.D C B A

10、已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件，对任意的R x ∈都有

)()4(x f x f =+；②对任意的2021≤<≤x x ，都有)()(21x f x f <;③)2(+=x f y 的图

像关于y 轴对称。则)7(),5.6(),5.4(f f f 的大小关系为（）

)

5.4()7()5.6(.)5.6()5.4()7(.)

7()5.6()5.4(.)5.6()7()5.4(.f f f D f f f C f f f B f f f A <<<<<<<<

11、双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的渐近线与抛物线12

+=x y 相切，则该双曲线的离心

率为（）

.5.2.3.D C B A

12、用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为92,1 的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则

符合条件的所有涂法共有（）种

108.72.36.18.D C B A

二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)

13、已知y x ,满足条件k k y x x y x ??

≤++≤≥020为常数，若y x z 3+=得最

大值为8，则=k 。

14、直径为3的球的内接正四面体的体积= 。

15、若点O 和点F 分别为椭圆13

2=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则?的最大值为。

16、设集合R A ?，集合A 中的任意元素满足运算“⊕”，且运算“⊕”具有

如下性质，对任意的A c b a ∈,,，（1）A b a ∈⊕；（2）0=⊕a a ；（3）c c b c a c b a +⊕+⊕=⊕⊕)(；给出下列命题：

A ∈0；②若A ∈1则01)11(=⊕⊕；③若A a ∈且a a =⊕0则0=a 其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）三、解答题(共6题，17题~21题每题12分，22题14分，共74分)

17、在ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知,2

ac b =且bc ac c a -=-2

（1）求A ∠的大小；（2）设)0)(sin()2

cos()(>+-

=ωωωx A

x x f 且)(x f 的最小正周期为π，求)(x f 在]2

,0[π

的最大值。

18、甲、乙两名运动员一次试跳2米成功的概率分别为0.7,0.6且每次试跳成功与否相互之间没有影响。求：（1）甲试跳3次，第3次才成功的概率；

（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一个成功的概率；

（3）甲、乙两人各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率。

19、在直三棱柱中，D AC BC AB AA ,2,31====是AC 中点. （1）求证：BD A //11平面C B ；（2）求点1B 到平面BD A 1的距离；（3）求二面角11B DB A --的余弦值。

20、已知函数)0()1(2

1ln )(2

>+-+=x x a x x a x f ，（1）求)(x f 的单调区间；

（2）若0)(≥x f 在),0(+∞内恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）,*

N n ∈求证：1

)1ln(13ln 12ln 1+>

++++n n

n 。

21、已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左，右焦点分别为1F 和2F ，且

2||21=F F ，点)2

,1(在该椭圆上。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2?的面积为7

12，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

22、数列{}n b 满足12,111+==+n n b b b ，若数列{}n a 满足)111(

,11

211-++==n n n b b b b a a ),2(*N n n ∈≥

（1）求432,,b b b 及n b ；（2）证明

),2(1*1

1N n n b b a a n n

n n ∈≥=+++；（3）求证：)(3

)11()11)(11(*21N n a a a n ∈<+++ 。

成都七中高2012级二诊模拟试题参考答案

一、选择题 1、理 C ∴+=-+-=

)

1)(1()

1(2i i i i i Z 虚部为1；

文 C }42|{}41|{<<=∴<<=x x B A x x B 。

2、 C 当2=a 时，2

2log +-=x x y 在]1,(-∞上为减函数，排除A ；

当4=a 时，2

log +-=x x

y 在]1,(-∞上为减函数，但242

+-x x 不恒大于0，

排除B ；

当23=a 时，2

232

32log +-=x x y 在]1,(-∞上不为减函数。

3、 A 1)tan(tan 3

tan ,1010sin -=+-=∴==

B A

C B B 。

4、 D ABC O -为正四面体，∴=

∠∴3

AOB 所求距离为

ππ

=?33

。

5、 D 0,3

2332||||||=++=?=

==OC OB OA OC OB OA

120cos )33()()()()(2-==-?-=+?+∴ OB OC OC OA OB OA 6、理 B

)1()1()()(

)()()|(|--=----+=--+=<-??δ

μδμ?δμμδ?σμμδσμξP P P 文 A ∴=-='==1|)23(|12

1x x x y 切线方程为1-=x y

7、理 A 由1

122--+=+n n

n n a a 得)2(21

1----=-n n n

n a a ，而21=a

0)2()2(2

11201120112012

2012=--==--=-∴a a a ，即n n a 2=

2013log 2

1)21(22

22)

2(2

201320122012

220122012=∴-=--=++=∴+S S

文 C 设公比为q ，由题设31244a a a +=，0444422111=+-∴+=∴q q q a a q a

151)

1(2

414=--=∴=∴q

q a S q

8、理D ),2(,2),0,2(P P A P C P F =由222b a c +=及2224b a P +=，又142222

=-b

p a p 即044)(1

)(422

2222

2222=--∴=+-+a

b b a b b a a b a ，令0>=a b t ，则 2220

442

4+=∴=--t t t ，设倾斜角为θ，则

,3(3222tan π

πθθ∈∴>+==

。

文A )0,2(),0,1(B F ，设)3,34(),,2(A A y G y A ，则1,1)3

(2)34(22±=∴=+A A y y

2||)1,2(=∴±∴AF A

9、 B

)431(23)1()11(1212112222+--=+-=-+=+=+a a a a a a a ab ab b 当4

1,431==b a 时，取最大值169。

10、 A 对②对任意的2021≤<≤x x ，都有)()(21x f x f <说明)(x f 在[]2,0 单增，对由周期为4，对③∴+=+-)2()2(x f x f 对称轴方程为2=x )5.0()5.4()5.1()5.2()5.6()

1()3()7(f f f f f f f f =====∴

11、C 设切点),(00y x P ，则切线的斜率为02x ，由题意2

000

022x y x x y =?= 又

5)(1,21

211

202

00=+==∴=∴=+∴+=a

e a b x x x x y 12、D 解：标号为“3,5,7”三条相同颜色有1

3C 种涂法，当“3,5,7”涂好后，“2,4,1”有两类涂法，一类“2,4”同色有1

2C 种。此时“1”

有12C 种，共有12C 1

2C =4种涂法；

另一类“2,4”不同色有2

2A 种，此时“1”只有1种，共2种涂法， ∴“2,4,1”共有6种涂法，同理“6,8,9”也有6种涂法， ∴总共有108663=??种涂法。 13、填空题

（3）理 -6 由可行域知，目标函数Z 的最大值在x y =与02=++k y x 的交点处取得，联立方程可得交点为

683

3)3,3(-=∴=-=--=∴--k k k k Z k k

文 -9 画出满足不等式组的可行域可知 9623min -=?-=Z

14、3

1 将该正四面体放置于一个棱长为a 的正方体中，则它们有相同的外接球，

4)1112131(1111

,33=?????-??=∴==∴V a a

15、6 )0,1(-F ，设),(00y x P ，则)4

1(31342

0y y y x -=∴=+

0000000)1()

,(),,1(y x x y x y x ++=?∴=+=

=2)2(4

1341)41(3)1(2

00202

000++=++=-++x x x x x x

22200=∴≤≤-x x 时，?有最大值6

16、①③ ∴⊕⊕=c b a 0 正确

∴=++=+⊕+⊕=⊕⊕∴+⊕+⊕=⊕⊕1100111111)11(c c b c a c b a ②错

在c c b c a c b a +⊕+⊕=⊕⊕)(中先取a c b ==得

a a a a a a a +⊕+⊕=⊕⊕1)(

a a =⊕∴0又取a c

b ==,0得00)0(=⊕+⊕+⊕=⊕⊕a a a a a a a a ， a a a a -=⊕∴=⊕00 故0=∴-=a a a ③正确

二、解答题

17、（1）bc a c b bc b c a bc

ac c a ac b =-+∴-=-∴-=-=2222222

22cos 222π

π=

∴<<=

=-+=∴A x bc bc bc a c b A 又

)(,6

]67,6[62]2

,0[)62sin(3)(22)6sin(3sin 23

cos 23sin sin 21cos 23sin )6cos()()2(max ==∴∈+∈+=∴=∴=+=+=++=+-=x f x x x x x f x x

x x x x x x x f 时π

ππππ

πωπωππωωωωωωωπω

18、解：设“甲第i 次试跳才成功”为事件i A “乙第i 次试跳成功”为事件i B ，

由题意得,6.0)(,7.0)(==i i B P A P 且i i B A ,相互独立（3,2,1=i ）

（1）“甲第3次试跳才成功”为事件321A A A ，063.07.03.03.0)(321=??=∴A A A P 即第3次才成功的概率为0.063 （2）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C ， 88.04.03.01)()(1)(11=?-=-=B P A P C P （3）设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件)2,1,0(=i M i “乙在两次试跳中成功j 次”为事件)2,1,0(=j N j 甲比乙成功的次数恰好多一次为事件D 则

3024

.04.06.07.04.03.07.0)()()()()()()()(12

120112011201=???+???=+=+=+=C C N P M P N P M P N M P N M P N M N M P D P

所求概率为0.3024

19、解：取11C A 中点F ，D 为AC 中点，

则ABC 平面⊥DF ，又BC AB =AC BD ⊥∴

两两垂直关系如图DB DC DF ,,∴ 则)3,0,1()0,22,0()

0,0,1(1-A B C )3,22,0()

0,0,0()

0,0,1(1B D A -

设平面BD A 1的一个法向量为),,(111z y x =

)3,0,1()3,22,1(11-=-=A A