第4课 函数的概念及其表示法
【自主学习】
(本课时对应学生用书第7~8页)
自主学习 回归教材
1.(必修1P26练习4改编)下列对应中为函数的有 .(填序号) ①A=B=N *，对任意的x ∈A ，f ：x→|x -2|；
②A=R ，B={y|y>0}，对任意的x ∈A ，f ：x→2
1x ；
③A=B=R ，对任意的x ∈A ，f ：x→3x+2；
④A={(x ，y)|x ，y ∈R}，B=R ，对任意的(x ，y)∈A ，f ：(x ，y)→x+y. 【答案】③
【解析】对于①，当x=2时，集合B 中没有与之对应的元素，故①不是函数；对于②，当x=0
时，2
1x 没有意义，故②不是函数；对于④，集合A 是点集，不是数集，故④不是函数；所
以只有③满足条件，是函数.
2. (必修1P31习题6改编)直线x=1和函数y=f(x)图象的交点个数为 . 【答案】0或1
【解析】若1是函数定义域中的元素，则根据函数的定义可知交点个数为1，若1不是函数定义域中的元素，则交点个数为0.
3. (必修1P33习题13改编)若)=x-1，则f(2)= . 【答案】3
，则x=4，所以f(2)=3.
4. (必修1P34习题7改编)已知函数f(x)=
31
-1
x x
x x
?≤
?
>
?
，，
，，
若f(x)=2，则x=.
【答案】log32
【解析】由题意得
1
32
x
x≤
?
?
=
?
，
或
1
-2
x
x
>
?
?
=
?
，
，
解得x=log32.
5. (必修1P42练习3改编)已知a，b为实数，集合M=
1
b
a
??
??
??
，
，N={a，0}，f：x→x表示把M中的
元素x映射到集合N中仍为x，则a+b=.
【答案】
【解析】由题意得a=1，b=0，所以a+b=1.
1. 函数的概念
设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫作函数y=f(x)的定义域，将所有的输出值y组成的集合叫作函数y=f(x)的值域.
2.相同函数
函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则.
当函数的定义域及对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
3. 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法.
4. 映射的概念
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.
【要点导学】
要点导学各个击破
函数的概念
例1判断下列对应是否为函数.
(1)x→y=x2+2x+1，x∈R；
(2)x→y，这里y4=x，x∈R，y∈R；
(3)A={(x，y)|x，y∈R}，B=R，对任意(x，y)∈A，(x，y)→x+y.
【思维引导】判断标准：根据给出的定义域和对应法则，看自变量x在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应.
【解答】(1)对于任意一个实数x，y=x2+2x+1都被x唯一确定，所以当x∈R时，y=x2+2x+1是函数.
(2)考虑输入值1，即当x=1时，y=±1，这时一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以不是函数.
(3)由于集合A不是数集，所以此对应法则一定不是函数.
【精要点评】由解析式判断函数关系，从三个角度入手：(1)定义域是否为数集；(2)定义域中每个值是否使解析式都有意义；(3)由解析式算出的数是否唯一.
变式试判断以下各组中的两个函数是否为同一函数.
；
(2)f(x)=|x|
x，g(x)=
1x0
-1x0
≥
?
?
<
?
，，
，；
(4)f(x)=x2-2x-1，g(t)=t2-2t-1.
【思维引导】对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，当且仅当它们的定义域、值域和对应法则都相同时，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.而我们一般只要先考查定义域，再考虑对应法则即可.
【解答】(1)由于
=|x|，
=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所
以它们不是同一函数.
(2)由于函数f(x)=||x
x的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，而g(x)=
10
-10
x
x
≥
?
?
<
?
，，
，
的定义域为R，
所以它们不是同一函数.
(3)由于函数
{x|x≥0}，而
{x|x≤-1或
x≥0}，所以它们不是同一函数.
(4)两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
【精要点评】(1)分析有关函数定义的问题，一定要与映射相结合，由映射中原象与象的特点解决问题.(2)判断两个或几个函数是否为同一函数，主要从定义域、对应法则和值域这三方面进行判断.有时要对函数的解析式进行化简，然后进行分析.
求函数的解析式
例2根据下列条件求各函数的解析式.
(1)已知f
2
1
x
??
+
?
??=lg x，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)；
(3)已知f
1
x
x
??
+
?
??=x3+3
1
x，求f(x).
【思维引导】求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造
模式，可用待定系数法；如果已知复合函数f(g(x))的表达式来求f(x)，常用换元法；当已知表达式较为简单时，甚至可直接用配凑法；对于某些有特殊结构的式子，还会用到对称结构的方程组法.
【解答】(1)(换元法)令2
x+1=t(t>1)，则x=
2
-1t，
所以f(t)=lg 2
-1t，所以f(x)=lg
2
-1
x(x>1).
(2)(待定系数法)设f(x)=ax+b(a≠0)，
则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，所以a=2，b=7，所以f(x)=2x+7.
(3)(配凑法)因为f
1
x
x
??
+
?
??=x3+3
1
x=
3
1
x
x
??
+
?
??-3
1
x
x
??
+
?
??，所以f(x)=x3-3x(x≥2或x≤-2).
【精要点评】求函数解析式的常见题型：①已知函数类型，用待定系数法求解析式；
②已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示；③已知f(x)求f(g(x))，或已知f(g(x))求f(x)，用换元法、配凑法；④若f(x)与f(-x)满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；⑤应用题求解析式可用待定系数法求解.
变式1若函数f(x)=
x
ax b
+(a≠0)，f(2)=1，且方程f(x)=x有唯一解，求f(x)的解析式.
【解答】由f(2)=1，得
2
2a b
+=1，即2a+b=2.
由f(x)=x，得
x
ax b
+=x，变形得x
1
1
ax b
??
-
?
+
??=0，解此方程得x=0或x=
1-b
a.
又因为方程有唯一解，故1-b
a=0，
解得b=1，代入2a+b=2，得a=1 2，
所以f(x)=
2
2 x
x+.
【精要点评】待定系数法的常见设法：如果是一次函数，可设为y=ax+b(a≠0)；如果是
二次函数，可设为y=ax 2+bx+c(a≠0)；如果是反比例函数，可设为y=k
x (k≠0).
变式2 若集合M={f(x)|存在实数t ，使得函数f(x)满足f(t+1)=f(t)+f(1)}，有下列函数
(a ，b ，c ，k 都是常数)：
①y=kx+b(k≠0，b≠0)； ②y=ax 2+bx+c(a≠0)； ③y=a x (0 ④y=k x (k≠0)； ⑤y=sin x. 其中属于集合M 的是 .(填序号) 【答案】②⑤ 【解析】对于①，由k(t+1)+b=kt+b+k+b ，得b=0，矛盾，不符合；对于②，由 a(t+1)2+b(t+1)+c=at 2+bt+c+a+b+c ，得t=2c a ，符合题意；对于③，由a t+1=a t +a 1，所以a t =-1a a ，由于0 t +k ，t 无解；对于⑤，由sin(t+1)=sin t+sin 1，取t=2k π，k ∈Z ，符合题意.综上，属于集合M 的函数是②⑤. 分段函数 例3 已知函数f(x)=2 -10310.x x x x ?≥??? ? (1)若f(a)>a ，求实数a 的取值范围； (2)若f(f(b))=-2，求实数b 的值. 【思维引导】解决分段函数的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决. 【解答】(1)若a≥0，则2 3a-1>a， 所以a<-3，不合题意，舍去； 若a<0，则1 a>a，所以a<-1. 综上，实数a的取值范围是(-∞，-1). (2)由f(f(b))=-2，知f(b)<0且 1 () f b=-2， 所以f(b)=-1 2，代入，得b= 3 4或-2. 【精要点评】有关分段函数的问题中，给出分段函数的解析式，常从以下三个方面考查.一是求函数值，特别是求复合函数的值，其方法是在不同的分段上代入不同的解析式；二是研究这个分段函数的单调性，方法是根据函数在各个分段上的单调性，整合为整个定义域上的单调性；三是求最值，其方法是求出函数在各个分段上的最值，这些最值中最大的是最大值，最小的是最小值. 变式1已知函数f(x)= 2 -3 log(1)3 213 x x x x +> ? ? +≤ ? ，， ，， 满足f(a)=3，则f(a-5)=. 【答案】3 2 【解析】当a>3时，log2(a+1)=3，得a+1=23=8，所以a=7，于是f(a-5)=f(2)=2-1+1=3 2；当 a≤3时，2a-3+1=3，得a=4，不符合条件，综上，f(a-5)=3 2. 变式2甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家.下图表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系.试写出y=f(x)的函数解析式. (变式2) 【解答】当x ∈[0，30]时，设y=k 1x+b 1， 由已知得 1110302b k b =?? +=?，， 解得k 1=115，b 1=0，所以y=1 15x. 当x ∈(30，40)时，y=2. 当x ∈[40，60]时，设y=k 2x+b 2， 由2222402604k b k b +=?? +=?，，解得k 2=110，b 2=-2，所以y=110x-2. 所以f(x)=1 [030]152(3040)1 -2[4060]. 10x x x x x ∈∈∈??? ????，， ，，， ，，， 1.对于函数y=f(x)，下列说法正确的个数为 . ①y 是x 的函数； ②对应不同的x 的值，y 的值也不同； ③f(a)表示当x=a 时函数f(x)的值，是一个常量； ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来. 【答案】2 【解析】当函数f(x)是一个常数函数时，如f(x)=0，不论x 取何值，y 的值都不变，所以②不 正确；依照函数的定义知，只要满足在条件f之下，对应定义域中的任何一个元素在值域中都有唯一元素与之对应即可，因此，不需要f(x)一定用具体的式子表示出来，所以④不正确，从而正确的个数为2. 2.(2014·启东中学模拟)已知f 1 -x x ?? ? ??=x2+2 1 x，那么f(3)=. 【答案】11 【解析】因为f 1 -x x ?? ? ??=x2+2 1 x= 2 1 -x x ?? ? ??+2，x≠0， 所以f(x)=x2+2，所以f(3)=32+2=11. 3.(2015·海安中学模拟)若函数f(x)= -56 (2)6 x x f x x ≥ ? ? +< ? ，， ，， 则f(3)=. 【答案】2 【解析】f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2. 4. (2015·浙江卷)已知函数f(x)= 2 2 -31 lg(1)1 x x x x x ? +≥ ? ? ?+< ? ，， ，， 则f(f(-3))=，f(x)的最小值 是. 【答案】0 -3 【解析】f(f(-3))=f(1)=0.当x≥1时， -3，当且仅当 时，等号成立；当x<1时，f(x)≥0， 当且仅当x=0时，等号成立，故f(x)的最小值为 趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第7~8页. 【检测与评估】 第二章函数与基本初等函数Ⅰ 第4课函数的概念及其表示法 一、填空题 1．(2015·汇龙中学模拟)给出下列各对函数： ① )2； ②f(x)=2x+1，g(x)=2x-1； ③ ④f(x)=2-x，g(x)= 1 2 x ?? ???. 其中是同一函数的是.(填序号) 2．若一次函数y=f(x)在区间[-1，2]上的最大值为3，最小值为1，则函数的解析式为. 3．(2014·沭阳中学模拟)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，那么 f 1 3 f ?? ?? ? ? ?? ??= . (第3题) 4．已知函数f(x)= 20 20 x bx c x x ?++≤ ? > ? ，， ，， 其中b>0，c∈R，当且仅当x=-2时，函数f(x)取得最小 值-2，则函数f(x)的解析式为. 5．已知函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1，2，3}，其定义如下表： 则最后一个表格中的三个数依次为 . 6．已知映射f ：A→B ，其中集合A={-2，-1，1，2，3}，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是a 2-1，则集合B 中至少有 个元素. 7．(2015·苏州模拟)已知函数f(x)=11 0120x x x x x ≥?< 则f(f(f(-2)))= . 8．若函数f(x)=1 -10210x x x x ?≥??? ?a ，则实数a 的取值范围是 . 二、 解答题 9．(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，求函数f(x)的解析式. (2)已知f(x)+2f 1x ?? ? ??=2x+1，求函数f(x)的解析式. 10．(2015·如皋中学周练)已知函数f(x)=1[01] -3(-0)(1)x x x ∈∈∞∞?? +? ，，，，，，，若f(f(x))=1成立，求实 数x 的取值范围. 11．如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架.若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 之间的函数解析式，并指出其定义域 . (第11题) 三、 选做题 12．(2015·黄冈中学二模)若函数f(x)=220|log |0x x x x ?≤? >?，，，， 则方程f(x)=12的解集为 . 13．(2015·浙江卷)存在函数f(x)满足对任意x ∈R 都有 .(填序号) ①f(sin 2x)=sin x ；②f(sin 2x)=x 2+x ；③f(x 2+1)=|x+1|；④f(x 2+2x)=|x+1|. 【检测与评估答案】 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第4课 函数的概念及其表示法 1． ④ 【解析】由同一函数的定义可知，函数的定义域和对应法则相同即可.那么第一组 中定义域不同，第二组中对应法则不同，第三组中定义域不同，只有第四组符合题意. 2． f(x)=-23x+73或f(x)=23x+5 3 【解析】设f(x)=kx+b ，由题意得(-1)3(2)1f f =??=?，或(-1)1(2)3f f =??=?，，解 得2-373k b ?=????=? ?，或235. 3k b ? =????=??， 3．1 3 【解析】由图象知f(x)=1-10-101x x x x +< ??=13-1=-2 3，所以f 13f ???? ? ???? ?=f 2-3?? ? ??=-23+1=13. 4． f(x)=242020x x x x ?++≤? >?，，， 【解析】因为当且仅当x=-2时，函数f(x)取得最小值-2，所 以二次函数y=x 2+bx+c 的对称轴是x=-2b =-2，且有f(-2)=(-2)2-2b+c=-2，即2b-c=6，解得b=4，c=2．所以f(x)=242020.x x x x ?++≤? >?，，， 5． 3，2，1 6． 3 【解析】当a=±2时，a 2-1=3；当a=±1时，a 2-1=0；当a=3时，a 2-1=8．所以集合B 中至少有3个元素. 7． 2 【解析】因为 f(x)=11 0120x x x x x ≥?< ，，，， 所以f(-2)=2-2=1 4，f 1 4 ?? ? ??=4， =2，所以f(f(f(-2)))=2． 8．(-∞，-1)【解析】当a≥0时，由f(a)>a，得1 2a-1>a，解得a<-2，舍去；当a<0时，由f(a)>a， 得1 a>a，解得a<-1．所以实数a的取值范围是(-∞，-1). 9．(1)由题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0)，则a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1，即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1． 所以 21 1 a b b a b +=+ ? ? += ? ， ， 解得a= 1 2，b= 1 2. 因此f(x)=1 2x2+ 1 2x. (2)由已知得 1 ()221 12 2()1 f x f x x f f x x x ??? +=+ ? ? ??? ? ?? ?+=+ ? ??? ? ， ， 消去f 1 x ?? ? ??，得f(x)= 2 4-2 3 x x x + = 4 3x- 2 3x+ 1 3. 10．因为f(f(x))=1，所以0≤f(x)≤1或f(x)-3=1． ①由0≤f(x)≤1，可得0≤x≤1或 0-31 01 x x x ≤≤ ? ? <> ? ， 或， 所以0≤x≤1或3≤x≤4； ②由f(x)-3=1，得f(x)=4，所以x-3=4，所以x=7． 综合①②可知，x的取值范围为[0，1]∪[3，4]∪{7}. 11． 由题意知此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长 为2x ，宽为a ，半圆的直径为2x ，半径为x ，则有2x+2a+πx=l ，即a=2l -π 2x-x ，所以 y=2π2x +22l x x π??-- ???·2x=-π22? ?+ ?? ?x 2 +lx. 根据实际意义知2l -π2x-x>0，因为x>0，解得0 +lx 的定义域是 |02πl x x ? ?< +??. 12． -1????? 【解析】令0122x x ≤???=?? ，或201log 2x x >???=??， 或201log -2x x >???=??，，得x=-1 或. 故解集为-1???? ?. 13． ④ 【解析】对于①，取x=0，可知f(sin 0)=sin 0，即f(0)=0，再取x=π2，可知f(sin π)=sin π 2， 即f(0)=1，矛盾，所以①错误；同理可知②错误；对于③，取x=1，可知f(2)=2，再取x=-1，可知f (2)=0，矛盾，所以③错误；对于④，令t=|x+1|(t≥0)，所以f(t 2-1)=t (t≥0)? 符合题意，故④正确. 全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课： 函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y = 题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+ 函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 3若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值； （2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? + 函数的概念与表示 知识领航 1．函数的定义 一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数() f x和它对应，那么就称(): f x A B →为从集合A到集合B的一个函数，记作：(), y f x x A =∈. 注意：函数概念中的关键词 (1) A，B是非空数集. (2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应. 2. 函数的定义域、值域 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|} f x x A ∈叫做函数的值域. 3. 函数的三要素 定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数 如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念 设,a b是两个实数，而且a b<.我们规定： （1）满足不等式a x b ≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,] a b. （2）满足不等式a x b <<的实数x的集合叫做开区间，表示为(,) a b. （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,) a b，(,] a b. 这里的实数都叫做相应区间的端点. 实数R可以用区间表示为(,) -∞+∞.“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a≥，x a>，x b≤，x b<，的实数x的集合分别表示为[,) a+∞，(,) a+∞，(,]b -∞，(,)b -∞. 6. 函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. （3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7.求函数的解析式的方法 （1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. （2）换元法: 适用于已知(()) f g x的解析式,求() f x. （3）消元法: 适用于同时含有() f x和1() f x ，或() f x和() f x-. 一、函数的概念及其表示 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。 函数的共同特征： （1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。 事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。 一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作 ().,A x x f y ∈= 其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。 我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。当A>0时，B=??????-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=? ?????-≤a b ac y y 44|2。对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系 和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。 函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； 图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 这三种方法是常用的函数表示法。 函数的概念及表示方法 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为（ ） A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ，表示相同函数的一组是（ ） A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是（ ） （1）x x y -+-= 12可以表示函数 （2）521=-+-y x 可以表示函数（3）122=+y x 可以表示函数 （4）12=+y x 可以表示函数 A 、 （2）（4） B 、（1）（3） C 、（1）（2） D 、（3）（4） 4、下列关于分段函数的叙述正确的是（ ） （1） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 （2）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是同一个函数 （3）若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则Φ=21D D I A 、 （1） B 、（2）、（3） C 、（1）、（2） D 、（1）、（3） 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果{}2,1=B ，那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，则下列各项不恒成立 的是（ ） A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像，需先向 平移 个单位，再向 平移 个单位（ ） A 、左,2，上，1 B 、左，2，下，1 C 、右，2，上，1 D 、右，2，上，1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ，其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是（ ） 函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的关系ｆ，使对于集合A中的任意一个数x,在集合Ｂ中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称 f:Ａ→B为从集合A到集合Ｂ的一个函数。 例１. 下列从集合A到集合Ｂ的对应关系中,能确定y是x的函数的是（ ) ①｛x x∈Ｚ},{y y∈Z}，对应法则f：x→ 3 x; ②{ｘｘ＞0∈R｝, {y y∈R},对应法则ｆ：x→2y＝3ｘ; ③, 对应法则f:x→2x; 变式1. 下列图像中,是函数图像的是（ ) ①②③④ 变式２. 下列式子能确定y是ｘ的函数的有（) ①22 x y+=2 1= Ａ、0个Ｂ、１个 C、2个 D、3个变式3．已知函数（x)，则对于直线(ａ为常数),以下说法正确的是（） A.(x）图像与直线必有一个交点（x）图像与直线没有交点 (x）图像与直线最少有一个交点(x)图像与直线最多有一个交点 变式4.对于函数ｙ=f(ｘ）,以下说法正确的有…( ) ①y是x的函数 ②对于不同的x，y的值也不同 A ．1个 B ．2个 C.３个 Ｄ.4个 变式５．设集合M ＝｛0≤x≤2}，N ＝{０≤ｙ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合Ｍ到集合N 的函数关系的有( ) A.①②③④ B ．①②③ Ｃ.②③ D.② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例２． 下列哪个函数与相同( ） ①. x ②.y = ③． 2 y = ④ ⑤.33x y =；⑥.2x y = 变式1.下列函数中哪个与函数y ) A ． y = B ． y =-y =- D ． y x = 变式２. 下列各组函数表示相等函数的是( ） A. 29 3 x y x -=- 与 3y x =+ B. 1y = 与 1y x =- C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（ｘ≠0） D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-,x ∈Z 变式3． 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ 函数的概念与函数收敛的定义 1、 在同一个自然现象和技术过程中，往往有几个同时变化的变量，而这几个变量并不是孤立的存在，而是相互联系并遵循一定的变化规律。 定义： 设x 和 y 是两个变量，D 是给定的一个数集，如果对每个数 x∈D,变量y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y 为x 的函数,记作：Y=f(x) 数集D 称为函数y 的定义域。 当∈D 时，与对应的y 的数值称为函数y=f(x)在的函数值。当x 取遍x∈D 的各个数值时，对应的函数值全体组成的集合 0x 0x 0x W={y/y=f(x),x∈D}称为函数y 的值域。 2、 定义1-1：数列收敛的定义： 若A x n n =∞→lim {亦称极限 n x 存在； 收敛；否则，称发散}： n x n x ?ε（无论其多么小）>0,?正整数N，当n>N 时，有 ε0,?正数X,当x>X 时， ε0，?正数δ>0,当 δ （1） 有界性 （2） 单调性 （3） 奇偶性 图形关于Y 轴对称： )()(x f x f =? ……偶函数 曲线关于原点轴对称： )()(x f x f ?=? ……奇函数 【课题】 3.1 函数的概念及其表示法 【教学目标】 知识目标： (1) 理解函数的定义；(2) 理解函数值的概念及表示； (3) 理解函数的三种表示方法；(4) 了解利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标： (1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力； (2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能； (3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力． 【教学重点】 (1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像． 【教学难点】 (1) 对函数的概念及记号)(x f y =的理解；(2) 利用“描点法”描绘函数图像． 【教学设计】 （1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养. 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】 *揭示课题 3.1函数的概念及其表示法 *创设情景 兴趣导入 学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？ 设购买果汁饮料x 瓶，应付款为y ，则计算购买果汁饮料应付款的算式为 2.5y x =． 因为x 表示购买果汁饮料瓶数，所以x 可以取集合{}0,1,2,3,中的任意一个值，按照算式法则 2.5y x =，应付款y 有唯一的值与之对应． 两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系． *动脑思考 探索新知 在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，设变量x 的取值范围为数集D ，如果对于D 内的每一个x 值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的值与它对应，那么，把x 叫做自变量，把y 叫做x 的函数． 将上述函数记作()y f x =． 变量x 叫做自变量，数集D 叫做函数的定义域． 当0x x =时，函数()y f x =对应的值0y 叫做函数()y f x =在点0x 处的函数值．记作()00y f x =. 函数值的集合(){}|,y y f x x D =∈叫做函数的值域． 函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素． 定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数y =与s =表示的是同一个函数． 例如，函数2 x y x =的定义域为{|0}x x ≠，函数y x =的定义域为R ．它们的定义域不同，因此不 是同一个函数；函数,0, ,0x x y x x ?=?- §1.2.2 函数的概念及其表示法 1、写出下列函数的定义域和值域： （1）已知函数1=y ，则其定义域是_______值域是_______ （2）已知函数1 21++-=x x y ，则其定义域是_______值域是_______ （3）已知函数342+-=x x y ，则其定义域是_______值域是_______ （4）已知函数6 32---=x x x y ，则其定义域为__________； 2、已知f(2x+1)=x 2-2x ，则f(3)= __________. 3、设集合A={1,2，3},集合B={1，2}，从A 到B 的函数的个数是_______. 4、已知x x f 21=)(，x x g =)(，则)]([x f g =_______，)]([x g f =_______； 5、已知)(x f 的定义域为[)21,-，则)(12+-x f 的定义域是__________； 6、已知)(12+-x f 的定义域为[)21,-，则)(x f 的定义域是__________； 7、已知x x x f 212+=-)(，则)(x f =_______。 8、已知)()()(012≠=+x x x f x f ，则)(x f =_______ 9、已知函数?????>≤-=22242x x x x x f ,,)(，则f(2)=________;若f(x 0)=12，则x 0=________。 10、已知函数12++=ax x x f )(的定义域是实数集R ，则a 的取值范围是_______。 11、将函数y=|x-1|+|2x|写成分段函数的形式，并画出其图象。 12、设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式 13、求下列函数的值域： （1）x x x f 22-=)(，[)41,-∈x ； （2）x x x f --=1)( 函数的概念及表示法 解答锦囊：解答“映射与函数的概念”一类试题，主要掌握以下几点： 1．象与原象是映射中的两个重要概念，常列方程，用方程的思想求解． 2．函数概念题主要考查对“对应法则厂’的理解，特别是分段函数的题型，要注重分类讨论、数形结合等重要数学思想的运用． 一、高考最新热门题 1、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2+n ， 则在映射f 下，象20的原象是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2、函数f(x)= ，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定 f(P)={y|y=f(x)， x ∈P},f(M)={y|y=f(x)，x ∈M}，给出下列四个判断： ①若P ∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ ②若P ∩M ≠φ，则f(P)∩f(M)= φ ③ 若P ∪M=R ，则f(P)∪f(M)=R ； ④若P ∪M ≠R ，则f(P)∪f(M)≠R ； 其中正确判断有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、已知函数f(x)= ，若f(a)=b ，则f(-a)等于（ ） A ．b B ．-b C ． D.- 4、判断下列各组函数是否表示同一个函数（ ） A ．y= 与y=x+1 B ．y=lgx 与y= C.y=-1 与y=x-1 D ．y=x 与y=log a a x (a>0且a ≠1) ?? ?∈-∈M x x P x x ,,x x +-11lg b 1b 111 2--x x 2lg 2 1x 2 x 二、题点经典类型题 1、设函数f(x)的定义域为R +,且满足条件f(4)=1，对于任意x 1，x 2∈R +，有f(x 1，x 2)=f(x 1)+ f(x 2)，当x 1>x 2时，有f(x 1)>f(x 2)． (1) 求f(l)的值； (2)如果f(3x+1)+f(2x-6)≤3，求x 的取值范围． 2、由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1)4 +b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4定义映射f ：(a 1， a 2，a 3，a 4，)→b 1+b 2+b 3+b 4，则f(4，3，1)等于 。 3、定义集合A*B 的一种运算：A*B={x|x=x 1 +x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B 中的所有元素数字之和为 （ ） A.9 B.14 C.18 D.21 4、定义符号函数sgnx= ，则不等式： x+2>(2x<0) sgnx 的解集是 _______________。 5、由关于x 的恒等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4 =(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4，定义 映射f(a 1、a 2、a 3,a 4)→(b 1．b 2、b 3,b 4)，则f(4，3，2．1)等于（ ） A ．10 B ．7 C ．-1 D ．0 6、设映射f ：x →-x+2x 是实数集M 到实数集N 的映射，若对于实数P ∈N ，在M 中不存在原象，则P 的取值范围是（ ） A ．(1，+∞) n ．[1，+∞] C ．(-∞，1) D ．(-∞，1) 三、新高考命题探究 1、已知映射f:A →B ，其中A=B=R ，对应法则f:y=x 2-2x+3， x ∈a,y ∈B ．对于集合B 中的元素1。下列说法正确的是（ ） A.在A 中有1个原象 B ．在A 中有2个原象 C ．在A 中有3个原象 D ．在A 中无原象 2、A 、B 两地相距150公里．某汽车以50)公里/小时的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后．又以60公里/小时的速度返回A 地，写出该车离开A 地的距离S （公里）关于时间t(小时)的函数关系式。并画出图象． 3、已知(x ，y)在映射f 的作用下的象是(x+y ，xy)。求(-2，3)在f 作用下的象和(2．-3)在f 作用 下的原象． ?? ? ??<-=>)0(,1)0(,0)0(,1x x x 第四章一次函数 一、函数相关概念及表示方式 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 例1： 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 注：确定函数自变量的取值范围有两点，第一是要使含有自变量的式子有意义，第二是要使实际问题有意义。 例2： 例3： 例4： 已知等腰三角形的周长为20，设底边长为y，腰长为x，则y与x的函数关系式为________，自变量的取值范围是_________ 例5： 的取值范围是（） 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析式法/关系式法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 例6： 用解析式表示下列函数关系． （1）某种苹果的单价是1.6元/kg，当购买x（kg）苹果时，花费y（元），y（元）与x （kg）之间的函数关系．______； （2）汽车的速度为20km/h，汽车所走的路程s（km）和时间t（h）之间的关系．______．例7： 均匀的向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图像是（） 例8： 小明400米/分的速度匀速汽车5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分的速度骑回出发地，下列函数图像能表达这一过程的是（） 例9： 小明骑自行车上学，开始以正常的速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误课，加快汽车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s 关于时间t的函数图像，那么符合小明行驶情况的图像大致是（） 例10： 甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（） 函数的概念及其表示 一、什么是函数？ 1、函数的定义： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）。记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 注意： 1) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”。 2) 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数；而f()表示的 是对应关系。（用集合关系讲解） 2、映射与函数 函数的特殊的映射 二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 1、函数是一个整体“y=f(x)，x ∈A ．”表示一个函数。函数=定义域+对应关系+值域 2、比喻理解： 定义域f ?? →值域 等价于 原材料f ??→产品 一个函数就是一个完整过程，定义域是原材料、对应关系f 是生产设备、值域是生产的产品，而我们是老板，老板刷题就是从三要素出发不断地管理匹配这个生产过程 3、举例说明：2 1,y x x R =+∈ 问：定义域？值域是？对应关系是？ 三、求函数定义域 主要题型：偶次方被开方数为非负；分式的分母不为零；零次幂的底数不为零；对数真数大于零；指数对数的底数大于零且不等于1 例题讲解： 1、1()f x x x =- 2、1()11f x x =+ 3 、()f x =4、2()ln(1)f x x =- 5 、()1 f x x = - 四、求函数解析式 1、函数的三种表达方法 解析式法+图像法+列表法 因此我们可以看出解析式是函数的表达方式之一，也是我们学习过程中接触最多的。 2、函数解析式求法 1) 配凑法 由已知条件(())()f g x F x =，可以将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x 例题：已知22 22(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 2) 待定系数法 如已知函数类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法 例题：已知()f x 是一次函数，且满足3(1)()29f x f x x +-=+，求函数()f x 的解析式 3) 换元法 若已知(())f g x 的解析式，可用换元法 例题：已知22 22(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 4) 解方程组法 已知关于()f x 与1()f x 或者()f x -与()f x 的表达式，可根据条件构造出另外一个等式，组成方程组求解 例题：已知()f x +21 ()f x =3x ，则求()f x 的解析式。 1．2 函数的的概念及其表示方法 （一）基础训练题 1、判断下列函数是否表示同一函数？ ⑴2)()(,)(x x g x x f == ⑵33)(,)(x x g x x f == ⑶2 )(,)(x x g x x f == ⑷1)(,11)(2+=--=x x g x x x f ⑸3)(,)3()(2-=-=x x g x x f 2、设{}{}31 ,15,7,3,1,5,4,3,2,1==B A 下列对应法则B A f →:是从A 至B 的函数是： (A)1:2+-→x x x f (B)2)1(:-+→x x x f (C)12:1-→-x x f (D)12:-→x x f 二、知识点讲解 1、函数的定义： 设A ，B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从集合A 至集合B 的一个函数，记作：A x x f y ∈=),(，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f 的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫做函数的值域。 注意：函数的值域{}A x x f ∈)(与集合B 不一定相等。 2、函数的三要素：一个函数由定义域，对应法则和值域三个要素构成。 3、函数相等，当函的定义域及其对应关系确定后，函数的值域也随之确定。如果两个函的的三要素相同，称两个函数相等。 4、区间的表示方法： 区间是集合的一种表示方法： ⑴{}b x a x ≤≤用区间],[b a 表示；⑵{}b x a x <<用开区间),(b a 表示； 人教 A 版必修 1 函数的概念及其表示练习题 1．下列说法中正确的为 ( ) A ． y ＝f ( x ) 与 y ＝ f ( t ) 表示同一个函数 B ． y ＝f ( x ) 与 y ＝ f ( x ＋ 1) 不可能是同一函数 C ． f ( x ) ＝ 1 与 f ( x ) ＝ x 表示同一函数 D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 2．下列函数完全相同的是 () A ． ( ) ＝ | x | ， ( ) ＝ ( x ) 2 f x g x B ． f ( x ) ＝ | x | ，g ( x ) ＝ x 2 x 2 C ． f ( x ) ＝ | x | ，g ( x ) ＝ x x 2－ 9 D ． f ( x ) ＝ x － 3 ，g ( x ) ＝ x ＋3 3．函数 y ＝ 1－ x ＋ x 的定义域是 ( ) A ． { x | x ≤1} B ． { x | x ≥0} C ． { x | x ≥1或 x ≤0} D ． { x |0 ≤ x ≤1} 4．图中 (1)(2)(3)(4) 四个图象各表示两个变量 x ， y 的对应关系，其中表示 y 是 x 的 函数关系的有 ________． 1．下列各图中，不能是函数 f ( x ) 图象的是 ( ) 5．如果二次函数的二次项系数为 1 且图象开口向上且关于直线 x ＝ 1 对称，且过点 (0,0) ，则此二次函数的解析式为 ( ) A ． f ( x ) ＝ x 2－ 1 B ． f ( x ) ＝－ ( x －1) 2＋ 1 C ． f ( x ) ＝ ( x － 1) 2＋ 1 D ． f ( x ) ＝( x － 1) 2－ 1 7．已知 f ( x ) ＝2x ＋ 3，且 f ( m ) ＝6，则 m 等于 ________． 3．设函数 f ( x ) ＝ 2x ＋ 3，g ( x ) ＝ f ( x ) ，则 g ( x ) 的表达式是 ( ) A ． 2x ＋ 1 B ． 2x － 1 C ． 2 x +3 D ． 2 ＋ 7 x 2 将函数 y ＝x 2 的图象向下平移 2 个单位，得函数 ________，再将得到函数向右平移 1 个单位，得函数 ， ________ 1 ) ： 1．函数 y ＝ 的定义域是 ( x A ． R B ． {0} C ． { x | x ∈ R ，且 x ≠0} D ． { x | x ≠1} 2．下列式子中不能表示函数 y ＝ f ( x ) 的是 ( ) A ． x ＝y 2＋ 1 B ．y ＝ 2x 2＋ 1 C ． x －2y ＝ 6 D ． x ＝ y 5．下列各组函数表示相等函数的是 ( ) A ． y x 2 － 3 与 y ＝x ＋ 3( x ≠3) ＝ x － 3 B ． y ＝ x 2－ 1 与 y ＝ x － 1 C ． y ＝x 0( x ≠0) 与 y ＝ 1( x ≠0) D ． y ＝2x ＋ 1， x ∈ Z 与 y ＝2x － 1， x ∈ ZX k b 1 . c o m 6．设 f ： x → x 2 是集合 A 到集合 B 的函数，如果 B ＝ {1,2} ，则 A ∩B 一定是 ( ) A ． ? B ． ?或 {1} C ． {1} D ． ?或 {2} 第二讲 函数的概念及表示方法 【基础知识回顾】 1. 函数的概念：设A B 、是非空的数集 ，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数.记作 ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 {}()|f x x A ∈叫做函数的 . 2. 构成函数的三要素： 、 和 . 3. 函数定义域的常见求法： （1）分式的分母 ； （2）偶次根式的被开方数 ； （3）对数的真数大于零，底数 ；（若未学习到可先删去） （4）零次幂的底数 ；（若未学习到可先删去） （5） 已知函数)(x f 的定义域为D ，求函数)]([x g f 的定义域，只需求满足D x g ∈)(的x 的取值范围. （6）复合函数与抽象函数的定义域 4. 函数的值域：常见方法（常见函数、观察、配方、图像、换元、判别式、对勾） 5. 函数解析式的常见求法（待定系数、换元、配凑、赋值、加减消元）： （1）待定系数法： 若已知函数的类型，比如二次函数可设为()()20f x ax bx c a =++≠，其中a 、b 、c 是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出a 、b 、c 即可. （2）换元法： 已知()()f h x g x =????，求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，代入()g x 进行换元，便可求解. 【例题精讲】 【例1】 试判断以下各组函数是否表示同一函数. （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x | |，g （x ）=???<-≥. 01,01x x （3）()2f x =()( ()21 2n g x n N -* = ∈； （4）f （x ）= x 1+x ，g （x ）=x x +2； （5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1. 函数的概念及其表示方法 编写： 审核： 行政审查： 【教学目标】 1、会用映射的观点理解函数的概念； 2、熟悉函数的常用表示方法——列表法、图象法、解析式法 3、会选择恰当的方法表示简单情境中的函数. 【教学重点】函数概念，函数的三种表示方法； 【教学难点】函数的概念的理解 【前置作业】 1．设2 f x x →：是从集合A 到集合B 的映射，如果{1,2}B =，则B A ?=_______________． 2．下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填写序号) （1）)1()(,1)(+=+?=x x x g x x x f ；（2）24 (),()22 x f x g x x x -= =+-； （3）2 2 ()21,()21f x x x g t t t =--=--；（4）()21(),()21()f n n n Z g n n n Z =-∈=+∈． 3．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 4．设f (x )＝????? 1，x >0，0，x ＝0，1，x <0， g (x )＝????? 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________． 5．已知()()()23,2f x x g x f x =++=，则()g x = ． 6．已知函数21,0, 2,0,x x y x x ?+≤=?->? 则使函数值为5的x 的值是__________． 7．设函数f (x )＝? ???? x 3，0≤x <5 f (x －5)，x ≥5，那么f (2 014)＝ ． 【教学过程】 一、知识梳理： 1．函数的基本概念： （1）函数的定义：设,A B 是两个非空的________，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有___________()f x 和它对应，那么就称_______________为集合A 到 集合B 的一个函数，记作____________，其中， x 叫做_______，x 的取值范围A 叫做函数的__________，与x 的值对应的y 值叫做函数的__________，函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈叫做函数的_________，显然，值域是集合B 的____________． （2）函数的三要素：______________，________________，_______________． 函数的概念及其表示 4．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 5．区间的概念 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； 说明：① 对于a,b ，a,b ，a，b ，a,b 都称数a和数 b 为区间的端点，其中a为左端点， b 为右端点，称b-a 为区间长度； ②引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法： 不等式表示法：3 解析：由函数的定义，对定义域内的每一个 x 对应着唯一一个y，据此排除①④，③中值域为｛ y|0≤y≤3｝不 合题意．答案：② 例2、下列函数中哪个与函数y = x 是同一个函数？ (1) y ( x)2；(2) y 3x3；(3) y x2 〖解析〗解：( 1) y = x，x≥0，y ≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数； (2) y=x ，x ∈R，y ∈R ，定义域值域都相同，是同一个函数； x(x 0) (3)y=| x|= ，y ≥0；值域不同，不是同一个函数。 x(x 0) 例3、下列各组，函数f (x)与g(x) 表示同一个函数的是( ) x2 A．f (x)=1，g(x)= x0B．f (x)=x0，g(x) = x C．f (x)=x 2，g(x)=( x)4D．f(x)= x3，g(x)=(3x)9 答案：D 例4、已知函数f (x) =2 x － 3 ，求： (1) f (0)，f (2)，f (5)； (2) f[f (x)] ； (3)若x ∈{0，1，2，3} ，求函数的值域。 答案：( 1) f(0) =－3，f (2)=1，f (5) =7； (2) f[ f (x)] =4x－9； 例5、已知a、b为实数，集合M＝{ a b，1} ，N＝{ a, 0} ， f ：x→ x 表示把M中的元素x映射到集合N中仍 为x，a 则a＋b等于( ) A．－ 1 B ．0 C．1 D ．±1 解析：a＝1，b＝0，∴ a＋b＝1. 答案：C 3）f（x）=2n 1x2n 1，g（x）=（2n 1x）2n－1（n∈N*）； 同步练习： 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ (1)f(x)= x2，g(x)= x3；2)f(x) |x|，g(x) x x 0, x 0;高一数学函数的概念及表示方法
函数的概念与表示法
函数的基本概念及表示法
函数的定义及表示方法
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