置换群的若干理论
摘要：本文旨在基于置换群的基本理论，如置换群的概念，记法，乘积，研究置换群在群论中的基本性质，理论，特别包括置换，对换与置换群的相互关系等性质，特别的得出循环置换的分解定理及其它的若干性质。
关键词：置换群对换循环置换定理结论
1引言
1.1问题的提出
通过近世代数的学习，我们已经基本掌握了群这个概念了。但是具体的群多得很，是研究不完的，所以我们需要反过来研究一般的抽象群。根据所学定理，如果我们能把变换群完全研究清楚，那就等于把全体抽象群都研究清楚了；如果能把置换群完全研究清楚，也就等于把所有有限群都研究清楚了。置换群是变换群的一种特例，在代数里占一个很重要的地位。置换群的研究在群论历史上无疑是里程碑的。正是利用置换群，Galois成功的解决了代数方程时候可以由根式求解的问题。因此有种种理由说明有必要对置换群进行特殊的研究。首先，置换群有一个很大的特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得在这种群里的计算比较简单。其次，置换群理论中的一些起很重要作用的概念在抽象群理论中是没有的。最后，置换群不仅在数学的领域中扮演着很重要的角色，而且在物理，化学，计算机科学上也有很广泛的应用，甚至美学和艺术领域上日益发挥着它的的重大作用。
1.2置换群的历史回顾
群论的产生最早源于对代数方程求根的研究。一元二次方程的代数解法早在公元前20000 年就为古巴比伦人所知道。一般三次和四次方程的求根公式也在十六世界为意大利的数学家费罗（S.Ferro1465-1526）、塔塔利亚（Fontana1499-1557）、卡尔丹（G.Cardano1501-1576）和费拉里（L.Ferrari）先后获得。在随后的近300 年间，数学家们希望能找到五次或更高乘此的方程的求根公式，但都徒劳无功。
直到1770 年，拉格朗日才第一个宣布“不可能用根式解四次以上方程”。他以置换为研究“工具”，以解代数方程为“目的”，使人们的代数思维方式发生了转变，把以方程根的计算为主的研究转到方程根的置换性质的研究。群论产生的初期主要受拉格朗日思想方法的影响，但他却没能证明“四次以上方程没有根式解”这个论断。
1799 年，鲁菲尼在专著《方程的一般理论》中给出了一个证明，对置换群尽心了详细的考察，引进了群的传递性和本原性等概念，得到了高于四次的一般方程的不可解性。并强调置换本身的研究。但他的证明是不完整的。
沿着这种趋向，在拉格朗日和鲁菲尼工作的影响下，柯西以置换理论为研究“目的”，使其成为一门独立的研究领域，并实现了向置换群论的转变。1815 年，柯西发表了关于置换群的重要文章。他以方程论为背景，证明了不存在n 个字母（n 次）的群，使得它对n 个字母的整个对称群的指数小于不超过n 的最大素数，除非这个指数是2 或1。
在19 世纪，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，被法国青年数学家伽罗瓦和挪威数学家阿贝尔彻底解决，从而推动了数学的发展，更为重要的是，他们在解决这一问题时引入了一种新的概念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展特别是代数学的发展起着巨大的关键性的作用。也因此可以说，阿贝尔与伽罗瓦是群论与抽象代数的创始人。利用置换群，伽罗瓦使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式，他引进了正规子群、两个群同构、单群与合成群等概念，成功的解决了代数方程是否可用根式求解的问题。然而，这种新的思维方式当时并未引起人们足够的重视。直到1846 年刘维尔出版了伽罗瓦的手稿，他的这种思想方法才逐渐被接受，并产生了重要的影响。
柯西在1844-1846 年间，写了一大批文章全力研究置换群。他把许多已有的结果系统化，证明了伽罗瓦的断言：每个有限置换群，如果它的阶可被一个素数p 除尽，就必他还研究了n 个字母的函数在子母交换下所能取得形式值定至少包含一个p 阶子群。（即非数字值），并找出一个函数，使其取给定数目的值。置换群的理论（主要指伽罗瓦的工作）在1870 年由若尔当整理在他的《置换与代数方程》之中，他本人还发展了置换群理论及其应用。
伽罗瓦在这方面的工作现已经发展成为代数学中一种专门的理论——伽罗瓦理论。在几乎整整一个世纪，伽罗瓦的思想对代数学的发展期了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的子同构群的对偶定理。随着20 世纪20 年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。伽罗瓦理论还特别对尺规作图问
题给出完全的刻画。
中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。当中已在许多方面取得了有意义和重要的成就，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。华罗庚先生于 1930年 12 月出版的《科学》15 卷 2 期上发表文章《苏家驹之代数的五次方程式不能成立之理由》而得到熊庆来推荐称为清华大学数学系的助理员，由此为起点而打开了通往抽象数学研究的大门。
综合看来，置换群论研究起源于代数方程论的研究，代数思维方式的转变是其产生与发展的重要原因。虽然起步较晚，但是发展迅速。通过“数计算”的研究向“符号结构”观念的研究的转变，为置换群论在解决实际问题上的应用的推广起到了非常关键的一步。
2预备知识
2.1置换群的基本定义
定义1..任一集合A 到自身的映射都叫做A 的一个变换，如果A 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A 的一个置换。有限集合A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。
2.含有n 个元素的有限群A 的全体置换作成的群，叫做n 次对称群。通常记为n S 。
【说明】：由定义知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对称群n S 也就是有限集合A 的完全变换群。
例： 设{
}3 , 2 , 1 =A ,那么A 的全部一一变换构成的三次对称群为 {}5432103,,,,,ππππππ =S .其中
???? ??=3213210 π,???? ??=2313211 π,???? ??=3123212 π ，???? ??=1323213 π,
???? ??=2133214 π, ???? ??=1233215 π
所以3次对称群的阶是6.其中0π是恒等变换.即0π是3S 的单位元.
定理.n 次对称群n S 的阶是!n .
证明：我们要作n 个远的一个置换，就是要替每一个元选定一个对象，我们替每一个元选定一个对象，我们替a1选定对象时有n 个可能，选定了以后，再替a2选时，就只有n-1个可能,这样下去，一共可以得到!n 个不同的置换。所以命题得证。
2.2置换的记法
现在我们要看看表示一个置换的符号。这种符号普遍有两种，我们先说明第一种。现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。即π: 1a 2a ,2a 3a , 3a 1a ,利用教材中特定的表示方法有：21a a =π，32a a =π，13a a =π.
由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证{
}3 , 2 , 1 =A .故此. π:1 2,2 3,3 1.稍做修改: π：21
↓ 32↓ 13↓ ? π=
???? ??132321 .用π=???? ??132321 来描述A 的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为
???? ??123312 ，???? ??321213 …,但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它为三元置换.
以上的表示不仅是一个符号。因为不管上一行的n 个数字的次序如何，这样一个符号都能具体的告诉我们，它所在的置换π是怎样的一个置换：换一句话说，它能告诉我们，经过这个π，某一个元的象是什么，我们只需在上一行把i 找到，然后看一看i 底下是一个什么数字就行了。因此利用这种符号可以直接来计算两个置换的乘积。
2.3置换的乘积
设{}3 , 2 , 1 =A 的任二个置换 ???? ??=132321 π,
???? ??=213321 τ,那么由于π和τ都是一一变换,于是πτ也是A 的一一变换.且有 πτ:1→1,2→2,3→3.
用教材的记法为:11=πτ,22=πτ,33=πτ.
换句话说:
???? ??=???? ?????? ??=321321123321132321
τπ 例 计算下列置换的乘积:
(1) πτ, (2) 2π, (3) 2πτ. 解:
???? ??=???? ?????? ??=321321132321213321 πτ
???? ??=???? ?????? ??=2133213213213213212
π ()ττπτπτ=???? ??=???? ?????? ??==2133213213212133212 【说明】:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯方法不同的.
2.4循环置换
前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍一种记法.设有8元置换
???? ??=8761253487654321 π,π的变换过程为153241→→→→→,即其他元素都不改变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换可写成循环置换的形
式:()53241
=π 【说明】:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为序,表
达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出
来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换()53241
=π” ②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.
()()() ====324154153253241 π
这是 因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.
③.8S 的单位(恒等置换)()()() ====3210π同上,习惯写成()10=π.
定义. n S 中的一个将1i 变到2i ，2i 变到k i i ,,3 变回到1i 而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化的置换，叫做k —循环置换（或称k —循环）,记为(
k i i i i 321,,) 例．在5S 中.
()3215413254321 =???? ?? 叫作3—循环置换.
()543211543254321 =???? ?? 叫作5—循环置换.
()15432154321=???? ?? 叫作1—循环置换.
2.5循环置换分解定理
很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换.比如5元置换
???? ??=1254354321
τ不可能是循环置换，但我们会发现 ()()(*)42531523415432114523543211254354321 =???
? ?????? ??=???? ??=τ
可见，τ虽不是循环置换，但它是循环置换之积。
定义. 设()k i i i ,,,21 =π和()s j j j ,,,21 =τ都是循环置换.
如果π与τ不含相同的文字，那么称π与τ是不相连的.
（循环置换分解定理）每一个n 元置换都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积.
证明：设π是n S 中任一个n 元置换，下面对π中改变文字的个数用数学归纳法。
如果π使{}n ,,3,2,1 中每个文字都不发生改变，则π是恒等置换.即()1=π，定理2成立. 假设π最多变动)(1n r r ≤-个文字时，定理成立。现考察π变动了r 个元的情形： 首先在被π变动的文字中随意取一个文字1i ，从1i 出发找到1i 在π下的象2i ,再找2i 的象3i ,… ,直到找到k i ，其中：
1i i k ?→?π.于是1321i i i i i k ?→??→??→??→??→?
πππππ 因为π只变动了r
r 个文字，故r k ≤.如果r k =，则π本身就是一个r —循环置换:()k i i i ,,,21 =π定理证毕。如果r k <，模仿(*)的做法。
???
?
??=++++n r r k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 1''11321121 π ()()1211''11111211''11111111321121πk n r r k k n r k k n n r r k k n r r k k n r r k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i =???
? ??=???
? ?????? ??=++++++++++++
由于π中只变动了r 个文字，1π∴中只能变动r k r <-个文字.由归纳假设，1π必可以写成若干个不相连的循环置换之积:m ηηηπ 211=
还需特别说明:1π中的所有循环置换
m ηηη,,,21 中不可能再出现k i i i ,,,21 ,否则,
当 ()k
p i i g p t ≤= η，因为m ηηη,,,21 是互不相连,p i ?只在t η中出现.1π ?，将
g p i i →，但前面已有???? ??=++++n r r k k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 1''12111211 π 即1π将使p i 保持不动，这样就导出了矛盾. 这恰说明：()m k i i i ηηηπ2121 =是互不相连的循环置换之积.
【明示】：将置换写成不互相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法。
3.置换的性质
3.1循环置换的性质
问题1.3S 是一个3阶群（三次对称群），所以3S 中每个元素的阶自然都是以有限的，那
么具体是多少呢？比如：
()321132321 =????
??=π,则()()()2313213212 ==π, ()()()132123123 ==πππ.∴3=π
这里π是3-循环置换，恰好π的阶是3.这不是巧合,我们有：
结论1. k —循环置换()k i i i 21=π的阶就是k
解释：k —循环置换()k i i i 21=π的一次方则将1i 变成2i ，二次方则将1i 变成
3i ，k 次方则将1i 变回到1i ，其余文字也是如此。所以，当k m <时，
()1≠m π而()1=k π. ∴k =π.
问题2.每个置换π都是双射，那么π的逆置换也必是双射?必也是置换，那么1-π会是
什么样子呢？
设
???? ??=???? ??=????? ??=-3145254321543212351423514543211
ππ
若将π表成循环置
()()43521253411 -?=ππ 【说明】：循环置换π的逆置换1
-π就是将每个文字的变动方向反向.
结论2:k —循环置换()k i i i 21=π的逆置换也是循环置换且()1211i i i i k k --=π
问题3.由前已知,两个变换一般是不能交换的,所以,两个置换一般也不能交换的.但是我
们会发现.
设()()τππττπ=?==
54,231 结论3.两个不相连的k —循环置换是可以交换的。
结论4.任一个k —循环置换
()()()()()()()()()k k k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 1321111312121--=== π
定义.每个2—循环置换都叫做一个对换.利用结论4,我们有:
结论5.每个n 元置换都能表示成若干个对换的乘积。
结论4是“因地制宜”——用现有的文字构成对换之积，有时我们需要一些其他文字“加入”对换之中,于是有了
结论6.设()k i i i j 21?.且()()()12121i j i i i j i i i k k =
3.2．置换的奇偶性.
虽然由结论4,5可知,每个置换都能写成对换之积.且对换之积的表示形式不是唯一的.
(比如()()()()4321432143124321 ==???? ??)
但对换个数的奇偶性是不会改变的。
结论1.任意一个置换表成对换之积时，表示式中对换个数的奇偶性不变.
定义.一个置换π叫做偶(奇）置换π?可以表成偶(奇)数个对换之积.
利用结论4知.我们能很容易地判断出循环置换的奇偶性.
结论2.一个k —循环置换π是偶(奇)置换k ?为奇(偶)数.
考察下面的例子:24!44==S .而4S 中全部偶置换共有12
个:);341();431();241();421();231();321();1{( 4)}32)(41();42)(31();43)(21();342();432(A = 那么4A 就是4S 中的一切偶置换组成的集合,对于置换的乘法,能发现:
（1）4A 中乘法封闭
（2）4A 中乘法满足结合律
（3）4A 中有单位元
（4）4A 中每个置换有逆元, 逆元也在4A 中(
所以由结论2)4A 是一个群,这个特殊的置换群习惯是上称为4次交换群.
定义.n 次对称群n S 中全部偶置换组成的集合n A 构成一个群.叫做n 次交错群.其
中:2!
21n
S A
n n ==.
利用Cayley 定理:每个有限群G 都与某个置换群同构.
例:
给出下列6元置换.
???? ??=???? ??=???? ??=25
461365
4321;456132654321;245316654321 ρτπ （1） 求1-π,1-ρ,1-τ;
（2） 求πτ, τρ
（3） 求π, τ和ρ的组织置换表达式,并求出τπ1-和1-ρτ,πτ.
（4）求π
,
τ
,
ρ
，
（5）将π,τ,ρ和πρ写成对换之积,并判断其奇偶性.
解:（1)
；
；
??
?
?
?
?
=
??
?
?
?
?
=-
-
4
5
6
2
1
3
6
5
4
3
2
1
1
4
5
3
6
2
6
5
4
3
2
1
1
1τ
π
??
?
?
?
?
=
3
5
4
1
6
2
6
5
4
3
2
1
1-
ρ
（2)
??
?
?
?
?
=
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
=
3
6
5
1
2
4
6
5
4
3
2
1
4
5
6
1
3
2
6
5
4
3
2
1
2
4
5
3
1
6
6
5
4
3
2
1
πτ
??
?
?
?
?
=
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
=
4
5
2
3
6
1
6
5
4
3
2
1
2
5
4
6
1
3
6
5
4
3
2
1
4
5
6
1
3
2
6
5
4
3
2
1
τρ
（3)
()()()()()2
6
3
1
6
4
3
2
1
5
4
2
6
1
；
；
=
=
=ρ
τ
π
()()()()()()6
5
4
2
3
1
6
4
3
2
1
5
4
6
2
1
1
=
=
-τ
π
()()()()()3
6
5
4
1
6
4
3
2
1
5
4
2
6
1
=
=
πτ
（4)
[][]4
6
2
3
6
2
3
4=
=
=
=
=ρ
τ；
，
；
，
（5)
()()()()()()()()()2
1
6
1
3
1
6
4
3
1
2
1
5
4
2
1
6
1
；
；
=
=
=ρ
τ
π
()()()()()()()()()5
4
6
1
3
1
2
1
5
4
6
3
2
1
2
6
3
1
5
4
2
6
1
=
=
=
πρ
∴π是奇置换；τ是奇置换；ρ是奇置换；πρ是偶置换。
参考文献：
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［7］邓明立《试论伽罗瓦的群结构思想》
［8］黄建华，李世荣《有限群导引》
［9］胡冠章《应用近世代数》
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［12］冯进“群概念的演变及发展”内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）
［13］邓明立“伽瓦罗理论的传播与发展”
［14］孙宗明“n次对称群Sn及其元素的阶”河套大学学报
［15］吴校良“有限群中元素奇偶性的讨论”内蒙古民族大学学报
［16］温耀华：“置换对换与轮换”江西师范大学学报（自然科学版）
The theory of Permutation group
summary：The purpose of this paper is to based on the basic theory of the permutation group, such as the concept of the permutation group, notation, and the product, the permutation group in the basic nature of the group theory, the theory, especially including the displacement, exchange and the relationship of the permutation group, etc, especially the decomposition theorem of cyclic displacement and other properties.
key word: permutation group switc h Cyclic displacement decomposition exchange