定积分典型例题
例1 求332
1lim
)n n n →∞+．
分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．
解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n
?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘
入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
332
1lim
)n n n →∞+=3
1lim )n n n n →∞+=34
=?．
例2 0
?
=_________．
解法1 由定积分的几何意义知，0
?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)
与x 轴所围成的图形的面积．故0
?
=
2
π
． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2
2
t π
π
-
≤≤
），则
?
=2
2
tdt ππ-
?
=2tdt =220
2cos tdt π
?=
2
π 例3 比较1
2
x e dx ?，2
1
2
x e dx ?，1
2
(1)x dx +?．
分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．
解法1 在[1,2]上，有2
x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又
1
22
1
()()f x dx f x dx =-?
?，从而有2
111
2
2
2
(1)x x x dx e dx e dx +>>???．
解法2 在[1,2]上，有2
x
x e e ≤．由泰勒中值定理2
12!
x
e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到
1
2
2
1
()()f x dx f x dx =-?
?．因此
2
1
11
2
2
2
(1)x x x dx e dx e dx +>>?
??．
例4 估计定积分2
2
x
x
e dx -?的值．
分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2
()x
x
f x e -=, 因为 2
()(21)x
x
f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点1
2
x =
, 而 0
(0)1f e ==, 2
(2)f e =, 141
()2
f e -=,
故
124
(),[0,2]e
f x e x -≤≤∈,
从而
2
12
24
022x
x
e
e dx e -
-≤≤?,
所以
210
2
4
2
22x x
e e
dx e -
--≤≤-?.
例5 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (b
a
n g x →∞?．
解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()
0f x >知0M >，0m >．又()0g x ≥，则
()b a
g x dx (b a
g x ≤?()b
a
g x dx ≤．
由于1n n =，故
lim (b a
n g x →∞?=()b
a
g x dx ?．
例6求sin lim n p
n
n x
dx x
+→∞?
, ,p n 为自然数． 分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．
解法1 利用积分中值定理 设 sin ()x
f x x
=
, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξ
ξ
+=??, [,]n n p ξ∈+, 当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故
sin sin lim lim 0n p
n
n x dx p x
ξξ
ξ+→∞→∞=?=?
．
解法2 利用积分不等式 因为
sin sin 1ln n p
n p n p n
n n x x n p dx dx dx x x x n
++++≤≤=?
??,
而limln
0n n p
n
→∞
+=,所以 sin lim 0n p
n
n x
dx x
+→∞=?
． 例7 求1
0lim 1n
n x dx x
→∞+?．
解法1 由积分中值定理
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?可知
1
01n
x dx x +?=
1
11n x dx ξ
+?
，01ξ≤≤．
又
1
1
lim lim
01n n n x dx n →∞→∞==+?且11121ξ
≤
≤+， 故
1
0lim 01n n x dx x
→∞=+?． 解法2 因为01x ≤≤，故有
01n
n x x x
≤≤+． 于是可得
1
100
01n
n x dx x dx x ≤≤+??．
又由于
1
1
0()1
n x dx n n =
→→∞+?
． 因此
1
0lim 1n
n x dx x
→∞+?=0． 例8 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1
)内可导，且34
1
4()(0)f x dx f =?．证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=．
分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件()(0)f f ξ=即可． 证明 由题设()f x 在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得
3413
(0)4()4()(1)()4
f f x dx f f ξξ==-=?，
其中3
[,1][0,1]4
ξ∈?．于是由罗尔定理，存在(0,)(0,1)c ξ∈?，使得()0f c '=．证毕．
例9 （1）若2
2
()x t x
f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0
()()x
f x xf t dt =?，求()f x '=___．
分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可
()
()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx
''=-?． 解 （1）()f x '=42
2x x xe e ---；
（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x
f x x f t dt =?，则
可得
()f x '=0()()x
f t dt xf x +?．
例10 设()f x 连续，且31
()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．
解 对等式310
()x f t dt x -=?
两边关于x 求导得
32(1)31f x x -?=，
故321(1)3f x x -=
，令3
126x -=得3x =，所以1(26)27
f =
． 例11
函数1()(3(0)x F x dt x =->?的单调递减开区间为_________．
解
()3F x '=-，令()0F x '<
3>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求． 例12 求0
()(1)arctan x
f x t tdt =-?的极值点．
解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：
故1x =为()f x 的极大值
点，0x =为极小值点．
例13 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中
2
arcsin 0
()x t g x e dt -=?
，[1,1]x ∈-，
试求该切线的方程并求极限3
lim ()n nf n
→∞．
分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．
解 由已知条件得
2
0(0)(0)0t f g e dt -===?，
且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知
(0)(0)1f g =''==．
故所求切线方程为y x =．而
3
()(0)
3
lim ()lim33(0)330
n n f f n nf f n n
→∞→∞-'=?==-． 例14 求 2
20
00
sin lim
(sin )x x x
tdt
t t t dt
→-??
；
分析 该极限属于
型未定式，可用洛必达法则． 解 2
2000
sin lim (sin )x x x
tdt
t t t dt
→-?
?=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-??-=220()(2)lim sin x x x x →-?-=3
04(2)lim 1cos x x x →-?-
=2
012(2)lim sin x x x
→-?=0．
注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．
例15 试求正数a 与b
，使等式2
01lim
1sin x x x b x →=-?成立． 分析 易见该极限属于
型的未定式，可用洛必达法则． 解
2001lim sin x x x b x →-?
=2
0x →
=20lim 1cos x x x b x →→-
2
011cos x x b x
→=
=-， 由此可知必有0
lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由
2011cos x x x →==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求．
例16 设sin 20
()sin x f x t dt =?
，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）．
A ．等价无穷小．
B ．同阶但非等价的无穷小．
C ．高阶无穷小．
D ．低阶无穷小．
解法1 由于 223
00()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x
g x x x →→?=+
2200cos sin(sin )
lim lim 34x x x x x x
→→=?+ 22011lim 33
x x x →==．
故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．
解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到
sin 223370
111
()[()]sin sin 3!342
x f x t t dt x x =-
+=-+
?
，
则
34434
00011
11
sin (sin )
sin ()1
342342lim lim lim ()13
x x x x x x f x g x x x x
→→→-+
-+
===++． 例17 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有
()b
a
xf x dx ?
()2b
a
a b f x dx +≥
?． 证法1 令()F x =()()2x x
a
a
a x tf t dt f t dt +-??，当[,]t a x ∈时，()()f t f x ≤，则 ()F x '=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--?=1()()22
x
a x a f x f t dt --? ≥
1()()22x a x a f x f x dt --?=()()22
x a x a
f x f x ---0=． 故()F x 单调增加．即 ()()F x F a ≥，又()0F a =，所以()0F x ≥，其中[,]x a b ∈． 从而
()F b =()()2b
b
a a
a b xf x dx f x dx +-
??0≥．证毕． 证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22
a b a b
x f x f ++--0≥，从而 ()[()()]22
b
a
a b a b
x f x f dx ++-
-?
0≥． 即
()()2b
a
a b x f x dx +-
?
()()22b a a b a b x f dx ++≥-?=()()22
b a a b a b
f x dx ++-?=0．
故
()b
a
xf x dx ?
()2
b
a a
b f x dx +≥
?． 例18 计算2
1||x dx -?．
分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
解 2
1||x dx -?＝0
2
10
()x dx xdx --+??＝220210[][]22
x x --+＝5
2．
注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3322
2111[]6dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数2
1
x 在0x =处间断且在被积区间内无界.
例19 计算2
20
max{,}x x dx ?．
分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数
212
()01
x x f x x x ?<≤=?
≤≤?． 解 232
12
2
2
12010
1
1717
max{,}[][]23236
x x x x dx xdx x dx =+=+=+=???
例20 设()f x 是连续函数，且10
()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b
a f x dx ?是常数（,a
b 为常数）．
解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10
()f t dt ?是常数，记1
()f t dt a =?，则
()3f x x a =+，且11
(3)()x a dx f t dt a +==??．
所以
2101[3]2x ax a
+=，即1
32
a a +=， 从而14a =-，所以 3
()4
f x x =-．
例21 设23, 01()52,12
x x f x x x ?≤<=?-≤≤?，0
()()x F x f t dt =?，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()
F x 的连续性．
分析 由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论． 解 （1）求()F x 的表达式．
()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ?, 因此
23300
()()3[]x
x
x
F x f t dt t dt t x ====??．
当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x =, 因此, 则
1201
()3(52)x
F x t dt t dt =+-??=31201[][5]x
t t t +-=235x x -+-，
故
3
2
, 01()35,12x x F x x x x ?≤
． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于
21
1
lim ()lim(35)1x x F x x x ++→→=-+-=, 31
1
lim ()lim 1x x F x x --
→→==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．
错误解答 （1）求()F x 的表达式, 当[0,1)x ∈时，
23300
()()3[]x
x
x
F x f t dt t dt t x ====??．
当[1,2]x ∈时，有
()()x
F x f t dt ==
?0
(52)x
t dt -?
=25x x -．
故由上可知
32
, 01
()5,12x x F x x x x ?≤
． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于
21
1
lim ()lim(5)4x x F x x x ++→→=-=, 3
1
1
lim ()lim 1x x F x x --
→→==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处不连续, 从而()F x 在[0,2]上不连续．
错解分析 上述解法虽然注意到了()f x 是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因 为当[1,2]x ∈时，0()()x
F x f t dt =?中的积分变量t 的取值范围是[0,2]，()f t 是分段函数，
10
1
()()()()x x
F x f t dt f t dt f t dt ==+???
才正确．
例22 计算21
-?
．
分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 21
-?
=21
1
--+?
?
2是偶函数，而
是奇函数，有1
0-=?, 于是
21
-?=2
1
4?=04?=1044dx -??
由定积分的几何意义可知4
π
=
?, 故
21
1
4444
dx π
π-=-?
=-?
?．
例23 计算3
1
2
e e
?．
分析 被积函数中含有
1
x
及ln x ，考虑凑微分．
解
3
4
1
e e ?
=3
4e 3
1
2
e e
?=?
=3
4
12
e e =
6
π．
例24 计算4
sin 1sin x
dx x
π
+?．
解
40
s i n 1s i n
x dx x π
+?
=420sin (1sin )1sin x x dx x π--?=24
4200sin tan cos x dx xdx x ππ-?? =24
420
0cos (sec 1)cos d x
x dx x
π
π
---?
?
=4
4001[
][tan ]cos x x x ππ
--=24
π- 注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．
例25 计算20a
?，其中0a >．
解
20
a
?
=20
a
?，令sin x a a t -=，则
2
a
?
=3
2
22
(1sin )cos
a
t tdt π
π-+?
=3
22
2cos 0a
tdt π
+?
=
32
a π
．
注 sin x a t =或cos x a t =． 例26 计算
a
?
，其中0a >．
解法1 令sin x a t =，则
a
?
2
cos sin cos t
dt t t
π
=+?
201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t
π++-=+? 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t t
π'
+=+
+? []201ln |sin cos |2t t t π=++=4
π． 解法2 令sin x a t =，则
a
?
=2
cos sin cos t
dt t t
π
+?．
又令2
t u π
=
-，则有
20cos sin cos t dt t t π
+?=2
0sin sin cos u du u u π
+?．
所以，
a
?
=22
001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t t
t t ππ
+++??=2012dt π?=4π．
注 如果先计算不定积分
，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复
杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．
例27 计算ln 0
?
．
分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．
解 设u 2ln(1)x u =+，2
21
u
dx du u =
+，则
ln 0
?
=22220(1)241u u u du u u +?=++?2
2222200442244
u u du du u u +-=++?? 2
2
2
1
284
du du u =-=+??
4π-． 例28 计算
22
()x d tf x t dt dx -?，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．
解 由于
220
()x
tf x t dt -?
=
22201()2
x
f x t dt -?． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以
22
0()x tf x t dt -?=201()()2x f u du -?=201()2x f u du ?，
故
220()x d tf x t dt dx -?=201[()]2x d f u du dx ?=2
1()22
f x x ?=2()xf x ． 错误解答
22
()x d tf x t dt
dx -?22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式
()()()x
a
d x f t dt f x dx 'Φ==?
中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．
例29 计算30
sin x xdx π
?．
分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．
解
30
sin x xdx π
?
30
(cos )xd x π=-?330
[(cos )](cos )x x x dx ππ=?---?
30
cos 6
xdx π
π
=-
+?6
π=
-．
例30 计算1
2
0ln(1)
(3)x dx x +-?
．
分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．
解 120ln(1)(3)x dx x +-?=101ln(1)()3x d x +-?=11
00111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-?--+? =101111
ln 2()2413dx x x
-++-?
11
ln 2ln324
=-． 例31 计算20
sin x e xdx π
?．
分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．
解 由于2
sin x
e xdx π?20
sin x
xde π=?220
[sin ]cos x
x e x e xdx ππ=-?
2
20
cos x e e xdx ππ=-?， （1）
而
20
cos x
e xdx π
?
20
cos x
xde π
=?220
[cos ](sin )x
x e x e x dx ππ=-?-?
20
sin 1x e xdx π
=-?， （2）
将（2）式代入（1）式可得
20
sin x
e xdx π
?
2
20
[sin 1]x e e xdx π
π=--?,
故
20
sin x
e xdx π
?
21(1)2
e π
=+．
例32 计算1
0arcsin x xdx ?．
分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．
解 1
0arcsin x xdx ?21
0arcsin ()2x xd =?2211
00[arcsin ](arcsin )2
2x x x d x =?-? 2
1
142π
=-?
． （1） 令sin x t =，则
21
?
20
sin t π
=?220
sin cos cos t
tdt t
π
=??
220sin tdt π
=?
20
1cos 22t dt π
-==?20sin 2[]24t t π-4
π
=． （2） 将（2）式代入（1）式中得
1
arcsin x xdx =
?
8
π．
例33 设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0
[()()]cos 2f x f x xdx π
''+=?，
求(0)f '．
分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0
[()()]cos f x f x xdx π''+?0
()sin cos ()f x d x xdf x ππ
'=+??
[]000
{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππ
π
π'''=-++??
()(0)2f f π''=--=．
故 (0)f '=2()235f π'--=--=-． 例34（97研） 设函数()f x 连续，
1
()()x f xt dt ?=?，且0
()
lim
x f x A x
→=（A 为常数）
， 求()x ?'并讨论()x ?'在0x =处的连续性．
分析 求()x ?'不能直接求，因为1
0()f xt dt ?中含有()x ?的自变量x ，需要通过换元将x
从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x ?'，最后用函数连续的定义来判定()x ?'在0x =处的连续性．
解 由0
()
lim
x f x A x
→=知0lim ()0x f x →=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0?=．
当0x ≠时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1
dt du x
=，则
()()x
f u du x x
?=
?
，
从而
02
()()()(0)x
xf x f u du
x x x
?-'=
≠?．
又因为0
2
()()(0)
()lim
lim
lim
22x
x x x f u du x f x A x x x ??→→→-===-?，即(0)?'=2
A
．所以 ()x ?'=02()(),0,02
x xf x f u du x x A
x ?-?≠??
?=???． 由于
2
20
00()()()()lim ()lim
lim lim
x
x
x x x x xf x f u du
f u du f x x x
x x ?→→→→-'==-??=(0)2
A ?'=． 从而知()x ?'在0x =处连续．
注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：
（1）直接求出
02
()()()x
xf x f u du
x x
?-'=
?，
而没有利用定义去求(0)?'，就得到结论(0)?'不存在或(0)?'无定义，从而得出()x ?'在0x =处不连续的结论．
（2）在求0
lim ()x x ?→'时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致
()()()1
lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x ?→→'+-''=
=
又由0()
lim
x f x A x
→=用洛必达法则得到0lim ()x f x →'=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法
则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．但题设中仅有()f x 连续的条件，因此上面出现
的0
lim ()x f x →'是否存在是不能确定的．
例35（00研） 设函数()f x 在[0,]π上连续，且
()0f x dx π
=?
，0
()cos 0f x xdx π
=?．
试证在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ使得12()()0f f ξξ==．
分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()x
F x f t dt =?，找出()F x
的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F π==，0x =，x π=为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)π之间存在两个零点．
证法1 令0()(),0x
F x f t dt x π=≤≤?，则有(0)0,()0F F π==．又
00
()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx π
ππ
π==+?
??
()sin 0F x xdx π
==?，
由积分中值定理知，必有(0,)ξπ∈，使得
()sin F x xdx π
?
=()sin (0)F ξξπ?-．
故()sin 0F ξξ=．又当(0,),sin 0ξπξ∈≠，故必有()0F ξ=．
于是在区间[0,],[,]ξξπ上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在
1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈，
使得
12()()0F F ξξ''==，即12()()0f f ξξ==．
证法2 由已知条件0
()0f x dx π
=?及积分中值定理知必有
10
()()(0)0f x dx f π
ξπ=-=?
，1(0,)ξπ∈，
则有1()0f ξ=．
若在(0,)π内，()0f x =仅有一个根1x ξ=，由0
()0f x dx π
=?知()f x 在1(0,)ξ与1(,)ξπ内
异号，不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <，由
()cos 0f x xdx π
=?
，0
()0f x dx π
=?，
以及cos x 在[0,]π内单调减，可知：
10
0()(cos cos )f x x dx πξ=-?=1
1
110
()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx ξπ
ξξξ-+-??0>．
由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2ξ，12ξξ≠且2(0,)ξπ∈使得
12()()0.f f ξξ==
例36 计算20
43
dx
x x +∞
++?
．
分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解
20
43dx x x +∞
++?
=20lim 43t t dx x x →+∞++?=0111lim ()213
t t dx x x →+∞-++?
=011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233
t t t →+∞+-+ =
ln 3
2． 例37
计算3
+∞
?
．
解
3
+∞
?
2
23
3
sec tan sec tan d π
π
θθ
θθθ
+∞
=?
?
23
cos 1d π
πθθ==? 例38
计算4
2
?
分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当
3
2
)?
4
3
?
解 由于
3
2
?
3
2
lim a
a +→?
3
2
lim a
a +→?
=32
lim[arcsin(3)]a a x +
→-=2
π．
4
3
?
34
lim b
b -→?
3
4
lim b
b -→?
=34
lim[arcsin(3)]b b x -
→-=2
π． 所以
4
2
?
2
2
π
π
π=
+
=．
例39
计算0
+∞
?
．
分析 此题为混合型反常积分，积分上限为+∞，下限0为被积函数的瑕点． 解
t ，则有
+∞
?
＝50
22
2(1)
tdt t t +∞
+?
＝50
22
2(1)
dt t +∞
+?
，
再令tan t θ=，于是可得
50
22
(1dt t +∞
+?
＝250
22
tan (tan 1)
d π
θθ+?
＝2250
sec sec d π
θθθ
?
＝230sec d π
θ
θ? ＝3
2
cos d π
θθ?＝220
(1sin )cos d πθθθ-?
＝220
(1sin )sin d π
θθ-?
＝3/2
1[sin sin ]3πθθ-＝23
． 例40
计算2
1
?． 解 由于
2
21
11211
1()
)d x x x +
-==?
??，
可令1
t x x
=-
，则当x =
时，t =；当0x -→时，t →+∞；当0x +→时，t →-∞；
当1x =时，0t =；故有
2
1
0102
11
()()
)2()d x d x x x x x
--=++-?
??
02
2dt t +∞
-∞=+?
?
1
arctan )2
π=
+ ． 注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．
例41 求由曲线1
2
y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．
分析 若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量．
解 选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ∈，则面积元素为
dA =1|2|3y y dy -
=1
(2)3
y y dy -．
于是所求面积为
211(2)3A y y dy =-?=5
2
．
例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．
解 抛物线2
2y x =与圆2
2
8x y +=的交点分别为(2,2)与
(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，
记它们的面积分别为1S ，2S ，则有
图5－2
1S =22
2)2y dy -?=244
88cos 3d π
πθθ--?=423π+，218S A π=-=4
63π-，于是
12
S S =4
23463
ππ+-
=3292ππ+-．
例43 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积．
分析 心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．
解 求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交点为
(,)ρθ=3(,)23
π
±，由图形的对称性得心形线1cos ρθ=+与
圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为
图5－3
A =2
23203112[(1cos )(3cos )]22
d d π
π
πθθθθ++??=54π．
例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．
分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．
解 设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c
-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线
ln y x =所围成的平面图形的面积为
图5－4
A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-?=4
4(1)4ln 46ln 62ln 2c c
-++-+．
由于
dA dc =2164c c
-+=24
(4)c c --，
令
0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dA dc
<，而当4c >时0dA
dc >．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：
1
1ln 44
y x =
-+． 例45 求圆域222()x y b a +-≤（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．
解 如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为
2y b =
下半圆周的方程为
1y b =
图5－5
则体积元素为
3
πθ=
3cos ρθ
=3
211
-o
1
1
-cos ρθ
+
dV =2
221()y y dx ππ-
=4π．于是所求旋转体的体积为
V
=4a
b π-?
=0
8b π?
=2
84
a b ππ?
=222a b π．
注 可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．
例46（03研） 过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．
（1）求D 的面积A ；
（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V ． 分析 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积
A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行
图5－6
计算，如图5－6所示．
解 （1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是
000
1
ln ()y x x x x =+
-． 由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1
y x e
=．从而D 的面积
1
0()12
y e
A e ey dy =-=
-?． （2）切线1
y x e =与x 轴及直线x e =围成的三角形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为
211
3
V e π=，
曲线ln y x =与x 轴及直线x e =围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为
1222011()(2)22
y V e e dy e e ππ=-=-+-?．
因此，所求体积为
212(5123)6
V V V e e π
=-=
-+．
例47 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．
解 选x 为积分变量且[0,2]x ∈．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x 轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，
其底边长为得等边三角形的面积为
图5－7
()A x 2=． 于是所求体积为 V =2
()A x dx ?
=2
?=．
例48（03研） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k ，0k >），汽锤第一次击打进地下a （m ），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r （01r <<）．问：
（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米） 分析 本题属于变力作功问题，可用定积分来求．
解 （1）设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为n W （1n =，
2，）．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以 1
2211022x k k W kxdx x a ==
=?，21
22222211()()22
x x k k
W kxdx x x x a ==-=-?．
由21W rW =得
22221x x ra -=，即 222(1)x r a =+，
32
22223323()[(1)]22
x x k k
W kxdx x x x r a ==-=-+?．
由2321W rW r W == 得
22223(1)x r a r a -+=，即 2223(1)x r r a =++．
从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下3x =m ）．
（2）问题是要求lim n n x →∞
，为此先用归纳法证明：1n x +=
假设n x ，则
1
22
11()2n n
x n n n x k W kxdx x x +++==-?
2121[(1...)]2
n n k
x r r a -+=-+++．
由
2111...n n n n W rW r W r W +-====，
得
21221(1...)n n n x r r a r a -+-+++=．
从而
1n x +.
于是
1lim n n n x +→∞==．
()
m．
例49有一等腰梯形水闸．上底为6米，下底为2米，高为10
米．试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力．
解建立如图5－8所示的坐标系，选取x为积分变量．则过点
(0,3)
A，(10,1)
B的直线方程为
1
3
5
y x
=-+．
于是闸门上对应小区间[,]
x x dx
+的窄条所承受的水压力为
2
dF xy gdx
ρ
=．故闸门所受水压力为
F=10
1
2(3)
5
g x x dx
ρ-+
?=500
3
g
ρ，其中ρ为水密度，g为重力加
速度．
图5－8
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各 项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π． 例18 计算 2 1 ||x dx -? ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 ||x dx -? ＝02 1 ()x dx xdx --+?? ＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且1 ()3()f x x f t dt =+? ，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而 1 ()f t dt ? 是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??． 所以
定积分与微积分 一、知识回顾： 1.用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和： 1 ()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限： () 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑? 2.曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =? ； 变力做功 ()b a W F r dr = ? . 3.定积分有如下性质： 性质1 =?b a dx 1 性质2 =? b a dx x kf )( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 ?=±b a dx x f x f )]()([2 1 （定积分的线性性质） 性质4 ??? +=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 其中（b c a <<） 4.定积分的计算（微积分基本定理） （1）（牛顿——莱布尼兹公式）若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么有 二、常考题型： 一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、1 C 、 D 、 2.由曲线y=x 2 ，y=x 3 围成的封闭图形面积为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ? -==b a b a a F b F x F dx x f ) ()()()(
3.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A 、 B 、4 C 、 D 、6 4. ? +1 )2(dx x e x 等于（ ） A 、1 B 、e ﹣1 C 、e D 、e 2 +1 5. ? 4 2 1 dx x dx 等于（ ） A 、﹣2ln2 B 、2ln2 C 、﹣ln2 D 、ln2 6. dx x ?--2 2 )cos 1(π π等于（ ） A 、π B 、2 C 、π﹣2 D 、π+2 7. 已知则? -= a a xdx 2 1 cos （a ＞0），则?a xdx 0cos =（ ） A 、2 B 、1 C 、 D 、 8. 下列计算错误的是（ ） A 、 ?- =π π 0sin xdx B 、 ? = 1 32dx x C 、 ?? -=22 2 cos 2cos π ππ xdx xdx D 、 ?- =π π0sin 2 xdx 9 计算dx x ? -2 24的结果是（ ） A 、4π B 、2π C 、π D 、 10. 若 0)32(0 2=-? dx x x k ，则k 等于（ ） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是（ ） ①∑?=?= n i n n i dx x 133 1 031；②∑?=?-=n i n n i dx x 131031)1( ；③∑?=∞→?=n i n n n i dx x 1331031lim 。 A .0 B .1 C .2 D .3 12.根据定积分的定义，?202 dx x =（ ） A . ∑=?-n i n n i 1 21)1( B . ∑=∞→?-n i n n n i 121)1(lim C . ∑=?n i n n i 122)2( D . ∑=∞→?n i n n n i 122 )2(lim 13.变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置 为 （ ） A ． ? 1 )(t dt t v B ．dt t v s t ? + 1 0)( C ．00 1 )(s dt t v t -? D ．dt t v s t ?-1 0)(
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
定积分典型例题 例 1 求 Iim J 2(^n τ +Q2n 2 +H ∣ +V ∏3). n _.: ∏ 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限?若对题目中被积函数难以想到， 可采取如下方法：先对区间［O, 1］n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 1 III 1 解 将区间［0, 1］ n 等分，则每个小区间长为.汉=丄，然后把—=丄1的一个因子-乘入和式中 n n n n n 各项?于是将所求极限转化为求定积分?即 n i ?^贰+痢+山+疔)=曲(￡ +￡ +川+晋)=MdX=扌? 例 2 ￡ J 2x 一 X d X __________ . 解法1由定积分的几何意义知， °?2x -χ2dx 等于上半圆周(x_1) y =1 (y_0) 与X 轴所围成的图形的面积?故 2? 2^x 2dx = _ ? ■° 2 解法2本题也可直接用换元法求解?令 x_1 = sint (—巴 定积分在高考中的常见题 型 Last revision on 21 December 2020 定积分在高考中的常见题型解法 贵州省印江一中（555200） 王代鸿 定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。 一、利用微积分基本定理求定积分 1、微积分基本定理：一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么?-=b a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本定理（又叫牛顿-莱布尼兹公式）。 2、例题讲义 例1、计算?+e dx x x 1)21( 解：因为 x x x x 21 )ln 2+='+（ 所以?+e dx x x 1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+）（ 【解题关键】：计算?b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数)(x F 。 跟踪训练：1计算?+2 0)cos (π dx x e x 二、利用定积分的几何意义求定积分。 1、定积分的几何意义 ：设函数y=f(x)在 []b a ,上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b, y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积 S=?b a dx X f )( 2、例题讲义： 例2、求由曲线12+=x y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________ 解： 联立方程组 （如图所示） ? ??-=+=11x y x y 解得???==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++? =dx x x dx x )1(11112 14210--++++????）（）（ = 412231023|)22 132(|)3221x x x x x +-+++（ =3 8 【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积 和 例3、求dx x ?+402)2-4（ 的值 解：令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42 2≥+-=y x y 及）（）（04222≥=++y y x 右图所以π221)2-1402==+?A S dx x 圆（ 【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点 求其定积分。 练习：由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 三、利用变换被积函数求定积分 定积分典型例题 例1 求 332 1lim )n n n →∞ ++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把 2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?． 例2 0 ?=_________． 解法 1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周 22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t ππ -≤≤ ）， 则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较12x e dx ?，2 12x e dx ?，1 2(1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当 0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2] 上，有1x e x >+．又 1 22 1()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 222 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法 2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得 1x e x >+．注意到12 2 1 ()()f x dx f x dx =-??．因此 2 1 11 2 22 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2 ()x x f x e -=, 因为 2 ()(21) x x f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点 12 x = , 而 (0)1f e ==, 2 (2)f e =, 141 ()2 f e -=, 故 124 (),[0,2]e f x e x -≤≤∈, 精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质 1212(1)()()(). (2)[()()]()(). (3)()()()(). b b a a b b b a a a b c b a a c kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+????????为常数其中a 欢迎阅读 题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积 题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 31 B ． 32 C ． 21 D ． 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 223a π B ． 243a π C ． 2 8 3a π D ． 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ） A ． 2 a a e e -+ B ． 2a a e e -- C ． 12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 定积分典型例题 例1 求 2 1lim n n →∞ ．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被 积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把 2 111n n n = ?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求 极限转化为求定积分．即 2 1lim n n →∞ = 1lim n n →∞ = 34 = ? ． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知， ? 等于上半圆周2 2(1) 1x y -+= (0y ≥) 与 x 轴所围成的图形的面积．故 ? =2 π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π-≤≤ ），则 ? = tdt =2 tdt =2 20 2 cos tdt π ? =2 π 例3 比较 12 x e dx ? ，2 1 2x e dx ?，12 (1)x dx +?．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无 法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0 x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调 递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ??? ． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ =++ 得1x e x >+．注意到 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-??．因此 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ? ?? ． 例4 估计定积分2 02 x x e dx -? 的值．分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2 ()x x f x e -=, 因为 2 ()(21) x x f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12 x = , 而 0 (0)1f e ==, 2 (2)f e =, 1 4 1 ()2 f e -=, 故 1 2 4 (),[0,2]e f x e x -≤≤∈,从而2 122 4 22x x e e dx e - -≤ ≤? ,所以 2 102 4 2 22x x e e dx e - --≤ ≤-? . 例5 设 ()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (b a n g x →∞ ? ． 解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又 ()0g x ≥()b a g x dx (b a g x ≤ ? ()b a g x dx ．由于1n n →→，故lim (b a n g x →∞ ? = ()b a g x dx ? ． 例6求sin lim n p n n x dx x +→∞ ? , ,p n 为自然数．分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用 方法是利用积分中值定理与夹逼准则． 定积分典型例题 例1求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?= ，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?． 例20 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法 2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 定积分典型例题20例答案 例 1 求lim 丄(循2 丁2『L Vn 3) ? n n 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限. 若对题目中被积函 数难以想到，可采取如下方法：先对区间 [0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来 找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0, 1] n 等分，则每个小区间长为 ％ -,然后把1丄的一个因子-乘 n n n n n 入和式中各项?于是将所求极限转化为求定积分?即 lim A (习n 2 ^2n 2 L Vn 3) = lim -(^— L ^—) = VXdx - ? n n n nn,n ,n ° 4 2 -- ------ r 例 2 o (2x x dx = ___________ ? 2 . ________ 解法1由定积分的几何意义知， ° . 2x x 2dx 等于上半圆周(x 1)2 y 2 1 ( y 0) 与x 轴所围成的图形的面积.故 2 ,2x x 2dx = _ ? 0 2 '1 sin 2 tcostdt = 2。 2 J sin 2t costdt =2 ： cos 2 tdt^ 2 2 x 2 2 x 例 3 (1)若 f (x) x e 七 dt ，则 f (x) = ________; (2)若 f (x) 0 xf (t)dt ,求 f (x)= 分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 (1) f (x) =2xe x e x 可得 x f (x) = 0 f (t)dt xf (x) ? x 1 例 4 设 f(x)连续，且。f(t)dt x ，贝U f (26) = _________________ O A x 1 解 对等式0 f(t)dt x 两边关于x 求导得 3 2 f(x 1) 3x 1, 解法2本题也可直接用换元法求解.令 x 1 = Sint ( 2 t 2)，则 d v(x) dx u(x) f(t)dt f[v(x)]v(x) f[u(x)]u (x) ? (2) 由于在被积函数中 x 不是积分变量，故可提到积分号外即 x f (x) x 0 f (t)dt ，则 x 2dx = 定积分典型例题20例答案 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10 ()x dx xdx --+??＝220210[][]22 x x --+＝5 2． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=? ≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=??? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．定积分在高考中的常见题型
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