考点52不等式选讲
一、选择题
1.（2011·山东高考理科·Ｔ4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是 （A ）[-5,7] （B ）[-4,6]
（C ）(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞)
【思路点拨】去绝对值，根据x 的取值分类讨论，也可以根据绝对值的意义来求解.
【精讲精析】选D. ①5≥x 时，不等式化为10
35ε++ x x ，解得6εx
②53<<
-x 时，不等式化为10
35≥++-x x ，不等式不成立
③3-≤x 时，()1035≥+--x x ，解得4-≤x 由①②③得 4-≤x 或6≥x
另解：利用绝对值的几何意义，5
3
x x -++表示实数轴上的点x 到点3x =-与5
x =的距离之和，要使点x 到点3x =-与5x =的距离之和等于10，只需4x -=或6x =，于是当6x ≥，或4x -≤时可使5310x x -++≥成立，答案应选D.
二、填空题
2.（2011·江西高考理科·Ｔ15）对于实数x ，y ，若1x -≤1, 2
y -≤1,则21
x y -+的最大值为 .
【思路点拨】根据21x y -+=(x 1)2(y 2)2----，结合a b a b
+≤+，易得.
【精讲精析】答案：5
x 2y 1(x 1)2(y 2)2x 12y 2)2x 11,y 21,x 2y 11212 5.
=+-+----≤--+-≤-≤∴-+≤+?+= 根据条件有：（
3．（2011·江西高考文科·Ｔ15）对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为
________
【思路点拨】根据绝对值不等式的解法，采用零点分段讨论即得。 【精讲精析】答案：[)0+∞，
[)x 10x 10x 28,128x 2;x 2x 10x 28,128x 20--+≤--+-≥≥≥≥≤<≥+-+≥≥∴≥∞当时，原不等式变为：即，不符合要求；当-10 。 4．（2011·陕西高考理科·T15A ）若关于x 的不等式|||1||2|a x x ++-…存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【思路点拨】先确定|1||2| x x ++-的取值范围，再使得a 能取到此范围内的值即 可． 【精讲精析】当1x -…时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+…； 当12x -<… 时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=； 当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->； 综上可得|1||2|3x x ++-…，所以只要||3a …，解得3a -…或3a …， 即实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞ ． 【答案】(,3][3,)-∞-+∞ 5．（2011·陕西高考文科·T15A ）若不等式|1||2|x x a ++-…对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ． 【思路点拨】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，则只要a 不大于|1||2|x x ++-的最小值即可． 【精讲精析】答案：(,3]-∞ 当1x -… 时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+…； 当12x -<…时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=； 当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->； 综上可得|1||2|3x x ++-…，所以只要3a …， 即实数a 的取值范围是(,3]-∞． 三、解答题 6.（2011·福建卷理科·T21）（3）(本小题满分7分) 设不等式11-x 2＜的解集为M. （I ）求集合M ； （II ）若a ，b∈M，试比较ab+1与a+b 的大小. 【思路点拨】(1) |21|11211x x - -<-<,解之即得x 的取值范围； （2）用作差法比较1ab +与a b +的大小. 【精讲精析】 （I ）由|21|1x -<得1211x -<-<，解得01x <<， 所以{|01}.M x x <<＝ （II ）由（I ）和,a b M ∈可知01,0 1.a b <<<< 所以(1)()(1)(1)0ab a b a b +-+=-->，故1ab a b +>+. 7.（2011·江苏高考·Ｔ21D ）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 解不等式：|21|3x x +-< 【思路点拨】本题考察的是绝对值不等式的求解，容易题，解决本题的关键是掌握含有绝对值不等式的处理方法，把含有绝对值的放在一侧，进行去绝对值。 【精讲精析】原不等式等价于：43213,23 x x x x -<-<-∴-<< ，解集为4(2, ) 3 - 8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ24）设函数()3f x x a x = -+,其中0a >. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值. 【思路点拨】第（1）问，将1a =代入函数()f x 解析式，利用解绝对值不等式的公式求解，第（2）问() 0||30 f x x a x ≤?-+≤，然后分x a ≥和x a ≤再种情况去掉绝 对值号，转化为解不等式组的问题，将两段解集取并集得()0f x ≤的解集，最后利用待定系数法求得a 的值. 【精讲精析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥. 由此可得 3x ≥或1x ≤-. 故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. (Ⅱ) 由()0f x ≤ 得 30 x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30 x a x a x ≥?? -+≤? 或30 x a a x x ≤?? -+≤? 即 4 x a a x ≥?? ?≤? ? 或2 x a a x ≤?? ?≤-? ? 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2 a x x ≤- 由题设可得2a -= 1-，故2a =. 9.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ24）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值. 【思路点拨】第（1）问，将1a =代入函数()f x 解析式，利用解绝对值不等式的公式求解，第（2）问() 0||30 f x x a x ≤?-+≤，然后分x a ≥和x a ≤两种情况去掉绝 对值号，转化为解不等式组的问题，将两段解集取并集得()0f x ≤的解集，最后 利用待定系数法求得a 的值. 【精讲精析】 （Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥. 由此可得 3x ≥或1x ≤-. 故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. ( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得 30 x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥??-+≤? 或30 x a a x x ≤?? -+≤? 即 4x a a x ≥?? ?≤? ? 或2 x a a x ≤?? ?≤-? ? 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2 a x x ≤- 由题设可得2a -= 1-，故2a =. 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II) 数学 本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数()20y x x =≥的反函数为 (A)()24x y x R =∈ (B) ()2 04 x y x =≥ (C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33 a b > 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A) 1 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若 2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于 (A) 22 (B) 33 (C) 63 (D) 1 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 数学(文) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N I ，则P 的子集共有 A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 2．复数512i i =- A ．2i - B ．12i - C ． 2i -+ D ．12i -+ 3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 A ．3 y x = B ．||1y x =+ C ．2 1y x =-+ D ．|| 2 x y -= 4．椭圆 22 1168 x y +=的离心率为 A ． 13 B ．1 2 C ．33 D ．22 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 A ．120 B ． 720 C ． 1440 D ． 5040 6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个 小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ． 13 B ． 12 C ．23 D ．34 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ= A ． 4 5 - B ．35 - C ． 35 D ． 45 8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧 视图可以为 9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准 线上一点，则ABP ?的面积为 A ．18 B ．24 C ． 36 D ． 48 10．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为 A ．1 (,0)4 - B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．13(,)24 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x ＜ 54，则f (x )＝4x －2＋145 x -的最大值为________． (2)函数y ＝ x －1 x ＋3＋x －1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x ＜5 4 ，所以5－4x ＞0， ＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋1 4x －5的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2 ＋1， 所以y ＝ t t 2 ＋1＋3＋t ＝ t t 2 ＋t ＋4 . 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝ 1 t ＋4t ＋1 ， 因为t ＋4 t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝ 1t ＋4t ＋1 ≤1 5， 即y 的最大值为1 5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋ 1 x －2 ＋2≥2（x －2）× 1 x －2 ＋2＝4，当 2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2011?新课标）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（） A．2个B．4个C．6个D．8个 2．（5分）（2011?新课标）复数＝（） A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 3．（5分）（2011?新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x| 4．（5分）（2011?新课标）椭圆＝1的离心率为（） A．B．C．D． 5．（5分）（2011?新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（） A．120B．720C．1440D．5040 6．（5分）（2011?新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D． 7．（5分）（2011?新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（） A．﹣B．﹣C．D． 8．（5分）（2011?新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（） A．B．C．D． 9．（5分）（2011?新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（） A．18B．24C．36D．48 10．（5分）（2011?新课标）在下列区间中，函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（） A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）11．（5分）（2011?新课标）设函数，则f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），则（） A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称 B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称 C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称 D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称 12．（5分）（2011?新课标）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（） A．10个B．9个C．8个D．1个 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）（2011?新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 2011年高考题全国卷II数学试题·理科全解全析科目：数学试卷名称2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理 第 1 页共 12 页 第 2 页 共 12 页 【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。 【精讲精析】选D . 22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++?=?= （5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ） 13 （B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平 移 3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3 π是此函数周期的整数倍。 【精讲精析】选C . 由题2()3k k Z ππω=?∈,解得6k ω=，令1k =，即得min 6ω=. (6)已知直二面角l αβ--，点,A AC l α∈⊥,C 为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63 (D) 1 【思路点拨】本题关键是找出或做出点D 到平面ABC 的距离DE ，根据面面垂直的性质不难证明AC ⊥平面β，进而β⊥平面平面ABC,所以过D 作DE BC ⊥于E ，则DE 就是要求的距离。 【精讲精析】选C . 如图，作DE BC ⊥于E ，由l αβ--为直二面角， AC l ⊥得AC ⊥平面β，进而AC DE ⊥，又 ,BC DE BC AC C ⊥=I ，于是DE ⊥平面ABC ， 故DE 为D 到平面ABC 的距离。 在Rt BCD ?中，利用等面积法得12633BD DC DE BC ??= ==. (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3高考数学试题分类大全
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