2014-2015学年安徽省蚌埠市皖北高考复读学校高三（上）第一
次月考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，10X5分=50分）
1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则?U（A∪B）=（）
A． {3} B． {2} C． {1，2，4} D． {1，4}
2．已知：集合P={x|x≤3}，则（）
A．﹣2?P B． {﹣2}∈P C． {﹣2}?P D．?∈P
3．“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列幂函数中，过点（0，0），（1，1）的偶函数的是（）
A． B． y=x4 C． y=x﹣2 D．
5．若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合Q不可能是（）
A． {y|y=x2，x∈R} B． {y|y=2x，x∈R} C． {y|y=lgx，x＞0} D．?
6．命题“若x2＞y2则x＞y”的逆否命题是（）
A．若x2＜y2则x＜y B．若x＞y则x2＞y2 C．若x≤y则x2≤y2 D．若x≥y则x2＞y2
7．若p：|x+1|＞2，q：x＞2，则?p是?q成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若函数y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数y=f（log2x）的定义域是（）
A． [﹣1，1] B． C． D． [1，4]
9．设全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x﹣6=0}，则图中阴影表示的集合为（）
A． {2} B． {3} C． {﹣3，2} D． {﹣2，3}
10．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，则集合B 中的元素个数为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．命题p“?x∈R，sinx≤1”的否定是．
12．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是．13．已知函数f（x+1）为奇函数，函数f（x﹣1）为偶函数，且f（0）=2，则f（4）= ．14．已知命题p：?x∈R，x2+2x+3a＞0，若P是真命题，那么实数a的取值范围是．
15．已知f（x）为偶数，且f（2+x）=f（2﹣x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，若n∈N*，a n=f（n），则a2013= ．
三、解答题
16．记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为
集合B．
（1）求A∩B；
（2）若C={x|（x+2﹣p）（x+2+p）＜0，p＞0}，且C?（A∩B）求实数p的取值范围．
17．已知函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值．
18．已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+b，
（1）若f（x）＜0的解集是（﹣5，2），求a，b的值；
（2）若a=b，解关于x的不等式f（x）＞0．
19．命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根．若“p或q”为真命题，求m的取值范围．
20．已知函数，且．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．
21．函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．
2014-2015学年安徽省蚌埠市皖北高考复读学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，10X5分=50分）
1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则?U（A∪B）=（）
A． {3} B． {2} C． {1，2，4} D． {1，4}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：根据A与B求出两集合的并集，找出全集U中不属于并集的部分即可求出所求的集合．
解答：解：∵A={1，2}，B={2，4}，
∴A∪B={1，2，4}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴?U（A∪B）={3}．
故选A
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．已知：集合P={x|x≤3}，则（）
A．﹣2?P B． {﹣2}∈P C． {﹣2}?P D．?∈P
考点：集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．
专题：常规题型；集合．
分析：分清是元素还是集合，即可得到结果．
解答：解：﹣2∈p，故A不正确，
{﹣2}?P，故B不正确，
C正确，
??P，故D不正确．
故选C．
点评：本题考查了集合与集合，元素与集合的关系确定，注意选择恰当的符号，属于基础题．
3．“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：先化简x2﹣x＞0得x＞1或x＜0，然后根据充分必要条件的定义加以判断即可．解答：解：∵x2﹣x＞0?x＞1或x＜0，
∴当x＞1时，x2﹣x＞0成立，
当x2﹣x＞0时，x＞1不一定成立，
∴“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件．
故选A．
点评：本题主要考查充分必要条件的判断，注意运用定义，也可以运用集合的包含关系判断，是一道基础题．
4．下列幂函数中，过点（0，0），（1，1）的偶函数的是（）
A． B． y=x4 C． y=x﹣2 D．
考点：函数奇偶性的判断．
专题：计算题．
分析： A先看定义域是[0，+∞），不关于原点对称，不是偶函数．
B验证是否过这两个点，再看f（﹣x）与f（x）的关系．
C验证是否过这两个点，再看f（﹣x）与f（x）的关系．
D验证是否过这两个点，再看f（﹣x）与f（x）的关系．
解答：解：A、定义域是[0，+∞），不关于原点对称，不具有奇偶性．
B通过验证过这两个点，又定义域为R，且f（﹣x）=（﹣x）4=x4=f（x）．
C不过（0，0）．
Df（﹣x）===﹣f（x）
∴f（x）是奇函数，不满足偶函数的条件．
故选B
点评：本题主要考查点是否在曲线，即点的坐标是否适合曲线的方程以及函数的奇偶性，要先看定义域，再看﹣x与x的函数值间的关系．
5．若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合Q不可能是（）
A． {y|y=x2，x∈R} B． {y|y=2x，x∈R} C． {y|y=lgx，x＞0} D．?
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：根据P∩Q=Q可得Q?P，由已知中集合P={y|y≥0}，分别判断四个答案中的集合是否满足要求，比照后可得答案．
解答：解：∵集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，
∴Q?P
∵A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，满足要求
B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，满足要求
C={y|y=lgx，x＞0}=R，不满足要求
D=?，满足要求
故选C
点评：本题考查的知识点是交集及其运算，其中熟练掌握各种基本初等函数的值域是解答本题的关键．
6．命题“若x2＞y2则x＞y”的逆否命题是（）
A．若x2＜y2则x＜y B．若x＞y则x2＞y2 C．若x≤y则x2≤y2 D．若x≥y则x2＞y2
考点：四种命题．
分析：根据四种命题的相互关系，将原命题的条件与结论否定，并交换位置即得答案．
解答：解：命题“若x2＞y2则x＞y”；
条件为：“若x2＞y2”，结论为：“x＞y”；
故其逆否命题为：若x≤y则x2≤y2故选C．
点评：本题考查逆否命题的形式，解题时要注意分清四种命题的相互关系．
7．若p：|x+1|＞2，q：x＞2，则?p是?q成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
分析：依集合的观点看，若A?B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A 是B的充要条件．
解答：解：∵|x+1|＞2，
∴x＞1或x＜﹣3，
∴?p：﹣3≤x≤1，
∵[﹣3，1]?（﹣∞，2]，
∴?p是?q成立的充分不必要条件．
故答案选A．
点评：本题主要考查了命题的必要条件，充分条件与充要条件的判断，较为简单，要求掌握好判断的方法．
8．若函数y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数y=f（log2x）的定义域是（）
A． [﹣1，1] B． C． D． [1，4]
考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：由题意可得log2x∈[﹣1，1]，从而可得函数y=f（log2x）的定义域．
解答：解：∵y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，
∴函数y=f（log2x）有意义?﹣1≤log2x≤1，
∴≤x≤2．
∴函数y=f（log2x）的定义域是{x|≤x≤2}．
故选B．
点评：本题考查函数的定义域及其求法，正确理解“函数y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，得到﹣1≤log2x≤1”是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
9．设全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x﹣6=0}，则图中阴影表示的集合为（）
A． {2} B． {3} C． {﹣3，2} D． {﹣2，3}
考点： Venn图表达集合的关系及运算．
专题：计算题．
分析：先根据Venn图表达集合的关系，然后分别求出集合A和集合B，最后根据集合交集的定义求出A∩B即可．
解答：解：题图中阴影部分表示为A∩B，
因为A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合B={﹣3，2}，
所以A∩B={2}．
故选A
点评：本题主要考查了Venn图表达集合的关系，以及集合交集的运算，属于基础题．
10．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，则集合B 中的元素个数为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点：元素与集合关系的判断．
专题：计算题．
分析：通过集合B，利用x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A，求出x的不同值，对应y的值的个数，求出集合B中元素的个数．
解答：解：因为集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，
当x=1时，y=2或y=3或y=4；
当x=2时y=3；
所以集合B中的元素个数为4．
故选C．
点评：本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．命题p“?x∈R，sinx≤1”的否定是?x∈R，sinx＞1 ．
考点：命题的否定．
专题：综合题．
分析：直接把语句进行否定即可，注意否定时?对应?，≤对应＞．
解答：解：根据题意我们直接对语句进行否定
命题p“?x∈R，sinx≤1”的否定是：?x∈R，sinx＞1．
故答案为：?x∈R，sinx＞1．
点评：本题考查了命题的否定，注意一些否定符号和词语的对应．
12．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1 ．
考点：集合关系中的参数取值问题．
专题：集合．
分析：利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
解答：解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，
且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．
故答案为：a≤1．
点评：本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
13．已知函数f（x+1）为奇函数，函数f（x﹣1）为偶函数，且f（0）=2，则f（4）= ﹣2 ．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：计算题．
分析：先根据函数f（x+1）为奇函数得到f（x+1）=﹣f（﹣x+1）?f（﹣2）=﹣f（4）；再结合函数f（x﹣1）是偶函数得到f（x﹣1）=f（﹣x﹣1），进而根据f（0）=f（﹣2）=﹣f（4）即可得到答案．
解答：解：因为函数f（x+1）为奇函数
所以有：f（x+1）=﹣f（﹣x+1）①
∵函数f（x﹣1）是偶函数
∴f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）②
在②中令x=1得：f（0）=f（﹣2）
在①中令x=﹣3得：f（﹣2）=﹣f（4）
∴f（0）=f（﹣2）=﹣f（4）=2．
∴f（4）=﹣2
故答案为：﹣2．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．解决问题的关键在于根据函数f（x+1）为奇函数得到f（x+1）=﹣f（﹣x+1）?f（﹣2）=﹣f（4）；再结合函数f（x﹣1）是偶函数得到f （x﹣1）=f（﹣x﹣1）?f（0）=f（﹣2）．
14．已知命题p：?x∈R，x2+2x+3a＞0，若P是真命题，那么实数a的取值范围是（1，+∞）．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：计算题．
分析：命题P：?x∈R，x2+2x+a＞0是真命题，故（x+1）2+a﹣1≥a﹣1＞0，由此能求出实数a的取值范围．
解答：解：∵命题P：?x∈R，
x2+2x+a＞0是真命题，
∴（x+1）2+a﹣1≥a﹣1＞0，
∴a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）．
点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．
15．已知f（x）为偶数，且f（2+x）=f（2﹣x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，若n∈N*，
a n=f（n），则a2013= ．
考点：数列的函数特性；函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据题意，可得函数f（x）的最小正周期为4，从而得出f（2013）=f（1），再利用函数为偶函数及当﹣2≤x≤0时的表达式，即可求出a2013的值．
解答：解：∵f（2+x）=f（2﹣x），
∴f（4+x）=f（2+（2+x））=f（2﹣（2+x））=f（﹣x）
又∵f（x）为偶数，即f（﹣x）=f（x）
∴f（4+x）=f（x），得函数f（x）的最小正周期为4
∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1）
而f（﹣1）=2﹣1=，可得f（1）=f（﹣1）=
因此，a2013=f（2013）=f（1）=
故答案为：
点评：本题给出函数的奇偶性和周期，求自变量2013对应的函数值．着重考查了函数的奇偶性、周期性和数列的函数特性等知识，属于中档题．
三、解答题
16．记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为
集合B．
（1）求A∩B；
（2）若C={x|（x+2﹣p）（x+2+p）＜0，p＞0}，且C?（A∩B）求实数p的取值范围．
考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
专题：计算题；集合．
分析：（1）求解x2﹣x﹣2＞0，3﹣|x|≥0，从而求出A∩B；
（2）化简集合C，由C?（A∩B）可得不等式组，从而解出实数p的取值范围．
解答：解：（1）由题意，x2﹣x﹣2＞0，
解得，x＞2或x＜﹣1，
3﹣|x|≥0，
解得，﹣3≤x≤3，
则A∩B={x|﹣3≤x＜﹣1或2＜x≤3}．
（2）∵p＞0，
∴C={x|（x+2﹣p）（x+2+p）＜0}=（2﹣p，2+p），
∵C?（A∩B），
∴，
解得，0≤p≤1．
点评：本题考查了集合的化简与集合的运算，同时考查了函数的定义域的求法及集合的相互关系，属于中档题．
17．已知函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值．
考点：奇函数．
分析：首先由奇函数定义求c，然后利用f（1）=2，f（2）＜3求a或b的取值范围，最后通过a、b、c∈Z求a、b、c的值．
解答：解：由f（﹣x）=﹣f（x），得﹣bx+c=﹣（bx+c），
∴c=0．
由f（1）=2，得a+1=2b①
由f（2）＜3，得＜3②
由①②得＜3③
变形可得（a+1）（a﹣2）＜0，
解得﹣1＜a＜2．
又a∈Z，
∴a=0或a=1．
若a=0，则b=，与b∈Z矛盾，
若a=1，则b=1，
故a=1，b=1，c=0．
点评：本题主要考查奇函数的定义，同时考查分式不等式的解法．
18．已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+b，
（1）若f（x）＜0的解集是（﹣5，2），求a，b的值；
（2）若a=b，解关于x的不等式f（x）＞0．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）由f（x）＜0的解集是（﹣5，2）知﹣5，2是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；
（2）把b替换下a，然后按照f（x）=0的两根大小关系分类讨论即可．
解答：解：（1）由题意得，﹣5，2是方程x2﹣（a+1）x+b=0的两根，
所以﹣5+2=a+1，﹣5×2=b，解得a=﹣4，b=﹣10．
（2）当a=b时，f（x）＞0即x2﹣（a+1）x+a＞0，
也即（x﹣a）（x﹣1）＞0，
①当a＞1时，由f（x）＞0可得x＜1或x＞a；
②当a=1时，由f（x）＞0可得x≠1；
③当a＜1时，由f（x）＞0可得x＜a或x＞1；
综上，当a＞1时，f（x）＞0的解集为{x|x＜1或x＞a}；当a=1时，f（x）＞0的解集为{x|x≠1}；
当a＜1时，f（x）＞0的解集为{x|x＜a或x＞a}．
点评：本题考查二次函数、二次方程、二次不等式间的关系，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键．
19．命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根．若“p或q”为真命题，求m的取值范围．
考点：复合命题的真假．
分析：“p或q”为真命题，即p和q中至少有一个真命题，分别求出p和q为真命题时对应的范围，再求并集．
命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根?，命题q：方程4x2+4（m+2）
x+1=0无实数根?△＜0．
解答：解：“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题．
当p为真命题时，则，得m＜﹣2；
当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1
∴“p或q”为真命题时，m＜﹣1
点评：本题考查复合命题的真假及二次方程的根的问题．“p或q”为真命题，有三种情况：p真q假，p假q真，p真q真．
20．已知函数，且．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．
考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．
专题：计算题．
分析：（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程
即可；
（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；
（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．
解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．
（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，
所以f（x）是奇函数．
（3）任取x1＞x2＞0，则
，
因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．
点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．
21．函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）赋值，令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），由此可解得f（1）的值；（2）方法同（1）赋值求出f（﹣1）=0，再令x1=﹣1，x2=x，有f（﹣x）=f（﹣1）+f（x）构造出f（﹣x）与f（x）的方程研究其间的关系．得出奇偶性，解答本题时注意做题格式，先判断后证明；
（3）由题设条件f（4）=1与函数的恒等式，将f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3转化为f[（3x+1）（2x﹣6）]≤f（64），再由f（x）在（0，+∞）上是增函数与f（x）是偶函数的性质将此抽象不等式转化为一元二次不等式，求解x的范围．
解答：（1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）证明：令x1=x2=﹣1，有f[（﹣1）×（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1）．解得f（﹣1）=0．令x1=﹣1，x2=x，有f（﹣x）=f（﹣1）+f（x），∴f（﹣x）=f（x）．∴f（x）为偶函数．（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．
∴f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3即f[（3x+1）（2x﹣6）]≤f（64）．（*）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴（*）等价于不等式组
或
或或
解得3＜x≤5或﹣≤x＜﹣或﹣＜x＜3．
∴x的取值范围为{x|﹣≤x＜﹣或﹣＜x＜3且x≠0或3＜x≤5}．
点评：本题考点是奇偶性与单调性的综合，解答本题易出现如下思维障碍：
（1）无从下手，不知如何脱掉“f”．解决办法：利用函数的单调性．
（2）无法得到另一个不等式．解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．