本科毕业论文（设计）
(2014 届)
条件概率及其应用
院系数学与统计学院专业数学与应用数学姓名冯杰
指导教师孙晓玲
职称副教授
摘要
条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念,在概率论的知识体系中起着承上启下的作用.因而本文以条件概率及其应用作为研究课题,研究条件概率的概念、性质以及相关的四个公式(条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)的基本计算方法,并研究全概率公式以及贝叶斯公式在实际生活中的应用.通过本课题的研究,可了解抽签问题和风险决策问题中全概率公式和贝叶斯公式的应用.了解应用条件概率方法可以使实际生活中的问题转变为相关概率计算,让问题解决过程变得简洁,清晰.因此,研究条件概率及其应用有着极其重要的意义.
关键词：条件概率；全概率公式；贝叶斯公式；风险决策
ABSTRACT
Conditional probability is an important and useful concepts in probability theory, play a connecting role in probability theory system. So in this paper, the conditional probability and its application as the research subject, research condition probability concept, character and correlation of four formula (conditional probability formula, multiplication formula, the formula of total probability, the Bias formula) the basic calculation methods, application and study the full probability formula and Bias formula in practical life. Through the study of this subject, can understand the application of ballot problem and risk decision making problem in the whole probability formula and Bias formula. The probabilistic method to understand the application conditions can make real life problems into the relevant probability calculation so, problem solving process more concise, clear. Therefore, there is an extremely important significance of conditional probability and Its Applications.
Key words：conditional probability；complete probability formula；Bayes formula；Risk decision
目录
摘要...................................................... I ABSTRACT................................................. II 1引言 (1)
2条件概率的概念及重要公式 (1)
2.1条件概率概念及性质 (1)
2.2乘法公式 (2)
2.3 全概率公式 (3)
2.4贝叶斯公式 (3)
3条件概率基本公式计算方法 (4)
3.1乘法公式计算方法 (4)
3.2全概率公式计算方法 (5)
3.3贝叶斯公式计算方法 (5)
4条件概率基本公式的应用技巧 (6)
4.1公式之间的联系 (6)
4.2应用技巧 (7)
5条件概率在实践中的应用 (7)
5.1全概率公式在抽签问题中的应用 (7)
5.2贝叶斯公式在风险决策中的应用 (9)
6结论 (11)
参考文献 (12)
1 引言
在做数学习题的时候,可以用很多方法解同一道题目,从而可以从这些解题方法中找到最优化、最适合自己的解题方法.同样在解决实际生活中的问题时也有不同的解决方法,从中找到最优化的解决方法.随着对条件概率的深入研究,条件概率的解题方法不仅在概率问题中得到应用,更是凭借它的直观化,在很多的实际生活问题中得到广泛的应用.本课题的研究意义就在于利用条件概率的解题方法,使生活中的数学问题在运用条件概率方法求解时能够变得更加简洁明了,如在临床医学、无线电通讯、产品质量以及教育科研等很多领域都得到了不同程度的应用.条件概率思想方法的运用可以使得这些生活问题更容易解决.要将条件概率的解题方法应用在生活问题中,先要把生活中的问题抽象成数学问题进行分析,然后构造恰当的概率模型,再运用相应的概率模型进行解题,使解答过程更简洁.在此类问题中,最主要的难点就是如何构建恰当的概率模型,从而转化为具体的概率求解问题.通过条件概率的解题方法在生活问题中得到运用,体会概率论作为数学里的一个重要分支的意义,加深人们学习条件概率的重要公式的兴趣．
2 条件概率的概念及重要公式
2.1 条件概率概念及性质
1.条件概率概念
概率（英文名:probability ）,是表征随机事件发生可能性大小的量,是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性.通俗的讲：概率是随机事件发生的可能性大小,它是随机事件出现可能性的量度]1[.
在遇到有关概率问题的时候,总是需要在某个特定的条件下进行分析.但有时也会碰到这种情况：在知道其中一个事件B 发生的前提条件下,求出另一事件A 发生的概率.
例如：某周五晚上,你考虑周末要么出去游玩,要么在家.然而当晚天气预报表示明天下雨的概率为0.3,反之就不下雨.显然,事件“明天不下雨”或“下雨”的发生使得“出去游玩与否”的概率发生了改变.将这种“明天不下雨”已发生条件下“出去游玩”的概率称为条件概率；与此相对应,若只考虑周末“是否出去游玩”的概率可称为无条件概率.若将“明天不下雨”记作事件B ,那么“出去游玩”就记作事件A ,因而要计算的概率事实上就是“在知道事件B 发生的条件下,事件A 发生的概率”,这个概率可记为)(B A P .
条件概率在概率论中处于很重要的地位,它主要是求解在事件A 已经发生的条件下,事件B 发生的概率.此时,对于条件概率来说,要抓住两个点：一是要知道生活中哪些是条件概率,其中的条件是什么；二是将如何计算条件概率.
为此,引入条件概率的定义如下]2[：
定义1：设B A ,为两个事件,且0)( A P ,则称
)
()(A P AB P 为事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率,记为：
)()()(A P AB P A B P =
--------- 条件概率公式(1) 定义2：设B A ,为两个事件,且0)(>B P ,则称
)()(B P AB P 为事件B 发生的条件下,事件A 发生的条件概率,记为：
)
()()(B P AB P B A P = ---------- 条件概率公式(2) 定义3：如果事件B 发生不影响事件A 发生的可能性,即)()(B P A B P =,就说明事件A 与B 是相互独立的.
特别地,上述事件B A ,相互独立,就是指条件概率转化为无条件概率,因而无条件概率是条件概率的特殊情况；若事件A 为不可能事件时,)(A B P 就毫无意义.
2.条件概率的性质
根据条件概率的公式化定义,可以获得以下一些相关的性质]2[：
性质1.1)(=ΩA P ；
性质2.0)(=ΩA P ,)0)((>A P ；
性质3.0)(>A B P ,)0)((>A P ；
性质4.若事件 ,,,,21n B B B 两两相互排斥,则∑∞
=∞==11)()(i i i i A B P A B P ；
性质5.A 和B 是样本空间Ω中的任意事件,0)(>C P ,)(－)()－(C AB P B P C A B P =； 性质6.)(－1)(B A P B A P =, )0)((>B P ；
性质7.)(－)()()(AB P B P C A P B A P +=?,)0)((>C P .
到此,仅仅给出的条件概率公式化定义是严密的数学定义以及相关的性质,我们仅能通过定义对概率进行探讨,并没有给出具体的计算方法,那么接下来就从条件概率的重要公式讨论概率的计算问题. 2.2 乘法公式
在初次学习条件概率时,都会避免不了出现这种错误：即将)(AB P 与)(A B P 弄混淆,为了更好的学习条件概率,需要分清两者之间的区别于联系.两者之间的区别：)(AB P 是说在随机试验E 中,事件A 发生的同时,事件B 无条件地在原始样本空间下发生的概率；而)(A B P 是指在E 中,附加一个条件A 已经发生情况下,在新的样本空间下,事件B 也发生的条件概率,因而事件“AB ”与事件“A B ”是两个不同的概念.两者之间的关系可以通过乘法公式帮助理解.
现在给出乘法公式如下：
定理1]3[：设B A ,为两个事件,若0)(>A P ,则有： )()()(A B P A P AB P =-------------乘法公式(3)
若0)(>B P ,则有：
)()()(B A P B P AB P =-------------乘法公式(4)
将以上的乘法公式进行推广可得.
定理2]7[：假设有n 个事件n A A A ,,,21 满足0)(1－21>n A A A P ,则就可以得到公式：)()()()()(1－2121312121n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P =.
这就是乘法公式,它揭示了)(),(),(AB P A B P A P 三者之间的关系,在解题时只要知道其中的两个就可以求出第三个,最主要在于分析实际问题中已知的是什么,要求的是什么.从另一个方面可以理解乘法公式就是利用条件概率)(B A P 来计算)(AB P 的.乘法公式是普遍成立的,只要作为“条件的事件”的概率不为零.
2.3 全概率公式
在解决现实生活中有关概率问题的时候,并不是所有的概率问题都可以用概率乘法公式,例如在遇到有关复杂事件的概率问题时,就要先把该复杂事件划分为很多个相互独立的,同时又相对比较简单的事件的总和.这时就可以先求出这些简单事件的概率,接着通过乘法公式与加法公式得到所求复杂事件的概率.而这种方法的一般化,就得到了下列公式,这个公式被称作全概率公式.
定义4]9[：设Ω为随机试验E 的样本空间,n B B B ,,,21 为Ω中的一组事件,如果满足下列条件：
(1)?=j i B B ),,2,1,;(n j i j i =≠；
(2)Ω== n
i i B 1；
则称n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个划分.
定理3]4[：设n B B B ,,,21 为Ω的一个划分,并且0)(>i B P ),,2,1(n i =,则对样本空间Ω中的任意件A ,有： )()()(1i n
i i B A P B P A P ∑==--------------全概率公式(5)
注意：全概率公式中所提到的“全”,就是说要将B 事件发生的每种情况“全”部要考虑到,也就是说n B B B ,,21是一个完备事件组.
2.4 贝叶斯公式
现实生活中,不但要会计算复杂事件的概率,还要会求解此类事件概率：若试验结果(事件A )是由于n 种原因n B B B ,,,21 中的某一种原因造成的,现在知道试验出现的结果A ,分析它是由于原因i B 造成的概率)(A B P i ),,2,1(n i =,就需要用合适这类问题的计算公式,为此给出以下公式：
定理4]7[：设n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个划分,并且0)(>i B P ),,2,1(n i =,则对任意满足0)(>A P 的事件A ,有：
∑==n i i
i i i i B A P B P B A P B P A B P 1)()()
()()( ),,2,1(n i =---贝叶斯公式(6)
注意：此公式左端的条件概率)(A B P i 与公式右端的条件概率)(i B A P ,原因i B 与结果A 的位置正好对调.公式右端分母部分是n 项和,其中每一项的形式与分子一致,而分子恰是分母中的一项．
3 条件概率基本公式计算方法
3.1 乘法公式计算方法
一般会遇到计算一个事件在另一个事件发生的前提条件下发生的概率,这时主要注意其中已知事件是哪个,而需要计算的事件是哪个,只要分清楚这两个问题,就可以根据乘法公式进行解题.而当遇到求某一个事件在另外几个事件发生的条件下发生的概率时,就需要分清楚那几个事件在不同情况下发生的概率,最后在通过乘法公式进行求解.
【例1】在一个密封的黑盒子中有14个大小形状相同的小方块,其中有6个红色的,8个绿色的,不放回的从黑盒子中取出3个小方块,则取出方块的顺序为红绿红的概率是多少？ 解析：由题意可知可以用乘法公式求解.
分析可得取出小方块跟先后的顺序有关,从而设事件i A ：第i 次取到红色小方块,A ：取出的三个小方块的顺序为红绿红.根据该题的规则可以选择如下的公式进行求解：
81
10125138146)()()()()(123121321=??===A A A P A A P A P A A A P A P 综上所述：顺序为白黑白的概率是81
10. 【例2】某人忘记了银行卡密码的最后一位数字,因而他随意地输入数字.求出在银行卡冻结之前（密码三次输入不正确将被冻结）输入正确密码的概率.若附加一个条件：已知最后一个数字是偶数,那此时的输入正确密码的概率是多少？
解：设k A =“第k 次输入正确密码”,3,2,1=k ,B =“在银行卡冻结前输入正确密码”, 则事件B 可以表示为321211A A A A A A B =,
根据题意可利用条件概率的相关公式得：
)()()()(321211A A A P A A P A P B P ++=
103819810991109101)
()()()()()(2131211211=??+?+=
++=A A A P A A P A P A A P A P A P
若知道最后一位数是偶数,则：
)()()()()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P B P ++= 533
14354415451=??+?+=
综上所述：在不知最后一位数的奇偶时,输入正确的概率为
10
3,当知道最后一位数是偶数时,输入正确密码的概率为53. 小结：上述例题1解题方法与排列组合与案例中的乘法原理计算方法相同,但不能与之混淆解题思路.通过以上两个例题比较可知：对于乘法公式,只要确保每个事件发生的概率不要为零,分清楚每个事件发生相对应的前提条件,就可以熟练的应用这种计算方法解题.
3.2 全概率公式计算方法
在计算某个复杂事件发生概率时,可以把该复杂的事件划分成若干互不相容的简单事件的和事件,然后根据加法公式和乘法公式分别计算这些简单事件的概率总和(即执因寻果)]6[.此时就得到复杂事件的概率,该概率公式就是全概率公式.
【例2】某厂家主要生产玻璃制品,其中的玻璃碗主要是成箱出售,每箱30只,如果某箱中有次品的个数是0,1,2时所对应的概率分别是70%,20%,10%.那么在顾客购买时,任意提取一箱,再从该箱中随机抽查5只,如果5个都不是次品,就买下该箱货物,否则不买,那么顾客买下这箱玻璃碗的概率是多少？
解：设B =“顾客买下该箱玻璃碗”.B 事件的发生得情况比较复杂,但总的来说只有如下三种情况：
0A ：所取的一箱中无次品,
1A ：所取的一箱中有一只次品,
2A ：所取的一箱中有两只次品,
据题意,0A ,1A ,2A 构成一完备事件组,
0()0.7P A =, 1()0.2P A =, 2()0.1P A = ,
1)(0=A B P , 5304291)(C C A B P = ,5304282)(C C A B P =, 由全概公式得： )()()()()()()(221100A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= 4120.710.20.10.92519
=?+?+?= 小结：从此题可知,全概率公式体现了一种典型的数学思维方法,就是“化整为零”,“化复杂为简单”,“化抽象为具体”,从而起到“化简为易”的作用]8[.也就是前面所说的执因寻果.
3.3 贝叶斯公式计算方法
概率论中除了可以使用全概率公式解决的概率问题外,还存在着另一种概率问题.就是指在知道试验结果的情况下,去找出其中某种原因发生的可能性(即执果索因)]5[,也就是求众多原因都发生的情况下某一个原因发生的概率.这个时候就要用另一个计算公式：贝叶斯公式.
【例3】设根据以往记录的数据分析得到,某船只在运输某种物品时会有不同程度的损坏,当其损坏程度分别为2%,10%,90%时所对应的概率分别为0.8,0.15,0.05.现从该船运输的一大批物品中随机地独立地抽取3件,发现这3件都是好的,则依次求出这批产品损坏程度为2%,10%,90%的概率是多少？
解：设1B ,2B ,3B 分别表示物品损坏2%,10%,90%的事件,A =“抽取3件都是好的”. 根据本题的实际意义,可以知道Ω包含321,,B B B ,并且它们之间两两互不相容,因而这里只要要求)(),(),(321A B P A B P A B P .
由题意知： 1()0.8P B =, 2()0.15P B = , 3()0.05P B =, 31)%2－1()(=B A P ； 320%)1－1()(=B A P ； 33)%－901()(=B A P ．
由贝叶斯公式得： 8731.0)
()()()()()()(31
1111===∑=i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P ； 1268.0)
()()()()()()(31
2222===∑=i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P ； 5-31
333310798.5)
()()()()()()(?===∑=i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P ． 小结：从此题可知,贝叶斯公式就是适用在知道该船运送货物时所有损坏情况发生的概率前提下,求解此批货物运输时损坏的三种可能情况发生的概率分别是多少.也就是在知道复杂事件所有情况都会发生的前提下,求其中某种情况发生的概率,简而言之就是执果求因.
4 条件概率基本公式的应用技巧
对于条件概率的学习,我们不仅要知道如何计算事件的概率,也要了解几个公式之间的联系.只有熟知它们之间的联系才能更好的理解概率公式.另外,更要知道概率公式的一些应用技巧,只有掌握这些才能更好的解决概率问题.
4.1 公式之间的联系
对于概率公式的理解,不仅要理解各个公式的特点以及使用该公式所需的条件,还要了解几者之间联系.这对灵活应用概率公式有很大帮助,是必须了解的部分.
1.条件概率公式与乘法公式的关系
通过对上述四个公式的仔细观察很容易发现,这四个公式之间有必然的联系.若在条件概率公式(1)(或(2))的两边同时乘以)(A P (或)(B P ),就可以得到乘法公式(3)(或(4))．
2.乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式的关系
由乘法公式(3)(4)知道： )()()()()(1111B A P B P A B P A P B A P ==------------------(7) 将此式变形可得： )
()()()(111B P A B P A P B A P =------------------------(8) 若再将全概率公式(5)式带入(8)式,便得到贝叶斯公式(6).
从上述分析可知：条件概率基本公式包含如下四个公式：条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式,它们之间的联系主要是以条件概率公式作为起点,再由乘法公式和全概率公式作为连接前后的桥梁,最后由贝叶斯公式作为结点所组成的一组关联公式,犹如一棵藤蔓上开着的四朵花]2[.所以要想掌握条件概率的计算,必然要熟悉这些相关公式间的联系.其中尤为重要是全概率公式与贝叶斯公式之间的关系,这主要是由于这两个公式可以算是这组关联公式的精髓部分.
4.2 应用技巧
对于数学知识的学习,尤其是公式的学习,要掌握他们的计算方法,以及应用技巧是十分重要的环节,这可以让更好的将所学应用到实际之中.下面将分别介绍四个公式的应用技巧.
1)从上述描述中了解到条件概率公式位于这组关联公式的起始点,说明它是这四个公式之中比较好理解、掌握以及应用的.只要在做题时仔细阅读题目,准确的理解题意就可以判断出目标事件中有没有附加条件.如果有附加条件,只要分清楚条件与目标事件分别是什么,再根据题意选择正确的条件概率公式(1)或者(2)进行解题即可.
2)乘法公式使用时,主要需分清楚是哪个事件是先发生的,例如：对于事件A 和事件B ,如果事件B 在事件A 之后发生,则选择)()()(A B P A P AB P =；如果事件A 在事件B 之后发生,则选择)()()(B A P B P AB P =.
3)关于复杂事件概率的计算有一个非常有效公式：全概率公式.在生活中复杂事件的发生往往是由若干种“原因”引起的,这些原因可以组成一个样本空间中的完备事件组.该完备事件组都是随机试验的第一步骤产生,而事件是指紧跟着完备事件组之后发生的事件,从而表明事件的发生具有先后顺序.因此,利用全概率公式解决概率问题的时候,要先弄清
楚随机试验的先后顺序.而何时使用全概率公式,要根据具体问题而定.一般来说,若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的试验结果是不确定的,要求的是第二阶段的结果发生的概率,则用全概率公式]1[.
4)相对于全概率公式来说贝叶斯公式主要是计算在知道复杂事件已经发生的条件下,求出其中某一“原因”发生的概率.但对于什么时候使用贝叶斯公式,要根据具体情况而定.一般来说,若随机试验可以看成分两个阶段进行,并且第一阶段的试验结果是不确定的,而
第二阶段的某个结果是已知的,需要求出这个结果是第一阶段某一个结果所引起的概率,这种情况下就要使用贝叶斯公式]3[.
5 条件概率在实践中的应用
5.1 全概率公式在抽签问题中的应用
在日常生活中,人们常常会遇到一些有关先后顺序的问题,除了某种特定条件下的顺序之外,在很多情况下都会习惯性的采取抽签的方法来解决这种问题.然而不是所有人都认同这种方法,他们之中觉得这与抽签的先后顺序有关,也就是说他们认为第一个抽签的人会抽到好签几率最大,越到最后抽好签几率就越小.那么抽签的先后顺序是不是真的决定一个人抽到好签的几率,现在就这个问题运用相关概率来计算,看看先后顺序是否起决定作用.
【案例】某公司在组织活动的时候安排了一项抽签答题活动,准备了20道题其中有5道比较难的题,每位参加人员抽签一次,不重复地抽.现有三人先后参加活动,求这三人抽到难题的概率,试证明三人抽到难题的概率是否相同.
证明：设C B A ,,分别为三人抽到难题的事件,分别计算)(A P ,)(B P ,)(C P .
(1)51()0.25204
P A ===； (2))]([)(A A B P B P +=
)(A B BA P +=
)()()()(A B P A P A B P A P +=,
其中A 与A 两两相互独立的,即A A +=Ω,AA =?. 代入数据得19
52015194205?+? 1910.25764
=== (3))]([)(AB B A B A AB C P C P +++=, 其中Ω=+++AB B A B A AB , 且?=AB B A B A AB .
则上式可转换为：
)()()()()()()()()()(B A C P A B P A P B A C P A B P A P AB C P A B P A P C P ++=
)()()(AB C P A B P A P + 2032042052042015205204205201520520142015??+??+??+??=
2166316016016040010.254
=+++== 综上所述：这三人抽到难题的概率相等并且都为0.25.
小结：通过上述例题可确定一切有关抽签的问题,都可以通过全概率公式进行计算来验证抽签先后的顺序不同其概率是否相等,从而可知在顺序先后所得的任何结果的概率在理论上来讲是一样的,因而对于抽签好签与抽签的先后顺序无关.如此进行抽签可以确保事情的公平性与合理性．
5.2 贝叶斯公式在风险决策中的应用
随着时代的发展,人们将面临许多风险.当人们无法做出相应的决策的时候,将面临很大损失.因而对于不同领域的风险,必须研究如何尽最大可能避免风险,从而获得相对最高收益.那么下面看看贝叶斯公式在这些风险决策中应用情况.
【案例】某服装公司经营女士服装多年,现有一种新款服装准备投入市场,需要对此新服装生产批量做出决策,如今有三种可选方案：大规模、中规模、小规模.而对于新款服装生产规模的大小起决定因素的是未来服装市场对该新款服装的需求量,现在根据以往市场销售情况和经验两方面进行分析,预估计未来服装市场对于新款服装的需求量小的可能性为0.7.如果未来服装市场对该服装的需求量大就采取大规模、中规模、小规模生产,这时该服装公司将分别获得利润为30万元、20万元、10万元：与之相反的情况,如果未来服装市场需求量小就采取大规模、中规模、小规模生产,公司将分别获得利润为-6万元、-2万元、5万元.
根据题意可知道,未来服装市场的需求量信息对于该公司至关重要,因而该公司想更好的了解未来服装市场,就需要委托咨询公司进行服装市场信息调查,而这项工作需要支付费用3万元,根据咨询公司所提供的服装市场的资料中可了解到,未来服装市场需求量大的准确率是85%,未来服装市场需求量小的准确率是90%,这家公司该如何决策？ 对于此案例我将进行以下分析及解决方法.
假设大规模、中规模、小规模分别用321,,A A A 表示；需求量大与需求量小则分别用12,B B 表示.咨询公司提供的市场需求量大和市场需求量小分别用12,C C 表示.
首先考虑若用公司不用咨询公司提供的信息,可以根据先验获得期望值来选择最优方案.从而各个方案所对应的先验期望收益可知最优方案为：
1()0.3300.7(6) 4.8E A =?+?-=(万元),
2()0.3200.7(2) 4.6E A =?+?-=(万元),
3()0.3100.75 6.5E A =?+?=(万元).
此时进行小规模生产最好选择,与之相应的最大先验期望收益值是E =先3() 6.5E A = (万元)
对于以上的最优方案,仅仅是依据以往的资料,不代表现在市场的需求.而公司的决策者要想做出最优化的决策必须要掌握当下的市场需求,同时.获取市场的需求信息需要付出相应的费用.在这个时候,就必须考虑所付出的信息费用与获得信息后所带来的收益相比,从而决定要不要进行市场调查.
补充说明：若该公司所获得的信息可以确定该状态即将发生,则该信息就称为该状态下的完全信息.这里的完全信息是指尽量的靠近它,不是绝对的可能,也存在一定的可能性,只是尽可能地将这个差距缩小.再在此基础上进行决策,将获得更好的收益.
因而在此题中,所得到的完全信息有两种可能：一种是未来服装市场需求量大,此时只有选择1A 时的收益最大；另一种是未来服装市场需求量小,此时只有选择3A 时的收益大.
因此完全信息下的收益期望值为：300.350.712.5E =?+?=(万元).
显然,完全信息下的收益期望值没有超过没有完全信息的期望收益部分,其差是这个问题完全信息的价值,因此称该值为完全信息期望值(简记为EVPI )]4[,则该题的EVPI =12.5-6.5=6(万元).由此可以看出为获得这些信息所需的费用少于补充信息后公司所获得的收益,从而采用市场调查是合算的.
从咨询公司提供的资料可得：
11(/)0.85P C B =, 2111(/)1(/)0.15P C B P C B =-=,
22(/)0.9P C B =, 1222(/)1(/)0.1P C B P C B =-=,
由全概率公式可得：
)()()()()(2121111B C P B P B C P B P C P +=
0.30.850.70.10.325=?+?=,
)()()()()(2221212B C P B P B C P B P C P +=
0.30.150.70.90.675=?+?=,
再由贝叶斯公式可得：
111111()(/)0.30.85(/)0.7846325()0.325
P B P C B P B C P C ?===, 2111(/)1(/)0.2154P B C P B C
=-=, 121122()(/)0.30.15(/)0.0667()0.675
P B P C B P B C P C ?===, 2212(/)1(/)0.9333P B C P B C =
-=. 如果咨询公司提供的是未来服装市场需求量大的信息,此时各个方案的最大收益值分
别是：
2456.22)6()(30)()(121111=-?+?=C B P C B P C A E (万元),
2612.15)2()(20)()(121112=-?+?=B P C B P C A E (万元), 923.85)(10)()(121113=?+?=C B P C B P C A E (万元).
根据最优期望准则选择大规模生产,最大期望收益值是：11(/)22.2456E A C =(万元).
同样如果咨询公司提供的是未来服装市场需求量小的信息,此时各个方案的最大收益值分别是：
121222(/)(/)30(/)(6) 3.5988E A C P B C P B C =?+?-=-(万元),
221222(/)(/)20(/)(2)0.5326E A C P B C P B C =?+?-=-(万元),
321222(/)(/)10(/)5 5.3335E A C P B C P B C =?+?=(万元).
此时,根据最优期望准则选择小规模生产,最大期望收益值是：32(/) 5.3335E A C =(万
元).
在有咨询公司的补充信息及资料条件下,后验决策最大期望收益值： 8298.10)()()()(232111=+=C A E C P A E C P E 后(万元)
咨询公司补充信息及资料条件的价值是：E s =10.8298 6.5=4.3298E E E =-=-s 后先(万
元).
由上述计算分析之后可知,该服装公司在采用市场调查后所做出的最优决策比根据以往资料所做的最优决策可减少损失4.3298万元,除去支付咨询公司的费用任有很大收益. 小结：通过上述案例分析,在生活中的风险决策问题中,贝叶斯公式的使用是非常重要的.而我们在进行风险决策的时候,要先对未来市场进行缜密的调查,再根据情况利用贝叶斯公式进行计算,此时可以将先验概率进行修正为后验概率,然后计算后验期望收益,从而选择最优的风险决策略.
6 结论
条件概率不仅是概率论中的一个非常重要的概念,也在概率论的知识体系中起着桥梁的作用.本课题主要是研究条件概率及其应用,通过上述对条件概率的思想方法以及全概率公式、贝叶斯公式在实际生活问题中的应用介绍,了解到条件概率的思想方法有着很广泛的应用.但在运用条件概率的思想方法时,首先需要掌握一定的条件概率概念、性质、计算公式(乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)等,然后再通过分析待解决的实际生活中问题的具体结构,根据其与条件概率知识的结合点,选择合适的条件概率公式构建恰当的数学模型.将生活中抽象的数学计算转化为具体的概率求解问题,进而达到简化解题步骤的目的,并且可以得到最优化的结果.让人们更加了解条件概率在实际生活中的应用,并且可以熟练地使用概率公式解决身边的问题,明确学习概率论的重要性,最后将理论知识应用到实际中.这既是学习条件概率的初衷,也是本人研究本课题的目的.
参考文献
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2．2．1条件概率 教学目标： 知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。 过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。 教学过程： 一、复习引入： 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券 的概率为 1 () 3 P B=. 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式 可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 2 ，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第 一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑
5.4平衡条件的应用 学习目标： 1. 能用共点力的平衡条件，解决有关力的平衡问题； 2. 进一步学习受力分析，正交分解等方法。 3. 学会使用共点力平衡条件解决共点力作用下物体平衡的思路和方法, 问题的能 力。 教学重点： 共点力平衡条件的应用。 教学难点： 受力分析，正交分解法，共点力平衡条件的应用。 教学方法： 以题引法，讲练法，启发诱导，归纳法。 、复习导入： 复习 （1 ）如果一个物体能够保持 静止或匀速直线运动，我们就说物体处于平衡状态。 （2 ）当物体处于平衡状态时 a ：物体所受各个力的合力等于 0_，这就是物体在共点力作用下的平衡条件。 b :它所受的某一个力与它所受的其余外力的合力关系是 大小相等，方向相反 作用在一条直线上 。 教师归纳： 平衡状态：匀速直线运动状态，或保持静止状态。 平衡条件：在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零。即 F 合=0 以力的作用点为坐标原点，建立直角坐标系，则平衡条件又可表示为： Fx = 0 Fy = 0 、新课教学： 课时安排：1~2课时 ［教学过程］: 解共点力平衡问题的 般步骤: 平衡条件的应用 厂三力平衡 静态平衡 动态平衡 「1、取研究对象。 2、 对所选取的研究对象进行受力分析， 并画出受力 图。 3、 对研究对象所受力进行处理，选择适当的方法： 合成 法、分解法、正交分解法等。 4、 建立适当的平衡方程。 '5、对方程求解，必要时需要进行讨论。 合成法 分解法 正交分解法 多力平衡（三力或三力以上）：正交分解法 J 用图解法解变力问题 培养灵活分析和解决
例题1 如图，一物块静止在倾角为37°的斜面上，物块的重力为20N，请分析物块受力并求其大 小. 分析：物块受竖直向下的重力G斜面给物块的垂直斜面向上的支持力N,斜面给物块 的沿斜面向上的静摩擦力f. 解：方法1——用合成法 (1)合成支持力N和静摩擦力f,其合力的方向竖直向上，大小与物块重力大小相等； (2)合成重力G和支持力N,其合力的方向沿斜面向下，大小与斜面给物块的沿斜面 向上的静摩擦力f的大小相等； (3)合成斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力f 和重力G,其合力的方向垂直斜面向 下，大小与斜面给物块的垂直斜面向上的支持力N的大小相等. 合成法的讲解要注意合力的方向的确定是唯一的，这有共点力平衡条件决定，关于这一 点一定要与学生共同分析说明清楚.(三力平衡：任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反) 方法2――用分解法 理论上物块受的每一个力都可分解，但实际解题时要根据实际 受力情况来确定分解哪个力(被确定分解的力所分解的力大小方向要明确简单易 于计算),本题正交分解物块所受的重力'J ,利用平 (为了学生能真正掌握物体的受力分析能力，要求学生全面分析使用力的合成法和力的分解法，要有一定数量的训练.) 总结：解共点力平衡问题的一般步骤： 1、选取研究对象。 2、对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力图。 3、对研究对象所受力进行处理，选择适当的方法：合成法、分解法、正交分解法等。 衡条件-_ \ ■，列方程较为简便.
2021年高中数学《函数模型的应用举例》教案2 新人教A版必修1 导入新课 思路1.(事例导入) 一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v0,加速度为a,那么经过t小时它的速度为多少？在这t小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v0+at,s=v0t+at2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型. 不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例. 思路2.(直接导入) 前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情 该企业年产量发展变化的函数模型，并求之. 2°xx年(即x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定xx年的年产量应该约为多少？ ②什么是函数拟合？ ③总结建立函数模型解决实际问题的基本过程. 讨论结果：①1°如图3-2-2-5，
设f(x)＝ax＋b,代入（1，4）、（3，7）,得解得a=，b=. ∴f(x)=x+. 检验：f(2)＝5.5，|5.58-5.5|=0.08<0.1； f(4)＝8.5，|8.44-8.5|=0.06<0.1. ∴模型f(x)=x+能基本反映产量变化. 2°f(7)＝13，13×70%＝9.1，xx年年产量应约为9.1万件. 图3-2-2-5 ②函数拟合：根据搜集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程. ③建立函数模型解决实际问题的基本过程为： 图3-2-2-6 应用示例 思路1 例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?
2.2.1 条件概率(1) 教材分析 本节内容是数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布第二节 二项分布及其应用的起始课，是对概率知识的拓展，为了导出二项分布需要条件概率和事件的独立性的概念，条件概率是比较难理解的概念，教材利用“抽奖”这一典型案例，以无放回抽取奖券的方式，通过两个思考比较抽奖前和在第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学的中奖概率，引出条件概率的概念，给出了两种计算条件概率的方法，给出了条件概率的两个性质.本课题的重点是条件概率的概念，难点是件概率计算公式的应用．通过探究条件概率的概念的由来过程，可以很好地培养归纳、推理，学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法. 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解条件概率概念、性质及计算公式，并利用公式解决简单的概率问题. 教学目标 重点: 条件概率的概念. 难点：条件概率计算公式的应用． 知识点：条件概率. 能力点：探寻条件概率的概念、公式的思路，归纳、推理、有特殊到一般的数学思想的运用. 教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何理解条件概率的内涵. 考试点：求解决具体问题中的条件概率. 易错易混点：利用公式时()n A 易计算错. 拓展点：有放回.抽球时(|)P B A 与()P B 的关系 教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课 在生活中我们有些问题不好解决时经常采用抽签的办法，抽签有先后，对每个人公平吗？ 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 【师生活动】师：如果三张奖卷分别用12,,X X Y 表示，其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有几种可能？能列举出来吗？ 生：有六种可能：121221211221,,,,,X X Y X YX X X Y X YX YX X YX X ． 师：用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 包含几个基本事件？
5.4 平衡条件的应用 学习目标 ： 1.能用共点力的平衡条件，解决有关力的平衡问题； 2.进一步学习受力分析，正交分解等方法。 3.学会使用共点力平衡条件解决共点力作用下物体平衡的思路和方法，培养灵活分析和解决问题的能力。 教学重点： 共点力平衡条件的应用。 教学难点： 受力分析，正交分解法，共点力平衡条件的应用。 教学方法： 以题引法，讲练法，启发诱导，归纳法。 课时安排：1~2课时 [教学过程]： 解共点力平衡问题的一般步骤： 一、复习导入： 复习 （1）如果一个物体能够保持 静止或 匀速直线运动，我们就说物体处于平衡状态。 （2）当物体处于平衡状态时 a ：物体所受各个力的合力等于 0 ，这就是物体在共点力作用下的平衡条件。 b ：它所受的某一个力与它所受的其余外力的合力关系是 大小相等，方向相反 ，作用在一条直线上 。 教师归纳： 平衡状态: 匀速直线运动状态，或保持静止状态。 平衡条件: 在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零。即 F 合＝0 以力的作用点为坐标原点,建立直角坐标系,则平衡条件又可表示为: Fx ＝0 Fy ＝0 二 、新课教学： 1、 取研究对象。 2、对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力 图。 3、对研究对象所受力进行处理，选择适当的方法：合成法、分解法、正交分解法等。 4、建立适当的平衡方程。 5、对方程求解，必要时需要进行讨论。 平衡条件的 应 用 静态平衡 动态平衡 三力平衡 多力平衡（三力或三力以上）：正交分解法 合成法 分解法 正交分解法 用图解法解变力问题
例题1 如图，一物块静止在倾角为37°的斜面上，物块的重力为20N，请分析物块受力并求其大小． 分析：物块受竖直向下的重力G，斜面给物块的垂直斜面向上的支持力N，斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力f． 解：方法1——用合成法 （1）合成支持力N和静摩擦力f，其合力的方向竖直向上，大小与物块重力大小相等； （2）合成重力G和支持力N，其合力的方向沿斜面向下，大小与斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力f的大小相等； （3）合成斜面给物块的沿斜面向上的静摩擦力 f和重力G，其合力的方向垂直斜面向下，大小与斜面给物块的垂直斜面向上的支持力N的大小相等． 合成法的讲解要注意合力的方向的确定是唯一的，这有共点力平衡条件决定，关于这一点一定要与学生共同分析说明清楚．（三力平衡：任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反） 方法2——用分解法 理论上物块受的每一个力都可分解，但实际解题时要根据实际 受力情况来确定分解哪个力(被确定分解的力所分解的力大小方向 要明确简单易于计算)，本题正交分解物块所受的重力，利用平 衡条件，，列方程较为简便． （为了学生能真正掌握物体的受力分析能力，要求学生全面分析使用力的合成法和力的分解法，要有一定数量的训练．） 总结：解共点力平衡问题的一般步骤： 1、选取研究对象。 2、对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力图。 3、对研究对象所受力进行处理，选择适当的方法：合成法、分解法、正交分解法等。
2．2 二项分布及其应用 2．2.1 条件概率 整体设计 教材分析 条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位，教科书只是简单介绍条件概率的初等定义．为了便于学生理解，教材以简单事例为载体，逐步通过探究，引导学生体会条件概率的思想． 课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义，掌握简单的条件概率的计算． 过程与方法 发展抽象、概括能力，提高解决实际问题的能力． 情感、态度与价值观 使学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想． 重点难点 教学重点：条件概率定义的理解． 教学难点：概率计算公式的应用． 教学过程 探究活动 抓阄游戏：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小． 活动结果： 法一：若抽到中奖奖券用“Y”表示，没有抽到用“Y ”表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y ，Y Y Y 和Y Y Y.用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B 仅包含一个基本事件Y Y Y.由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券 的概率为P(B)＝13 . 故三名同学抽到中奖奖券的概率是相同的． 法二：(利用乘法原理)记A i 表示：“第i 名同学抽到中奖奖券”的事件，i ＝1,2,3， 则有P(A 1)＝13，P(A 2)＝2×13×2＝13，P(A 3)＝2×1×13×2×1＝13 . 提出问题：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 设计意图：引导学生深入思考，小组内同学合作讨论，得出以下结论，教师因势利导． 学情预测：一些学生缺乏用数学语言来表述问题的能力，教师可适当辅助完成．
高一物理教案：平衡条件的应用【】鉴于大家对查字典物理网十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文高一物理教案：平衡条件的应用，供大家参考! 本文题目：高一化学教案：平衡条件的应用 第4节平衡条件的应用之弹簧问题 在中学阶段，不考虑质量的轻弹簧，是一种常见的理想化物理模型，在弹性限度内其弹力遵从胡克定律.借助轻弹簧设置复杂的物理情景，来考查胡克定律的应用、物体的平衡. 例1：如图所示，一根轻弹簧上端固定在O点，下端拴一个钢球P，球处于静止状态，现对球施加一个水平向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一个时刻，都可以认为钢球处于平衡状态.若外力F方向始终水平，移动中弹簧与竖直方向的夹角90，且弹簧的伸长量不超过弹性限度，则下面给出的弹簧的伸长量x与cos的函数关系图象中，最接近的是( ) [分析]思路一：通常采用解析法找出弹簧的伸长量x与cos 之间的函数关系来解题. 思路二：根据四个选项中各个图象的特点，结合本题动态平衡也可以用假设法来解题. [解答]解法一：弹簧与竖直方向的夹角为时，钢球P受到重力G、水平力F和弹簧拉力kx作用而平衡，如图所示，则
有kxcos= G，即x = Gkcos ，，可见x与cos之间的关系图象是一条双曲线. 解法二：假设趋近于90即弹簧趋近于水平位置，则cos趋近于0，在这种情况下，由平衡条件可知，弹簧的拉力应趋近于无穷大，弹簧的伸长量x也应趋近于无穷大，四个选项中只有D选项符合：当cos趋近于0时，x趋近于无穷大. 答案D. [规律小结]①用解析法来解动态平衡的图象问题时，通常是对研究对象进行受力分析，建立平衡方程，解出纵轴代表的因变量与横轴代表的自变参量之间的的函数关系，然后根据函数关系来确定其对应的具体图象. ②对于选择题中动态平衡的图象问题，尝试用假设法解，有时快捷有效. 注意：球缓慢偏移的过程中弹簧受到的拉力变大，本题极易受到弹簧的伸长量与受到的弹力成正比的影响而错选A。例2：如图所示，把重为20N的物体放在倾角= 30的粗糙斜面上，物体上端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，弹簧与斜面平行.若整个系统处于静止状态，物体与斜面间的最大静摩擦力为12N，则弹簧对物体的弹力( ) A.可能为24N，方向沿斜面向上 B.可能为零 C.可能为4N，方向沿斜面向上
条件概率专题 一、知识点 ①只须将无条件概率P(B)替换为条件概率P(B A)，即可类比套用概率满足 的三条公理及其它性质 ②在古典概型中--- P(B A) P( AB) (AB) P(A) (A) ③在几何概型中--- P(B A) P( AB) (AB) P(A) (A) 事件AB包括的基本事件(样本点)数事件A包括的基本事件(样本点)数 区域AB的几何度量(长度，面积，体积等) 区域A的几何度量(长度，面积，体积等) 条件概率及全概率公式 .对任意两个事件A B,是否恒有P(A) > P(A| B). 答：不是?有人以为附加了一个B已发生的条件，就必然缩小了样本空间，也就缩小了概率,从而就一定有P(A) > P(A| B), 这种猜测是错误的?事实上, 可能P(A) > P(A| B),也可能P(A) < P(A|B),下面举例说明. 在0,1,…,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令 A=｛抽到一数字是3的倍数｝; B=｛抽到一数字是偶 数｝; B2=｛抽到一数字大于8｝,那么 P(A)=3/10, P(A| B i)=1/5, P(AB)=1. 因此有P(A) > P(A| B i), P(A) v P(AB). .以下两个定义是否是等价的? 定义1. 若事件A、B满足P(A^=P(A)P(B), 则称A、B相互独立. 定义2.若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),则称A、B相互独立?答：不是的?因为条件概率的定义为 P(A B)=P(AB?/ P(B)或P(B| A)=P(A^/ P(A) 自然要求P(A)丰0, P(B)丰0,而定义1不存在这个附加条件，也就是说，P(AB=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的.事实上，若P(A)=0 由0W P(AB) < P(A)=0 可知P(AB=0 故P(AB=P(A)P(B). 因此定义1与定义2不等价，更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1 不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化. . 对任意事件 A 、B, 是否都有P(AB < P(A < P(A+B) < P(A)+P(B). 答：是的.由于P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB (*)
2019-2020年高一物理 平衡条件的应用教学案2 新人教版 [本章本节概述] 本章讲述有关力的基本知识，包括了以后学习的动力学和静力学所必须的预备知识，基础性和预备性仍然是本章的特点。 力学平衡状态是比较常见的力学状态，研究物体力学平衡状态的种类，保持平衡状态的条件，是本章的主要任务。物体的力学状态与物体的受力情况紧密联系。研究物体的平衡状态，归根结底就是研究物体的受力情况、研究物体保持平衡状态的受力条件。 力的平衡要有正确的思路：首先确定研究对象，其次是正确分析物体的受力，然后根据平衡条件列方程求解。对于比较简单的问题，可以用直角三角形的知识求解，对于不成直角的受力问题可以用正交分解方法求解。 [教学设计] 教学目标 ： 1.能用共点力的平衡条件，解决有关力的平衡问题； 2.进一步学习受力分析，正交分解等方法。 3.学会使用共点力平衡条件解决共点力作用下物体平衡的思路和方法，培养灵活分析和解决问题的能力。 教学重点： 共点力平衡条件的应用。 教学难点： 受力分析，正交分解法，共点力平衡条件的应用。 教学方法： 以题引法，讲练法，启发诱导，归纳法。 课时安排：1~2课时 [教学过程]： 解共点力平衡问题的一般步骤： 一、复习导入： 复习 （1）如果一个物体能够保持 静止或 匀速直线运动，我们就说物体处于平衡状态。 （2）当物体处于平衡状态时 1、 取研究对象。 2、对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力图。 3、对研究对象所受力进行处理，选择适当的方法：合成法、分解法、正交分解法等。 4、建立适当的平衡方程。 5、对方程求解，必要时需要进行讨论。 平衡条件的应 用 静态平衡 动态平衡 三力平衡 多力平衡（三力或三力以上）：正交分解法 合成法 分解法 正交分解法 用图解法解变力问题
3.3函数的实际应用举例 教学目标 （1）理解分段函数的概念和图像； （2）了解实际问题中的分段函数问题． （3）会求分段函数的定义域和分段函数在点0x 处的函数值0()f x ； （4）掌握分段函数的作图方法； （5）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 教学重点 分段函数的概念及其图像； 教学难点 （1）建立实际问题的分段函数关系； （2）分段函数的图像． 教学备品 教学课件． 课时安排 2课时．(90分钟) 教学过程 我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准： 那么，每户每月用水量x （3 m ）与应交水费y （元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？ 由表中看出，在用水量不超过10（3m ）的部分和用水量超过10（3m ）的部分的计费标准是不相同的．因此，需要分别在两个范围内来进行研究． 解决： 分别研究在两个范围内的对应法则，列出下表：
书写解析式的时候，必须要指明是哪个范围的解析式，因此写作 () 1.6,010,2.812,10.x x y f x x x ? … 这个函数与前面所见到的函数不同，在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示． 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数． 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集． 如前面水费问题中函数的定义域为(]()()0,1010,0,+∞=+∞． 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算． 如前面水费问题中求某户月用水8（3 m ）应交的水费()8f 时，因为0810<<，所以 ()8 1.6812.8f =?=（元） ． 注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示． 例1 设函数()221,0,, 0.x x y f x x x -??==?>??… （１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值． 分析 分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的并集．求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，再把0x 代入到相应的解析式中进行计算． 解 （1）函数的定义域为(]()(),00,,-∞+∞=-∞+∞． （2） 因为 ()20,∈+∞，故 ()2224 f ==； 因为 (]0,0∈-∞，故 ()02011f =?-=-； 因为 (]1,0-∈-∞，故 ()()12113f -=?--=-． 练习3.3 1.设函数 ()221,20,1,0 3. x x y f x x x +-
《条件概率》教案 一、[教学目标] 知识与技能：理解条件概率的定义，理解并掌握条件概率的公式，会解决一些条件概率的问题。 过程与方法目标：通过创设问题情境，引发学生思考、探究，在这个过程中体会学习条件概率的必要性，探寻解决问题的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。 情感态度价值观：在问题的解决过程中，学会探究、学会学习；体会数学的应用价值，发展学生学数学用数学的意识。 二、[教学重点] 条件概率的定义，条件概率问题的解决。 三、[教学难点] 对条件概率及公式的理解，条件概率的应用。 四、[教学方法] 1、教法 在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”。为了体现以生为本，遵循学生的认知规律，坚持以教师为主导，学生为主体的教学思想，体现循序渐进的教学原则，我采用引导发现法、分析讨论法的教学方法，通过提问、启发、设问、归纳、讲练结合、适时点拨的方法，让学生的思维活动在教师的引导下层层展开，让学生大胆参与课堂教学，使他们“听”有所“思”，“练”有所“获”，使传授知识与培养能力融为一体。 2、学法
高一学生知识上已经掌概率的概念，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，通过让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。 五、[教学过程] （一）复习旧知、导入新课 为了让学生更好的进入本节课，我先让学生复习前面所学习什么是随机变量、离散型的随机变量以及分布列，这样设计既巩固了前面相关知识的学习，也为本节课的学习奠定了良好的知识基础。有利学生理解本节课的知识。 （二）主动探索，获取新知 通过具体的例子讲解，让学生理解什么是条件概率。例如，投掷一均匀骰子，并且已知出现的是偶数点，那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形有所不同. 一般地，在已知另一事件B发生的前提下，事件A发生的可能性大小不一定再是P(A). 任一个随机试验都是在某些基本条件下进行的，在这些基本条件下某个事件A的发生具有某种概率. 但如果除了这些基本条件外还有附加条件，所得概率就可能不同.这些附加条件可以看成是另外某个事件B发生. 条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一. 给定一个概率空间，并希望知道某一事件A发生的可能性大小. 尽管我们不可能完全知道试验结果，但
高一物理平衡条件应用说课稿 高一物理平衡条件应用说课稿范文 《平衡条件的应用》是司南版必修1第五章"力与平衡”第4节的内容，是本章的重点内容之一;力学是高中物理的基础，所以本章内容教学的好坏关系到高中物理教学的成败，因此本章的教学尤其重要。 本节教学的主要内容有： 1.物体的静态平衡， 2.物体在某方向的平衡。本节是复习课的性质，在学习了常见力、力的合成与分解、力的平衡后学习了平衡条件的应用。同时巩固：确定研究对象、分析物体受力情况、应用物理规律列方程的解题思路，这在今后学习过程中经常用到。结合教材的内容和特点，为提高全体学生的科学素养，从新课程的“三维目标”培养学生。按教学大纲要求，结合新课标提出以下教学目标： 知识与技能： 1.了解共点力作用下物体的平衡条件在生活、生产中的应用 2.了解静态平衡和动态平衡 过程与方法 巩固：确定研究对象、分析物体受力情况、应用物理规律列方程的解题思路 情感态度与价值观
培养学生利用物理知识解决实际问题 高一学生的思维具有单一性，定势性，并从感性认识向理性认识的转变，本节的重点是：物体的静态平衡与某一方向的平衡;教学的难点是：利用平衡条件解决实际问题。 说教法 物理教学重在启发思维，教会方法。学生已经学习了力的合成与分解、力的平衡条件，可以作为教学的起点。让学生在教师的指导下，了解静态平衡与动态平衡，并通过归纳总结出确定研究对象、分析物体受力情况、应用物理规律列方程的解题思路，再进一步联系生活，通过实例讲解来巩固力的平衡的应用。使学生全面的理解教材，把握重、难点;因此，本节课综合运用直观讲授法、归纳总结和并结合多媒体手段。在教学中，加强师生双向活动，合理提问、评价，引导学生主动复习知识，并解决实际问题。 说学法 学生是课堂教学的主体，现代教育以“学生为中心”，更加重视在教学过程中对学生的学法指导，引导学生掌握新知识，较深对平衡条件的`理解。本节课教学过程中，复习力的合成与分解，力的平衡条件;通过例题讲解来引导学生积极思考、理解平衡条件的应用。巧用提问、评价激活学生的积极性，调动起课堂气氛，让学生在在轻松、自主的学习环境下完成学习任务。 说教学过程 从以上分析，教学中掌握知识为中心，培养能力为方向;紧抓重
【课题】 函数的实际应用举例 【教学目标】 知识目标： （1）理解分段函数的概念； （2）理解分段函数的图像； （3）了解实际问题中的分段函数问题． 能力目标： （1）会求分段函数的定义域和分段函数在点0x 处的函数值0()f x ； （2）掌握分段函数的作图方法； （3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 【教学重点】 （1）分段函数的概念； （2）分段函数的图像． 【教学难点】 （1）建立实际问题的分段函数关系； （2）分段函数的图像． 【教学设计】 （1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣； （2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识； （3）提供数学交流的环境，培养合作意识． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 3 m
过 程 行为 行为 意图 间 （1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． 巡视 指导 动手 求解 交流 掌握 的情 况 30 *动脑思考 探索新知 分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 说明 讲解 思考 理解 记忆 建立 分段 函数 的数 形结 合 35 *巩固知识 典型例题 例2 作出函数()1, 0, 1, x x y f x x x -
第四课时：力矩平衡条件的应用 教学目标： 一、知识目标： 1：理解有固定转动轴的物体的平衡条件； 2：能应用力矩平衡条件处理有关问题。 二、能力目标： 1：学会用数学知识处理物理问题； 2：进一步熟悉对物体的受力分析。 三、德育目标： 使学生学会要具体问题具体分析 教学重点： 力矩平衡条件的应用 教学难点： 用力矩平衡条件如何正确地分析和解决问题 教学方法： 讲授法、归纳法 教学用具： 投影仪、投影片 教学步骤： 一、导入新课 1．用投影片出示下列思考题： （1）什么是力矩的平衡？ （2）有固定准确轴的物体的平衡条件是什么？ 2、本节课我们继续学习运动有固定转动轴的物体的平衡求解问题的方法。 二、新课教学 （一）用投影片出示本节课的学习目标： 1：熟练应用力矩平衡条件解决有固定转动轴物体在转动平衡状态下的有关问题。 2：进一步提高受力分析的能力。 （二）学习目标完成过程： 1：用投影片出示例题1： 如图：BO 是一根质量均匀的横梁，重量G 1＝80N ，BO 的一端安在B 点，可绕通 过B 点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO 拉着横梁保持水平，与钢绳的夹角o 30=θ，在横梁的O 点挂一个重物，重要G 2＝240N ，求钢绳对横梁的拉力F 1： a ：分析 （1）本题中的横梁是一个有固定转动轴的物体； （2）分析横梁的受力：拉力F 1，重力G 1，拉力F 2； （3）找到三个力的力臂并写出各自的力矩： F 1的力矩：θsin 1lc F G 1的力矩：2 1 l G F 2的力矩：l G 2
b ：指导学生写出解题过程： c ：用投影片展示正确的解题过程如下： 解：据力矩平衡条件有： 02sin 211=--l G l G l F θ 由此得：N G G F 560sin 22211=+=θ d ：巩固训练： 如图所示，OAB 是一弯成直角的杠杆，可绕过O 点垂直于纸面的轴转动，杆OA 长30cm ，AB 段长为40cm ，杆的质量分布均匀，已知OAB 的总质量为7kg ，现在施加一个外力F ，使杆的AB 段保持水平，则该力作用于杆上哪一点，什么方向可使F 最小？ 2：用投影片出示例题2： 一辆汽车重1.2×104N ，使它的前轮压在地秤上，测得的结果为6.7×103N ，汽车前后轮之间的举例是2.7m ，求汽车重心的位置，（即求前轮或后轮与地面接触点到重力作用线的距离） （1）分析：汽车可看作有固定转动轴的物体，若将后轮与地面的接触处作为转动轴，则汽车受到以下力矩的作用：一是重力G 的力矩；二是前轮受到的地秤对它的支持力的力矩；汽车在两个力矩的作用下保持平衡，利用转动平衡条件即可求出重心的位置。 （2）注意向学生交代清： a ：地秤的示数指示的是车对地秤压力的大小； b ：据牛顿第二定律得到车前轮受到的支持力的大小也等于地秤的示数。 （3）学生写出本题的解题步骤，并和课本比较； （4）讨论：为什么不将前轮与地秤接触处作为转动轴？ 将前轮与地秤接触处作为转动轴，将会使已知力的力臂等于0，而另一个力（即后轮与地秤间的作用力）又是未知的，最后无法求解。 （5）巩固训练 一块均匀木板MN 长L ＝15cm ，G 1＝400N ，搁在相距D ＝8m 的两个支架A 、B 上，MA ＝NB ，重G 2＝600N 的人从A 向B 走去，如图：问人走过B 点多远时，木板会翘起来？ 三、小结： 本节课我们主要学习了运用力矩平衡条件解题的方法： 1：确定研究对象： 2：分析研究对象的受力情况，找出每一个力的力臂，分析每一个力矩的转动方向； 3：据力矩平衡条件建立方程[M 合＝0或M 顺＝M 逆] 4：解方程，对结果进行必要的讨论。 四、作业： 练习二③④
选修2-3 2.2.1 条件概率补充练习 广水一中：邓文平 一、选择题 1．下列式子成立的是( ) A ．P (A | B )＝P (B |A ) B ．0
8.2.2 条件概率 一、教学目标 （一）知识目标 在具体情境中，了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题. （二）情感目标 创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质． （三）能力目标 在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法． 二、教学重点 条件概率的概念，条件概率公式的简单应用. 三、教学难点 正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题. 四、教学过程 （一）引入课题 [教师] （配合多媒体演示） 问题1：掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率. [学生] （回答） 6 1 [教师] （引导学生一起分析）本次试验的全集Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝，设B ＝｛掷出点数为3｝，则B 的基本事件数为1. 6 1 )(＝中的元素数中的元素数Ω= ∴B B P [教师] （配合多媒体演示） 问题2：掷一个骰子，已知掷出了奇数，求这个奇数是3的概率. [学生] （回答） 3 1 [教师] （引导学生一起分析）已知掷出了奇数后，试验的可能结果只有3个，它们是1,3,5. 本次试验的全集改变为A ＝｛1,3,5｝，这时相对于问题1，试验的条件已经改变. 设B ＝｛掷出的点数为3｝，则B ＝｛3｝，这时全集A 所含基本事件数为3，B 所含基本事件数为1，则P （已知掷出奇数的条件下，掷出3）＝ 3 1 A ＝中的元素数中的元素数 B . [教师] （针对问题2再次设问）问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率，为什么结果不一样？ [学生] 这两个问题的提法是不一样的，问题1是在原有条件（即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形）下求得的；而问题2是一种新的提法，即在原有条件下还另外增加了一个附加条件（已知掷出点数为奇数）下求得的，显然这种带附加条件的概率不同于P(A)也不同P(A ∩B). [教师] （归纳小结，引出条件概率的概念）问题2虽然也是讨论事件B （掷出点数3）的概率，但是却以已知事件A （掷出奇数为前提的，这样的概率称为A 发生条件下的事件B 发生的条件概率. （板书课题——条件概率） （二）传授新知 1．形成概念 [教师] 在引入课题的基础上引出下列概念： （多媒体演示）设A 、B 是事件，用P(B|A)表示已知A 发生的条件下B 发生的条件概
《平衡条件的应用》说课稿 高一物理《平衡条件的应用》说课稿 《平衡条件的应用》是司南版必修1第五章"力与平衡”第4节的内容，是本章的重点内容之一；力学是高中物理的基础，所以本章内容教学的好坏关系到高中物理教学的成败，因此本章的教学尤其重要。 本节教学的主要内容有： 1、物体的静态平衡， 2、物体在某方向的平衡。 本节是复习课的性质，在学习了常见力、力的合成与分解、力的平衡后学习《平衡条件的应用》。同时巩固：确定研究对象、分析物体受力情况、应用物理规律列方程的解题思路，这在今后学习过程中经常用到。结合教材的内容和特点，为提高全体学生的科学素养，从新课程的“三维目标”培养学生。按教学大纲要求，结合新课标提出以下教学目标： 知识与技能： 1、了解共点力作用下物体的平衡条件在生活、生产中的应用。 2、了解静态平衡和动态平衡。 过程与方法 巩固：确定研究对象、分析物体受力情况、应用物理规律列方程的解题思路。
情感态度与价值观 培养学生利用物理知识解决实际问题。 高一学生的思维具有单一性，定势性，并从感性认识向理性认识的转变，本节的重点是：物体的静态平衡与某一方向的平衡；教学的难点是：利用平衡条件解决实际问题。 说教法 物理教学重在启发思维，教会方法。学生已经学习了力的合成与分解、力的平衡条件，可以作为教学的起点。让学生在教师的指导下，了解静态平衡与动态平衡，并通过归纳总结出确定研究对象、分析物体受力情况、应用物理规律列方程的解题思路，再进一步联系生活，通过实例讲解来巩固力的平衡的应用。使学生全面的理解教材，把握重、难点；因此，本节课综合运用直观讲授法、归纳总结和并结合多媒体手段。在教学中，加强师生双向活动，合理提问、评价，引导学生主动复习知识，并解决实际问题。 说学法 学生是课堂教学的主体，现代教育以“学生为中心”，更加重视在教学过程中对学生的.学法指导，引导学生掌握新知识，较深对平衡条件的理解。本节课教学过程中，复习力的合成与分解，力的平衡条件；通过例题讲解来引导学生积极思考、理解平衡条件的应用。巧用提问、评价激活学生的积极性，调动起课堂气氛，让学生在在轻松、自主的学习环境下完成学习任务。 说教学过程
-条件概率示范教案
2.2.1 条件概率(1) 教材分析 本节内容是数学选修2-3 第二章随机变量及其分布第二节二项分布及其应用的起始课，是对概率知识的拓展，为了导出二项分布需要条件概率和事件的独立性的概念，条件概率是比较难理解的概念，教材利用“抽奖”这一典型案例，以无放回抽取奖券的方式，通过两个思考比较抽奖前和在第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学的中奖概率，引出条件概率的概念，给出了两种计算条件概率的方法，给出了条件概率的两个性质.本课题的重点是条件概率的概念，难点是件概率计算公式的应用．通过探究条件概率的概念的由来过程，可以很好地培养归纳、推理，学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法. 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解条件概率概念、性质及计算公式，并利用公式解决简单的概率问题. 教学目标 重点: 条件概率的概念. 难点：条件概率计算公式的应用．
知识点：条件概率. 能力点：探寻条件概率的概念、公式的思路，归纳、 推理、有特殊到一般的数学思想的运用. 教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程， 体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何理解条件概率的内涵. 考试点：求解决具体问题中的条件概率. 易错易混点：利用公式时()n A 易计算错. 拓展点：有放回.抽球时(|)P B A 与()P B 的关系 教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课 在生活中我们有些问题不好解决时经常采用抽签的办法，抽签有先后，对每个人公平吗？ 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 【师生活动】师：如果三张奖卷分别用12,,X X Y 表示，其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有几种可能？能列举出来吗？ 生：有六种可能：121221211221,,,,,X X Y X YX X X Y X YX YX X YX X ． 师：用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 包含几个基本事件？