题目尽量简单，难度系数在0.1-0.5（每个题目都标上难度系数），格式如下： 1、设。。。。。。。，则。。。。。。等于（ ）（10，难度系数0.2）
第七章 多元函数微分学
1 多元函数
1．难度0.1，答案 ()2
x y + 已知函数()2,4f
x y x y =+，则(),f x y xy -= ；
2．难度0.1，答案332x y -- 已知函数()33,2f
x y x y =+，则(),f y x --= ；
3．难度0.1，答案5 已知函数()2,2x y
f
x y x y
-=
-，则()1,3f = ；
4．难度0.1，答案
12
已知函数()2,2x y
f
x y x y
-=
-，则(),0f x ?= ；
5．难度0.1，答案
22
4xy
x y +
已知函数()224,xy
f
x y x y =
+，则1,x f y ??= ???
；
6．难度0.2，答案
32
123x xy y -+ 已知函数3211,23f x xy y x y ??=-+ ???
，则(),f x y = ； 7．难度0.2，答案2
2
x xy y -+ 已知函数()22,3f
x y x y x y -+=+，则(),f x y = ；
8．难度0.2，答案222arctan
y t y x yx x ??+-? ???
已知函数()22,arctan
x
f
x y x y xy y
=+-?，则(),f ty tx = ； 9．难度0.2，答案364xy x y ++ 已知函数(),32f
x y x y =+，则()(),,f xy f x y = ；
10．难度0.2，答案()
211x y y
-+
已知函数22,y f x y x y x ?
?+=- ??
?，则(),f x y = ；
11．难度0.3，答案()
22
ln y x y -
已知函数(),4x y
x y
f x y e xye
--+=，则(),f
x y = ；
12．难度0.1，答案
(){}
2
2,4x y x y +≤
z =的定义域是 ；
13．难度0.1，答案
(){}
2
22,x y x
y R +<
z =
的定义域是 ；
14．难度0.1，答案
(){},,,x y x y x R y R >∈∈
z
=
的定义域是 ； 15．难度0.1，答案
(){},0,0,,x y x y x R y R >>∈∈
z
=
的定义域是 ； 16．难度0.2，答案
(){}2
,0,0,4x y y x y x ≥≥≤
z =的定义域是 ；
17．难度0.2，答案
(){}
2
2,49x y x
y ≤+≤
49
arcsin 222
2-+++=y x y x z 的定义域是 ；
18．难度0.2，答案
(){},44,99x y x y -≤≤-≤≤
arcsin
arccos 49
x y
z =+的定义域是 ； 19．难度0.2，答案
(){}
2
2,14x y x
y <+≤
()22
22arcsin ln 14
x y z x y +=++-的定义域是 ；
20．难度0.3，答案
(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+?<<<+
)]ln(ln[x y x z -=的定义域是 ；
21．难度0.3，答案
(){},,,2,24x y y x y x x >≤≤≤
()()ln arcsin 3z y x x =-+-的定义域是 ；
22．难度0.1，答案2
02
sin lim
x y xy
x →→= ；
23．难度0.1，答案0
()2222
00
1
lim sin
x y x y x y
→→+=+ ； 24．难度0.2，答案0
()2222
00
1
lim 52sin
34x y x y x y
→→+=+ ； 25．难度0.2，答案
14
(,)(0,0)
lim
x y →= ；
26．难度0.2，答案16
-
00
x y →→=
27．难度0.2，答案不存在
二重极限22400
lim x y xy x y →→+值为 ；
28．难度0.2，答案不存在
二重极限2630
0lim y x y
x y x +→→值为 ；
29．难度0.2，答案2
e
二重极限()102
lim 1x x y xy →→+= ；
30．难度0.3答案0
22()lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞
+=） ；
31．难度0.3答案 全平面
函数???
??=≠=0,
0,sin ),(x y x x xy
y x f 的连续范围是 ；
32．难度0.1答案22y x =
函数2222y x
z y x
+=-在 处间断；
33．难度0.1答案0xy =
函数2
sin
z x xy
=在 处间断； 34．难度0.2答案)0,0(
函数??
???=+≠++=0,00,2),(222
22
2y x y x y x xy y x f 在 点不连续；
35．难度0.2答案)0,0(
函数()
22
(,)ln f x y x y =+在 点不连续.
2 偏导数
1．难度0.2答案既非充分条件又非必要
二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是
),(y x f 在该点连续的 条件；
2．难度0.2答案2y x -
设()22,f x y xy x y π=---，则(,)
f x y x
?=? ； 3．难度0.2答案2x y -
设()2
2
,f x y xy x y e =--+，则
(,)
f x y y
?=? ； 4．难度0.3答案1-
.已知理想气体状态方程RT PV =，则
=????????P
T T V V P ； 5．难度0.1答案0
已知()()()
()()
2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ?-?≠=+??
=?，则()0,0x f = ；
6．难度0.2答案1-
已知()()()
()()
2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ?-?≠=+??
=?，则()0,1x f = ；
7．难度0.2答案y -
已知()()()
()()
2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ?-?≠=+??
=?，则()0,x f y = ；
8．难度0.2答案x
已知()()()
()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ?-?≠=+??
=?，则(),0y f x = ；
9．难度0.3
设)
cos()
2cos(),(y x y x y x f +-=
，则=')4,(ππy f ；
10．难度0.2答案 1
设y
x
y x u arcsin )1(-+=，则x u ??在(2,1)的值是 ；
11．难度0.3答案31+ 设(21)arcsin
x
u x y y
=+-，则x u ??在(1,2)的值是 ；
12．难度0.3答案1设(21)arccos
x
u x y y
=+-，则x u ??在(1,2)的值是 ；
13．难度0.2答案
2
5
设(1)arctan
x
u y y y
=+-，则x u ??在(1,2)的值是 ；
14．难度0.3答案
6
5
设2arctan (21)arctan
y x
u e y y
=+-，则x u ??在(1,2)的值是 ；
15．难度0.2答案
12
设(21)arctan
y u x x x =+-，则u
y
??在(1,1)-的值是 ； 16．难度0.2答案22ln y
x
x
设2arctan 2y u x x =+，则
u
y
?=? ； 17．难度0.2答案21
2y yx
-
设2arcsin 2y u x y =+，则
u
x
?=? ；
18．难度0.2答案2
5
设(
),z f x y x y ==+()3,4x f =
19．难度0.答案1
2
设(),ln 2y f x y x x ??=+
???，则1
x y f y
==?=? ；
20．难度0.3答案0
设2
e x
y u =， 则2u u x
y x y
??+=?? ； 21．难度0.3答案()2
221x y x x y e + 设2x y
u e
=，则2u
x y
?=??
22．难度0.2答案 0 ．
设2
sin x u xz y =+，则42u
x y z
?=??? ；
23．难度0.3答案
4
π． 曲线22:44x y z y ?+=
?Γ??=?
在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是 ；
24．难度0.3答案
2ln 2
ln ln x
y y y x - 设x
y
z ln =，则22z
x
?=? ；
25．难度0.3答案
ln ln ln 1x
y x y xy
?+
设x
y
z ln =，则2z x y
?=?? ；
26．难度0.3答案 0
设y x z u arctan =，则222222u u u
x y z
???++=??? ；
27．难度0.3答案 0
设函数()()222
1sin ,
0,0,0
x x y x f x y x
x ?+≠?=??=?，则()0,y f y = ；
28．难度0.3答案 不连续
设函数()()222
1sin ,
0,0,
x x y x f x y x
x ?+≠?=??=?，则(),f x y 的偏导函数(),x f x y 在
()0,3点处 ；
（填连续或不连续） 29．难度0.3答案 连续
设函数()()222
1sin ,
0,0,
x x y x f x y x
x ?+≠?=??=?，则(),f x y 的偏导函数(),y f x y 在
()0,3点处 ；
（填连续或不连续） 30．难度0.3答案 1
设函数()2222
2222
,0
,0,0x y xy x y x y f x y x y ?-+≠?+=??+=?，则()0,0yx f = ；
31．难度0.3答案 1-
设函数()2222
2222
,0
,0,0x y xy x y x y f x y x y ?-+≠?+=??+=?，则()0,0xy f = ；
32．难度0.3答案
2z
y
设2
2
2x y z ye
-=，则22z z
y x y
??-+=?? ；
33．难度0.3答案 4
设()2
2
,f xy x y x y -=+，则
1f f x y y
??+=?? ；
3 全微分及其应用
1．难度0.1答案 必要
函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点偏导数z x ??与z
y
??连续的 条件（填必要、充分或充要）；
2．难度0.1答案3412dx dy + 设432z x y x =+，则()1,2dz = ; 3.．难度0.2答案
22
ydx xdy
x y -+
arctan
x
z y
=
，则dz = ； 4．难度0.3答案 充分
(),f x y 在()00,x y 的一阶偏导数连续是(),f x y 在()00,x y 可微的
条件； 5．难度0.2答案
3
dx dy
+ 若(),f x y =()1,1df = ；
6．难度0.2答案dx
u =
在点()0,1处的du = ；
7．难度0.2答案22
xdy ydx
x y
-+ 设),0(arctan
≠=x x
y
z 则=dz ；
8．难度0.3答案
()()22
x y dx x y dy x y -+++
设y
x y
x y x z -+++=arctan
ln 2
2
，则d z =； 9．难度0.3答案()z dz o dz ?=+
设(),z f x y =在点()00,x y 处的全增量为z ?,全微分为dz ,则(),z f x y =在点
()00,x y 处的全增量与全微分的关系式是 ；
10．难度0.2答案
22
dx dz
+ 函数)ln(22z y x u ++=，则在点)1,0,1(A 处的全微分为 ； 11．难度0.3答案连续且两个偏导数)0,0(),0,0(y x f f ''都存在，但不可微 函数32),(y x y x f =在点)0,0(处 ； 12．难度0.3答案 B
若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是 (A ）(),z f x y =在点()00,x y 处连续； (B) ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续； (C) ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在；
(D) 曲面(),z f x y =在点()()
0000,,,x y f x y 处有切平面；
13．难度0.3答案 B
二元函数),(y x f 在点),(000y x M 处连续，且),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，这是
),(y x f 在点可微的 条件
(A)充分非必要； (B)必要非充分； (C)充分必要； (D)既非充分亦非必要； 14．难度0.3答案22
212ln y y y x dx yx xdx -+ 设2
y u x =，则du = ； 15．难度0.1答案 必要
),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的
条件；
16．难度0.1答案0.2040402004-
函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ?=?=-时有全增量
z ?= ；
17．难度0.1答案0.20-
函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ?=?=-时有全微分d z = ；
18．难度0.3答案cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ??
-?+???
?
x y u cos )(ln =,则d u = ；
19．难度0.3答案()ln z x z z x dx dy dz y x y y ??
-+ ???
z y
x
u )(=,则d u = ；
20．难度0.2答案(
)()322
22
x y z
xdx ydy zdz -++++
2
2
2
1z
y x u ++=
,则d u = ；
21．难度0.2答案不可微
(
),f x y =
()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0 处 ；
22．难度0.2答案可微的
设函数()()22
2222
221sin ,0,0,0
x y x y x y f x y x y ?++≠?+=?
?+=?
在点()0,0处是 ；
23．难度0.2答案()21edx e dy ++ 设xy z xe y =+，则()1,1dz = ； 24．难度0.2答案()2
2
2
22sin
2sin sin 2x y e x zdx y zdy zdz +++
设2
2
2sin x
y u e z +=，则du = ；
4 多元复合函数的求导法则
1．难度0.2答案
()221
sin cos sin ax e a a x b x acoax b x a b
++-????+ 设2
2)
(b
a z y e u ax ++=，而x
b z x a y cos ,sin ==，则=dx du ； 2．难度0.2答案()()
22
3222ln 3232y y y x x x y x ----
设2
ln ,,32y z u v u v y x x ==
=-，则z
x
?=? ； 3．难度0.2答案()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--
设2
2
,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则
z
v
?=? ； 4．难度0.2答案()()222ln z
x y x y x x y x y ??
+--+??-?
? 设()22
,z
u x y z x y =-=+，则
u
x
?=? ； 5．难度0.2答案2
x
设2sin z x y x ==，则
d d z
x
= ； 6．难度0.2答案()1cos yf xy
设()(),,sin ,arctan z f u v u xy v y ===，又f 为任意可微函数，则
z
x
?=? ； 7．难度0.2答案()122
1
cos 1xf xy f y +
+
设()(),,sin ,arctan z f u v u xy v y ===，又f
为任意可微函数，
z
y
?=? ； 8．难度0.3答案 D
设y z xyf x ??
= ???
，且()f u 可导，则z x x ?+?z y y ??为
(A)2xy ； (B)()2x y z +； (C)()2x y +； (D) 2z ； 9．难度0.3答案 B
设()v u f z ,=，其中e ,x u v x y -==+，下面运算中
:e x z f f I x u v -???=-+???，2
22:v f y x z II ??=??? (A)I 、II 都不正确； (B) I 正确，II 不正确； (C) I 不正确，II 正确； (D) I 、II 都正确. 10．难度0.2答案 C
设)(22y x z -=?，其中?具有连续的导数，则下列等式成立的是 (A)y z y x z x
??=?? (B) y z x x z y ??=?? (C) y z x x z y
??-=?? (D) y
z
y x z x ??-=??； 11．难度0.2答案
1
f y
设,,x y u f y z ??=
???
其中f 具有一阶连续偏导数，求u
x ?=? ； 12．难度0.2答案
1221
x f f y z
-+ 设,,x y u f y z ??=
???
其中f 具有一阶连续偏导数，求u
y ?=? ； 13．难度0.2答案
22y
f z
- 设,,x y u f y z ??=
???
其中f 具有一阶连续偏导数，求u
z ?=? ； 14．难度0.3答案1322f f ?ψ+
设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ?ψ==，其中,,f ?ψ均可微，则u
x
?=? ； 15．难度0.3答案231321f f f ??ψ++
设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ?ψ==，其中,,f ?ψ均可微，则
u
y
?=? ； 16．难度0.3答案 0
设()23y z xy x ?=+，其中?可微，则22z z
x xy y x y
??-+=?? ； 17．难度0.2答案
2
2xyf f '
- 设()
22
y
z f x y =
-，其中()f u 可微，则z x ?=? ； 18．难度0.2答案22
12y f f f
'
+ 设()
22
y
z f x y =
-，其中()f u 可微，则z y ?=? ； 19．难度0.3答案
2
z
y 设()
22
y
z f x y =
-，其中()f u 可微，则11z z x x y y ??+=?? ； 20．．难度0.3答案3
1222224y yf f x
-
设22,,y z xf x x ??= ??
?其中函数f 具有二阶连续偏导数，求
2z
x y ?=?? ； 21．难度0.3答案
112
122
f f f ???++
已知设()()z y x y x f z ,,,?==，其中?,f 均为可微函数，dz
dx
= ； 22．难度0.3答案 0
设)()(x
y x x y
u ψ?+=其中函数ψ
?,具有二阶连续偏导数，则
222
2
2222u u u x xy y x x y y ???++=???? ； 23．难度0.3答案1122222
y x x
f g g g x y y
'''''''-
+--
设),(y x x yg x y xf z +??
?
??=，其中g f ,均为二阶可微函数，则2z x y ?=?? ；
24．难度0.3答案()1122yf dx xf f dy f dz +++
设()(),,,u f xy y z f s t =+可微，则du = ；
25．难度0.2答案 1221F y F dy F F dx x x ???
?-+- ? ?????
设,y z F x y x ??
=-
???
，其中(),F u v 具有一阶连续偏导数，则dz = ； 26．难度0.2答案
()122f yf dx xf dy ++
设()(),,,z f x xy f u v =有连续偏导数，则dz = ； 27．难度0.2答案
22443
2
2x y xy
x y x y
e x y
+-+
设(
)2222
x y xy
z x y
e
+=+，则
z
x
?=? ； 28．难度0.3答案3
122
cos x f x f x y
??+
+
设(
sin ,cos z f x y =，则
z
x
?=? ； 29．难度0.2答案()2
22
4
2sin cos x
y z e y x
y y ++-
设2
22
2,cos x
y z u e z x y ++==，则
z
y
?=? ； 30．难度0.2答案()242y f x y '-?-
设()
2
2z f x y =-，则
z
y
?=? ；
5 隐函数求导法
1．难度0.2答案22
x y
x y --
设3330x y xy +-=，则
d d y
x
= ； 2．难度0.2答案
2yz
z xy
-
设函数(),z z x y =由方程333z xyz a -=所确定，则z
x
?? ；
3．难度0.2
已知20x y z ++-=，则
x
y
?=? ； 4．难度0.2答案2ln ln z dy yz zdx
xy yz y
--
设x z z y =，则d z = ；
5．难度0.2答案sin 2sin 2sin 2xdx ydy
z
+-
设222
cos cos cos 1x y z ++=，则d z = ；
6．难度0.2答案
(1)
z
x z -
设(),z f x y =为由z
e xyz =确定的隐函数，则
z
x
?=? ；
7．难度0.2答案dx
由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分
=dz ；
8．难度0.2答案 z
设
??
?
??=z y z x ?，其中?为可微函数，则z z x y x y ??+=?? ；
9．难度0.2答案
1212
1zf dx f dy
xf f ---
设(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z = ； 10．难度0.2答案
()122f yf dx xf dy ++
设()(),,,z f x xy f u v =有连续偏导数，则dz = ； 11．难度0.3答案
()
()
()()()
22221121112222122212
3
1212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++??-??
+
++
设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，则22z
x
?=? ；
12．难度0.3答案z
若(),z z x y =由方程,0y z F x x ??
=
???
确定，则z z x y x y ??+=?? ；
13．难度0.3答案
13x
z
+ 由方程组22
222
2320
z x y
x y z ?=+??++=??所确定的()y x 及()z x 的导数dz dx = ； 14．难度0.3答案626x xy
y yz
+-
+
由方程组22222
2320
z x y x y z ?=+?
?++=??所确定的()y x 及()z x 的导数dy dx = ； 15．难度0.3答案()()221x dx y dy ???''-?+-?'
+
设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ?+-=++确定的函数,其中?为可导函数,且
1?'≠-, 则dz = ； 16．难度0.3答案 0
设函数()z f u =，又方程()()d x
y
u u P t t ?=+
?确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()
u ?均可微；()(),P t u ?'连续，且()1u ?'≠. 则()
()z z
P y P x x y
??+=?? ；
多元函数微分学补充题 1.已知函数(,)z z x y =满足222z z x y z x y ??+=??，设1111u x v y x z x ?? ?=? ?=-?? ?=- ?? ，对函数(,)u v ??=， 求证 0u ? ?=?。 2.设(,,)u f x y z =，f 是可微函数，若y x z f f f x y z '''==，证明u 仅为r 的函数， 其中r = 3.设)(2 2 y x u u +=具有二阶连续偏导数，且满足2222221y x u x u x y u x u +=+??-??+??， 试求函数u 的表达式。 4.设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且0)1(=f ，(1)1f '= ，又 u f =满足0222222=??+??+??z u y u x u ，试求)(r f 的表达式。 5.函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,满足 02=???y x f ，且在极坐标系下可表成(,)()f x y h r = ，其中r =),(y x f 。 6.若1)1(,0)0(),(='==f f xyz f u 且 )(2223xyz f z y x z y x u '''=????，求u . 7.设函数)(ln 22y x f u +=满足23 2 22222)(y x y u x u +=??+??，试求函数f 的表达式. 8.设二元函数(,)||(,)f x y x y x y ?=-，其中(,)x y ?在点(0,0)的一个邻域内连续。
试证明函数(,)f x y 在(0,0)点处可微的充要条件是(0,0)0?=。 9.已知点)2,1,Q(3),1,0,1(与-P ,在平面122=+-z y x 上求一点M ,使得 ||||PQ PM +最小. 10.过椭圆13232 2 =++y xy x 上任意点作椭圆的切线, 试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值. 11.从已知ABC ?的内部的点P 向三边作三条垂线,求使此三条垂线长的乘积为最大的点P 的位置. 12.设函数)(x f 在),1[+∞内有二阶连续导数,1)1(,0)1(='=f f 且 )()(2 2 2 2 y x f y x z ++=满足02222=??+??y z x z ,求)(x f 在),1[+∞上的最大值. 13.在椭球面122222=++z y x 求一点，使函数2 22),,(z y x z y x f ++=在该点沿方向 j i l -=的方向导数最大. 14.设向量j i v j i u 34,43+=-=,且二元可微函数在点P 处有 6-=??p u f ,17=??p v f ,求p df . 15.设函数),(y x z z =由方程)(2 z xyf z y x =++所确定,其中f 可微,试计算 y z y x z x ??+??并化简. 16.设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数,且 0≠??y f ,证明对任意常数C , C y x f =),(为一直线的充分必要条件是0222='''+''''-'''x xy xy y x xx y f f f f f f f . 证: 因为C y x f =),(为一直线的充分必要条件为:由C y x f =),(所确定的隐函数
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结： 答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结： 答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线 ?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0 224: =-+-z y x π， 则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2y x y x y x xy y x f 在点 ) 0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y -
答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的 一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可 导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。 答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
6 ．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全 第五部分 多元函数微分学( 1) (x,y) (0,0) 在点 (0,0)处 ( ) (x,y) (0,0) xuv 3．设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定，则当 u y u 2 v 2 4．设 f (x, y)是一二元函数， (x 0,y 0) 是其定义域的一点， 则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。 (B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。 (C) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)可微。 (D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。 答：D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 答：A [ 选择题 ] x 3y 2z 1 0 1 ．设有直线 及平面 2x y 10z 3 0 容易题 1— 36，中等题 37—87，难题 88— 99。 。 (C) 垂直于 4x 2y z 2 0 ，则直线 L ( ) (A) 平行于 。 (B) 在上 答：C (D) 与 斜交。 (A) 连续，偏导数存在 (B) (C) 不连续，偏导数存在 (D) 答：C 连续，偏导数不存在 不连续，偏导数不存在 (A) x (B) v (C) u (D) uv uv uv 答：B y uv 2．二元函数 f (x,y) xy , 2 2 , xy 0, 5．函数 f(x,y,z) x ( )
第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式
第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。
4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件， 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法 （1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则 注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。 （3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零， 而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而 由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法 （1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。
注意： 与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限， 我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是 由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在， 但二重极限存在，但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。 （2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数
多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,
122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
多元函数微分学复习题及答案
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第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2
第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.
3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,
不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。 （2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论 （1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？ （2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组?? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时， =??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。
(C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92 ,91,91(- (D) )9 2,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要 答C 7．对于二元函数z f x y =(,)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是 （ ）。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在 答B 8．二元函数z f x y =(,)在(,)x y 00处满足关系（ ）。 (A).可微（指全微分存在）? 可导（指偏导数存在）?连续 (B).可微?可导?连续 (C).可微?可导或可微?连续，但可导不一定连续 (D).可导?连续，但可导不一定可微 答C
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令2 2 y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在2 2 0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 200 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在 整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x ' (,)21= （ A ） （A ）- 14； （B ） 14； （C ）-12； （D ）12
第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ）
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第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1(,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =，则它在点0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ．
12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 17. 曲线2226,2 x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ． 二、选择题 1. 设0x 是n R ?E 的孤立点，则0x 是E 的 （ ） (A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ?E 的内点，则0x 是E 的 （ ） (A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点． 3. 设22 2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??=? ，则(0,0)y f =( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-