第2讲垂直平分线
学习目的：线段的垂直平分线定理及逆定理应用，
重点与难点：线段的垂直平分线定理及逆定理的应用
学习过程：
一、线段的垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．我们也可用逻辑推理的方法证明这一结论．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．
求证：PA＝PB．
分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS)．
∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等
于是就有定理：
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
①这个命题是否属于“如果……那么……”的形式？
②你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式吗？
③最后再把它的逆命题写出来
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．
此定理的逆命题是；如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？我们也可以通过“证明”来解答这个问题．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P 作已知线段AB 的垂线PC ． ∵PA ＝PB ，PC ＝PC ，
∴Rt △PA C ≌Rt △PBC (HL 定理)． ∴AC ＝BC ，
即P 点在AB 的垂直平分线上． 于是就有定理：
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明： 三角形三边的垂直平分线交于一点．
4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相 等。（此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。）
例1．如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。
求证：BF CF 2=。
分析：由于?=∠120BAC ，AC AB =，可得?=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分
AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证?=∠90FAC 就
可以了.
证明：连结AF ，
∵EF 垂直平分AB （已知）
∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等） ∴B FAB ∠=∠（等边对等角）
∵AC AB =（已知）， ∴C B ∠=∠（等边对等角）
又∵?=∠120BAC （已知），∴?=∠=∠30C B （三角形内角和定理） ∴?=∠30BAF ∴?=∠90FAC
∴FA FC 2=（直角三角形中，?30角所对的直角边等于斜边的一半）
∴FB FC 2=
例2．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。
求证：CAF B ∠=∠。
分析：B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中，又B ∠，CAF ∠所在的两个三角形不全等，所以欲证CAF B ∠=∠，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ，可得FD FA =，因此ADF FAD ∠=∠，又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠，
BAD ADF B ∠-∠=∠，而BAD CAD ∠=∠，所以可证明B CAF ∠=∠.
证明：∵EF 垂直平分AD （已知），
∴FD FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. ∴ADF FAD ∠=∠（等边对等角）
∵BAD ADF B ∠-∠=∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
CAD FAD CAF ∠-∠=∠，
又CAD BAD ∠=∠（角平分线定义），∴CAF B ∠=∠
1．如图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若 AB=10cm ，则BD=______cm ；若PA=10cm ，则PB=______cm ．
∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线，AB=10cm ，PA=10cm ，
∴AD=BD=AB=×10=5（cm ），PB=PA=10cm ．
故答案为：5，10．
2、如图：已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果EC=7cm ，那么ED=_____cm ，如果∠ECD ＝60°,那么∠EDC ＝___°
3、如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．
分析：PA大于PB，理由是：如图连接PA，与直线l交于C，连接PB，BC，因为直线l为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定理得直线l上的点C到线段两端点的距离相等，即AC=BC，在三角形PBC中，根据三角形的两边之和大于第三边得到PC+BC大于PB，然后利用等量代换把其中的BC换为AC，根据图形可得证．
解：PA＞PB．理由如下：
如图，连接PA，与直线l交于点C；连接PB、BC．
因为直线l是线段AB的垂直平分线，
所以CA=AB；（2分）
因为三角形任意两边之和大于第三边，所以PC+CB＞PB；
所以PC+CA＞PB，即PA＞PB．
从图19.4.9中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．试试看，现在你会证了吗？
E
D A B
C
图19.4.9
已知：线段AB (如图)．求作：线段AB 的垂直平分线．
作法：1．分别以点A 和B 为圆心，以大于2
1
AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ． 2．作直线CD ．
直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．
练习
1． 如图，已知点A 、点B 以及直线l ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＝PB ．
(第1题)
2、如图，DE 为△ABC 的AB 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ， AC = 5，BC = 8，求△AEC 的周长。
B
A
D
E
3、在△ABC 中，AB = AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60cm 和38cm ，求AB 、BC 。
4．如图，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D .求证：D 在AB 的垂直平分线上
.
分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可.
证明：∵?=∠90C ，?=∠30A （已知），∴ ?=∠60ABC （?Rt 的两个锐角互余）
又∵BD 平分ABC ∠（已知）∴ A ABC DBA ∠=?=∠=
∠302
1
. ∴AD BD =（等角对等边）∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
5、已
知直线MN 是线段BC 的垂直平分线，垂足为O ，点P 为射线OM 上的一点，连接BP 、PC ．将线段PB 绕点P 逆时针
旋转，得到线段PQ （PQ 与PC 不重合），旋转角为α（0°＜α＜180°）直线CQ 交MN 与点D 连接ED ．
（1）如图1，当α=30°，且点P 与点O 重合时，∠CDM 的度数是 75° ； （2）如图2，当α=120°，且点P 与点O 不重合时，∠CDM 的度数是 30° ；
（3）点P 在射线OM 上运动时，∠CDM 的度数是 90°-
a ．（用含α的
代数式表示）
（1）由中垂线的性质就可以得出BO=CO ，由旋转的性质可以出PQ=OB=PC ，由三角形外角与内角的关系就可以得出∠C=15°，在△PDC 中可以求出∠CDM 的结论； （2）由轴对称的性质可以得出△PBD ≌△PCD ，就有∠PBD=∠PCD ，∠PDB=∠PDC ，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四边形的内角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，进而就可以得出∠CDM 的值．
（3）由轴对称的性质可以得出△PBD ≌△PCD ，就有∠PBD=∠PCD ，∠PDB=∠PDC ，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四边形的内角和就
可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，进而就可以得出∠CDM=（180°-a ）=90°-a ．
解：（1）∵直线MN 是线段BC 的垂直平分线， ∴BO=CO ，∠COD=90°．
∵段PB 绕点P 逆时针旋转，得到线段PQ ∴PB=PC=PQ ． ∴∠Q=∠C ．
∵∠Q+∠C=∠BPQ=30°， ∴∠C=15°， ∴∠C+∠CDM=90°， ∴∠CDM=75°． 故答案为：75°
（2）如图2，∵直线MN 是线段BC 的垂直平分线， ∴PB=PC ，BD=CD ．
∵段PB 绕点P 逆时针旋转，得到线段PQ ∴PB=PC=PQ ． ∴∠PQC=PCQ ． 在△PBD 和△PCD 中 {
PB=PC BD=CD
PD=PD ，
∴△PBD ≌△PCD （SSS ）， ∴∠PBD=∠PCD ，∠PDB=∠PDC ， ∴∠PBD=∠PCD=∠PQC ． ∵∠PQC+∠PQD=180°， ∴∠PQD+∠PBD=180°．
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ=360°， ∴∠BPQ+∠BDC=180°． ∵∠BPQ=120°， ∴∠BDC=60°． ∵∠PDB=∠PDC ， ∴∠PDC=30°． 即∠CDM=30°． 故答案为：30°；
（3）∵直线MN 是线段BC 的垂直平分线， ∴PB=PC ，BD=CD ．
∵段PB 绕点P 逆时针旋转，得到线段PQ ∴PB=PC=PQ ．
∴∠PQC=PCQ ．
在△PBD 和△PCD 中 { PB=PC BD=CD PD=PD
∴△PBD ≌△PCD （SSS ）， ∴∠PBD=∠PCD ，∠PDB=∠PDC ， ∴∠PBD=∠PCD=∠PQC ． ∵∠PQC+∠PQD=180°， ∴∠PQD+∠PBD=180°．
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ=360°， ∴∠BPQ+∠BDC=180°．
∵∠BPQ=a ， ∴∠BDC=180°-a ． ∵∠PDB=∠PDC ，
∴∠PDC=90°-a ．即∠CDM=90°-a ．
故答案为：90°-a ．
7. 如图，D 为等边三角形△ABC 内一点，DA=DB ，∠DBP=∠DBC.BP=BC ，求∠P 的度数.
【解析】正三角形内角为60°，可考虑将∠P 与三角形内角进行联系，借用内角60°以达解题目的，连DC 后易得△PBD ≌△CBD ，从而将求∠P 转化为求∠DCB. 【解】
连DC ∵BP=BC ∠PBD=∠CBD BD=BD ∴△PBD ≌△CBD.
∴∠P=∠DCB. 又BD=AD CD=CD AC=BC
∴△BCD ≌△ACD ∴∠BCD=∠ACD=21∠ACB=2
1
×60°=30° ∴ ∠P=30°
教师专业知识能力证明材料 兹有我单位王卫锋，男。该同志自2007年在我校任教以来，一直担任语文教学工作，具备语文学科扎实的基本理论和专业知识，能够独立掌握所教学科的课程标准、教材。掌握教育学心理学和教学教法的理论知识，教学基本技能，能够顺利完成教育部门和学校规定的教学工作量。能够独立完成学校规定的备课、上课、辅导、作业批改，学生测试等各项工作任务。该同志具有先进的教学理念，教学基本功扎实，教学方法灵活；课堂语言准确，重点突出；有一定的教学研究能力，对所教学科能及时进行反思教学；具有现代化的教育教学技能，能够利用优质资源进行授课，并在教学中正确运用。注重学生的课外的实践，善于启发学生，培养学生的良好习惯的养成，培养学生的创新意识。 张凯楼小学 2014年12月
教师教育教学工作量完成情况证明材料 兹有我校王卫锋同志，男。担任语文教学工作以来，完成过1--6年级循环教学工作，并一直担任班主任工作。周均课时17节以上，每学年完成教学工作量480节以上；每学期讲公开课或示范课2次，每学年评课听课评课60节以上；能够完成教育部门和学校规定的工作量。特此证明 张凯楼小学 2014年12月
教师学生管理证明材料 兹有我校王卫锋同志，男。自2007年来我校担任语文教学工作以来，完成过1-6年级循环教学工作，并担任班主任工作7年。具有较强的班级管理能力，能够根据年级段学生的年龄特征进行相应的思想教育，对学生年龄和心理特点掌握较好；注重培养低年级孩子的养成教育，培养高年级学生情操；关注留守儿童，能与学生和谐相处。所教班级班风较好，学风较浓，积极开展学生的社会实践活动，重视学生的全面发展。经常受到学生家长和学校领导的一致好评，2009年被评为沈丘县优秀班主任。特此证明 范营乡张凯楼小学 2014-12-22
高中数学第二讲证明不等式的基本方法复习课练习（含解析）新 人教A 版选修45 [整合·网络构建] [警示·易错提醒] 1．比较法的一个易错点． 忽略讨论导致错误，当作差所得的结果“正负不明”时，应注意分类讨论． 2．分析法和综合法的易错点． 对证明方法不理解导致证明错误，在不等式的证明过程中，常因对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误． 3．反证法与放缩法的注意点． (1)反证法中对结论否定不全． (2)应用放缩法时放缩不恰当． 专题一 比较法证明不等式 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比较法和作商比较法，含根号时常采用比平方差或立方差．基本步骤是作差(商)—变形—判断—结论，关键是变形，变形的目的是判号(与1的大小关系)，变形的方法主要有配方法、因式分解法等． [例?] 若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0.求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 证明：因为b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2－2(xy ＋yz ＋zx )＝ ? ????b a x 2＋a b y 2－2xy ＋? ?? ??c b y 2＋b c z 2－2yz ＋
? ????a c z 2＋c a x 2－2zx ＝? ????b a x －a b y 2＋ ? ????c b y －b c z 2＋? ?? ??a c z －c a x 2≥0， 所以b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立． 归纳升华 作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． [变式训练] 已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2 ＋1≥ab ＋a ＋b . 证明：法一 因为a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝12 [(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， 所以a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋b . 法二 a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1， 对于a 的二次三项式， Δ＝(b ＋1)2－4(b 2－b ＋1)＝－3(b －1)2≤0， 所以a 2－(b ＋1)a ＋b 2 －b ＋1≥0， 故a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋b . 专题二 综合法证明不等式 综合法证明不等式的思维方式是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立． 证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误． [例2] 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 证明：因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2 a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 则a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 归纳升华
培养指导青年教师证明材料[1] 关于徐军同志培养指导青年教师的 证明材料 本人姓名:王德亚～女～金沙县第五中学教师～在日常的教育教学中～徐军老师耐心指导我～指导内容主要有:?学科教学方法,?学生学习兴趣的培养,3、学生学习习惯的培养,4、差生的转化方法。 徐军老师采用“跟班指导”的方式长期坚持指导我～根据课改要求～怎样去理解和掌握课程标准～如何把握教材重点、难点～怎样根据学生实际去突出重点和突破难点。指导我认真备课～精心设计教案～准确选择教学方法～合理应用计算机～如何将现代信息技术与学科整合。在学生方面～指导我如何激发学生的学习兴趣、如何养成学生良好的行为习惯、如何转化后进生。徐军老师还经常深入课堂听我的课～然后进行指导～帮助我修改论文等。通过徐军老师的帮助指导～我能坚持以学生为本进行备课、上课～能不断调整和完善自己的教学计划～改进教学方法～激发学生的学习兴趣～让学生养成了良好的学习习惯～并以此为契机～对后进生进行转化～在实际教学中取得了较好的教学效果～使得我的教育教学水平有了明显的提高。 特此证明 金沙五中: 2014年9月12日 holes should correspond to each other, such as location not available round file trimming or drill holes again, but not with fire welding holes. 6.4 check on 6.4.1 Visual inspection of equipment shall be in good condition, clean, and the logo should be complete, clear,
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
关于同志专业知识和能力的证明材料 ，男，汉族，现年37岁，初级中学语文教师，1998年参加工作至今，教龄18年，一直从事语文教学和班主任工作，2007年12月，被评为中小学一级教师，他具有较深厚的专业知识、较坚实的理论基础学科知识。从教以来，一直不停的在教育教学的道路上追求、探索。先后参加班主任培训、初中级计算机培训、继续教育、教育技术培训，国培等。不断充实自我，丰富自己的专业知识。教学经验丰富。 作为一名语文教师，同志和同科同级老师一道，钻研教材，准确把握教学大纲，探讨在语文课上行之有效的教学模式，采用多种教法，激发学生学习兴趣，找到适合学生实际，并能有效提高学生知识水平的学法，记录编写成导学案，采用“五步三查”教学模式、变解疑为生疑，培养学生的创新能力，变学会为会学，注重学习方法的指导。 为了让每一个学生动起来，在短短的四十五分钟内发挥最大的效益，打造高效课堂。他开展小组合作、小组竞争、当小老师、评选班级明星、给家长发短信祝贺、奖品奖励，真正的调动学生积极性，让学生喜欢上课堂，爱上语文课。他还特别注重对教学方法的总结，每上完一节课，都会对本节课的得与失及时进行总结，写出教后反思，为以后教学提供素材和积累经验。 由于该同志积极探索教改新路，钻研新的教育教学方法，并在课堂实践中反复锤炼，多次代表学校参加优质课大赛，积极撰写教育教学论
文，获得广大师生的一致好评。2013年9月讲授的《地毯下的尘土》一课，在西华县教育体育局举办的第二十届中小学优质课评选活动中荣获一等奖。2011年5月讲授的《背影》一课，在西华县教育体育局举办的中学语文课堂教学大赛评选活动中荣获二等奖。2013年8月讲授的《乡愁》一课，在周口市教育局举办的信息技术与学科整合教学优质课评选活动中荣获一等奖。 总之，该同志具备语文学科扎实的基础理论和专业知识，独立掌握所教语文学科的课程标准、教材、教学原则和教学方法，掌握一定的现代教育技术，并在教学中正确运用，取得了显著成就，完全能够胜任当前的语文学科教学。 初级中学 2016年10 月10日
模块二：课程知识 第一章初中数学课程的性质与基本理念 第一节：影响初中数学课程的主要因素 1、初中数学课程是一门国家课程，内容主要包括课程目标、教学内容、教学过程和评价手段。它体现了郭嘉从数学教育与教学的角度，对初中阶段学生实现最终培养目标的整体规划。 2、影响初中数学课程的主要因素包括： 一、数学学科内涵：（1）数学科学本身的内涵（数学的知识、方法和意义等） （2）作为教育任务的数学学科的内涵（理解数学的整体性特征，领悟 相关的数学思想，应用数学解决问题的能力等） 二、社会发展现状：（1）当代社会的科学技术、人文精神中蕴含的数学知识与素养等 （2）生活变化对数学的影响等 （3）社会发展对公民基本数学素养的需求。三、学生心理特征。初中数学课程是针对初中学生年龄特征和知识经验而设置的，因此学生的心理特征必然会影响着具体的课程内容、 （1）适合学生的数学思维特征 （2）学生的知识、经验和环境背景 第二节、初中数学课程性质 一、基础性（1）初中阶段的数学课程中应当有大量的内容是未来公民在日常生活中必须要用到的。 （2）初中阶段的教育是每一个学生必须经历的基础教育阶段，它将为其后续生存、发展打下必要的基础。
（3）由于数学学科是其他科学的基础，因此数学课程内容也是学生在初中阶段学习其他课程的必要基础 因此，义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础 二、普及性（1）初中阶段的数学课程应当在适龄少年中得到普及，即每一个适龄的学生都有充分的机会学习它 （2）初中数学课程内容应当能够为所有适龄学生在具备相应学习条件的前提下，通过自己的努力而掌握 三、发展性
培养青年教师证明材料 XXX中学陈受培 作为一名年轻的教师最重要的就是通过学习和实践锻炼掌握各项教育技能 从而是自己成为一名合格的人民教师。自从教以来我因能得到宋泽忠老师的关怀和亲身指导倍感荣幸。他在职业道教学方法、管理学生等方面都给了我许多的指导和帮助真正发挥了“传、帮、带”的作用使我在各方面都有了较大的提高。在我工作中我首先积极主动听宋老师的课认真做好听课记录。在多次听课的过程中我慢慢体会到了他教法的灵活思维的灵动并且准确地把握住每一节课的闪光 之处在课后共同探讨课堂得失即及时做好总结与反思并在课堂中学习并模仿陈 老师课堂教学的优点在这“听--研--听--学”的过程中我受益匪浅课堂教学结 构紧了弯路少了。 宋老师还经常教育我们要上好课首先要备好学生吃透教材善于向老教师学 习学会取人之长补己之短。为此他在百忙之中还抽取时间对我进行课前辅导共同确定教学目标探讨突破重难点的方法共同设计课堂教学环节并积极参与听课活 动课后及时地与我交流讨论教学环节中需要斟酌的地方。在他的帮助和指导下我的课堂教学水平有了明显的提高教学水平在同年级中处于领先受到了领导和师 生的好评。“善于理论学习善于联系实际”“热爱学生是教师职业道德的核心热爱教育是提高教学的根本”“工作着就是快乐着”。宋老师的这些话时刻影响着我们每一个教师时刻提醒自己要以更强的责任感投入到教学工作之中不断学 习提高自身的修养。正是在陈老师孜孜不倦的教育和关怀下我一步步成长起来教育教学成绩不断提高受到了领导和广大师生的一 致好评。今后我将继续努力不断奋进争取取得更好的成绩决不辜负宋老师对我的栽培。 特此证明 2011年12月6日
2016-2017学年高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 1 比较法、 综合法与分析法课后练习 新人教A 版选修4-5 一、选择题 1．设0 答案：A 3．已知a >2，x ∈R ，P ＝a ＋1a －2，Q ＝? ????12x 2－2，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ≥Q B ．P >Q C ．P 关于 _____ 同志专业知识和能力的证明材料______ ，男，汉族，现年37岁，_________ 初级中学语文教师，1998年参加工作至今，教龄18年，一直从事语文教学和班主任工作，2007年12月，被评为中小学一级教师，他具有较深厚的专业知识、较坚实的理论基础学科知识。从教以来，一直不停的在教育教学的道路上追求、探索。先后参加班主任培训、初中级计算机培训、继续教育、教育技术培训，国培等。不断充实自我，丰富自己的专业知识。教学经验丰富。 作为一名语文教师，_____ 同志和同科同级老师一道，钻研教材, 准确把握教学大纲，探讨在语文课上行之有效的教学模式，采用多种教法，激发学生学习兴趣，找到适合学生实际，并能有效提高学生知识水平的学法，记录编写成导学案，采用“五步三查”教学模式、变解疑为生疑，培养学生的创新能力，变学会为会学，注重学习方法的指导。 为了让每一个学生动起来，在短短的四十五分钟内发挥最大的效益，打造高效课堂。他开展小组合作、小组竞争、当小老师、评选班级明星、给家长发短信祝贺、奖品奖励，真正的调动学生积极性，让学生喜欢上课堂，爱上语文课。他还特别注重对教学方法的总结，每上完一节课，都会对本节课的得与失及时进行总结，写出教后反思，为以后教学提供素材和积累经验。 由于该同志积极探索教改新路，钻研新的教育教学方法，并在课堂实践中反复锤炼，多次代表学校参加优质课大赛，积极撰写教育教学论 文，获得广大师生的一致好评。2013年9月讲授的《地毯下的尘土》一课，在西华县教育体育局举办的第二十届中小学优质课评选活动中荣获一等奖。2011 年 5 月讲授的《背影》一课，在西华县教育体育局举办的中学语文课堂教学大赛评选活动中荣获二等奖。2013 年8 月讲授的《乡愁》一课，在周口市教育局举办的信息技术与学科整合教学优质课评选活动中荣获一等奖。 总之，该同志具备语文学科扎实的基础理论和专业知识，独立掌握所教语文学科的课程标准、教材、教学原则和教学方法，掌握一定的现代教育技术，并在教学中正确运用，取得了显著成就，完全能够胜任当前的语文学科教学。 初级中学 2016年10 月10 日 （范文素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 培养指导青年教师证明材料 瓦埠中学曹宏林要我说李庆照老师真是一个认真负责的好师傅，凭着他本人在工作中的积极性、一丝不苟的敬业精神我们大家都很佩服李老师。我是一个刚参加工作不久的青年教师，我学的是英语专业。李老师带着我一起进行课堂教学讨论、备课研讨、有时也参与课题研究等等。从2006年至今。多年来因为有了李老师的培养和指导，我在教学方法，备课、课堂教学、校本研修等方面取得了较大成果。成绩显著，得到了学校其它老师们的认可和好评。 李老师在培养和指导我时采取了如下的做法： 1、在每学期开学初先制定出教学计划，让我参照执行，坚持每月听我一节课，并认真分析，与其它参与听课的老师讨论，共同分析。我利用空堂时间去听李老师的课，学习教学理论和经验方法，探讨课程新的教学方法。 2、引导我找准自己的特色、特长，并结合到教育教学实际之中，成就自己特色的课堂教学风格。 教学有法，无定法，“有法”与“无定法”之间，有着很大的探索空间，我作为一位青年教师就应在学校加强锻炼，作一个有思想，有创新，有个性有特长的好老师。这是年轻所赋予我们的要求。而作为我，有幸能得到李老师的教导和指引，在短短的几年中迅速成长，很快的适应学校教育教学，李老师为我搭建“出风头”的平台，让我有更多的机会展示自己，成就自己。因此，我在学校组织的数学教研活动，听李老师和其它老师的 公开课，听取李老师对课堂的讲评，学习老师们的优点，避免出现不应该出现的教学失误和不足，并写出教学反思，来弥补在教学中的不足。 3、李老师是用眼、用心的指导了我；引导我向理论寻求答案，终身学习，为己所用。 李老师的指导对于我的成长是外因，成长的内因李老师也没有忽视指导。他引导我用心灵去感悟教育，用热忱去打动学生。李老师引导我要学会做工作中的有心人，发现教育细节，拿捏教育分寸与火候。不能因一时的阳刚之气，一时的心头之火，造成不必要的伤害——对学生，对自己。 在教育教学工作中，李老师在指导我教育教学的同时，还告诉我用心观察学生，用心书写反思，记录自己的一言一行，书写自己的思考：“行而惑，惑而思，思而著，著而明”。李老师常说：“态度决定行动，行动决定习惯，习惯决定成功”。所以李老师的教学经验越来越丰富，教学方法和效果越来越好，在教学上取得了优异的成绩，使我受益匪浅。 2013年9月一 第2讲 不等式的证明 1．基本不等式 定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则 a ＋b 2 ≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则 a ＋ b ＋c 3 ≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则 a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n ＝k 时不等式成立推证n ＝k ＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向． 对于任意的x 、y ∈R ，求证|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. 证明：根据绝对值的几何意义，可知|x －1|＋|x |≥1， |y －1|＋|y ＋1|≥2， 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. 若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，求证：1a 2＋1 b 2≥8. 证明：因为a ＋b ＝1， 所以a 2＋2ab ＋b 2＝1. 因为a >0，b >0， 所以1 a 2＋1 b 2＝ （a ＋b ）2 a 2 ＋ （a ＋b ）2 b 2 ＝1＋2b a ＋ b 2a 2＋1＋2a b ＋a 2b 2＝2＋? ????2b a ＋2a b ＋? ?? ?? b 2a 2＋a 2 b 2≥2＋ L老师辅导青年教师证明材料 记得学校第一次安排我带中年级的时候也是诚惶诚恐,在此之前我一直担任低年级数学的教学,很担心自己及能不能带好小学阶段至关重 要的中年级,事实证明我的担心是多余的,在我最需要的时候,我遇到了李丽老师. 李老师虽然是一位非常年轻的老师,而她却是一位教学能力突出,教学实践能力强而且特别有团队意识,带着大家一起前进的好老师.她业务精湛,师德高尚,教学实绩和教科研成果大家有目共睹,深受学生和家长的喜爱. 李老师不但自己的课堂精益求精,还时常召集我们一起备课、磨课,,我,们青年教师都喜欢听她的课,也爱听她给我们评课,给予及时的指导、点拨,我受益匪浅.印象最深的是我参加县赛课的时候,李老师带着我钻研教材,制定教学目标,设计新颖的教学流程,还帮我制作精美的课件,试教的时候,大到教学环节的跟进,小到课堂语言一字一句一笑一颦,李老师都悉心指出哪里做得好,哪里还需要改进,最后不负众望,在李老师的全方位指导下获得了县一等奖的好成绩,可以说这个一等奖李老师功不可没.李老师不光是赛课这样精益求精,平时的家常课她也丝毫不马虎,她说你把每一节课当成公开课来上,那么你离名师也就不远了.她是一个说到做到的人,时时处处给我们树立榜样,她在辅导青年教师的同时,自己也不断勤思进取,取得了许多骄人的成绩,她的课在合肥市乃至安徽省都有一定的影响力2017年她是合肥市数学学科的学科带头人.李老师教研能力也特别强,撰写的论文多次获 市县大奖,有的还在CN刊物上公开发表，她带领我积极参与课题研究，我们曾经参与的省级课题已经顺利结题，现在我们又在积极参与新的课题研究，并已经取得阶段性成果。在她的带领与帮助下,我也取得了一些成绩，撰写的论文也多次获奖，去年被评为县首届学科带头人，这和李老师对我的帮助是密不可分的，可以说，没有李老师， 就没有我的今天。 相信花儿和绿叶相映生辉，更会相得益彰，孕育出美丽而丰盛的果实。在此，衷心的感谢李老师对于我和我校青年教师的帮助与鼓励。 （范文素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 证明不等式的基本方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点： 掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法； 教学难点： 理解放缩法的解题及应用。 1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。 3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。 4、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。 反证法证明一个命题的思路及步骤： 1） 假定命题的结论不成立； 2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾； 3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的； 4） 肯定原来命题的结论是正确的。 5.放缩法：放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强，必须恰到好处， 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。 类型一： 比较法、分析法和综合法去证明不等式 例1. 求证：x 2 + 3 > 3x 解析：∵(x 2 + 3) - 3x = 04 3 )23(3)23()23 (32222>+ -=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 答案：见解析 练习1. 已知a ， b ， m 都是正数，并且a < b ，求证： b a m b m a >++ 专业知识和能力证明 同志自 年 月参加工作， 年如一日，对工作兢兢业业，踏踏实实，具有强烈的事业心和责任感。认真学习大纲，努力钻研业务，教学基本功扎实，对所教学科又牢固，并根据教育学、心理学规律，运用灵活多样，切实可行的教法，使学生在轻松愉快的气氛中完成学习任务，能刻苦学习，博览群书，虚心求教，大胆创新。 该同志具备语文学科较扎实那的基础理论和专业知识，独立掌握所教学科的课程标准、教材。掌握教育学、心理学和教学法的理论知识，具有该学科必备的专业知识和学科教学技能。能顺利完成教育部门和学校规定的教学工作量，能圆满完成学校规定的备、讲、辅、批、考、评、补等教学任务。教学基本功扎实，能正确完整地传授教学内容，教法灵活，语言准确、精炼，重点突出，具有先进的教育理念，积极实施素质教育，因材施教，开发学生智力，培养学生的创新精神和实践能力。具有一定的教学研究能力，能够及时进行教学反思，积极实施素质教育，注重激发学生的学习兴趣，开发学生潜能，培养学生的创新精神、实践能力和社会责任感，能够指导学生开展研究性学习和课外实践活动。具备该学科扎实的基础理论和专业知识，并在教学中正确应用。 该同志在任教期间认真备课、讲课，精心编写教案，巧妙设计教法，作业全收全改，批改作业一丝不苟。她所书写的教案和批改的作业在学校的检查评比中总是优。教学内容正确恰当，语言准确、生动，教法灵活、有趣，板书合理规范。重点突出，难点、疑点分析透彻。能围绕目标精讲精炼，因材施教。课堂上启发诱导，激发学生的学习兴趣，使学生变被动为主动，采取教师为主导，以学生为主体，以训练为主线的教学方法。周课时数 节，能圆满完成学校交给的教学任务，所教学科优秀率达 ％ 同志的专业知识和能力证明 同志自2008年大学本科毕业以来，一直从事教学一线工作。他忠诚于党的教育事业，热爱这份太阳底下最光辉的职业。认真贯彻党的教育方针，切实履行教书育人的职责，坚持依法治教，工作责任心强，在教学上认真钻研，刻苦学习，不断提高自身的业务水平和道德修养。为提高自身能力，该同志2008年至2011年送完一届毕业生之后，选择攻读硕士研究生学位，继续在河南大学深造。两年的研究生学习，专业知识和能力得到很大提升，也使得该同志教科研方面取得突飞猛进的发展，为后期的课题研究打下了坚实的基础。 该同志有扎实的专业基础知识功底和较强的工作能力。不断地刻苦钻研业务，认真研究教材教法，研究新课程标准，注重多方位培养学生的能力和学习习惯，工作讲求实效，对学生实施因材施教，积极参加各项教研教改活动，主动参与新课程的各种培训，不时观看各种教学观摩课和报告会，不断充实自己，借鉴优秀的教学方法，提高自己的教学能力和业务水平。 积极进行教改钻研，所撰写的论文曾获得省市级优秀论文。2013年参加市优质课评比获得好评，被评为协作区优质课二等奖。2014年在市教研室组织的观摩示范课效果良好。该同志还认真辅导学生参加学科活动，所辅导的学生多次在市级以上学科竞赛中获奖，该同志也被评为优秀辅导教师。 该同志担任教育教学工作的的同时，连续多年坚持做课题研究。 他所主持的课题《新课改背景下高中数学教学语言艺术性的探索与实践》获得郑州市优秀课题一等奖，在学校各学科引起很大反响，为传统的数学课堂教学中注入一股新风气，深受师生欢迎。参与的课题《高中数学概念课的探究教学模式》、《教学反思的途径探究》、《信息技术下高中数学实验的设计与研究》获得郑州市优秀课题一等奖。 总之,该同志教学功底扎实，教育教学成绩显著。 学校 2015年10月20日 （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 第二讲证明不等式的基本方法复习课学案 （含答案） 第二讲第二讲证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法复习课复习课学习目标 1.系统梳理证明不等式的基本方法. 2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法. 3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范1比较法作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是不等式的意义及实数大小比较的充要条件证明的步骤大致是作差恒等变形判断结果的符号2综合法综合法证明不等式的依据是已知的不等式以及逻辑推理的基本理论证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式已知或已证成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握3分析法分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质.已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件执果索因，最后得到的充分条件是已知或已证的不等式一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加 以证明，所以分析法和综合法可结合使用4反证法反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围直接证明困难；需要分成很多类进行讨论；“唯一性”“存在性”的命题；结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题5放缩法放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有舍掉或加进一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；用基本不等式放缩.类型一比较法证明不等式例1若x，y，zR，a0，b0，c0.求证bcax2caby2abcz22xyyzzx证明 bcax2caby2abcz22xyyzzxbax2aby22xycby2bcz22yzacz2cax22zxba xaby2cbybcz2aczcax20，bcax2caby2abcz22xyyzzx成立反思与感悟作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法跟踪训练1设a，b为实数，0n1,0m1，mn1，求证a2mb2nab 2.证明 a2mb2nab2na2mb2mnnma22abb2mnna21mmb21n2mnabmnn2a2m2b22mna bmnnamb2mn0，a2mb2nab 2.类型二 综合法与分析法证明不等式例2已知a，b，cR，且 abbcca1，求证1abc3；2abcbaccab3abc证明1要证abc3，由于a，b，cR，因此只需证abc23，即证a2b2c22abbcca3，根据条 关于***同志培养指导青年教师的 证明材料 姓名：**，女，现年32岁，系七台河市金河中学教师，在日常的教学和工作中，***老师耐心指导，指导内容主要有：⒈语文学科教学方法；⒉班主任的管理方法。 在班级管理方面，***老师长期坚持指导**老师准确掌握学情和班情，指导制订切实可行的班务工作计划，有针对性地选择转化“差生”的方法，并特别帮助指导怎样培养班干部，让班干部成为同学的表率和老师的得力助手。***老师还多次在班主任工作经验交流会上，指导我们的班务工作。在学科教学中，***老师采用“跟班指导”的方式长期坚持指导我，根据课改要求，怎样去理解和掌握课杜郎口教学模式。***老师还经常深入课堂听**老师的课，然后进行指导，指导其认真备课，精心设计教案，准确选择教学方法。通过***老师的指导和帮助，使其班级管管理和组织能力全面提高，语文学科的教学水平有了明显的提高。 特此证明 七台河市金河学校 2009年7月10日 做一名幸福、快乐、有成就的班主任 七台河市金河中学马丽艳“做不了高山就做一棵大树，做不了大树就做一株小草，要做小草就做最绿 最嫩的那棵。”这是丁蓉老师的外公在她成为教师前对她讲的一句话。我想，现 在的我也是一株不起眼的小草，努力地吮吸阳光和雨露，总有一天我也会让自己 长成最绿最嫩的那一棵。 ———题记 2009年12月19日，我很荣幸聆听了北京专家丁蓉老师的《更新观念、改进方法、拓宽途径——做一名幸福快乐有成就的班主任》专题讲座。听了丁老师的讲座，犹如一缕温暖的阳光打开了我心灵深处的一扇窗。丁蓉老师对班主任工作做了精辟、详细的分析与总结。使我对班主任工作和职责又多了一份了解，明白了自己作为一个班主任所担负的任务是多么艰巨。整个讲座的过程中我们为她的机智风趣开怀大笑，为案例中感人的真情热泪盈眶，更为丁老师在育人过程中所使用的崭新的观念、科学的方法、多样的途径深深的震撼着！这里，我摘录了一些丁老师普通但却着实打动并震撼了我的一些话，与大家分享一下。 一、幸福、快乐、有成就五步曲: 1、择业——做一个最好的你 你自己是不是心甘情愿当老师的呢，把教师职业当做毕生的追求？我想没有 几位老师会不假思索，如果教师职业是选择的最爱，那一定是幸福的。可如果不 是呢？那就找准位置，做最合适的你。 丁蓉老师做过调查：问是不是因为喜欢教师这个职业而当老师的，700多 人中，只有20几个人是因喜欢而当老师的。其他的都不是心甘情愿当老师的。 包括她自己。她说从内心喜欢当老师的，肯定会做的很好，成为一个很有作为的 好老师。不是心甘情愿当老师的，如果你已经无法改变这个现状了，那你就不要 怨声载道了，而要试着去喜欢这个职业。做不了高山上的青松，就做山脚下的一 棵大树，做不了山脚的一棵大树，就做路旁的一棵小树，做不了路旁的一棵小树， 就做一丛灌木。学会接受改变不了的，改变能够改变的。但不管做什么就做最好 第二讲：不等式 ———————————————————————————————————————————— 第一部分 概述 不等式部分包括：解不等式；不等式的证明 在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明； 交大试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式 常用不等式及其推广： 需要适当补充一点超纲知识 柯西不等式 均值不等式及其推广 第二部分 知识补充： 1、 柯西不等式的证明 1212,,2 ((112111n n a b R a b a b n a a a n n a a a +?∈+≥≥≥++++≥≥≥ ++L L 有平方平均）算术平均）调和平均） 推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====L L L L n 柯西不等式设是实数则 当且仅当或存在一个数 使得时等号成立222222 212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++L L L ≥n n b a b a b a B Λ++=2211， b b b C n 2 2221+++=Λ222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++L L L ≥② 证明： 柯西不等式的推论一 柯西不等式的推论二 柯西不等式的应用 2AC B 不等式就是②≥()222 2121122222 121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b x b b b ==+++++++++L L L L 若全部为零，则原不等式显然成立。若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f Λ又∴二次函数()f x 的判别式0△≤, 即2222222112212124()4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b ++-++?+++L L L ≤ 证明： 22 2222 12212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++?+?++?L L L ≥ 例1已知12,,,n a a a L 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++L L ≤ 22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++L L ≥222212121()n n a a a a a a n ∴++++++L L ≤2 111,n n i i i i i a R a n a +==????∈≥ ? ?????∑∑设则例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 2 22222222 ()() ()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a ∴ ===不 第2讲几何证明选讲、不等式选讲 高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)三角形及相似三角形的判定与性质； (2)圆的相交弦定理，切割线定理；(3)圆内接四边形的性质与判定；(4)相交弦定理.本内容考查属B级要求；(5)含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求. 真题感悟 1.(2017·江苏卷)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足. 求证：(1)∠P AC＝∠CAB； (2)AC2＝AP·AB. 证明(1)因为PC是圆O的切线，所以∠PCA＝∠CBA， 又AP⊥PC，所以∠P AC＋∠PCA＝90°， 因为AB为半圆O的直径， 所以∠CAB＋∠CBA＝90°， 所以∠P AC＝∠CAB. (2)由(1)可得△P AC∽△CAB，所以AP AC＝AC AB， 所以AC2＝AP·AB. 2.(2016·江苏卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D 为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD. 证明由BD⊥AC.可得∠BDC＝90°， 由E为BC中点，可得DE＝CE＝1 2BC， 则∠EDC＝∠C，由∠BDC＝90°，得∠C＋∠DBC＝90°，又∠ABC＝90°，则∠ABD＋∠DBC＝90°， ∴∠ABD＝∠C， 又∵∠EDC ＝∠C ，∴∠EDC ＝∠ABD . 3.(2017·江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明ac ＋bd ≤8. 证明 由柯西不等式可得(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， 即(ac ＋bd )2≤4×16＝64，故ac ＋bd ≤8. 4.(2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a . 证明 由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a 3， 又|y －2|＜a 3， ∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a 3＝a . 则|2x ＋y －4|＜a 成立. 考 点 整 合 1.相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 2.(1)圆内接四边形的性质定理： ①圆的内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. 3.(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. (4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. (5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.2，∴a －2>0， P ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4. 又Q ＝? ????12x 2－2≤? ?? ??12－2＝4.∴P ≥Q . 答案： A 4．已知a ，b ∈R ，则“a ＋b >2，ab >1”是“a >1，b >1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析： ∵a >1，b >1?a ＋b >2，ab >1 a ＋ b >2，ab >1?/ a >1，b >1 举例说明a ＝3，b ＝12 . 答案： B 二、填空题 5．设a >b >0，x ＝a ＋b －a ，y ＝a －a －b ，则x ，y 的大小关系是x ________y . 解析： ∵a >b >0， ∴x －y ＝a ＋b －a －(a －a －b ) ＝b a ＋b ＋a －b a ＋a －b ＝ b a －b －a ＋b a ＋b ＋a a ＋a －b <0. 答案： < 6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若∠C ＝90°，则a ＋b c 的取值范围是________． 解析： 由题意知c 2＝a 2＋b 2≥2ab ， 即ab c 2≤12 .
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