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空间向量与立体几何知识点

空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点

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立体几何空间向量知识点总结

知识网络:

知识点拨:

1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形 法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都 是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广.

当a 、b 为非零向量时.a b=0u a 丄b 是数形结合的纽带之一,这是运用空间向

量研究线线、线面、 面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决 垂直的

论证问题.

COS C a,b >=

是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求 两异

面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取

值范围上的区别), 再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、 直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念, 通过研究方向向量与法向量之间的关系, 可以确定直线与直线、

的位置关系以及有关的计算问题.

5、 用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法

(1) 线线平行

证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2) 线线垂直

证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即

2、 4耳

3、 公式

I 直线与平面、 平面与平面等

空间向ft 的缆性运算,数ft 稅及其坐标衷示

空诃向

a

立体几河

(3) 线面平行

用向量证明线面平行的方法主要有:

① 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;

② 证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量;

③ 利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向 量. (4) 线面垂直

用向量证明线面垂直的方法主要有: ① 证明直线方向向量与平面法向量平行; ② 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5) 面面平行

① 证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ② 转化为线面平行、线线平行问题. (6) 面面垂直

① 证明两个平面的法向量互相垂直; ② 转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角

(1)求两异面直线所成角

呻片 a b

COS c a, b >=暮厲

利用公式

同讪,

故实质上应有: (2) 求线面角

求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量, 通过数量积求

出直线与平面所成角; 另一种方法是借助平面的法向量, 先求出直线方向向量与平面法向量

的夹角0,即可求出直线与平面所成的角

0,其关系是sin 0 = | cos ?

(3) 求二面角

用向量法求二面角也有两种方法: 一种方法是利用平面角的定义, 在两个面内先求出与 棱垂直的两条直线对应的方向向量, 然后求出这两个方向向量的夹角, 由此可求出二面角的 大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角, 它与二面角的大小相等或互

补.

7、运用空间向量求空间距离

空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1) 点与点的距离

点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2) 点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ① 求出该平面的一个法向量;

② 求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;

③ 求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距

「2」,

但务必注意两异面直线所成角

0的范围是 彳寸I

cos 日=cos v a, b m

离.

备考建议:

1、 空间向量的引入,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平 面位置关系的问题, 应体会向量方法在研究几何图形中的作用, 进一步发展空间想像能力和

几何直观能力.

2、 灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题.

3、 在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时,直线的方向向量与平面的 法向量有着举足轻重的地位和作用, 它的特点是用代数方法解决立体几何问题, 无需进行繁、 难的几何作图和推理论证,起着从抽象到具体、化难为易的作用. 因此,应熟练掌握平面法 向量的求法和用法.

4、 加强运算能力的培养,提高运算的速度和准确性.

第一讲空间向量及运算

一、空间向量的有关概念 1、 空间向量的定义

在空间中,既有大小又有方向的量叫做空间向量. 注意空间向量和数量的区别.

数量是

只有大小而没有方向的量. 2、 空间向量的表示方法

空间向量与平面向量一样, 也可以用有向线段来表示, 用有向线段的长度表示向量的大

I

4

a 对应的有向线段的起点是 A ,终点是B ,

3、零向量

I

4

.零向量的方向不确定,是任意的.由于零向量的 这一特

殊性,在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还

是“非零向量”. 4、 单位向量

模长为1的向量叫做单位向量.单位向量是一种常用的、重要的空间向量,在以后的学 习中还要经常用到. 5、 相等向量

向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示, 且与有向线

段的起点无关. 6、相反向量

二、共面向量 1、 定义

平行于同一平面的向量叫做共面向量. 2、 共面向量定理

若两个向量a 、b 不共线,则向量 P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对

小,用有向线段的方向表示向量的方向.若向量

I

4

a

则向量a 可以记为AB ,其模长为 长度为零的向量称为零向量,记为 长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量.若向量 I

I

4

4 a 与向量b 相等,记为 I

I

4 4

a =

b .零

长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量.

I

I

4

4

a 的相反向量记为一a

x 、y,

三、空间向量基本定理

1、定理

如果三个向量

y 、Z ,使 P = xa +yb

+zC

2、注意以下问题 (1) 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.

I

4 (2) 由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个 I

4 向量不共面,就隐含着它们都不是 0。 (3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联 的不同概念. I

I

I

4 4 4 由空间向量的基本定理知,若三个向量 a 、b 、c 不共面。那么所有空间向量所组成的 呻呻 呻 4 呻

< < <

集合就是5|P 二xa+yb +zc,x,y

, z p R},这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的,所 b C } 4

以我们把 a 'b 'c 称为空间的一个基底。 a 、

量都可构成空间的一个基底. 3、向量的坐标表示 (1) 单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直, 底,常用i' j ,

表示. (2) 空间直角坐标系

b 、

c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向 且长都为 1,则这个基底叫做单位正交基

d ;

} 4 T 」

在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 ’j 'k 以点0为原点,分别以i 、j 、k 的方

轴、Z 轴,它们都叫坐标轴.则建立了一个空间直角坐标 j 、k 都叫坐标向量. 向为正方向建立三条数轴:x 轴、y

I

4

系0 — xyz,点0叫原点,向量i 、 (3)空间向量的坐标 给定一个空间直角坐标系和向量

4

4片4

a ,且设i 、j 、k 为坐标向量,存在唯一有序数组(x ,

使得 P = x ; + yb 。 3、空间平面的表达式

空间一点P 位于平面MAB T —I T

内的充要条件是存在有序实数对 x 、y 使MP = xMA + yMB

或对空间任一定点 0,

OP = xOA+yOB +zOM (其中

x + y + z=1)这几个式子是M ,A ,B ,P 四点共面的充要条件.

I

I

4 4

b 、

c 不共面,那么对空间任一向量

I

4

■4

P ,存在唯一的有序实数组

4 y , z )使 a j 标,记为 a =(X,y ,z )。 4 弓 彳

i

=xi + yj +zk ,有序数组(x , y , z )叫做a 在空间直角坐标系 O — xyz 中的坐

对坐标系中任一点 A ,对应一个向量O A ,则O A

= a = xF+ yl + zk

。在单位正交基底 4^4 T i 、j 、k 中与向量OA 对应的有序实数组(x ,y ,z ),叫做点 A 在此空间直角坐标系中 的坐标,记为A (x , y , z ). 四、空间向量的运算 1、空间向量的加法 三角形法则(注意首尾相连) 加法的运算律:交换律 a ■1^44

结合律(

a +

b )

+ c -

、平行四边形法

, I +b =b +a

I

4 a F 4 b +)c 2、空间向量的减法及几何作法 几何作法:在平面内任取一点 指向a 的终点的向量,这就是向量减法的几何意义. T 彳 T 彳

4 4

4

O ,作OA =a ,O

B =b ,贝u BA = a —b ,即从b 的终点

3、空间向量的数乘运算 (1)定义 I

4 实数k 与a 的积是一个向量,记为 呻 扎a

4 4

②当k >0时,几a 与a 同向;当 注意: 4 几a ,它的模与方向规定如下:

,4 、 「寸

A < 0时,几a 与a 异向;当k = 0时.几a=0

4

①关于实数与空间向量的积 几a 的理解:我们可以把 a 的模扩大(当 I

4

< 1时),同时,我们可以不改变向量 a 的方向(当扎>0时),也可以改变向 以缩小(

I

4 量a 的方向(当几<0时)。 >1时),也可 I I

②注意实数与向量的积的特殊情况,当 几=0时,Aa=0 ;当几H0,若a = 0时, I

有 k a = 0。 ③ 注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算.比如 I

I

几+a ,几-a 无法运算。 (2)实数与空间向量的积满足的运算

方向向量.

注意:

②上式可解决三点 P 、A 、B 共线问题的表示或判定.

2'」,点P 为AB 的中点,这是中点公式的向量表达式.

5、空间直角坐标系

在空间直角坐标系中, 三条坐标轴两两互相垂直, 轴的方向通常这样选择: 从z 轴的正

方向看,x 轴正半轴沿逆时针方向转

90°能与y 轴的正半轴重合。让右手拇指指向

x 轴正

方向.食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,那么称这个坐标系为右手直 角坐标系。一般情况下,建立的坐标系都是右手直角坐标系.

在平面上画空间直角坐标系

0 — xyz 时,一般使/ xOy=135 °,/ yOz=90 °。

空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,是空间向量模长公式的推广, 如果知道儿何体上任意两点的坐标.我们就可直接套用.

设入、卩是实数,则有 几(4a )=(汕戶

(结合律) d

r a k +

J /a A

(第一分配律) 爲+b ih b

(第二分配律)

实数与向量的积也叫数乘向量. 4、共线向量

(1)共线向量定义

若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, I I

4 4

a //

b 。

则这些向量叫做共线向量,也

I

I

4

4

叫做平行向量。若 a 与b 是共线向量,则记为

注意:零向量和空间任一向量是共线向量. (2)共线向量定理

III

4

4

4 4

对空间任意两个向量a 、b ( b 丰0), I

I I

4 4

4

a //

b 的充要条件是存在实数 入使a =

(3)空间直线的向量表示式

如果直线I 是经过已知点 A 在直线I 上的充要条件是存在实数

I

4

且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对任一点

I

I

t ,满足等式oP=oA + ta ,其中向量a 叫做直线I 的

0,点P

①若在I 上取AB = a ,则有

&OA ) = (1-t )OA+tOB

0t0A+tAt0t0A+t (0t0A )=(i —t )0A+t0B

tJ

OPJOA+iOB

③当 2时, 2

④若P 分AB 所成比为 0?=丄亦丄0B 入,贝U 1+A

1+几

PP

2

= ^(x 2 — X

1)**■ ( y 2 - y

1)+ 亿-乙)

特别地,P i (x,y,z )到原点的距离 6、空间向量的数量积运算

TT T T TT

a b 斗 a |,| b | cos c a, b a T T

其中

[0, n ],注意数量积的性质和运算律。 1. 性质

若a 、b 是非零向量,e 是与b 方向相同的单位向量,0是a 与e 的夹角,则

TT TT T

e £ = a -e =1 a I cosQ

TT T T

若 a 与 b 同向,

贝 u a”b =|a|

■|b| ;

T T T T a= —| a | |b| ;

TT T 2 f T 特别地:a 'a

H a| 或|a|

=V a

(5)|7孑国a||b| 2. 运算律

TT TT T TTTT TTT a£=bcha=c ,(a 七)c 不一定等于 a(b 'c)

【典型例题】

例1.已知P 是平面四边形 ABCD 所在平面外一点,连结 PA 、PB 、PC 、PD ,点E 、F 、 G 、H 分别为△ PAB 、△ PBC >△ PCD 、A PDA 的重心。求证: E 、F 、G 、H 四点共面。 分别延长 PE 、PF 、PG 、PH 交对边于 M 、N 、Q 、R F 、G 、H 分别是所在三角形的重心 a 、b 的夹角,贝y cos8

(4)若0为

a 'b

T T | a n b |

设 R(X i ,y i ,Z i ),P 2(X 2, y 2,Z 2),则

|OP |= J x 2 +y 2 +z 2

若a 与b 反向,则 (1)结合律 T T T T

(A a)=j<(a 七)

(2)交换律

T T T T a= b -a

(3)分配律 不满足消去律和结合律即:

T T T TT TT

a (

b + c) =a “b + a 9

明: ?/ E 、

高中数学空间向量与立体几何测试题及答案

一、选择题 1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点,则这些向量的终点构成的图形是( ) A.一个圆 B.一个点 C.半圆 D.平行四边形 答案:A 2.在长方体1111ABCD A B C D -中,下列关于1AC 的表达中错误的一个是( ) A.11111AA A B A D ++ B.111AB DD D C ++ C.111AD CC D C ++ D.11111 ()2 AB CD AC ++ 答案:B 3.若,,a b c 为任意向量,∈R m ,下列等式不一定成立的是( ) A.()()a b c a b c ++=++ B.()a b c a c b c +=+··· C.()a b a b +=+m m m D.()()a b c a b c =···· 答案:D 4.若三点,,A B C 共线,P 为空间任意一点,且PA PB PC αβ+=,则αβ-的值为( ) A.1 B.1- C. 1 2 D.2- 答案:B 5.设(43)(32)a b ==,,,,,x z ,且∥a b ,则xz 等于( ) A.4- B.9 C.9- D. 649 答案:B 6.已知非零向量12e e ,不共线,如果1222122833e e e e e e =+=+=-, ,AB AC AD ,则四点,,,A B C D ( ) A.一定共圆 B.恰是空间四边形的四个顶点心 C.一定共面 D.肯定不共面 答案:C 7.如图1,空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E F G ,,分别是AB AD CD ,,

的中点,则2a 等于( ) A.2BA AC · B.2AD BD · C.2FG CA · D.2EF CB · 答案:B 8.若123123123=++=-+=+-,,a e e e b e e e c e e e ,12323d e e e =++,且x y z =++d a b c ,则,,x y z 的值分别为( ) A.51122--,, B.51122 -,, C.51122 --,, D.51122 ,, 答案:A 9.若向量(12)λ=,,a 与(212)=-, ,b 的夹角的余弦值为8 9,则λ=( ) A.2 B.2- C.2-或 255 D.2或255 - 答案:C 10.已知ABCD 为平行四边形,且(413)(251)(375)A B C --,,,,,,,,,则顶点D 的坐标为( ) A.7412??- ???,, B.(241),, C.(2141)-,, D.(5133)-,, 答案:D 11.在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为AC BD ,的交点,则1C O 与1A D 所成角的( ) A.60° B.90° C.3arccos 3 D.3arccos 6 答案:D 12.给出下列命题: ①已知⊥a b ,则()()a b c c b a b c ++-=···; ②,,,A B M N 为空间四点,若BA BM BN ,,不构成空间的一个基底,那么A B M N ,,,共面; ③已知⊥a b ,则,a b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④若,a b 共线,则,a b 所在直线或者平行或者重合. 正确的结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 二、填空题 13.已知(315)(123)==-,,,,,a b ,向量c 与z 轴垂直,且满足94==-,··c a c b ,则c = . 答案:2221055?? - ??? ,,

空间解析几何与向量代数论文

空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员: 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙

空间解析几何与向量代数 摘要:深入了解空间解析几何与向量代数的概念,一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律,还有空间直线与平面的关系。 关键词:向量;向量代数;空间几何 第一部分:向量代数 第一节:向量 一.向量的概念: 向量:既有大小,又有方向的量成为向量(又称矢量)。 表示法:有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小,记作|a |。 向径(矢径):起点为原点的向量。 自由向量:与起点无关的向量。 单位向量:模为1的向量。 零向量:模为0的向量,记作.0或0 若向量a 与b 大小相等,方向相同,则称a 与b 相等,记作a =b ; 若向量a 与b 方向相同或相反,则称a 与b 平行,记作a //b 规定:零向量与任何向量平行;与a 的模相同,但方向相反的向量称为a 的负向量, 记作-a ;因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上,则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则: b a +b a 三角形法则: a + b b

a 运算规律:交换律a + b =b +a a 与b 结合律:(a +b )+c =a +(b +c ) 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +(a ) a b -a b b -a a 特别当b =a 时,有a -a =a (a )=0 ; 三角不等式:|b +a |; |a -b |; 3.向量与数的乘法是一个数,与a 的乘积是一个新向量,记作a 。 规定: a 与a 同向时,|a |=|a |; 总之:|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r (x,y,z ),作om r ,则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得: |r | |OM| B A 对两点A ()与B ()因AB OB OA () 得两点间的距离公式: |AB| |AB | 第二节:数量积 向量积

(三)立体几何与空间向量

(三)立体几何与空间向量 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,P A⊥平面ABCD,P A=AB,M是PC上一点,且BM⊥PC. (1)求证:PC⊥平面MBD; (2)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值. (1)证明连接AC,由P A⊥平面ABCD, BD?平面ABCD,得BD⊥P A, 又BD⊥AC,P A∩AC=A, P A,AC?平面P AC, ∴BD⊥平面P AC,又PC?平面P AC,∴PC⊥BD. 又PC⊥BM,BD∩BM=B, BD,BM?平面MBD, ∴PC⊥平面MBD. (2)解方法一由(1)知PC⊥平面MBD, 即∠PBM是直线PB与平面MBD所成的角. 不妨设P A=1,则BC=1,PC=3,PB= 2. ∴PC2=PB2+BC2,∴PB⊥BC,又BM⊥PC, ∴sin∠PBM=cos∠BPC=PB PC=2 3 = 6 3, 故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 6 3. 方法二以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz(如图所示),

不妨设P A =AB =1, 则P (0,0,1),B (1,0,0),C (1,1,0). 由(1)知平面MBD 的一个法向量为PC → =(1,1,-1), 而PB → =(1,0,-1). ∴cos 〈PB →,PC → 〉=(1,0,-1)·(1,1,-1)2×3=63, 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为 63 . 2.如图,已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形,AC ∥DF ,四边形BCDE 为直角梯形,且DE ∥BC ,BC ⊥CD ,点G 为△ABC 的重心,N 为AB 的中点,AG ⊥平面BCDE ,M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点. (1)求证:GM ∥平面DFN ; (2)若二面角M -BC -D 的余弦值为 7 4 ,试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长AG 交BC 于点O ,连接ON ,OF . 因为点G 为△ABC 的重心, 所以AG AO =2 3,且O 为BC 的中点. 又由题意知,AM →=23AF → , 所以AG AO =AM AF =23, 所以GM ∥OF . 因为点N 为AB 的中点,

空间向量与立体几何教案(强烈推荐)

空间向量与立体几何 一、知识网络: 二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处

理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二)、知识梳理,方法定位。(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意:当我们说a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当 我们说a 、b 平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量a (a ≠)、b ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b =λa (1)对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向, 当λ<0时与a 反向的所有向量。 (3)若直线l ∥a ,l A ∈,P 为l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导的表达式。

利用空间向量解立体几何 完整版

向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ u u u r , 计算平面α的法向量n , 计算PQ u u u r 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤: ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角; ②再求其余角,即是线面的夹角. 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法

高中数学必背公式——立体几何与空间向量(供参考)

高中数学必背公式——立体几何与空间向量 知识点复习: 1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。 2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。 3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化: 线线平行 线面平行 面面平行,线线垂直 线面垂直 面面垂直。 4.求角:(1)异面直线所成的角: 可平移至同一平面;也可利用空间向量:cos |cos ,|a b θ=<>= 1212122 222 2 2 1 1 1 222 |||||| a b a b x y z x y z ?= ?++?++(其中θ(090θ<≤)为异面直线a b ,所成角,,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量)。 (2)直线与平面所成的角: 在斜线上找到任意一点,过该点向平面作垂线,找到斜线在该平面上的射影,则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角;也可利用空间向量,直线AB 与平面所成角sin |||| AB m AB m β?= (m 为平面α的法向量). (3)二面角: 方法一:常见的方法有三垂线定理法和垂面法; 方法二:向量法:二面角l αβ--的平面角cos |||| m n arc m n θ?=或cos ||||m n arc m n π?- (m ,n 为平面α,β 的法向量). 5. 求空间距离: (1)点与点的距离、点到直线的距离,一般用三垂线定理“定性”; (2)两条异面直线的距离:|| || AB n d n ?= (n 同时垂直于两直线,A 、B 分别在两直线上); (3)求点面距: || || AB n d n ?= (n 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈); (3)线面距、面面距都转化为点面距。 题型一:空间几何体的三视图、体积与表面积 例1:已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,

立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1. 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1,l 2的方向向量分别为m 1,m 2,则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ=|cos 〈m 1,m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ,n ,则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ=|cos 〈m ,n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①,AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB →,CD →〉. 2°如图②③,n 1,n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos 〈n 1,n 2〉或-cos 〈n 1,n 2〉. 2. 点面距的求法 如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到 平面α的距离d =|AB → ·n | |n | . 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. ( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角. ( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0,π2],直线与平面所成角的范围是[0,π 2],二面角的 范围是[0,π]. ( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°,则l 和α所成角为30°. ( √ ) (6)若二面角α-a -β的两个半平面α、β的法向量n 1,n 2所成角为θ,则二面角α- a -β的大小是π-θ. ( × ) 2. 已知二面角α-l -β的大小是π 3 ,m ,n 是异面直线,且m ⊥α,n ⊥β,则m ,n 所成 的角为 ( ) A.2π3 B.π 3 C.π 2 D. π6 答案 B 解析 ∵m ⊥α,n ⊥β, ∴异面直线m ,n 所成的角的补角与二面角α-l -β互补. 又∵异面直线所成角的范围为(0,π 2], ∴m ,n 所成的角为π 3 . 3. 在空间直角坐标系Oxyz 中,平面OAB 的一个法向量为n =(2,-2,1),已知点P (-1,3,2),

空间向量与立体几何知识点归纳总结52783

空间向量与立体几何知识点归纳总结 一.知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注:(1 )向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律:⑴加法交换律:a b b a +=+ ⑵加法结合律:)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律:b a b a λλλ+=+)( 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量,a 平行于b ,记作b a //。 (2)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 存在实数λ,使a =λb 。 (3)三点共线:A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 (4)与共线的单位向量为a ± 4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。 (2)共面向量定理:如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 (3)四点共面:若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一 个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++。

空间向量与立体几何知识总结

已知两异面直线 b a,,,,, A B a C D b ∈∈,则异面直线所成的角θ为:cos AB CD AB CD θ? = u u u r u u u r u u u r u u u r 例题 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M、N分别为PC、PD上的点,且M分成定比2,N分PD成定比1,求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形,从向量出发,利用向量运算法则不断进行分解,直到全部向量都用、、表示出来,即可求出x、y、z的值。 如图所示,取PC的中点E,连接NE,则。 点评:选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的一项基本功,要结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量。再对照目标,将不符合目标要求的向量当作新的所需向量,如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止,这就是向量的分解。有分解才有组合,组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明,用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量,而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F。 (1)证明:PA方形ABCD—中,E、F分别是,的中点,求:(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值; (2)二面角C—AE—F的余弦值的大小。

点评:(1)两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得,即。 (2)直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得,即 或 (3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得,它等于两法向量的夹角或其补角。 【用空间向量求距离】 例4.长方体ABCD —中,AB=4,AD=6,,M 是A 1C 1的中点,P 在线段BC 上,且|CP|=2,Q 是DD 1的中点, 求: (1)异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值; (2)M 到直线PQ 的距离; (3)M 到平面AB 1P 的距离。 本题用纯几何方法求解有一定难度,因此考虑建立空间直角坐标系,运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角,在新高考试题中已多次出现,但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离,线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深,随着新教材的推广使用,这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。 (1)平面的法向量的求法:设,利用n 与平面内的两个向量a ,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元 一次方程,联立后取其一组解。 (2)线面角的求法:设n 是平面的一个法向量,AB 是平面 的斜线l 的一个方向向量,则直线与平面 所成 角为n AB n AB ??= θθsin 则 (3)二面角的求法:①AB,CD 分别是二面角 的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角的大小为

空间解析几何与向量代数习题

第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 AB 的模是:( ) A )5 B ) 3 C ) 6 D )9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求c =3a -2b 是:( ) A ){-1,1,5}. B ) {-1,-1,5}. C ) {1,-1,5}. D ){-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求用标准基i , j , k 表示向量c ; A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是:( ) A )2 π B )4 π C )3 π D )π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下,从点A (1,2,0)移动到点B (3, 2,-1),求力F 所作的功是:( ) A )5焦耳 B )10焦耳 C )3焦耳 D )9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是:( ) A )2 π B )4 π C )3 π D )π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L :12 21 3+=-=z y x 的距离是:( ) A )138 B 118 C )158 D )1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是:( ) A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( ) A ) 3 62 B ) 3 64 C )3 2 D )3 10. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程.是:( ) A )2x+3y=5=0 B )x-y+1=0

立体几何与空间向量

中档大题规范练2 立体几何与空间向量 1.如图,在四棱锥P —ABCD 中,侧面P AD ⊥底面ABCD ,侧棱P A =PD =2,P A ⊥PD ,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AB =BC =1,O 为AD 的中点. (1)求证:PO ⊥平面ABCD ; (2)求B 点到平面PCD 的距离; (3)线段PD 上是否存在一点Q ,使得二面角Q —AC —D 的余弦值为 63?若存在,求出PQ QD 的值;若不存在,请说明理由. (1)证明 因为P A =PD =2,O 为AD 的中点, 所以PO ⊥AD ,因为侧面P AD ⊥底面ABCD , 所以PO ⊥平面ABCD . (2)解 以O 为原点,OC ,OD ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,则B (1,-1,0),C (1,0,0),D (0,1,0),P (0,0,1). PB →=(1,-1,-1),设平面PDC 的法向量为u =(x ,y ,z ),CP →=(-1,0,1),PD →=(0,1,- 1). 则????? u · CP →=-x +z =0,u · PD →=y -z =0,取z =1,得u =(1,1,1), B 点到平面PDC 的距离d =|BP →·u ||u |=33 . (3)解 假设存在,则设PQ →=λPD → (0<λ<1), 因为PD →=(0,1,-1),所以Q (0,λ,1-λ), 设平面CAQ 的法向量为m =(a ,b ,c ),

则????? m ·AC →=0,m ·AQ →=0,即????? a + b =0, (λ+1)b +(1-λ)c =0, 所以取m =(1-λ,λ-1,λ+1), 平面CAD 的法向量n =(0,0,1), 因为二面角Q —AC —D 的余弦值为 63 , 所以|m·n||m||n |=63 , 所以3λ2-10λ+3=0, 所以λ=13或λ=3(舍去),所以PQ QD =12 . 2.如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB =2AD =2,E 为AB 的中点,F 为D 1E 上的一点,D 1F =2FE . (1)证明:平面DFC ⊥平面D 1EC ; (2)求二面角A —DF —C 的大小. (1)证明 以D 为原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系, 则A (1,0,0),B (1,2,0),C (0,2,0),D 1(0,0,2). ∵E 为AB 的中点, ∴E 点坐标为(1,1,0), ∵D 1F =2FE , ∴D 1F →=23D 1E →=23 (1,1,-2) =(23,23,-43 ), DF →=DD 1→+D 1F →=(0,0,2)+(23,23,-43 )

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结 知识网络: 知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广. 2、当a 、b 为非零向量时.0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. 3、公式 cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求 两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别),再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ?=?⊥.

(3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量. (4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? , 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是 0, 2 π ?? ???, 故实质上应有:cos cos,a b θ=<> . (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=| cosφ|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补. 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距

空间解析几何与向量代数

空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1.设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //,则 B (A )、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2.平面x -2z = 0的位置是 D 。 (A)、平行XOZ坐标面。 (B)、平行OY轴 (C)、垂直于OY轴 (D)、通过OY轴 3.下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 (A)、x=1 (B)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4.已知二平面π1:mx+y-3z+1=0与π2:7x-2y-z=0当m = B π1⊥π2。 (A)、1/7 (B)、-1/7 (C)、7 (D)、-7 5.二平面π1:x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ= C 。 (A)、2 π (B)、π/3 (C)、π/4 (D)、π/6 6.下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 (A )233211+=+=-z y x (C )1 0101z y x =-=+ (B ){04404=--=--y x z x (D )?? ???==+=4321z t y t x 7.直线L 1:{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2:{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 (A )、L 1⊥L 2 (B )、L 1点P(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2.当l = -4 ,及m= 3 时,二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3.过点P(4,-1,3)且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为

立体几何与空间向量

10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 (一)基本知识梳理:见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . (二)要点梳理: 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质,特别注意:不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时,要注意讨论点在平面的同侧还是两侧,会根据不同的情况作出相应的图形. [例]已知线段AB 长为3,A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2,则AB 所在直线与平面α所成角的大小为_____; 解析:要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时,AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ;当A 、B 在平面α的两侧时,AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”;三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行,最终化归为线线平行;线面垂直、面面垂直,最终化归为线线垂直. [例]已知平面βα,,直线b a ,.有下列命题:(1) βαβα////a a ?????;(2)αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ (3)βαβα////??????⊥⊥b a b a ;(4)βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是______. 解析:立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点,基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及,要充分理解符号语言所体现的几何意义.(1)体现的是两平面平行的一个性质:若两平面平行,则一个平面的任一直线与另一平面平行.(2)要注意的是直线a 可能在平面α.(3)注意到直线与平面之间的关系:若两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.(4)根据两平面平行的判定知,一个平面两相交直线与另一个平面平行,两平面才平行.由此知:正确的命题是(1)与(3). 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ;两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下,求二面角往往是指定 的二面角,若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角(直角)情况即可. [例]设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围:(1)A 是直线倾斜角的取值围;(2)B 是锐角;(3)C 是直线与平面所成角的取值围;(4)D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到___. (答案:A C D B ???) 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解,也可以利用空间向量的方法,特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时,其所成角的大小应为||arccos a . [例]正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是AB 中点,则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为_____. (答案:515 arccos ) 特别需要注意的是:两向量所成的角是两向量方向所成的角,它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中,要抓住直线在平面上的射影,转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法,也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E

空间几何中的向量方法

第一讲:空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量 一、空间向量的坐标运算 1. 若123(,,)a a a a =r ,123(,,)b b b b =r ,则 (1)112233(,,)a b a b a b a b +=+++; (2)112233(,,)a b a b a b a b -=---; (3)123(,,),a a a a R λλλλλ=∈; (4)112233a b a b a b a b ?=++; (5)112233//,,,(0,)a b a b a b a b b R λλλλ?===≠∈; (6)1122330a b a b a b a b ⊥?++=; (7 )a == (8 )cos ,a b a b a b ?<>= = ?. 例1 已知(2,3,5),(3,1,4),a b =-=--r r 求,,8,,a b a b a a b +-?r r r r r r r 的坐标. 2.若111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r 练习1: 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M 、N 分别是AB,PC 的中点,且PA=AD=1, 求向量MN u u u u r 的坐标. 二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、 方程法 利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组,由于有三个未知数,两个方程,要设定一个变量的值才能求解,这是一种基本的方法,容易接受,但运算稍繁,要使法向量简洁,设值可灵活,法向量有无数个,他们是共线向量,取一个就可以。 例1 已知(2,2,1),(4,5,3),AB AC ==u u u r u u u r 求平面ABC 的法向量。 解:设(,,)n x y z =r ,则由,,n AB n AC ⊥⊥r u u u r r u u u r 得=0=0n AB n AC ???????r u u u r r u u u r 即220453=0x y z x y z ++=?? ++? 不妨设1z =,得12=-1 x y ?=? ???, 取1(,1,1)2n =-r

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难,下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法,起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ , 计算平面α的法向量n , 计算PQ 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤:

立体几何中的向量方法总结

立体几何中的向量方法基础篇一(几何证明) 一.求直线方向向量 1.已知()()4,2,2,2,1,1B A -且),,6(y x a =为直线AB 的方向向量,求y x ,。 二.平面的法向量 2.在空间中,已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1C B A ,求平面ABC 的一个法向量。 3.如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为正方形, 2,==⊥DC PD ABCD PD 平面,E 为PC 中点 (1)分别写出平面PDC ABCD PAD ,,的一个法向量; (2)求平面EDB 的一个法向量; (3)求平面ADE 的一个法向量。 三.向量法证明空间平行与垂直 1.如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,M AF AB ,1,2== 为EF 的中点,求 证:BDE AM 平面//

2. 如图,正方体''''D C B A ABCD -中,F E ,分别为CD BB ,'的中点,求证:ADE F D 平面⊥'。 3. 如图,在四棱锥ABCD E -中,BCE CD BCE AB 平面平面⊥⊥, 0120,22=∠====BCE CD CE BC AB ,求证:平面ABE ADE 平面⊥。 巩固练习: 1. 如图,在正方体''''D C B A ABCD -中,P 是'DD 的中点,O 是底面ABCD 的中心, (1)求证:O B '为平面PAC 的一个法向量;(2)求平面CD B A ''的一个法向量。

2. 如图,在直棱柱'''C B A ABC -中,4',5,4,3====AA AB BC AC (1)求证:'BC AC ⊥ (2)在AB 上是否存在点D ,使得'//'CDB AC 平面,若存在,确定D 点位置,若不存在,说明理由。 3. 如图,已知长方体''''D C B A ABCD -中,2==BC AB ,E AA ,4'=为'CC 的上的点,C B BE '⊥, 求证:BED C A 平面⊥' 4. 在三棱柱'''C B A ABC -中,1',2,,'===⊥⊥AA BC AB BC AB ABC AA 平面,E 为'BB 的中点,求证:C C AA AEC '''平面平面⊥

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