用数形结合时应注意的几个问题（误区） 其他学科 2011-07-24 13:29 “数形结合”它直观、形象，可避免繁杂的计算、证明等，获取出奇制胜的解法。然而，它并不是“万能”的。图形虽然直观、形象，但它是一个部分，而不是全部，甚是有些图形是有误差的，并不准确，所以我们不能以点代面，不能简单地根据图形就获取答案。就是要用到图形，我们在作图时或画草图时也要注意一些细节，不能马虎应付。用数形结合时要注意以下这几个主要事项。 1精确作图，避免潦草作图而导出的错误 在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部。常言到“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分而知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。 2.注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小 定义域是一个变量的最大范围，如果不注意转化过程是否是等价的过程，那么变量的定义域就有可能扩大或缩小了，这样，画出来的图像就会多出一部分或者少了一角，而根据这样有误差的图像，做出来的结果是会不准确的,所以注意转化过程要等价是关键的。不论是否注意到转化过程要等价，我们最好能做好一道题，就再用另外一种方法验证一下所得到的答案是否准确，这样才会有信心地保证做完一题就一定正确。 3注意图形的存在合理性，不可“无中生有” 4注意仔细观察图像，避免漏掉了一些可能的情形
5用数形结合解题尤其在证明问题时要避免逻辑循环 “形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出我们做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的，这样才有说服力，有是有效的。 数形结合的确是一个非常好，也非常实用而且重要的思想方法，应用性强。但它又是一把双刃剑，时时充满诱惑和危险。因此，我们要慎之又慎，要扬长避短，要全面合理分析，直观的同时，辅有严谨的演绎。
数形结合解零点问题 “数缺形时少直觉，形少数时难入微”（华罗庚语）.数形结合指的是在解决数学问题时，使数的问题，借助形更直观，而形的问题，借助数更理性.函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标，数形结合能给零点问题的解决带来极大的方便. 一、零点个数问题 例1 ．函数()4 f x x =+-的零点有个. 解析 : ()4 f x x =- 的零点就是方程 4x =-的解, 在同一平面直角坐标系中画出 y=4 y x =-的图象(如图1) , 可见函数 ()4 f x x =-的零点个数为1. 评注:函数() f x y=4 y=- 例2.讨论函数() f x= 解析: 和y a =的图象(如图 当0 a<时, 21 y x =-和y a =没有公共点, 函 数2 ()1 f x x a =--的零点个数为0; 当0 a=或1 a>时, 21 y x =-和y a =有2个公共点, 函数2 ()1 f x x a =-- 的零点个数为2; 当1 a=时, 21 y x =-和y a =有3个公共点, 函数2 ()1 f x x a =--的零点个数为3; (图2)
当01a <<时, 21y x =-和y a =有4个公共点, 函数2()1f x x a =--的零点个数为4. 例3.若存在区间[,]a b ,使函数()f x k =+k 的范围. 解析: 因为()f x k =+在[2,)-+∞上递增,若存在区间[,]a b ,使()f x 在[,]a b 上的值域 是[,]a b ,必有()()f a a f b b =??=?.问题转化为“求k 使关于x 的方程k x +=有两个不等实根”. 在同一平面直角坐标系中画出y =2y x =+的图象(如图3),可见当 2k =-时, y =y x k =-的图象有两个不同的公共点. 由x k -=得: 22(21)20x k x k -++-=,49k ?=+.所以当9 4 k =-时, 直线y x k =-与曲线y =. 结合图形观察得,当9 24 k - <≤-时, y =y x k =-的图象有两个不同的公共点,此时关于x 的方程k x +=有两个不等实根. 所以k 的范围是9 (,2]4 --. 评注: 由于画图精确性的限制,观察得出,这时要以数助形,运算求解. 二、零点所在区间问题 例4．函数()lg 3f x x x =+-A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，+∞) 解析:
数形结合思想在高中数学中的应用 灵宝实验高中 王少辉 一、什么是“数形结合思想”？ 数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图形语言、把抽象的数学思维变为直观的形象思维；“以数助形”有助于把握数学问题的本质。 二、什么类型的题可以用“数形结合思想”解决？ “数”和“形”是数学研究的两个基本对象。 数，通俗地说一般是指文字语言、数学符号语言、代数式等； 形，通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式的几何意义等。 既能用“数”表示，又能用“形”表示的知识就可以用数形结合思想解决。 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想，可以解决以下问题： ①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题 三、数形结合思想应用举例 （一）在集合中的应用 在这个知识点中集合的三种运算除了抽象的符号语言描述之外，还有直观的图形语言。所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。 【例1】 (1)已知B A B C A C B A C B C A N x x x U U U U U ,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求===∈≤= (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1 “数形结合”方法归纳总结 一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．二、以形助数 几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解 决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如：正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等； 一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x轴的交点；函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y轴的交点（函数在x=0时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例． 第十四讲 数形结合思想 基础知识点： 1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。 2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。 3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。 4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。 5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。 经典例题剖析 1．选择题 （1）（2007浙江）设21()1x x f x x x ??=? 数形结合思想 由于新教材新大纲把常见的数学思想纳入基础知识的范畴，通过对数学知识 的考查反映考生对数学思想和方法的理解和掌握的程度。数形结合的思想重点考查以形释数，同时考查以数解形，题型会渗透到解答题，题量会加大．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，充分发挥形的形象性、直观性、数的深刻性、精确性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到优化解题途径的作用。 例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？ 分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数 y =2x 2－3x 。和函数y =2k 的交点个数问题． 解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛物线，随着k 的变化，易知2k ＝－89 或－1≤2k ＜5时只 有一个公共点．∴ k =－ 16 9或－ 2 1≤k < 2 5. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决数（实根）的问题． 例题2．求函数u ＝t t -++642的最值． 分析：观察得2t +4+2(6－t )＝16，若设x =42+t ，y =t -6，则有x 2+2y 2=16， 再令u =x +y 则转化为直线与椭圆的关系问题来解决． 解：令42+t ＝x , t -6=y , 则x 2+2y 2=16, x ≥0, y ≥0, 再设u =x +y , 由于直线与椭圆的交点随着u 的变化而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u 取得最大值，过点(0，22)时，u 取得最小值22， 解方程组 ???=++-=16 22 2y x u x y ，得3x 2－4ux +2u 2－16=0, 令△=0, 解得u =±26 . ∴ u 的最大值为26，最小值为22． 点拨解疑：数学观察能力要求透过现象，发现本质，挖掘题中的隐含条件． 例题3．已知s = 1 322 +-t t ，则s 的最小值为 。 分析：等式右边形似点到直线距离公式． 解：|s |＝ 1 |32|2 +-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为：(x +2)t +y －3=0后易知过定点P (－2，3)，从而原点到直线 tx +y +2t －3＝0的最短距离为|OP |=13, ∴ －13≤s ≤13. 数形结合思想 一．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． (4)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位 y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位 y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→01，纵坐标伸长到原来的A 倍y ＝Af (x )． ③对称变换： y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 二、通法归纳与感悟 1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像； (3)方程(多指二元方程)及方程的曲线； (4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用． 2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则 (1)等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导． (2)双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的． 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化． (3)简单性原则 就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法． 三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点 利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解． (2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 1． (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f x ＋1 ，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A. ???? ??0，12 B. ??????12，＋∞ C. ??????0，13 D. ? ?? ??0，12 2. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1] 1. 若对任意x ∈R ，不等式 x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）C A ．1a <- B ． 1 a ≤ C ． 1 a < D ．1a ≥ 2．若圆 2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by += 的距离为,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) [5, 1212ππ ] 3．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()||| f x f x x x -<-恒成立”的只有 （ ）A （A ）1 ()f x x = （B ） ()|| f x x = （C ）()2x f x = （D ）2 ()f x x = 4. 若直线k x y +=与曲线2 1y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ( ) 2-=k 或(-1,1] 4. k x y += 表示一组斜率为1的平行直线，2 1y x -= 表示y 轴的右半圆。如图可知， [简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展，2 1y x --=，21x y -±=等。 5．若关于x 的方程2 45x x m -+=有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为________。 15m << 题型解析 例1．方程sin2x=sinx 在区间（0，2π）解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 分析：解方程f （x ）=g （x ）的问题归结为两个函数y=f （x ） 与y=g （x ）的交点横坐标，特别是求方程近似解时此方法非常有效。 解:如图 在同一坐标系内，作出y=sin2x ，x ∈(0,2π)；g=sinx ，x ∈(0,2π)的图有三个 精心整理 数形结合思想在高中数学中的应用 灵宝实验高中王少辉 一、什么是“数形结合思想”？ 数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图 所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。 【例1】 (1)已知B A B C A C B A C B C A N x x x U U U U U ,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求===∈≤= (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1 【例6】已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围. 【小结】 数形结合在函数中的应用，主要体现在函数图象的应用中 （1）二次函数求给定区间上的最值问题 （2 （3 解析 画出 函数y 1答案 解析 在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示. 由图 象知当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解. 答案 (0，＋∞) 【跟踪训练3】已知函数???>-≤+=0 ,130,)(x x x a e x f x (a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) 高中数学：用数形结合的方法，解决不等式的问题 高中数学竞赛昨天 数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。正如华罗庚先生所说的：“数形结合千般好”，其特征主要体现是将代数问题几何化，即通过图形反映相关的代数关系，从而直观地解决有关的代数问题。一. 解含参不等式在解决含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长。如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简 练地得到解决。例1. 已知，解关于x的不等式。解：如图 1所示，在同一坐标系中，作和的图象。 图1解和交点的坐标，即在时，由，得。由图1知，当时，曲线的上方。所以原不等式的解集为：例2. 已知，解关于x的不等式。解：如图2所示，在同一坐标系中，作曲线及直线：。联立和，解得 。图2由图2知，曲线C在直线上方部分的点的横坐标范围，即为原不等式的解集：。二. 确定参数的范围在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观而易于理解。 例3. 求实数a的范围，使当时，不等式恒成立。解：原不等式变形得：令如图3所示，在同一坐标系中作出曲线C：和直线。由于直线 恒经过定点，由图3可知，要使在 时恒成立，直线应在原点下方，即斜率a应该大于。所以a的取值范围 是。图3例 4. 已知关于x的不等式 的解集为，求实数a、b的值。解：将原不等式同解变形为如图4所示，在同一坐标系中作出曲线 和直线。图4根据题意，求出直线和曲线C的交点，将坐标代入的方程得： 解之得：三. 证明不等式把要证明的不等式赋予一定的几何意义，将使复杂的证明问题获得明快解决。例5. 已知：。求证：。分析：表示原点到点的距离，利用这种几何意义，问题就变得很简单了。证明： 高中数形结合问题总 结 数形结合思想在高中数学中的应用 灵宝实验高中 王少辉 一、什么是“数形结合思想”？ 数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图形语言、把抽象的数学思维变为直观的形象思维；“以数助形”有助于把握数学问题的本质。 二、什么类型的题可以用“数形结合思想”解决？ “数”和“形”是数学研究的两个基本对象。 数，通俗地说一般是指文字语言、数学符号语言、代数式等； 形，通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式的几何意义等。 既能用“数”表示，又能用“形”表示的知识就可以用数形结合思想解决。 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想，可以解决以下问题： ①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题 三、数形结合思想应用举例 （一）在集合中的应用 【知识点】集合的基本运算 在这个知识点中集合的三种运算除了抽象的符号语言描述之外，还有直观的图形语言。所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。 【例1】 (1)已知B A B C A C B A C B C A N x x x U U U U U ,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求===∈≤=I I I (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1 数形结合思想在高中数学中得应用 灵宝实验高中 王少辉 一、什么就是“数形结合思想”? 数形结合就是一种数学思考方法;就是数学研究与学习中得重要思想;也就是解决数学问题得有效方法。“以形助数"可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化;能够把抽象得数学语言变为直观得图形语言、把抽象得数学思维变为直观得形象思维;“以数助形"有助于把握数学问题得本质、 二、什么类型得题可以用“数形结合思想”解决? “数”与“形”就是数学研究得两个基本对象。 数,通俗地说一般就是指文字语言、数学符号语言、代数式等; 形,通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式得几何意义等、 既能用“数”表示,又能用“形”表示得知识就可以用数形结合思想解决。 数形结合得思想方法就是数学教学内容得主线之一,应用数形结合思想,可以解决以下问题: ①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题 三、数形结合思想应用举例 (一)在集合中得应用 【知识点】集合得基本运算 以在解决某些集合得运算问题时,我们可以用数形结合思想。 【例1】 (１)已知B A B C A C B A C B C A N x x x U U U U U ,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求===∈≤= (２)已知集合A={ｘ|－2≤x≤7},B＝｛x|m＋1 题型一 数形结合解决方程的根的个数问题 1.对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝? ??? ? a 2－a b ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关 于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是 ________． 2.已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2， 则方程f (x )＝lg x 解的个数是 ( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．10 题型二 数形结合解不等式问题 3. 已知函数f (x )＝? ???? －x 2＋2x ， x ≤0， ln (x ＋1)， x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0] 4.已知函数y ＝|x 2 －1| x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围 是________． 5.设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝4 3x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，则实数a 的取值范围为________________ 6.已知不等式x 2＋ax －2a 2<0的解集为P ，不等式|x ＋1|<3的解集为Q ，若P ?Q ，则实数a 的取值范围为__________________ 题型三 数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题 7..已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最 大值是 ( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 2 2 8..在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组???? ? 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0， 3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则 直线OM 斜率的最小值为 ( ) A ．2 B ．1 C ．－13 D ．－12 9..已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则b a ＋1 的取值范围为 ( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－2,1] D ．(－2,即 10.已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足? ???? x －2y ＋1≥0， |x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．[2,16] C ．[4,10] D ．[4,16] 题型四 数形结合解几何问题 11．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2 数形结合思想在数列问题中的体现 摘要：从课程目标出发，在数学教学中运用数形结合的形象特点，逐步训练学生的抽象思维，引导学生用对立统一的观点来全面的认识客观事物的运动、变化和发展，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界观. 关键词：数学教学；数形结合；对立统一； 对于数列问题，人们习惯用代数的思维方式和方法解决.但是，如果将数形结合的数学思想渗透到数列问题中，运用数形结合的思想和方法看待和解决数列问题，往往会有事半功倍的效果. 高中数学教材中对数列的本质有如下描述： 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 既然数列可以看作一列函数值，那么数列就可以用图象来表示，显然，数列的图象是一群孤立的点. 对于等差数列，因为其通项公式a n =a 1+(n-1)d=dn+(a 1-d),即a n 是n 的一次函数，所以，等差数列的图象是分布在直线y=dx+(a 1-d)上的一群孤立的点，并且，当d>0时，y=dx+(a 1-d)是增函数，当d<0时，y=dx+(a 1-d)是减函数.利用这些观点解决某些数列问题，既快捷又直观. 例1．在等差数列{a n }中，a 1>0，且3a 8=5a 13，则S n 中最大的是（ ） A ．S 21 B ．S 20 C ．S 11 D ．S 10 分析：由3a 8=5a 13，得 3 5 138=a a ，又a 1>0,∴a 8>a 13 ,∴数列{ a n }递减，如图1，设AB=x ，由相似三角形得， 5 35=+x x ，得x=7.5,所以a n 的图象所在直线与x 轴交点为（20.5，0），显然S n 中最大的是S 20. 教学中运用数形结合的形象特点，使抽象的数学问题尽可能地形象化，逐步训练学生的抽象思维. 例2．已知数列{a n }中，a 1=15,3a n+1=3a n -2 ,则该数列中相邻两项的乘积为负的项是（ ） A ．a 21和a 22 B ．a 22和a 23 C ．a 23和a 24 D ．a 24和a 25 分析：由3a n+1=3a n -2得，a n+1-a n =32-，所以公差d=3 2-，如图2， ,DE AD BC AB = ,11532 x =∴x=22.5,所以，a n 的图象所在直线与x 轴的交点为（23.5,0）,故选C. 学号： 数形结合思想在中学数学中的应用 学院名称：数学与信息科学学院 专业名称：数学与应用数学专业 年级班别： 姓名： 指导教师： 2012年05月 数形结合思想在中学数学中的应用 摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。 数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。 关键词数与形；数形结合；中学数学 The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number. The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and numberthought in the middle school problem solving and so on.Through the analysis, comparison and induction,it showsthe combination of shapes and number thought's characteristic and advantagesin the problem solving, which in 数形结合思想 由于新教材新大纲把常见的数学思想纳入基础知识的范畴，通过对数学知识的考查反映考生对数学思想和方法的理解和掌握的程度。数形结合的思想重点考查以形释数，同时考查以数解形，题型会渗透到解答题，题量会加大．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，充分发挥形的形象性、直观性、数的深刻性、精确性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到优化解题途径的作用。 例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？ 分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数 y =2x 2－3x 。和函数y =2k 的交点个数问题． 解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛 物线，随着k 的变化，易知2k ＝－89或－1≤2k ＜5时只有一个公共点．∴ k =－169或－21≤k <2 5. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相 应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决 数（实根）的问题． 例题2．求函数u ＝t t -++642的最值． 分析：观察得2t +4+2(6－t )＝16，若设x =42+t ，y =t -6，则有x 2+2y 2=16，再令u =x +y 则转化为直线与椭圆的关系问题来解决． 解：令42+t ＝x , t -6=y , 则x 2+2y 2=16, x ≥0, y ≥0, 再设u =x +y , 由于直线与椭圆的交点随着u 的变 化而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u 取得最大 值，过点(0，22)时，u 取得最小值22， 解方程组 ???=++-=16 222y x u x y ，得3x 2－4ux +2u 2－16=0, 令△=0, 解得u =±26. ∴ u 的最大值为26，最小值为22． 点拨解疑：数学观察能力要求透过现象，发现本质，挖掘题中的隐含条件． 例题3．已知s =1 322+-t t ，则s 的最小值为 。 分析：等式右边形似点到直线距离公式． 解：|s |＝1 |32|2+-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为： 数形结合在高中数学各个知识模块中的应用 数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚教授曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。 数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一。新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想。教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。下面举例说明数形结合思想在各模块中的应用。 一、利用数形结合解决集合问题 图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。 例1 若I为全集，M、N I，且M∩N=N，则（）。 A.I M I N B.M I N C.I M I N D.M I N 提示：由韦恩图可以很容易知道答案为C。 二、方程与函数中的数形结合 函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其是较为繁琐的（如分类讨论、求参数的范围等）问题时要充分发挥图象的直观作用，如：求解函数的值域时，可给一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度（两点间的距离）等，把代数中的最值问题转化为几何问题，实现数形转换。 方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y= f（x）和y=g（x）的图象的交点个数问题。 不等式f（x）＞g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图象位于函数y=g（x）的图象上方的那部分点的横坐标的集合。 例2 设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）。 A.（-1，1） B.（－1，＋∞） C.（-∞，－2）∪（0，+∞） D.（-∞，－1）∪（1，+∞） 分析:本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及借助数形结合思想解决问题的能力。 1. 若对任意x R ，不等式 x≥ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是（） C A ．a 1B． a ≤ 1C． a 1 D． a ≥ 1 2．若圆 x2y24x 4 y 10 0 上至少有三个不同点到直线l : ax by 的距离为 2 2 , 5 则直线l 的倾斜角的取值范围是 , ( )[12 12 ] 3 ．在下列四个函数中，满足性质：“ 对于区间(1,2) 上的任意 x 1 , x 2 (x 1 x 2 ) ， | f (x1) f (x2 ) | | x2x 1 | 恒成立”的只有（）A （A） f (x)1 （ B） f x | x |（C） f (x) 2x（D） f (x) x2 x 4.若直线y x k 与曲线 x 1 y 2恰有一个公共点，则k 的取值范围是( ) k 2 或(-1,1] 4.y x k 表示一组斜率为 1 的平行直线，x1y 2 表示 y 轴的右半圆。如图可知， [ 简要评述 ]数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展， x1y 2， y 1 x2等。 5．若关于 x 的方程x2 4 x5m 有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为________。 1 m 5 题型解析 例 1．方程sin2x=sinx在区间（0，2π）解的个数为（）y （ A ） 1（B）2（C）3（D）4g o f x 分析：解方程 f （ x） =g（ x）的问题归结为两个函数y=f （ x） 与 y=g （ x）的交点横坐标，特别是求方程近似解时此方法非常有效。 解 :如图在同一坐标系内，作出y=sin2x ，x∈ (0,2π )； g=sinx ，x∈ (0,2π )的图有三个 交点，故方程sin2x=sinx 在 (0,2π )内有三个解。 一般情况下将方程化为一端为曲线，一端为动直线时，解题较为简单，考查逻辑思维能 力与计算能力，还体现了化归与转化和分类讨论的思想。 练习设f(x)是定义在R上以2为周期的函数,对于K∈ Z用Z k表示区间(2k-1,2k+1),已知x ∈ Z0时,有f(x)=x2。 (1)求 f(x) 在Z k上的解析式。 (2) 对于自然数 K, 求集合 M K ={a|使方程 f(x)=ax在 Z k上有两个不相等的实根}。 解 (1) 如右图从图形可以看出 f(x)= (x2k) 2。y (2) 如下图由 f(x)=ax,x∈ Z k, 得( x2k ) 2=ax o x 即 x2-(4k+a)x+4 k2=0,考察函数f(x)= x2 -(4k+a)x+4k 2，x∈(2k-1,2k+1)的图象位置 , 依题意该函数图象在(2k-1,2k+1)内必与 x 轴有两个不同交点。则有 △＞ 0y f(2k-1)＞ 0 f(2k+1)≥ 02k 2k-1＜(4k+a)/2＜ 2k+1o2k-12k+1x 从中解得 :0
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