新人教A 版高二数学同步测试（1）—（2-1第一章）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．函数f （x ）=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是 （ ）
A ．ab =0
B ．a +b =0
C ．a =b
D ．a 2+b 2
=0 2．“至多有三个”的否定为 （ ） A ．至少有三个 B ．至少有四个 C ．有三个 D ．有四个
3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p ：肖像在这个盒
子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ） A ．金盒里 B ．银盒里 C ．铅盒里 D ．在哪个盒子里不能确定 4．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是 （ ）
A ．)2,2(-
B ．]2,2(-
C ．]2,(-∞
D ．)2,(--∞
5．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是 （ ） A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数 6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而
他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ） A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 7．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则 （ ） A ．p 真q 真 B ．p 假q 真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 假 8．条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件 9．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
A ．－
2
1
＜x ＜3 B ．－
21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜2
1 D ．－1＜x ＜6
10．设原命题：若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况
是
（ ）
A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．下列命题中_________为真命题．
①“A ∩B =A ”成立的必要条件是“A B ”； ②“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题； ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
12．若p ：“平行四边形一定是菱形”，则“非p ”为___ _____．
13．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，则s 是q 的 条
件，r 是q 的 条件，p 是s 的 条件．
14．设p 、q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，那么非p 是非q 的 条件． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假． （1）矩形的对角线相等且互相平分； （2）正偶数不是质数．
16．（12分）写出由下述各命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题，并指出
所构成的这些复合命题的真假． （1）p ：连续的三个整数的乘积能被2整除，q ：连续的三个整数的乘积能被3整除；
（2）p ：对角线互相垂直的四边形是菱形，q ：对角线互相平分的四边形是菱形；
17．（12分）给定两个命题,
P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数
根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
18．（12分）已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么
（1）s 是q 的什么条件？ （2）r 是q 的什么条件？ （3）p 是q 的什么条件？
19．（14分）设0 4 1 ． 20．（14分）求证：关于x 的方程x 2+2ax +b =0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条 件是a ≥2且|b | ≤4.． 参考答案 一、 1．D ；解析：若a 2+b 2=0，即a =b =0时，f （－x ）=（－x ）|x +0|+0=－x |x |=－f （x ） ∴a 2+b 2=0是f （x ）为奇函数的充分条件.又若f （x ）为奇函数即f （－x ）=－x |（－x ）+a |+b =－（x |x +a |+b ），则必有a =b =0，即a 2+b 2=0，∴a 2+b 2=0是f （x ）为奇函数的必要条件. 2．B ；提示：这是一个含有量词的命题的否定． 3．B ；本题考查复合命题及真值表．解析：∵p=非r ，∴p 与r 一真一假，而p 、q 、r 中有且只有一个真命题，∴q 必为假命题，∴非q ：“肖像在这个盒子里”为真命题，即：肖像在银盒里．评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握. 4．B ；解析：注意二次项系数为零也可以． 5．A ；解析：对“a 和b 都不是偶数”的否定为“a 和b 不都不是偶数”，等价于“a 和b 中至少有一个是偶数”． 6．D ；解析：该题考察的是互为逆否命题的真值相同，也就是在选项中找到该命题逆否命题． 7．B ；解析：由“非p ”为真可得p 为假，若同时“p 或q ”为真，则可得q 必须为真． 8．A ；解析：由我们学习过的不等式的理论可得 q p ?，但1.0,100==y x 满足q ：2>+y x ， 1>xy ，但不满足q ，故选项为B ． 9．D ；解析：由2x 2－5x －3＜0，解得－2 1 ＜x ＜3，记为P ，则①P ?A ，②B P ，B 是P 的充分非必要条件，③C P ，C 既不是P 的充分条件，也不是P 的必要条件，④D P ，P D ， D 是P 的必要不充分条件． 10． A ；提示：举例：a =1.2，b =0.3，则a +b =1.5<2，∴逆命题为假． 二、 11．②④； 解析：本题是一道开放性题，考查四种命题间的关系及充要条件． ①A ∩B =A ?A ?B 但不能得出A B ，∴①不正确； ②否命题为：“若x 2+y 2≠0，则x ，y 不全为0”，是真命题； ③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题； ④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题． 12．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形； 解析：本题考查复合命题“非p ”的形式，p ：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p ”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题． 第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可． 13．必要，充分，必要． 提示：画出箭头图． 14．必要不充分． 三、 15．本题考查四种命题间的关系． 解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）． 否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）． 逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）． （2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）． 否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）． 逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）． 16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式： p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除. p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除. 非p ：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除. ∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数， ∴p 真，q 真，∴p 或q 与p 且q 均为真，而非p 为假. （2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式： p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非p ：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. ∵p 假q 假，∴p 或q 与p 且q 均为假，而非p 为真. 17．解：对任意实数x 都有012 >++ax ax 恒成立? ??=?00 0a a 或 40<≤?a ；关于x 的方程02=+-a x x 有实数根4 1 041≤?≥-?a a ；如果P 正确， 且Q 不正确，有44 1 41,40<<∴><≤a a a 且；如果Q 正确，且P 不正确，有 041,40<∴≤