毕业设计（论文）题目范德蒙德行列式的研究与应用
院（系）数理学院
专业班级xxxxxx
学生姓名xxx 学号xxxx
指导教师xxxx 职称xxx
评阅教师xxxx 职称xxxx
2014年5 月30日
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3）其它
学生毕业设计（论文）原创性声明
本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
毕业设计（论文）作者（签字）：
年月日
重庆科技学院本科生毕业设计摘要
摘要
行列式最早出现于16世纪线性方程组的求解问题中。范德蒙德行列式是《线性代数》的重要内容和研究工具。同时是近代线性代数的一个重要分支。在许多方面都有着广泛的应用，它是后续课程，线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。范德蒙德行列式不仅是形式优美，同时有着广泛的应用。
首先明确什么是范德蒙德行列式。了解范德蒙德行列式的证明过程。然后探讨它在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论中以及行列式计算中的应用，对范德蒙德行列式应用于n阶行列式的计算进行探讨。在向量空间理论中，会经常遇到需要用范德蒙德行列式转化的问题，通过转化很容易就能够得到所需结论的方法进行探讨。在线性变换中巧妙的使用范德蒙德行列式的方法进行探讨。在多项式理论中利用范德蒙德行列式涉及到求根方法进行探讨。
关键字：范德蒙德行列式线性方程组向量空间线性变换
ABSTRACT
The determinant appeared at the earliest which was used to solve the problem concerning the liner equations in 16 centuries, but the day was up to now the theoretical application in determinant was far used in lots of domains. Vandermonde’s determinant is regar ded an a kind of special determinant, which not only have the special form but also have the extensive application.
Firstly, we should know what is the Vandermonde’s determinant, then，understanding the proof of Vandermonde’s determinant’s process, finally,we inquired into the Vandermonde’s determinant in vector space、linear transformation、polynomial theories and determinant’s calculation of application. For Vandermonde’s determinant used in n determinant calculation in order to exploring. In the vector space theory, it will often encounter problems which need Vandermonde’s determinant to transformating. By converting ,it is very easy to be able to get the necessary conclusions to exploring ways. Linear transformation in clever ways to use Vandermonde’s determinant to explore. Using Vandermonde’s determinant involves rooting methods are discussed in the polynomial theory.
Keywords:Vandermonde’s determinant；liner equations；vector space；linear transformation
目录
摘要.............................................................................................................................................................. I ABSTRACT ....................................................................................................................................................II 目录............................................................................................................................................................. III
1 绪论 (1)
2 问题分析 (3)
3.1范德蒙德行列式的定义以及它的计算方法 (4)
3.2范德蒙德行列式的化简 (5)
3.3范德蒙德行列式的应用 (9)
3.3.1向量空间理论中的应用 (9)
3.3.2在线性变换理论中的应用 (10)
4 范德蒙德行列式的引理和定理 (13)
4.1缺少若干行且改变某行数据的广义范德蒙德行列式的引理和定理 (13)
5 总结 (18)
参考文献 (19)
致谢 (20)
1 绪论
这个论文就是议论和概括范德蒙德行列式的算法、推广和应用。范德蒙德行列式的证明过程是行列式定义与数学归纳法的综合应用，是线性代数中著名的行列式。范德蒙德行列式的应用就是：探讨它的计算方法，各种位置变化规律，如何应用范得蒙行列式计算行列式，它在向量空间理论、线性变换理论及微积分中的计算。如何将给定行列式化成范德蒙德行列式的标准形式是其中最重要的。利用范德蒙德行列式结论计算并不复杂。首先，通过探讨范德蒙德行列式的计算方法、各种位置变化规律、以及应用范德蒙德行列式计算行列式，将给定行列式化成范德蒙德行列式的标准形式，然后，把它在线性变换理论、微积分中、向量空间理论的应用辅以实例加以研究。
在1545年，卡当给出了两个一次方程组的解法，但是卡当并没有给出行列式的概念，于1693年，德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。在1683年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念，为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。行列式理论就是：莱布尼茨这种解决方程组的方法。然后在1771年，范德蒙德不仅对行列式理论的开创性工作本身进行研究，而且把行列式应用于线性方程组的解，同时他也是行列式的奠基人。也为群的概念奠定了研究基础研究以拉格朗日的预解式和置换理论为理论基础。范德蒙德行列式就是由他研究并总结出来的。开创了将方程组与行列式分离开来的先河就是范德蒙德。单独阐述了行列式理论的数学家是范德蒙德。首次给出二阶子式及其余子式的系统概念的也是范德蒙德，同时第一次给出了用二阶子式和它的余子式对行列式进行相应地展开得到相应地结果法则，并用专门的符号记录行列式的也是范德蒙德。1772年，皮诶尔-西蒙.拉普拉斯在他的论文中给出了余子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。此时起，是人们对行列式单独研究的开端。
人们对行列式理论深入研究的新的开始是从19世纪开始的。伟大的数学家柯西是第一个给出行列式系统理论的。是他给出的行列式的乘法定理、双重组标记法等。而在1832~1833年间，得出了计算行列式的特殊结果是另一著名数学家卡尔·雅可。1839年，卡塔兰的雅可比行列式就是在这个基础之上发现的。
一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果就是范德蒙德行列式，所以不仅在数学领域中占据着重要地位，而且也有着广泛的应用在各个领域中，如果我们能够适当的变形化成范德蒙德行列式的形式在进行行列式计算或变换时，就能起到：简化解题过程或者是减少计算量的效果。有些行列式经过简单变形后便可应用范德蒙德行列式，我们运用范德蒙德行列式进行计算或者变换的时候；有些行列式需要增加一行一列才可以应用范德蒙德行列式的相关性质进行计算，还有些行列式则需要经过加边、拆行方可利用范德蒙德行列式。当我们遇到齐式元素的行列式时，我们则可以考虑利用
行列式的乘法后。当我们遇到以多项式系数和常数项为元素的行列式时候。在应用范德蒙德行列式进行计算，我们首先可以借助单位原根以及范德蒙德行列式进行计算。从而也就出现了范德蒙德行列式的推广形式。
因为其幂次的排列顺序与范德蒙德行列式不完全相同，所以所求的行列式的各行或各列都是某个元素的不同幂次，是常见的化为范德蒙德行列式的方法, 需利用行列式的相关性质，例如：提取公因式、拆行或者拆列、调换各列或各行的顺序等等，把所求行列式化为范德蒙德行列式后进行进一步的计算就是利用这些范德蒙德行列式的计算结果。范德蒙德行列式和范德蒙德行列式的推广形式与线性泛函逼近、函数插值、数字信号等自然科学与工程技术领域中需要解决的问题密切相关，所以，我们有必要对其性质进行讨论，以便于我们更好的利用范德蒙德行列式及其推广形式的性质和结果来解决相应的问题。
化复杂为简便,化繁琐为简单是利用范德蒙德行列式解题的本质。可以使研究者对范德蒙德行列式的计算方法及其推广应用等方面的研究达到事半功倍的效果在于正确的使用范德蒙德行列式解题。
总结范得蒙行列式算法、推广及其应用, 结合实际例题，找到将给定行列式化成范得蒙行列式标准形式有效途径，提出相应的应用。
2 问题分析
明确范德蒙德行列式的形式，了解范德蒙德行列式的证明过程，最后探讨范德蒙德行列式在向量空间理论，线性变换理论，行列式计算及微积分中的应用。
在向量空间理论中，当遇到需要应用范德蒙德行列式转化的问题，通过转化，就会得到所需结论。在线性变换中巧妙使用范德蒙德行列式的方法进行讨论。对范德蒙德行列式应用于n阶行列式的计算进行探讨。将范德蒙德行列式应用到多项式理论中的求根问题上。
具体内容如下：
（1）探讨范德蒙德行列式算法、推广；
（2）简要的介绍相关向量空间理论、线性变换理论、微积分基本原理；
（3）利用范德蒙德行列式把给定行列式化成标准形式；
（4）范德蒙德行列式的应用。
3 问题求解
3.1范德蒙德行列式的定义以及它的计算方法
当行列式的形式为
1
232
2
2
212
311
1
11231111n n
n n n n n
b b b b D b b b b b b b b ----= 时，就被称为n 阶的范德蒙德行列式。
证明n 阶范德蒙德行列式等于1b ，2
b ，3b ，…，n b 这n 个数的所有可能的差
的乘积是：i j b b -(1)j i n ≤<≤，对任意的n ()2n ≥。
我们对n 可以用数学归纳法进行计算。 当2n =时，
2112
11
b b b b =-结果明显是对的。假设对于1n -阶的范德蒙德
行列式的结论同时也都是成立的，现在来看n 阶的情况是什么样的。
在
1232222
1
2311
1
1
1231111n
n
n n n n n
b b b b D b b b b b b b b ----= 中，我们可以从最后一行开始依次地让每一行减去它上一行的1b 倍，即第n 行减第1n -行的1b 倍，第1n -行减第2n -行的1b 倍，有
21
311
222212
313
111121
2
2123131111
10
0n n n
n n n n n n n n
b b b b b b D b b b b b b b b b b b b b b b b b b ---------=------
21
311
222
212
313
111
121
2
21231312
32
2221311232
2
22
3111()()
()n n n
n n n n n n n n
n
n n
n n n n
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ---------------=
---=--
- 一个1n -阶的范德蒙德行列式就是后面这个行列式，它就是等于所有可能的差i j b b -(2)j i n ≤<≤的乘积，就是应用数学归纳假设；在前面出现了包含1b 的差。因此，结论对于n 阶范德蒙德行列式也都是成立。应用数学归纳法，我们完成了它的证明。
用连乘号，这个结果可以被简写为：
1232222
1231111
1
1231111()n
n i j j i n
n n n n n
b b b b b b b b b b b b b b ≤<≤----=∏-
由这个结果得到的结论是：范德蒙德行列式为零的充要条件是在1b ，2b ，
3b ，…，n b ，这n 个数中至少有两个数相等。
3.2范德蒙德行列式的化简
将所给的行列式化成范德蒙德行列式，再应用这个结果来进行相应的计算是范德蒙德行列式的特点。
经常应用的化法有以下几种：
如果要应用行列式的性质，那就是题中给出了行列式各列或者各行都是某个元素的不同次幂。因为幂次数的排列与范德蒙德行列式不完全相同（如拆项、调换各行或各列的次序、提取公因式的方法等等）将行列式化简成为范德蒙德行列式。 例：计算
222
111
222333n n n n
D n n n ??????=
??????
解： n D 中的每行元素全都分别是一个数的自左向右的按照递升的顺序经行排列，但不是从0变到1n -，而是从1递升到n ，例如提取每行的提取每行的公因数则方幂次数便从0变到1n -
()()()21
212
1
11111222!2131(1)(32)(2)113331
!(1)!(2)!2!1!
n n n n D n n n n n n n n n n n ---??????==--???--???-???--???????
??????????????????=--???
例：计算 ()
1
1
1
1
(1)()1()11
11
n
n
n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+-???
--???-=???
?????????-???-??? 解：为了1n D +中的每列元素的方幂的次数从第一行开始按照顺序的递升排列，因为范德蒙德行列式的排列规律与题目中的行列式的排列规律是相反的，将第1
n +行依次的与上一行进行交换，直至交换到第一行，第n 行依次的与上一行进行交换，直至第二行……第二行依次的与上一行交换，直至第n 行，于是共经历过(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+??????++=
次行的进行交换，
得到了1n +阶的范德蒙德行列式：
()
[][](1)2
111
1(1)2
1
11111(1)()(1)()(1)
(1)
(2)()2(1)((1))!
n n n n n n n n
n n n k a a a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a a K ++---+=???-???-=-????????????-???--???-=----???-----???----=∏
范德蒙德行列式是由且n
D 中含有由n 个分行或列，任意的相邻的两行或列
均含有相同的分行或列所组成的，可以将n D 的第i 行或列乘以1-加到第(1)i +行或列，消除一些分行或列，如果有n D 的第i 行或列由两个分行或列组成的，即可以化成范德蒙德行列式。 （1）加行加列法：
各行或各列元素均为某一个元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可以用此方法：
例：计算 222
12333
12121
11
n n n n n
n
x x x D x x x x x x ???
???=???????????????
???
解： 做1n +阶的行列式：
12222
2
121
333312121
1111()
()
n
n n n n
n
n
n
n n
i j k i i k j n
z
x x x z x x x D
z x x x z x x x x z x x +=≤<≤?????????=
??????????????????
???=--∏∏
根据所给的行列式可以知道z 的系数是D -，但是由上面的式子可以知道z 的是：
21
121
1
(1)
()()n
n n j k i n j k i
i x x x x x x -=≥>≥-???-∑
∏通过比较系数，得到： （2）拉普拉斯展开法：
121
1
()()n
n j k i n j k i
i D x x x x x x =≥>≥=???-∑
∏
通过应用公式1122t t D M A M A M A =++???+可以用来计算行列式的值：
例：
计算
1
111
111
2
212
21
1000010010000
1
01
0000
1
n n n n n n n n t
n
n x x y y x x D y y x x y y ------?????????=???
???????????????
????????????
解：取第1、3、…、21n -行，第1、3、…、21n -列被展开，解得：
()()
1
111111122221
1
1
1
1111n n n n n n n
n n
n j
i j i n j i l
x x y y x x y y D x x y y x
x y y ------≥>≥???
???
??????=
?????????????????????
?????????
=
--∏
（3）乘积变换法
例：设1
2
1...(0,1,...,22)n
k k k k
k n
i i S x x x x k n ==+++==-∑
计算 01112122
n n
n n n S S S S S S D S S S ---??????=
???????????????
解：
11121
1
1
1221
1
1
n
n
n i
i
i i n
n
n n
i
i
i
i i i n
n
n
n n
n i
i
i
i i i n
x
x
x
x
x
D x
x
x
-=====--===??????=
??????
???
???
???
∑∑∑∑∑∑∑∑
2
1
1
111
2212
22
2221221
111
122
111
1
1=1()
n n
n n
n n n n n n n n
j i l i j n
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------≤<≤??????
????????????????????????
??????????????????=
-∏
如何将已经给定的行列式转化成范德蒙德行列式的标准形式是比较困难的，应用范德蒙德行列式的结论来进行计算其实并不是很复杂，这是具有较高的技巧和方法，这是需要我们在今后的学习中同时不断的进行总结，揣测它的规律。
3.3范德蒙德行列式的应用
3.3.1向量空间理论中的应用
我们很轻松的就能通过转化得到所要得到的结论在向量空间理论中，当我们
遇到需要用范德蒙德行列式转化的题目时。
例：设N 是数域W 上的n 维向量空间，任给正整数m n ≥，则在N 中存在m 个向量，其中任取n 个向量都线性无关。
证明： 因为n N W ?，所以只须在n W 中考虑即可。 取
()
2111,2,2,,2n b -=???
()(
)2
2212
21,2,2,,(2)n b -=???
()()()211,2,2,,2m
m
m
n m
b -=???
令
()()()()()
()
1
1
1
2
2
22121122112221222,11222n
n
n
k k k n k k k n n n k k k n d k k k m ---??????
=
≤≤≤???≤≤???
?????????
???
???
()()()
()
()
()
1
112222
1
21
2
1
1222122212
22n
n
n
n k k k n k k k n n k k k d ---??????
=
???
???
?????????
???
是范德蒙德行列式，且0n d ≠，所以，12,,,n k k k a a a ???线性无关。
例： V 的有限个真子空间不能覆盖V ，设V 是数域F 上的n 维向量空间。 证明： 当1n =时，显然成立。
设1n >时，令123,,,,n a a a a ???是V 的一个基。 设
{1
12n n
n S a ka k
a k F V
-=++???∈?，其中n F 为F 中元素之集合。
令1
12:,n n n F S k e ke k e ?-→→++???+
当12,,,n e e e ???为单位向量时,则易证?是双射。若S 中蕴含无穷多个不同的元素。设,1,2,,i V i t =???为V 的真子空间，则n 大于S 中的元素在i V 中的个数。否则，
若,1,2,,j i V j n β∈=???
111121n n a k a k a β-=++???+
112n n n n a ka k a β-=++???+
范德蒙德行列式有,,1,2,,,i j k k i j n i j ≠=???≠时，系数行列式为非零。进而
,1,2,,i V V i t ==???与前文矛盾，当有,1,2,,j k a V j n ∈=???，而S 中蕴含无穷多个元
素，S 中的元素只有有限多个元素在
1
t
i i V =中，但1
t
i i x V =?
，所以有x S ∈，即V 的
有限个真子空间不能覆盖其自身。
3.3.2在线性变换理论中的应用
在我们高等代数的学习之中， 线性变换都是一直以来的一个重点和难点，题目的变化也是非常多的，那么在有些题目中，我们可以技巧性的运用范德蒙德行列式来解决这样的题目。
例： 设数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有n 个互异的特征值12,,,n λλλ???则 （1）与σ可交换的V 的线性变换是e ，21,,,n σσσ-???的线性组合，这里，e 为恒等变换。 （2）2
1
,,,,n ασασασ
α-???线性无关的充分必要条件是1
n
i i αα==∑，这里的
(),1
,2,,i i i i n σαλα==???。 证明： （1）若{}i i V k k F λα=∈是δ的不变子空间，有
(),1,2,,i i i i n σαλα==???，δ是与σ可交换的线性变换。令1121n n xe x x x δσσ--=+++???+且(),1,2,,i i i k i n σαα==???，则有以下方程组。
21
1112111212122212
21
121n n n n n n
n n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------?=+++???+?=+++???+??
???????????????????????????????????????????????=+++???+? （1） 因为范德蒙德行列式是1()i j j i n
D λλ≤≤=-∏且方程组（1）的系数行列式，所以，e ，21,,,n σσσ-???的线性组合是δ，故方程组（1）有唯一解。
（2）充分性
因为1n
i i αα==∑，所以
()`11112212111,(),,()(,,,)1
n n n n
n n
n λλλλασασααααλλ----??
?????
?????
???=??????????????
?????
???????
并且
`111221111()01
n n i j j i n
n n n λλλλλλλλ--≤≤-??
?????
?????
=
-≠??
??????????????
???????
∏
，
所以
`111221111
n n n n
n λλλλλλ---??
?????
?????
???????????
????????????
是可逆矩阵，又因为12,,,n ααα???是V 的一组基，1,(),,()n ασασα-???线性无关。
（3）必要性
12,,,n e e e ???构成V 的一个基， 设12,,,n e e e ???是分别属于12,,,n λλλ???的特征向
量，有1122n n k e k e k e α=++???+。则i i k e 是σ的属于i λ的特征向量若
0,1,2,,i k i n ≠=???，故结论成立。不妨设12,,,r k k k ???全不为零，而10r n k k +=???==，若存在{}1,2,,j n ∈???，使0j k ≠，因而有
1122r r k e k e k e α=++???+
()()()()()11111111222
2212112,,,,,,,,,n n n r n r r r r r r k k k k k k e e e k k k e e e A
λλλλασασαλλ----??
????
?
????
????=???????????????????
???????
=???
由范德蒙德行列式可以知道：当A 的一个r 阶子式不为零，有秩()A r =，
()()()1
,,,n r ασασα-???=，有()()()1
,,,n ασασα-???线性无关，因为r n <线性无
关与前文矛盾。从而1
n
i i a α==∑，这里(),1
,2,,i i i i n σαλα==???。
4 范德蒙德行列式的引理和定理
4.1缺少若干行且改变某行数据的广义范德蒙德行列式的引理和定理
一类特殊的广义的范德蒙德行列式，就是
()
1111112222221211111112111121
11
121
1112111
12,,,,111121
112111i i i i i i i n m m m n m m m n m m m n m m m n m m m m n
m m m n m m a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a ---------+++---+++???---++??????????????????????????????????????????=
?????????
????????12221111
1
11
12121
11
122
2212
i m n m m m n n m m m n n i n i n i n
a a a a
b b b a a a a a a -+---++++-+-+-???????????????????????????????
???
???
这一类行列式的特点是：既缺少范德蒙德行列式中的若干行数据，同时又改变其中的某行的数据。 引理4.1.1
()()()121122222121111211'2
222
2
1211111111,,,,,,n j
j j n n j j n n j j n j n n n n n j j n a a a a a D a a a a a D a a a a a f a a a a a a --+-+--+------+????????????-?????????????=
=?????????????????????
??????
其中有，1,2,...,j n =，n D 是n 阶的范德蒙德行列式，()'
j f a 表示的是多项式函
数()()1i
i n
f x x a ≤≤=
-∏的一阶导函数在j x a =处的值。
证明：由范德蒙德行列式可以知道
()()12
1
22
2
112112111
222
121
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