第3课时 二次根式的混合运算
1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点)
一、情境导入
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm 、(3＋2)cm ，求这个三角形的面积和周长．
二、合作探究
探究点一：二次根式的混合运算
计算：
(1)ab(a 3b ＋ab 3
－ab)(a≥0，b ≥0)； (2)(232－12)×(128＋23)； (3)(32＋48)×(18－43)．
解：(1)原式＝ab(a ab ＋b ab －ab)＝a ab ×ab ＋b ab ×ab －ab ab ＝a 2b ＋ab
2－ab ab ；
(2)原式＝(6－
22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋53
3； (3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.
方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．
探究点二：二次根式的化简求值
已知a ＝1
5－2，b ＝15＋2
，求a 2＋b 2＋2的值． 解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ，最后代入求解．
解：∵a＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b ＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）
＝5－2，∴a ＋b ＝25，ab ＝1.∴a 2＋b 2＋2＝（a ＋b ）2－2ab ＋2＝（25）2－2＋2＝
20＝2 5.
方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题
教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝
贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)
解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．
解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．
方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．
三、板书设计（这节课适合使用思维导图方式设计）
二次根式?????综合运算化简求值实际应用
经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题．学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法．
16．1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 （a ≥0 ）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2（a ≥0 ）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2 的三个思考题： 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根（a ≥0）?的式子叫做二 （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评: （略） 例 1．下列式子，哪些是二次根式， x>0） 、、、 （x ≥0，y?≥0）． 分析”；第二，被开方数是正数 或0 ． （x>0、 x ≥0，y ≥0）；不是二、． 例2．当x 1 x 1 x y +1x 1x y +
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P5练习 1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x +在实数范围内有意义？ 分析+ 中的≥0和中的x+1≠0． 解：依题意，得 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥- 且x ≠-1+ 在实数范围内有意义． 例4(1)已知 +5，求 的值．(答案:2) (2)=0，求 a 2004+ b 2004的值．( 答案: ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1（a ≥0”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 1 3 1 3 1 1 x +1 1 x +1 1 x +230 10 x x +≥??+≠?32 3211 x +x y 25
2.7二次根式（3） 基础导练 1. 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. C. D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若12x ） A. 21x - B. 21x -+ C. 3 D. -3 6. 10+=，则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4± 7. 的整数部分为x ，小数部分为y y -的值是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ） A. = B. a b =- C. (a b =- D. 22==
9. 是同类二次根式的是 。 10.若最简二次根式____,____a b ==。 11. ，则它的周长是 cm 。 12. 是同类二次根式，则______a =。 13. 已知x y ==33_________x y xy +=。 14. 已知 x =21________x x -+=。 15. )()20002001232______________+=。 能力提升 16. 计算： ⑴. ⑵. (231?+ ? ⑶. (()2771+-- ⑷. ((((22221111+- 17. 计算及化简： ⑴. 22 - ⑵. ⑶.
⑷ . a b a b ??+-- 18. 已知：x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。 19. 已知：11a a + =+221a a +的值。 20. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 21. 已知 1 1039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
二次根式的乘除法 第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键 1．重点：最简二次根式的运用． 2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 计算（1 （2 ，（3 自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式： (1) 合探2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长． B A C 13 2 ====6.5（cm） 因此AB的长为6.5cm． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
四、应用拓展 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： = -1， = ， ，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 +））的值． 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 五、归纳小结（师生共同归纳） 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、作业设计 一、选择题 1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A （y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对 2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）． A ．． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ） A ± 12 C 2 D ． 4的结果是（ ） A ． B ．．． 二、填空题 1．（x ≥0） 2．化简_________．
二次根式加减乘除运算 上次课程检测： 1.下列二次根式中与8不是同类二次根式的是（ ） A . 21 B. 50 C. 8 1 D . 54 2． ）． A ．20 3 B ． 2 3 C ． 2 3 D ．20 3 3.计算： （1 ）?÷ ?（2 ）10120096-??-+- ??? 4.当715+=x ,715-=y ,求22y xy x +-的值. 5.如图1，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有多少米. 新授 一、选择题： 1.估计4 18?的运算结果应在（ ） A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间 211x -= ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 3.设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（ ） A . b a ab ?= B . b a b a +=+ C . a a =2)( D . b a b a = 图1
4. ① 3= 1 71 （ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 5.下列判断⑴12 3 和13 48 不是同类二次根式；⑵145 和125 不是同类二次根式； ⑶8x 与8x 不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 6.如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A 、 a B 、 1a 2 C 、3－a D 、－a 2 7．如图1，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ） A.S 1＝S 2 B.S 1＜S 2 C.S 1＞S 2 D.无法确定 8．如图2，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A ． B ．25 C ．5 D ．35 图2 图3 图4 二、填空 1．如图3，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ． 2．如图4，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 3、二次根式外（内）的因式移到根号内（外） （1）化简a a 1-的结果是________． （2）已知a 第十六章 二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点： 当a <0时2a 的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： 65，S ，2，5h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎 样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时， 2x ，3x 有意义？ 2、已知053=-+ +y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思 第3课时二次根式的混合运算 1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点) 一、情境导入 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长． 二、合作探究 探究点一：二次根式的混合运算 计算： (1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)； (2)(23 2 － 1 2 )×( 1 2 8＋ 2 3 )； (3)(32＋48)×(18－43)． 解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab； (2)原式＝(6－ 2 2 )(2＋ 6 3 )＝6×2＋6× 6 3 － 2 2 ×2－ 2 2 × 6 3 ＝23 ＋2－1－ 3 3 ＝1＋ 5 3 3； (3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30. 方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算． 探究点二：二次根式的化简求值 已知a＝1 5－2 ，b＝ 1 5＋2 ，求a2＋b2＋2的值． 解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解． 解：∵a＝1 5－2 ＝ 5＋2 （5－2）（5＋2） ＝5＋2，b＝ 1 5＋2 ＝ 5－2 （5＋2）（5－2） ＝5－2，∴a＋b＝25，ab＝1.∴a2＋b2＋2＝（a＋b）2－2ab＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5. 方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得． 探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题 教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝 第十六章二次根式 16．1二次根式 第1课时二次根式的概念和性质 1．二次根式的概念和应用． 2．二次根式的非负性． 重点 二次根式的概念． 难点 二次根式的非负性． 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔． 电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r＝2Rh(R为地球半径)．如果两个电视塔的高分别为h1km，h2km，那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果，并提问． 生：半径之比为2Rh1 2Rh2 ，暂时我们还不会对它进行化简． 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容． 二、新课教授 活动1：知识迁移，归纳概念 (多媒体演示)用含根号的式子填空． (1)17的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形，斜边长应为________cm； (3)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m； (4)面积为3的正方形的边长为________，面积为a的正方形的边长为____________； (5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，则t＝________．【答案】(1)17 (2)65 (3)65 (4) 3 a (5)h 5 活动2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子a表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子a才有意义？ (2)当a＞0时，a________0；当a＝0时，a________0；二次根式是一个________．【答案】(1)a的算术平方根，被开方数a必须是非负数(2)＞＝非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当a＞0时，a表示a的算术平方根，因此a＞0； 当a＝0时，a表示0的算术平方根，因此a＝0. 也就是说，当a≥0时，a≥0. 16.1 二次根式教案 第一课时二次根式的概念教学目标 知识与技能 1 理解二次根式的概念 2 a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围． 过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围 情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐 教学重难点关键 1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2． a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________． 问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ， ．问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 . 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平 a≥0）?的式子叫做二次根式， ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评: 有意义的条件 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、 、 、 1 x y + x≥0，y?≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二 、 1 x 、 1 x y + ． 例2．当x是多少时，2 - x在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2 - x?才能有意义． 解：由x-2≥0，得：x≥2 当x≥2时，2 - x在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展 第十六章二次根式 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 随风潜入夜，润物细无声。出自杜甫的《春夜喜雨》 上大附中何小龙 16.1二次根式 第2课时二次根式的性质 【知识与技能】 理解并掌握二次根式的性质，正确区分 =a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展. 【教学重点】()2a=a（a≥0），2a=a（a≥0）及其应用. 【教学难点】用探究的方法探索()2a=a（a≥0）及2a=a（a≥0）的结论. 一、情境导入,初步认识 试一试：请根据算术平方根填空， .猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出(2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由. 【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力. 二、思考探究，获取新知 在学生相互交流的基础上可归纳出： ()2a=a（a≥0）. 进一步地，引导学生探究新的问题. 探究 （1）填空： （2）通过（12a a≥0）的化简结果吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结. 2 a（a≥0）. 最后，教师给出代数式的概念.代数式： 用运算符号（加、减、乘除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知 例1 计算： （1） 1.5）2；（2）（5）2 二次跟式的加减乘除练习 知识点 1.二次根式的有关概念： (1)二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。 (2)最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含_______________________。如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因 数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根 式。 (3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果_____________，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，它们与 的被开方数均为2。 (4)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如 与 ，a+ 与a-， -与 + ，互为有理化因式。 2.二次根式的性质： (1) (a≥0)是一个非负数, 即 ≥0; (2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)； (3)某数的平方的算术平方根等于某数的__________，即=|a|= (4)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = · （a≥0,b≥0）。 (5)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。 3.二次跟式的加减 法则：同类二次根式可以合并，合并时，只合并二次根式前边的倍数，被开方数不变。 知识点四： 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则： ).0,0(≥≥=?b a ab b a 反过来，就得到).0,0(≥≥?=b a b a ab 二次根式的除法则： 两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 b a b a = )0,0(>≥b a 16.1 二次根式(1) 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 知识与技能目标：a≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点关键 1a≥0）的式子叫做二次根式的概念. 2a≥0）”解决具体问题． 教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。 2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。 学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。 2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。 4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。 媒体设计：PPT课件，展台。 课时安排：1课时。 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限,横、纵坐标相等的点的坐标 是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． B A 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x ）． 问题2：由勾股定理得 二、探索新知 都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子， 我们就把它称二次根式．因此，一般地， a≥0）的式子叫做二次根式， ” 称为二次根号． 议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、、 、 1 x y + （x≥0，y≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． 解： （x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二次 【最新整理，下载后即可编辑】 21.1 二次根式(3) 第三课时 教学内容 a （a ≥0） 教学目标 理解 （a ≥0）并利用它进行计算和化简． （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1 a （a ≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a ≥0 a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如 a ≥0）的式子叫做二次根式； 2． a ≥0）是一个非负数； 3． )2＝a （a ≥0）． 那么，我们猜想当a ≥0 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： =_______=______； =________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =2=23=037 ． 例1 化简 （1 （2 （3 （4 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32 （a≥0）?去化简．解：（1 （2 （4 三、巩固练习 练习2． 教材P 7 四、应用拓展 例2 填空：当a≥0 ；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若 ，则a可以是什么数？ （2）若 ，则a可以是什么数？ （3 ，则a可以是什么数？ 分析： （a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时， -a≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2 │a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1 ，所以a≥0； （2 ，所以a≤0； （3）因为当a≥0 ，即使a>a所以a不存在；当a<0 ，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： （a≥0）及其运用，同时理解当a<0 a的应用拓展． 六、布置作业 1．教材P 习题21．1 3、4、6、8． 8 2．选作课时作业设计． 21.1 二次根式教案 教学内容 2a ＝a （a ≥0） 教学目标 理解2a =a （a ≥0）并利用它进行计算和化简． 通过具体数据的解答，探究2a =a （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1．重点：2a ＝a （a ≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a ≥02a a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1a a ≥0）的式子叫做二次根式； 2a a ≥0）是一个非负数； 3．a )2＝a （a ≥0）． 那么，我们猜想当a ≥02a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： 2220.0121()10 =______； 22 ()3 =________2023 ()7=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 2220.0121()1011022()3=2320=023()7=37． 因此，一般地：2a =a （a ≥0） 例1 化简 （19（22(4)-（325（42 (3)- 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52 ， （4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）?去化简． 解：（1）9=23=3 （2）2(4)-=2 4=4 （3）25=25=5 （4）2(3)-=23=3 三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展 例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？ （3）2a >a ，则a 可以是什么数？ 分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2 ()a -，那么-a ≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0； （2）因为2a =-a ，所以a ≤0； （3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0 例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展． 六、布置作业 1．教材P 8习题21．1 3、4、6、8． 2．选作课时作业设计． 第二章 实数 7．二次根式（第2课时） 一、学生起点分析 在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。 二、教材任务分析 二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册 第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是： 1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法． 3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识． 4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 三．教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：复习引入 内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？ 这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？ 点明本节课研究课题 面积8 面积2 意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。 第二环节：知识探究 1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？ 例3 计算： （1）326?；（2）2 36?；（3）52。 解： （1）略 （2）23 6?＝236?＝236?＝9＝3 （3）52 ＝＝52＝5 552??=510 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数． 第三环节：巩固练习 例4 计算： （1）3322?（2）5312-?；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+； （5）3)3112(?-；（6）2 188+。 解：（1）3322?=32??32?=66； （2）5312-?＝5312-?＝536-＝6－5＝1； （3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52； （4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4； （5）3)3112(?-51613633 1312=-=-=?-?=； 16．1 二次根式 第1课时二次根式的概念 1．能用二次根式表示实际问题中的数 量及数量关系，体会研究二次根式的必要 性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次 根式的概念及性质，会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围．(重点) 一、情境导入 问题1：你能用带有根号的式子填空 吗？ (1)面积为3的正方形的边长为 ________，面积为S的正方形的边长为 ________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍， 面积为130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地 面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单 位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式 子表示t，则t＝______． 问题2：上面得到的式子3，S，65， h 5 分别表示什么意义？它们有什么共同 特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)3 13；(5) 1 5 － 1 6 ；(6)3－x (x≤3)； (7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2； (9)－x2－5； (10)（a－b）2(ab≥0)． 解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数． 解：因为11，（－7）2， 1 5 － 1 6 ＝ 1 30 ，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式. 3 13的根指数不是2，－5，－x (x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式． 方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x的取值范围． (1) 1 4－3x ；(2) 3－x x－2 ；(3) x＋5 x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解． 解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜ 4 3 .当x＜ 4 3 时， 1 4－3x 有意义； (2)由题意得 ?? ? ??3－x≥0， x－2≠0， 解得x≤3且 人教版数学 16.1二次根式教学设计 四海店镇中学 16.1 二次根式(1) 一、学习目标： 知识与技能：1、根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 过程与方法：先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳得出概念。 情感态度与价值观：经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、发现问题 的能力及研究问题的严谨性。 二、学习重点：理解二次根式的概念 三、学习难点：明确二次根式有意义的条件，并运用其解决具体问题。 四、学习过程 （一）复习引入： 1、已知一个正数x，满足x2 = a，x是a的________, 记为______, a一定是_______数。 2、（1） 4的算术平方根为_______ ，用式子表示为 __________； （2） 16的算术平方根是_______，用式子表示为 __________； （3） 0 的算术平方根是_______； （4）正数a的算术平方根为_______， （5）－7_______算术平方根。 归纳：_______和_______都有算术平方根；_______没有算术平方根 （二）出示学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 （三）探索新知、提出问题 思考：用带有根号的式子填空 1、面积为3的正方形的边长是_______，面积为S的正方形的边长是_______。 2、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为_______米。 3、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_______. 很明显：所得的结果都表示一些正数的算术平方根。像这样一些非负数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式 （学生举例巩固） （四）议一议 1、-1有算术平方根吗？ 2、0的算术平方根是多少？ 3、当a<0时，有意义吗？ 点评：1、表示非负数a的算术平方根。 2、a可以是数也可以是一个含有字母的式子。 课题：二次根式的加减 ——第一课时 教学目标 知识技能：会进行二次根式加减法运算 数学思考：通过整式加减法运算与二次根式加减法运算体会类比思想. 解决问题：通过加减运算，培养学生的运算能力 情感态度：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣. 教学重点、难点 重点：二次根式加减运算 难点：探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算 教学准备 PPT 课件学案 教学方法 启发式探究式 教学过程 一、新课导入 如图，从小明家到学校的距离为_________km ，从学校到图书馆的距离为____________km ，那么从小明家到图书馆的距离是__________km （通过变换不同的三组数据【3与8，3x 与8x ，2823与】，让学生从中感受总结规律特点：） 【活动方略】教师通过PPT 放映，学生观察 【设计意图】通过观察不同数据的变化，找寻其中的特点 二、探究新知 2823+3x+8x=11x 5853+ 【设计意图】通过变换不同的x 值，更直观的感受被开方数相同的二次根式可以合并这一特点 教师小结：被开方数相同的二次根式可以进行合并---（黑板板书） 三、跟踪练习（抢答题） 35371+）（57-5122） （66-3+）（3124+）（ 【活动方略】教师出题，学生用眼动脑 【设计意图】巩固小结知识内容，加深理解记忆，抛出新问题 四、互动小游戏 小明家 学校 图书馆 通过直观互动游戏方式让学生更快更容易地掌握知识点 游戏规则：每个组根据你手中拿到的卡片设计一道二次根式加减法的计算题（不超过三项加减），随机抽取部分组上黑板展示本组的题目，再由其他组（只要不是出题组）上黑板写出计算过程，最后由出题组做点评...... 【活动方略】学生课前准备活动卡片，由学生分组讨论，每个组出一道题，再从其中抽取部分组到黑板将本组出好的题目展示出来，由其它组上黑板解答 【设计意图】通过活动加深知识的掌握程度，同时使学生更加深刻的体会小组合作的能力，并且锻炼学生上台的勇气，给学生大胆展示自己的机会 五、小结归纳（黑板板书） 二次根式加减法的基本步骤： 1、将二次根式化为最简二次根式 2、找出其中被开方数相同的二次根式（同类二次根式） 3、将被开方数相同的二次根式进行合并 【活动方略】引导学生小结归纳，反思本节课所学知识 【设计意图】通过总结，概括本节课重点内容，巩固知识 六、巩固检测 1、判断题 是最简二次根式）（481 2（ 222-233=）（224）（2、选择题 进行合并的是（）与）下列二次根式中，能（3127、A 32、B 18、C 24、D ）的结果是（）（）计算（1-2-22 A 、-1B 、0C 、1D 、2 3、计算题 45-801）（27-98182+）（4、能力提升 ) (________ m m 751数也相同的二次根式指被开方数相同、根指提示：同类二次根式是是同类二次根式，则与）已知（=-n n n 243-3-12-822）（）计算：（【活动方略】学生独立思考、独立解题。教师巡视、指导，并让学生上台展示自己的解题过程 【设计意图】检查学生对知识的掌握程度 七、课堂小结 这节课你学到了什么？ 二次根式加减法的基本步骤--一化、二找、三合并 八、课后作业布置 必做题：课本15页2（1）、（3）、（4）4（1） 选做题：）（）计算（2-323?+ 【活动方略】学生课后独立思考完成，教师批改、总结 第十六章二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a(a≥0)是非负数，并会运用会进 行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究()2a和2a所含运 算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a有意义的条件. 2.a≥0时a≥0的应用. 3.()2a和2a的运算、化简 教学难点： 当a<0时2a的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： h 65，S，2， 5 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ① 9 的运算结果是3，9是不是二次根式？3 是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的 情况下，其运算结果是怎样的实数？ 2-x ， 1 1+x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时，2x ，3x 有意义？ 1、若m x -=-2，则x 和m 的取值范围是x_____；m______. 2、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对 ()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方 再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对 2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再 开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子( )2 a -()2 c 与式子 2 )(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 2.7二次根式（第三课时） 精讲案 第一环节：复习引入 （1）最简二次根式的概念； （2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？ （3）上节课课后作业：若414.12≈，732.13≈，449.26≈，求2 3．你是怎样解决的？ 第二环节：知识巩固 1.巩固提升 例4 计算： （1）3223-；（2）8 1818+-； 2．以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？ 3练习 化简： （1）10152-；（2）31312+-；（3）8)2 118(?-． 第三环节：知识提升 1.知识探索 问题：2a （0>a ）等于多少？ 根据算术平方根的定义，可知a a =2（0>a ）． 2.知识运用 例5 化简： （1）3325b a （0>a ，0>b ）；（2）3)(y x +（0≥+y x ）；（3） a b b a （0>a ，0>b ）． 3.课堂练习 1.当0>a ，0>b 时化简： （1）)(a b b a ab +；（2）324b a ；（3）ab b a ?-)1(； （4）b a a b ab a 155102÷?． 4.求代数式ab b a ?-)1(的值，其中3=a ，2=b ． 解：由题知0>a ，0>b ． ab b a ?-)1(＝ab b ab a ?-?1＝ab b ab a ?-?1＝2ab b - ＝a b b -． 当3=a ，2=b 时，a b b -＝322-． 第四环节：课堂小结 （1）二次根式的化简： 二次根式的化简一定要化成最简二次根式． （2）利用式子a a =2（0>a ）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式． 第五环节：课后作业 习题 2．11 1， 3 预习案 1.a b ?= （ ），=b a （ ） 2.二次根式加减的条件：化为 后，被开方数 的二次根式才能加减。 3.二次根式的加减法则：将化简后被开方数相同的二次根式前面的系数 ，根号和被开方数 。 精练案 一、计算： （1） 3223-； （2）81818+-；-人教版第十六章二次根式教案
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