1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2.圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
3.直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。
4.在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
5.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
6.在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦与相等。
7.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
8.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
9.三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点。
10.（1）直线l 和⊙O 相交?两个交点、d r ，（2）直线l 和⊙O 相切?一个交点、d=r ，
（3）直线l 和⊙O 离?没有交点、d r 。
11.经过半经的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
12.圆的切线垂直于过切点的半径。
13.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
14.三角心的内心是这个三角形的三条角平分线的交点。
15.半径为r 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长l 为：1802360r n r n l ππ=?=。
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(见B本31页) , 类型 1 遇弦心距、弧中点及求弓形面积添半径)【例1】2017·启东期中有一石拱桥的桥拱是圆弧形的，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施．当水面宽MN ＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 1图 1答图 解：不需要采取紧急措施． 理由如下： 设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18， ∴R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324， 解得R＝34. 连结OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16， ∴342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2， x2－68x＋256＝0， 解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)； ∴DE＝4. ∵4＞3.5，∴不需采取紧急措施．
变式如图所示，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB 上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为( A ) A．2π－4 B．4π－8 C．2π－8 D．4π－4 , 类型 2 利用圆的轴对称性添辅助线)【例2】如图所示，在半径为6 cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为__6__cm2. 2图 变式如图所示，AB是⊙O的直径，弧AC的度数是60°，的度数是20°，且∠AFC＝∠BFD，∠AGD＝∠BGE，则∠FDG的度数为 __50°__． , 类型 3 利用圆的旋转不变性补形)
圆的基本性质 复习总标 1．知道圆及有关概念，确定圆的条件。三角形的内心和外心。 2．能灵活运用弧、弦、圆心角和圆心角的关系解决问题；掌握圆的轴对称性、中心对称和旋转不变性；探索并理解锤径定理。 3.会用垂径定理进行有关计算。 知识梳理 1.圆的有关概念 （1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。 （2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 2.圆周角与圆心角 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 90圆周角所对的弦是圆的直径。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角； （3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 3.圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。 （3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。 易错知识点
1.弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦。 2.垂径定理的推论:平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件。 4.同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。 中考规律盘点及预测 本讲点内容在中考中，圆的基本性质在淡化与降低，证明难度成了考查知识的重点。旗本性质的应用 主要有两个方面，一是应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角各对量之间的关系进行证明；二是应用半径、半弦和弦心距构成直角三角形进行相关计算。多数以填空题、选择题或中等难度解答题等基本题型出现，难度一般不大。 1、（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且 CD=， ，则AB 的长为…【 】 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 【解析】主要考察：垂径定理、勾股定理或相交弦定理.用垂径定理得 ，由勾股定理得HB=1 ，则()2 2 2 1R R =+-由此得2R=3 或由相交弦定理得 ()2 121R =?-，由此得2R=3，所以AB=3.选 B 2、（2008 绍兴）如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表 示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【解析】主要考察：弧的度数与它所对的圆周角度数之间的关系。一条弧所对的圆周角 等于它所对圆心角的一半。()?=?-?==∠2030702 1 21Q P PAQ 选B 3、（2008年海南） 如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段 OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 . 第9题图
《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结 1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O” 2、与圆有关的概念 （1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径） （2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。 （3）等弧：能够互相重合的两段弧 （4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆） （5）点和圆的位置关系： 如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则： （1）d
1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）； 2、找出关键点； 3、找出关键点的对应点； 4、作出新图形； 5、写出结论。 4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径或者作弦心距，构造Rt△，再结合勾股定理求解. 推论：圆中两平行弦所夹的弧相等 选择题 1.如图，已知⊙O的直径AE=10 cm，∠B=∠EAC，则的长为（） 【A】5cm【B】5cm【C】5cm【D】6cm 【答案】B. 【解答】连接EC，由圆周角定理得，∠E=∠B，∠ACE=90o, ∵∠B=∠EAC， ∴∠E=∠EAC， ∴CE=CA， ∴AC=AE=5cm， 故选B
专题13 圆的基本性质 考纲要求: 1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念. 2．了解弧、弦、圆心角的关系；理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系. 3．能利用圆的有关概念、垂径定理、圆周角定理及其推论解决有关简单问题. 基础知识回顾: 知识点一：圆的有关概念 1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的 圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 知识点二：垂径定理及其推论 2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
① 弧AC=弧AD; ②弧BC=弧BD ； ③CE=DE; ④AB ⊥CD;⑤AB 是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三. 知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系 3.圆心角、 弧、弦 的关 系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 知识点四 ：圆周角定理及其推论 4.圆周 角定 理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ，∠A= 12∠O. 图a 图b 图c ( 2 )推论： ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图c ，∠C=90°. 圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 应用举例: 招数一、垂径定理及其推论 【例1】13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=?，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )
D B C O A E ． A C O M N B B O A P 【圆及垂径定理】第3份 1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过 的三点确定一个圆。 2、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 3、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的内部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知AB=2DE ，∠E=18°，求∠AOC 的度数 5、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中B 点坐标为（4，4），那么该圆弧所在圆的圆心坐标为 6、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 7、垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 8、如图所示，直径CE 垂直于弦AB ，CD=1，且AB+CD=CE ，求圆的半径。 O C E D B A 9、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB 是 10、四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD 分别绕直线AB ，CD 旋转 一周，所得几何体的表面积分别为S 1，S 2，则| S 1-S 2|=__________（平方单位） 11、点O 是两个同心圆的圆心，大圆的半径QA, OB 分别交小圆于点C, D ．给出下列结论： ①AB CD =、② AB=CD ； ③AB 的度数=CD 的度数； ④AB 的长度=CD 的长度．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C.3 个 D.4 个 12、如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点 P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 2 π 个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A .（2014,0） B .（2015，-1） C . （2015,1） D . （2016,0） 13、在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（ ） A ．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B ．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点 C ．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D ．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 【随堂练习】 1、下列命题：① 垂直于弦的直径平分这条弦；② 平分弦的直径垂直于弦；③垂直且平分弦的直线必定经过圆心。其中正确的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2、如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 是弦AB 上一点，若OP 的长是整数， 则满足条件的点P 有（ ）个 A.2 B.3 C.4 D.5 3、半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为6cm 和8cm ，则这两弦之间的距离为 cm 4、圆的半径等于23cm ，圆内一条弦长23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于 5、如图，矩形ABCD 与⊙O 相交于M 、N 、F 、E ，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN 的长为 6、如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4）、N （0，-10），函数y= k x （x<0）的图象过点P ，则k= 7、如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 8、如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，则MN= x y O A B C 第5题 O P M y x N 第6题 第7题 P O 第12题 O 1 x y O 2 O 3
一、基础知识 （一）圆的有关概念： 圆：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。弦：连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦是直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫弧。圆上任一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧角做优弧，小于半圆的弧叫劣弧。 （二）圆的性质： 1.同圆或等圆中：半径、直径都相等。 2.圆有无数条弦，其中最长的弦为直径。 3.圆是轴对称图形，对称轴为直径所在的直线，有无数条。圆是中心对称图形，并且无论绕圆心旋转多少度，都可以和原图形重合。 二、重难点分析 本课教学重点：弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系． 本课教学难点：点和圆的位置关系及判定。通过日常生活在生产中的实例引导学生对学习圆的兴趣。 三、典例精析： 例1：（2014?长春二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（） A．70°Ｂ．60°Ｃ．50°Ｄ．40°
∴∠DAO=∠AOC=70° 例2．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是。 四、感悟中考
１、（2013?温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作 BAC ，如图所示．若AB =4，AC =2，S 1-S 2=4 π，则S 3-S 4的值是（ ） Ａ．429π Ｂ．423π Ｃ．411π Ｄ．4 5π 2、如图，已知同心圆O ，大圆的半径AO 、BO 分别交小圆于C 、D ，试判断四边形ABDC 的形状．并说明理由．
九年级数学下册解法技巧思维培优 专题13 与圆的基本性质有关的计算与证明 考点一弧、弦、圆心角 ?、CD?的度数【典例1】（2019?港南区四模）P是⊙O外一点，P A、PB分别交⊙O于C、D两点，已知AB 别为88°、32°，则∠P的度数为（） A．26°B．28°C．30°D．32° 【典例2】（2019?福建模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD 于点E，DE＝1，则AE的长为（） A．√3B．√5C．2√3D．2√5 【典例3】（2019?洛阳一模）如图，矩形ABCD、半圆O与直角三角形EOF分别是学生常用的直尺、量角 器与三角板的示意图．已知图中点M处的读数是145°，则∠FND的读数为． 【典例4】（2019?长白期末）如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝．
【典例5】（2019?句容市期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD． ?=CD?． （1）求证：BD ?的度数为58°，求∠AOD的度数． （2）若AC 考点二圆周角 【典例6】（2019?陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C， 连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（） A．20°B．35°C．40°D．55° ?所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为AB?上一点，∠AOP 【典例7】（2020?望花区二模）如图，在⊙O中，AB ＝55°，则∠POB的度数为．
【典例8】（2019?黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝． 【典例9】（2019?肇源期末）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且∠D＝∠E． （1）求证：∠ADC＝∠CBE； （2）求证：CB＝CE； （3）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形． 卡点三垂径定理 【典例10】（2019?渝中区校级三模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）
与圆的基本性质有关的计算与证明 专题练习题 1．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( ) A ．60° B ．45° C ．35° D ．30° 2．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB＝3∠ADB ，则( ) A ．DE ＝E B B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB 3．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB ＝40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于( ) A ．40°，80° B ．50°，100° C ．50°，80° D ．40°，100° 4．如图，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA ＝CD ，且∠ACD ＝40°，则∠CAB ＝( ) A ．10° B ．20° C ．30° D ．40° 5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( ) A ．45° B ．50° C ．60° D ．75° 6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ， 连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )
A．45° B．50° C．55° D．60° 7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是( ) A．120°B．135°C．150°D．165° 8．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________． 9．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝_______度． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为_______． 11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是_________．12．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD＝5∶24.
《圆的基本性质》知识点总结 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，以点O 为圆心的圆，记作☉O ，读作“圆O ” 2、与圆有关的概念 （1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC 叫做弦，经过圆心的弦AB 叫做直径） （2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 弧，每一条弧都叫做半圆） （3）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆） 3、点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d
圆的基本性质的综合 一、选择题 1. 已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，在⊙O中，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（） A．15°B．20°C．30°D．40° 3．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（） A．28°B．31°C．38°D．62° 4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是（） A．120°B．135°C．150°D．165° 5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( D ) A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤
二、填空题 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为________ ． 7．如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则_____°. 8. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽CD等于________m. 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为_______. 10．如图6，AB 是⊙O 的直径，AC、BC 是⊙O 的弦，直径DE⊥AC 于点P，若点D 在优弧ABC上，AB=8，BC =3，则DP=_________．
3.3__垂径定理__ 第1课时 垂径定理 1．[2016·黄石]如图3－3－1，⊙的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB 垂足为N ，则ON ＝( A ) 图3－3－1 A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 2．如图3－3－2，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定正确的是( B ) 图3－3－2 A ．CE ＝DE B ．AE ＝OE C.B C ︵＝B D ︵ D ．△OC E ≌△ODE 【解析】 ∵AB ⊥CD ， ∴CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵， ∵CO ＝DO ，∠CEO ＝∠DEO ， ∴△OCE ≌△ODE . 由已知条件不能确定AE 和OE 的关系．故选B. 3．[2017·泸州]如图3－3－3，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E .若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( B ) A.7 B ．27 C ．6 D ．8
图3－3－3 第3题答图 【解析】 如答图，连结OC ， 则OC ＝OB ＝4，OE ＝OB －AE ＝4－1＝3， CE ＝DE ＝OC 2－OE 2＝7， CD ＝2CE ＝27. 4．[2017·长沙]如图3－3－4，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为__5__． 图3－3－4 第4题答图 【解析】 如答图，连结OC ， ∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ， ∴CE ＝DE ＝12CD ＝12 ×6＝3， 设⊙O 的半径为x ，则OC ＝x ， OE ＝OB －BE ＝x －1， 在Rt △OCE 中，OC 2＝OE 2＋CE 2 ， ∴x 2＝32＋(x －1)2，解得x ＝5，∴⊙O 的半径为5. 5．[2017·眉山]如图3－3－5，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝8 cm ，DC ＝2 cm ，则OC ＝__5__cm. 图3－3－5 第5题答图 【解析】 如答图，连结OA ，
初中数学圆的基本性质定理知识点 初中数学圆的基本性质定理知识点 初中数学圆的基本性质定理知识点 2020-01-12 初中数学圆的基本性质定理知识点 各位热爱数学的初中同学们应该都知道，初中数学公式定理是丰富多样的，下面小编和大家分享的是初中数学圆的基本性质。更多更全的初中数学讯息尽在。 1 圆的基本性质 1 1圆的定义在平面内,和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周,简称为圆;其中定点叫做圆的圆心,廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径同圆的半径都相等连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦,通过圆心的弦叫做直径圆上任意两点间的部分叫做弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的’弧叫做劣弧由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等 1 2 不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆推论三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心 1. 3 垂径定理圆是中心对称图形;圆心是它的对称中心圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧推论 1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论 2 弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧推论3 平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧 1. 4 弧、弦和弦心距定理在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 2 圆与直线的位置关系 2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相
圆的基本性质 考点1 对称性 圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。它的对称中心是_____④_______。同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点2 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。 温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧； 考点3 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。 11____________，所对常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○ 的弦_____○12___________。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13___________，所对的弧______○14 __________。 方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。 温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。 （2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。 考点4 圆周角定理及其推论 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15__________，都等于这条弧所对的圆心角的______○16________。 推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17________，90°的圆周角所对的弦是______○18__________。
圆中的计算垂径定理 教学设计 【内容分析】 垂径定理及其推论是圆的性质部分非常重要的定理。垂径定理为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在中考考点上属于高频考点。垂径定理的学习无论从知识上，还是从学生能力的培养及学习信心的提升都起着重要的作用。 【学情分析】 学生是我自己所任教班级的学生，整体学习能力薄弱，中下生若多。他们在初三上学期已经完成垂径定理的学习，在运用定理方面仍不够灵活、熟练，又因为圆的知识点长时间运用，遗忘率很高。学生的基础弱，遇到不懂的题目，容易放弃，他们的自信心明显不足，大部分学生口头语言表达能力较弱，自我探索解题思路欠缺，分析问题需要老师引导。目前，有大部分学生，肯在老师的引导下，努力解题，由被动转向主动学习。 【教学目标】 1.进一步熟悉垂径定理及其推论的应用； 2.通过教学，提高学生分析基本图形、添加适当的辅助线探索解题思路的能力；通过 把实际问题转化一个数学问题，了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问 题的能力； 3.通过练习，总结常用解题方法，渗透方程、构造直角三角形等数学思想； 4. 学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，增强学习数学 的信心和热情。 【教学重点】 1.垂径定理及其推论的灵活运用； 2.定理应用过程的方法提炼和计算能力的训练提升。 【教学难点】 添加辅助线和把实际问题转化成数学问题，并用定理及其推论解决问题。 【任务分析】 学生中下面较广，知识点掌握不牢固，遗忘率很高。通过感知基础图形，动手画变式图形，达到巩固垂径定理，从而用垂径定理解决圆中有关计算。 【教学策略】 引入采用启发、类比，教学过程采用变式训练、分组训练、数学建模。
3.1 圆（1） 在同一平面内，线段0P 绕它固定的一个端点C 旋转一周，所经过的圭寸闭曲线叫做 圆，定点C 叫做，线段OF 叫做。 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，那么就有: d v r 0点P 在圆； dr 点；P 在圆上； d > r :-点P 在圆； 如图，在 ABC 中，/ BAC= Rt Z ，AO 是BC 边上的中线, 为一 C 的直径. (1) 点A 是否在圆上？请说明理由. (2) 写出圆中所有的劣弧和优弧. 如图，在A 岛附近，半径约250knm 勺范围内是一暗礁区， 往北300kn 有一灯塔B,往西400km 有一灯塔C.现有一渔船 沿CB 亢行，问：渔船会进入暗礁区吗？ 3.1 圆(2) (1) 经过一个已知点能作个圆； (2) 经过两个已知点A,B 能作个圆；过点A,B 任意作一个圆 圆心应该在怎样的一条直线上？ (3) 不在同一条直线上的三个点一个圆 经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆 的； 三角形的外心是的交点。 锐角三角形的外心在; 直角三角形的外心在; 钝角三角形的外心在。 BC
作图：已知△ ABC，用直尺和圆规作出△ ABC的外接圆 3.2图形的旋转 图形旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形； 对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。 1、如图，射线0P经过怎样的旋转，得到射线0Q ? 3、如图，以点0为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60° ,作出经旋 转所得的线段AB，并求直线AB与直线AB所成的锐角的度数 -B 径定理（1） 圆是图形，它的对称轴是。 2、如图，以点O为旋转中心，将A ABC按顺时针方向旋转60° ,作出经旋 转所得的图形 根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：V CD是直径，CD丄AB
微专题__垂径定理有关的辅助线 一 连半径构造直角三角形 (教材P78作业题第2题) 如图1，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点D .已知⊙O 的半径为2，AB ＝3，求DC 的长(精确到0.01)． 图1 教材母题答图 解：如答图，连结OA . ∵OC ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝12×3＝32， ∴OD ＝OA 2 －AD 2 ＝22 －? ?? ??322 ＝72， ∴DC ＝OC －OD ＝2－ 7 2 ≈0.68. 【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解． [xx·呼和浩特]如图2，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶ MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B ) A ．26π B ．13π C.96π5 D.3910π5 图2 变形1答图 【解析】 如答图，连结OA ，设OM ＝5x ，MD ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，又∵AB ＝12，由垂径定理可得AM ＝6，∴在Rt △AOM 中，(5x )2＋62＝(13x )2 ，解得x ＝12，∴半径OA ＝132，根据周长 公式C ＝2πr ，∴⊙O 的周长为13π. 如图3，已知⊙O 的半径为5，点A 到圆心O 的距离为3，则过点A 的所有弦中，最
短的弦长为( C ) 图3 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则 AC 的长为( C ) A ．2 5 cm B ．4 5 cm C ．2 5 cm 或4 5 cm D ．2 3 cm 或4 3 cm 【解析】 如答图，连结AC ，AO . ∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ， ∴AM ＝12AB ＝1 2×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm. 当点C 位置如答图①所示时， ∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，AB ⊥CD ， ∴OM ＝OA 2 －AM 2 ＝52 －42 ＝3(cm)， ∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)， ∴AC ＝AM 2 ＋CM 2 ＝42 ＋82 ＝45(cm)； 变形3答图 当点C 位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm ， ∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)． 在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2 ＋MC 2 ＝42 ＋22 ＝25(cm)．故选C. 如图4，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为( B ) A. 2－12a B.2－24 a C ．(2－1)a D ．(2－2)a
圆的基本性质专题练习 一、选择题 A1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 A2如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ，⑤,正确结论的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 A3．如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60? B ．50? C ．40? D ．30? A4．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠B 大小为 ( ) A ．25° B ．35° C ．45° D ．65° A5. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 A ．2.5 B ．5 C ．10 D ．15 A6、如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2， 120=∠AOB ，则弦AB 的长是 （ ） （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）23 B7．如图２，△ABC 内接于⊙O ，若∠OA Ｂ＝２８°，则∠C 的大小是（ ） A ．６２° B ．５６° C ．２８° D ．３２° B8. 如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，且∠APB=50°若点M 是⊙O 上的动 点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 B9、 如图，⊙O 过点B 、C 。圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝900，OA ＝1，BC ＝6， 则⊙O 的半径为（ ） A ）10 B ）32 C ）23 D ）13 C10．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ） A. (45)+ cm B. 9 cm C. 45cm D. 62cm （第2题图） （第3题图） （第4题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图）
第三章 《圆的基本性质》的知识点及典型例题 知识框图 1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过三点可作 个圆。过四点可作 个圆。 2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。 注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求⌒A B ，那么所求的是弧长 圆 概 念 圆、圆心、半径、直径 弧、弦、弦心距、等弧 圆心角、圆周角 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形 圆的基本性质 圆周角定理及2个推论 圆的相关计算 弧可分为劣弧、半圆、优弧 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧 点和圆的位置关系 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的轴对称性 垂径定理及其2个逆定理 圆的中心对称性和旋转不变性 圆心角定理及逆定理 求半径、弦长、弦心距 求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积 圆的相关证明 求不规则阴影部分的面积 证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系 证明弧度之间的数量关系； 证明多边形的形状；证明两线垂直 圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等 5、拓展一下：圆内接四边形的对角之和为 6、弧长公式：在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为l = 7、扇形面积公式1：半径为R ，圆心角为n °的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。 扇形面积公式2：半径为R ，弧长为l 的扇形面积为 8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的 ，弧长等于圆锥的 9、圆锥的侧面积： ；圆锥的全面积： 10、圆锥的母线长l ，高h ，底面圆半径r 满足关系式 11、已知圆锥的底面圆半径r 和母线长l ，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为 12、圆锥的侧面展开图的圆心角x 的取值范围为 考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号） 考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式 考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理 考点四、求圆心角、圆周角 考点五、求阴影部分的面积 考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状 考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题 考点八、方案设计题，求最大扇形面积 考点九、将圆锥展开，求最近距离 练习 一、选择题 1、下列命题中：① 任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③ 任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④ 平分弦的直径垂直于弦；⑤ 直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO -- 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ） 3、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=30°，AC=2a ，BC=b ，以AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（ ） A. 2πa B. πab C. 3πa2+πab D. πa （2a+b ） P A O B s t O s O t O s t O s t A ． B ． C ． D ．