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2014年高考文科数学真题解析分类汇编:H单元 解析几何(纯word可编辑)

数 学

H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

6.,,[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心,且与直线x +y +1=0垂直,

则l 的方程是( )

A .x +y -2=0

B .x -y =2=0

C .x +y -3=0

D .x -y +3=0

6.D [解析] 由直线l 与直线x +y +1=0垂直,可设直线l 的方程为x -y +m =0.

又直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心(0,3),则m =3,所以直线l 的方程为x -y +3=0,

故选D.

20.、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y =0,过点P 的动直线

l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.

(1)求M 的轨迹方程;

(2)当|OP |=|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积.

20.解:(1)圆C 的方程可化为x 2+(y -4)2=16,

所以圆心为C (0,4),半径为4.

设M (x ,y ),则CM =(x ,y -4),MP =(2-x ,2-y ).

由题设知CM ·MP =0,故x (2-x )+(y -4)(2-y )=0,即(x -1)2+(y -3)2=2.

由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -3)2=2.

(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,2为半径的圆.

由于|OP |=|OM |,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM .

因为ON 的斜率为3,所以直线l 的斜率为-13

, 故l 的方程为y =-13x +83

. 又|OM |=|OP |=2 2,O 到直线l 的距离为4105

, 故|PM |=4105,所以△POM 的面积为165

. 21.、、、[2014·重庆卷] 如图1-5,设椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,|F 1F 2||DF 1|=22,△DF 1F 2的面积为22

. (1)求该椭圆的标准方程.

(2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个

交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说

明理由.

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21.解:(1)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c 2=a 2-b 2.

由|F 1F 2||DF 1|

=2 2得|DF 1|=|F 1F 2|2 2=22

c . 从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|=22c 2=22

,故c =1. 从而|DF 1|=22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92,因此|DF 2|=3 22

, 所以2a =|DF 1|+|DF 2|=2 2,故a =2,b 2=a 2-c 2=1.

因此,所求椭圆的标准方程为x 22

+y 2=1. (2)如图所示,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22

+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性,易知,x 2=-x 1,y 1=y 2.

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由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1P 1=(x 1+1,y 1),F 2P 2→=(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 21=0.

由椭圆方程得1-x 212=(x 1+1)2,即3x 21+4x 1=0,解得x 1=-43

或x 1=0. 当x 1=0时,P 1,P 2重合,题设要求的圆不存在.

当x 1=-43

时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0,y 0),由CP 1⊥F 1P 1,得y 1-y 0x 1·y 1x 1+1

=-1. 而y 1=|x 1+1|=13,故y 0=53

. 圆C 的半径|CP 1|=????-432+????13-532=4 23

. 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为

x 2+????y -532=329

.

H2 两直线的位置关系与点到直线的距离

6.,,[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心,且与直线x +y +1=0垂直,则l 的方程是( )

A .x +y -2=0

B .x -y =2=0

C .x +y -3=0

D .x -y +3=0

6.D [解析] 由直线l 与直线x +y +1=0垂直,可设直线l 的方程为x -y +m =0. 又直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心(0,3),则m =3,所以直线l 的方程为x -y +3=0,故选D.

18.、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段

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