甘肃省天水一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1．（4分）动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线
2．（4分）焦点为（0，6）且过点（2，5）双曲线方程是（）
A．B．
C．D．
3．（4分）“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角
D．以上都不对
4．（4分）抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（）
A．4B．8C．12 D．16
5．（4分）双曲线的焦距是（）
A．4B．C．8D．与m有关
6．（4分）k＞5是方程=1的曲线为椭圆时的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．非充分非必要条件
7．（4分）如果椭圆=k上两点间的距离最大值为8，则k的值为（）
A．32 B．16 C．8D．4
8．（4分）设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（）
A．相交B．相切
C．相离D．以上答案均有可能
9．（4分）经过双曲线x2﹣y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（）
A．B．C．D．
10．（4分）已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（）
A．16 B．12 C．9D．6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）命题?x∈R，x2﹣x+3＞0的否定是．
12．（5分）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为．
13．（5分）过双曲线=1的焦点且与x轴垂直的弦长为．
14．（5分）已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是．
三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）已知命题p：x2﹣5x+6≥0；命题q：0＜x＜4．若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．
16．（10分）过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．
17．（10分）已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．
18．（10分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B （0，﹣b）两点，原点O到直线l的距离是．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若?=﹣23，求直线m的方程．
甘肃省天水一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1．（4分）动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线
考点：轨迹方程．
专题：常规题型．
分析：根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．
解答：解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，
点P的轨迹为一条射线
故选D．
点评：本题考查双曲线的定义中的条件：小于两定点间的距离时为双曲线．
2．（4分）焦点为（0，6）且过点（2，5）双曲线方程是（）
A．B．
C．D．
考点：双曲线的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设焦点为（0，6）的双曲线方程为，把点（2，5）代入，能求出双曲线方程．
解答：解：设焦点为（0，6）的双曲线方程为，
把点（2，5）代入，得：
，
解得a2=16或a2=﹣9（舍），
∴所求双曲线方程为=1．
故选：C．
点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．
3．（4分）“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角
D．以上都不对
考点：命题的否定．
专题：阅读型．
分析：利用否命题的形式：条件、结论同时否定写出命题的否命题．注意“都是”的否定是“不都是”
解答：解：∵“△ABC中，若∠C=90°，则∠A，∠B都是锐角”
∴其否命题为“△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”
故答案为“△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”
故选B
点评：本题考查命题的四种命题，注意否命题与命题否定的区别．
4．（4分）抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（）
A．4B．8C．12 D．16
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由于Q点到焦点的距离为10，利用弦长公式可得，解得p．即为焦点到准线的距离．
解答：解：∵Q点到焦点的距离为10，
∴，解得p=8．
∴焦点到准线的距离=p=8．
故选：B．
点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、弦长公式，属于基础题．
5．（4分）双曲线的焦距是（）
A．4B．C．8D．与m有关
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c
解答：解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4﹣m2=16
∴c=4 焦距2c=8
故选C
点评：本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论：c2=a2+b2，属于基础试题
6．（4分）k＞5是方程=1的曲线为椭圆时的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．非充分非必要条件
考点：椭圆的标准方程．
分析：k＞5时，方程=1的曲线不一定为椭圆；当方程=1的曲线为椭圆时，．
解答：解：k＞5时，k﹣5＞0，6﹣k不一定大于0，
∴方程=1的曲线不一定为椭圆；
当方程=1的曲线为椭圆时，
，解得5＜k＜6，且k≠．
∴k＞5是方程=1的曲线为椭圆时的必要非充分条件．
故选：B．
点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要认真审题．
7．（4分）如果椭圆=k上两点间的距离最大值为8，则k的值为（）
A．32 B．16 C．8D．4
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据椭圆上两点间的最大距离为长轴2a，即可求出k的值．
解答：解：∵在椭圆=k中，
标准方程为+=1，
∴该椭圆上两点间的最大距离为2=8，
解得k=4．
故选：D．
点评：本题考查了椭圆的标准方程与几何性质的应用问题，是基础题目．
8．（4分）设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（）
A．相交B．相切
C．相离D．以上答案均有可能
考点：抛物线的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M且到准线的距离是d．设P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．结合中位线的定义与
抛物线的定义可得：==半径，进而得到答案．
解答：解：不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．
设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．
而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，
由抛物线的定义可得：==半径．
所以圆心M到准线的距离等于半径，
所以圆与准线是相切．
故选：B．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系的判定．9．（4分）经过双曲线x2﹣y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出直线方程代入x2﹣y2=8，整理可得3x2﹣32x+72=0，利用韦达定理，结合弦长公式，即可得出结论．
解答：解：双曲线x2﹣y2=8的右焦点为（4，0），经过双曲线x2﹣y2=8的右焦点且斜率为2的直线方程为y=2（x﹣4），
代入x2﹣y2=8，整理可得3x2﹣32x+72=0，
设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=24，
∴直线被双曲线截得的线段的长是=，
故选：D．
点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（4分）已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（）
A．16 B．12 C．9D．6
考点：抛物线的简单性质；抛物线的定义．
专题：计算题．
分析：根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得
|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求．
解答：解：抛物线的标准方程为x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．
设p到准线的距离为PM，（即PM垂直于准线，M为垂足），
则|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|=9，（当且仅当P、A、M共线时取等号），
故选C．
点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到
|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）命题?x∈R，x2﹣x+3＞0的否定是?x∈R，x2﹣x+3≤0．
考点：命题的否定；特称命题．
专题：常规题型．
分析：根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定
解答：解：原命题为：?x∈R，x2﹣x+3＞0
∵原命题为全称命题
∴其否定为存在性命题，且不等号须改变
∴原命题的否定为：?x∈R，x2﹣x+3≤0
故答案为：?x∈R，x2﹣x+3≤0
点评：本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：（1）“若A，则B”的否定为“若￢A，则￢B”；（2）全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；（3）切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题．本题考查第二种形式，属简单题
12．（5分）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为或．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：当焦点在x轴上时，=，根据==求出结果；当焦点在y轴上时，
=，根据==求出结果．
解答：解：由题意可得，当焦点在x轴上时，=，∴===．当焦点在y轴上时，=，∴===，
故答案为：或．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，求出的值，是解题的关键．
13．（5分）过双曲线=1的焦点且与x轴垂直的弦长为．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由题意，c==，令x=代入=1可得y2=，从而求弦长．
解答：解：∵c==，
令x=代入=1可得，
y2=，
则过双曲线=1的焦点且与x轴垂直的弦长为2=．
故答案为：．
点评：本题考查了圆锥曲线与直线的弦长问题，属于基础题．
14．（5分）已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点
P的轨迹方程是．
考点：椭圆的定义．
专题：计算题．
分析：根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程．
解答：解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），
∴|F1F2|=2，
∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，
即|PF1|+|PF2|=4，
∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，
∵2a=4，a=2
c=1
∴b2=3，
∴椭圆的方程是
故答案为：．
点评：本题主要考查了应用椭圆的定义以及等差中项的概念求椭圆方程，关键是求a，b的值．
三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（10分）已知命题p：x2﹣5x+6≥0；命题q：0＜x＜4．若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：不等式的解法及应用；简易逻辑．
分析：当命题p为真命题时，得到x的范围，命题q为假命题时，得到x的范围，进而可得到实数x的取值范围；
解答：解：由于p是真命题，由x2﹣5x+6≥0，得x≥3或x≤2；
由于q是假命题，命题q：0＜x＜4，
∴x≤0或x≥4．
则{x|x≥3或x≤2}∩{x|x≤0或x≥4}
={x|x≤0或x≥4}，
∴满足条件的实数x的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）
故实数x的取值范围（﹣∞，0]∪[4，+∞）
点评：本题考查二次不等式的解法及求集合的交集．
16．（10分）过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合M（2，1）为AB 的中点吗，求出直线的斜率，即可得到直线的方程．
解答：解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）
∵M（2，1）为AB的中点
∴x1+x2=4，y1+y2=2
∵又A、B两点在椭圆上，则，
两式相减得
于是（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0
∴，即，
故所求直线的方程为，即x+2y﹣4=0．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．（10分）已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．
考点：圆锥曲线的轨迹问题．
专题：计算题．
分析：欲求点M的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y的关系式．
解答：解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）∵M是FQ的中点，
∴?，又Q是OP的中点
∴?，
∵P在抛物线y2=4x上，∴（4y）2=4（4x﹣2），
所以M点的轨迹方程为
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．
18．（10分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B （0，﹣b）两点，原点O到直线l的距离是．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若?=﹣23，求直线m的方程．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：（1）先求出直线l的方程，再点到直线的距离公式建立关于a，b，c的方程，解这个方程求出a，b，从而得到双曲线的方程．
（2）设m方程为y=kx﹣1，则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组的
解，消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．由根与系数关系和题设条件推导出k的值，从而求出直线m的方程．
解答：解：（1）依题意，l方程+=1，即bx﹣ay﹣ab=0，由原点O到l的距离为，
得
=，又e==，
∴b=1，a=．
故所求双曲线方程为﹣y2=1．
（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx﹣1，
则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解，
消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．①
依题意，1﹣3k2≠0，由根与系数关系，
知x1+x2=，x1x2=
?=（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2
=x1x2+（kx1﹣1）（kx2﹣1）
=（1+k2）x1x2﹣k（x1+x2）+1
=﹣+1=+1．
又∵?=﹣23，
∴+1=﹣23，k=±，
当k=±时，方程①有两个不相等的实数根，
∴方程为y=x﹣1或y=﹣x﹣1．
点评：本题是双典线的综合题，重点考查双曲线的性质及其应用，具有一定的难度．解题时要注意根与系数的关系的灵活运用．