专题四 第一讲
一、选择题
1．(文)(2013·山东文，4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
A ．45，8
B ．45，8
3
C ．4(5＋1)，83
D ．8,8
[答案] B
[解析] 由正视图知四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，又因为侧棱长相等，所以棱锥是正四棱锥，斜高h ′＝22＋12＝5，侧面积S ＝4×12×2×5＝45，体积V ＝
1
3×2×2×2＝8
3
.
(理)(2013·绍兴市模拟)某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] B
[解析] 由三视图知，该几何体底面是正方形，对角线长
为2，故边长为2，几何体是四棱锥，有一条侧棱与底面垂直，其直观图如图，由条件知PC ＝13，AC ＝2，
∴P A ＝3，体积V ＝1
3
×(2)2×3＝2.
2．(文)(2014·长春市三调)若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为( )
A.
π
π＋1
B.2π2π＋1
C.22π＋1
D.
1
π＋1
[答案] B
[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2r h ＝h
2πr ，则h ＝2r π，则S 侧＝2πr ·h ＝4πr 2π，
S 全＝4πr
2
π＋2πr 2
，故圆柱的侧面积与全面积之比为4πr 2π4πr 2π＋2πr 2＝2π
2π＋1
，故选B. (理)(2014·吉林市质检)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为( )
A ．12＋103π
B ．6＋10
3π
C ．12＋2π
D ．6＋4π
[答案] C
[解析] 由三视图可知，该几体何是沿圆柱的底面夹角为60°的两条半径与中心轴线相交得到平面为截面截下的圆柱一角，其中两个侧面都是矩形，矩形一边长为半径2，一边长为柱高3，另一侧面为圆柱侧面的16，因此该几何体的侧面积为S ＝2×3＋2×3＋
16×(2π×2×3)＝12＋2π.
3．(文)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．12－π
B ．12－2π
C ．6－π
D ．4－π
[答案] A
[解析] 由三视图知，该几何体是一个组合体，由一个长方体挖去一个圆柱构成，长方体的长、宽高为4,3,1，圆柱底半径1，高为1，∴体积V ＝4×3×1－π×12×1＝12－π.
(理)若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于( )
A ．10 cm 3
B ．20 cm 3
C ．30 cm 3
D ．40 cm 3
[答案] B
[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱ABC －A 1B 1C 1沿平面AB 1C 1
截去一个三棱锥A －A 1B 1C 1余下的部分．
∴VA －BCC 1B 1＝VABC －A 1B 1C 1－VA －A 1B 1C 1＝12×4×3×5－13×(1
2×4×3)×5＝
20cm 3.
4．(文)如图，直三棱柱的正视图面积为2a 2，则侧视图的面积为
( )
A ．2a 2
B ．a 2 C.3a 2 D.34a 2 [答案] C
[解析] 由正视图的面积为2a 2，则直三棱柱的侧棱长为2a ，侧视图为矩形，一边长为2a ，另一边长为
3
2
a ，所以侧视图的面积为3a 2.
(理)(2013·东城区模拟)已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么这个几何体的侧面积是( )
A ．(1＋2)cm 2
B ．(3＋2)cm 2
C ．(4＋2)cm 2
D ．(5＋2)cm 2
[答案] C
[解析] 由三视图可画出该几何体的直观图如图，其侧面积为1×1＋2×1
2(1＋2)×1＋
1×12＋12＝4＋2cm 2.
5．(文)(2013·常德市模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．6＋2 3
B ．6＋4 2
C ．4＋2 3
D ．4＋4 2
[答案] D
[解析] 其直观图如图，表面积S ＝2×(12×2×2)＋(1
2
×22×2)×2＝4＋4 2.
(理)(2013·江西师大附中、鹰潭一中联考)已知一个三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为( )
A.3
2
B.34
C ．1 D.12
[答案] B
[解析] 由题意知，此三棱锥的底面为有一个角为30°的直
角三角形，其斜边长AC ＝2，一个侧面P AC 为等腰直角三角形，∴DE ＝1，BF ＝
3
2
，其侧视图为直角三角形，其两直角边与DE 、BF 的长度相等，面积S ＝12×1×32＝3
4
.
6．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )
A ．AD ⊥平面PBC ，且三棱锥D －ABC 的体积为8
3
B ．BD ⊥平面P A
C ，且三棱锥
D －ABC 的体积为8
3
C ．A
D ⊥平面PBC ，且三棱锥D －ABC 的体积为16
3
D ．AD ⊥平面P AC ，且三棱锥D －ABC 的体积为16
3
[答案] C
[解析] ∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，又∵AD ?平面P AC ，∴BC ⊥AD ，由正视图可知，AD ⊥PC ，又PC ∩BC ＝C ，∴AD ⊥平面PBC ，且V D －ABC ＝12V P －ABC ＝12×13×4×(12×4×4)＝16
3
.
二、填空题
7．(文)(2014·天津文，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.
[答案]
20π3
[解析] 本题考查三视图及简单几何体的体积计算，考查空间想象能力和简单的计算能力．
由三视图知，该几何体下面是圆柱、上面是圆锥． ∴V ＝π×12×4＋13π×22×2＝20π
3
.
(理)(2013·陕西理，12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．
[答案] π
3
[解析] 由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为2的半个圆锥． ∴V ＝12×13(π×12×2)＝π3
.
8．(文)(2013·金华一中月考)某几何体的三视图(单位：cm)如下图，则这个几何体的表面积为________cm 2.
[答案] 12＋2 3
[解析] 由三视图知，该几何体为正三棱柱， 底面积S 1＝2×(1
2×2×3)＝23，
侧面积S 2＝3×(2×2)＝12， ∴表面积S ＝S 1＋S 2＝12＋23cm 2.
(理)(2013·天津十二区县联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
[答案] 108＋3π
[解析] 由三视图知，该几何体由上下两个全等的正四棱柱及中间的圆柱构成的组合体，体积V ＝2×(6×6×1.5)＋π×12×3＝108＋3π.
9．(2013·江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、AA 1
的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1 V 2＝
________.
[答案] 1 24
[解析] V 1V 2＝V 锥F －ADE V 柱ABC －A 1B 1C 1＝13×14S ×12h Sh ＝1
24.
三、解答题
10．(文)在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，DC ∥AB ，DC ＝1，AB ＝4，BC ＝23，∠CBA ＝30°
.
(1)求证：AC ⊥PB ；
(2)当PD ＝2时，求此四棱锥的体积． [解析] (1)∵PC ⊥平面ABCD ，∴PC ⊥AC ， 又∠CBA ＝30°，BC ＝23，AB ＝4， ∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠CBA ＝
16＋12
－2×4×23×
3
2
＝2，
∴AC 2＋BC 2＝4＋12＝16＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，故AC ⊥BC .
又∵PC 、BC 是平面PBC 内的两条相交直线， 故AC ⊥平面PBC ， ∴AC ⊥PB .
(2)当PD ＝2时，作CE ⊥AB 交AB 于E ， 在Rt △CEB 中，CE ＝CB ·sin30°＝23×1
2＝3，
又在Rt △PCD 中，DC ＝1， ∴PC ＝3，
∴V P －ABCD ＝13·PC ·S ABCD ＝13×3×12(1＋4)×3＝5
2
.
(理)(2014·山西太原检测)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．
(1)求证：AC ⊥平面BDEF ； (2)求证：平面BDGH //平面AEF ； (3)求多面体ABCDEF 的体积．
[解析] (1)证明：因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD .
又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ， 且AC ?平面ABCD ， 所以AC ⊥平面BDEF .
(2)证明：在△CEF 中，因为G 、H 分别是CE 、CF 的中点， 所以GH ∥EF ，
又因为GH ?平面AEF ，EF ?平面AEF ， 所以GH ∥平面AEF . 设AC ∩BD ＝O ，连接OH ，
在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ， 所以OH ∥AF ，
又因为OH ?平面AEF ，AF ?平面AEF ， 所以OH ∥平面AEF .
又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ?平面BDGH ， 所以平面BDGH ∥平面AEF .
(3)解：由(1)，得AC ⊥平面BDEF ，
又因为AO ＝2，四边形BDEF 的面积S BDEF ＝3×22＝62， 所以四棱锥A －BDEF 的体积V 1＝1
3×AO ×S BDEF ＝4.
同理，四棱锥C －BDEF 的体积V 2＝4. 所以多面体ABCDEF 的体积V ＝V 1＋V 2＝8.
一、选择题
11．(文)(2013·眉山市二诊)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是( )
A ．6
B ．12
C ．24
D ．36
[答案] B
[解析] 由三视图知该几何体为有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，体积V ＝1
3
×(4×3)×3＝12.
(理)(2013·榆林市一中模拟)已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a 的值为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
[答案] B
[解析] 由V ＝1
3
×(a ×3)×4＝24得，a ＝6.
12．(文)(2013·江西八校联考)某几何体的三视图(单位：m)如图所示，则其表面积为( )
A ．(96＋322)m 2
B ．(64＋323)m 2
C ．(114＋162＋163)m 2
D ．(80＋162＋163)m 2 [答案] D
[解析] 由三视图知该几何体是一个组合体，中间是一个棱长为4的正方体(由正、侧视图中间部分和俯视图知)，上部是一个有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，下部是一个正四棱锥，表面积S ＝2(12×4×4＋12×4×42＋42)＋4×42＋4×(1
2×4×23)＝80＋162＋163
(m 2)．
(理)(2013·德阳市二诊)已知某几何体的三视图如图所示，其中正
视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
A.2π3＋1
2 B.4π3＋1
6 C.
2π6＋16
D.2π3＋12
[答案] C
[解析] 由三视图知，该几何体为组合体，下部为一个半球，半球的直径为2，上部为三棱锥，有一侧棱与底面垂直，∴体积V ＝13×(12×1×1)×1＋4π3×(22)3×12＝16＋2π
6
.
13．(文)(2013·辽宁文，10)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )
A.317
2
B ．210
C.132 D ．310
[答案] C
[解析] 过C ，B 分别作AB 、AC 的平行线交于D ，分别过C 1、B 1作A 1B 1，A 1C 1的平行线交于D 1，连接DD 1，则ABDC －A 1B 1D 1C 1恰为该球的内接长方体，故该球的半径r ＝32＋42＋1222＝13
2
，故选C.
(理)一个半径为1的球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为( )
A.13π3
B.15π
4 C ．4π D.9π2
[答案] D
[解析] 由三视图知该几何体是一个球体，保留了下半球，上半球分为四份，去掉了对顶的两份，故表面积为球的表面积，去掉14球表面积加上6个1
4
的圆面积．
∴S ＝4πR 2－14(4πR 2)＋6×14πR 2＝9
2πR 2，
又R ＝1，∴S ＝9
2π.
二、填空题
14．(文)(2013·天津市六校联考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为________．
[答案] 48
[解析] 由三视图知，该几何体是一个组合体，其上部为长方体，下部为横放的四棱柱，其底面是上底长2，下底长6，高为2的等腰梯形，柱高为4，其体积V ＝2×4×2＋12(2＋
6)×2×4＝48.
(理)(2013·内江市一模)矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，沿BD 将矩形ABCD 折成一个直二面角A －BD －C ，则四面体ABCD 的外接球的表面积是________．
[答案] 100π
[解析] 设矩形ABCD 对角线BD 的中点为O ，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴折起后空间四边形ABCD 的外接球球心为O ，∴球O 的半径R ＝1282＋62＝5，∴球O 的表面积S ＝4πR 2
＝100π.
三、解答题
15．(文)(2013·北京文，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，
AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 、PC 的中点，求证：
(1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .
[解析] (1)因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ， 所以P A ⊥底面ABCD .
(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，
所以AB ∥DE ，且AB ＝DE . 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD .
又因为BE ?平面P AD ，AD ?平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .
(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形， 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD . 由(1)知P A ⊥底面ABCD .
所以P A ⊥CD .所以CD ⊥平面P AD . 所以CD ⊥PD .
因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF ， 又因为CD ⊥BE ，BE ∩EF ＝E ， 所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD .
(理)(2013·浙江理，20)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥
平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝2 2.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .
(1)证明：PQ ∥平面BCD ；
(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小． [解析] 方法1：(1)取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OP 、OF 、FQ .
因为AQ ＝3QC ，所以QF ∥AD ，且QF ＝14AD .
因为O 、P 分别为BD 、BM 的中点， 所以OP 是△BDM 的中位线， 所以OP ∥DM ，且OP ＝1
2
DM .
又点M 为AD 的中点，所以OP ∥AD ，且OP ＝1
4
AD .
从而OP ∥FQ ，且OP ＝FQ ，
所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQ ∥OF .
又PQ ?平面BCD ，OF ?平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .
(2)作CG ⊥BD 于点G ，作GH ⊥BM 于点H ，连接CH . 因为AD ⊥平面BCD ，CG ?平面BCD ，所以AD ⊥CG ， 又CG ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ，故CG ⊥平面ABD ， 又BM ?平面ABD ，所以CG ⊥BM .
又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ， 所以GH ⊥BM ，CH ⊥BM .
所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角， 即∠CHG ＝60°. 设∠BDC ＝θ.
在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos θ＝22cos θ，
CG ＝CD sin θ＝22cos θsin θ，BC ＝BD sin θ＝22sin θ， BG ＝BC sin θ＝22sin 2θ.
在Rt △BDM 中，∵GH ⊥BM ，∴△BGH ∽△BMD ， ∴HG ＝BG ·DM BM ＝22sin 2θ3.
在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝CG HG ＝3cos θ
sin θ
＝ 3. 所以tan θ＝ 3.从而θ＝60°. 即∠BDC ＝60°.
方法2：(1)如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD 、OP 所在射线为y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .
由题意知A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为AQ →＝3QC →
， 所以Q (34x 0，24＋34y 0，1
2
)．
因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)． 又P 为BM 的中点，故P (0,0，1
2)，
所以PQ →＝(3
4x 0，24＋34
y 0,0)．
又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)， 故PQ →
·u ＝0.
又PQ ?平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD . (2)设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量． 由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →
＝(0,22，1)，
知???
－x 0x ＋(2－y 0)y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0.
取y ＝－1，得m ＝(y 0＋2
x 0，－1,22)．
又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)． 于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |
|m ||n |
＝
|y 0＋2
x 0
|9＋(y 0＋2x 0)
2＝12，
即(y 0＋2x 0
)2＝3.①
又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →
＝0，
故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，
即x 20＋y 20＝2.②
联立①②，解得??
?
x 0＝0，
y 0＝－ 2.
(舍去)或??
?
x 0＝±62，
y 0
＝22.
所以tan ∠BDC ＝|
x 0
2－y 0
|＝ 3. 又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.
16．(文)(2013·北京西城区模拟)在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ＝3，AB ＝2BC ＝2，AC ⊥FB .
(1)求证：AC ⊥平面FBC ； (2)求四面体FBCD 的体积；
(3)线段AC 上是否存在点M ，使得EA ∥平面FDM ？证明你的结论． [解析] (1)证明：在△ABC 中， ∵AC ＝3，AB ＝2，BC ＝1，∴AC ⊥BC . 又∵AC ⊥FB ，∴AC ⊥平面FBC . (2)解：∵AC ⊥平面FBC ，∴AC ⊥FC . ∵CD ⊥FC ，∴FC ⊥平面ABCD .
在等腰梯形ABCD 中可得∠BCD ＝120°，CB ＝DC ＝1，∴FC ＝1.∴S △BCD ＝3
4
， ∴四面体FBCD 的体积为：V F －BCD ＝13S △BCD ·FC ＝312
.
(3)线段AC 上存在点M ，且M 为AC 中点时，有EA ∥平面FDM ，证明如下： 连接CE ，与DF 交于点N ，连接MN . 因为CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点．
所以EA ∥MN .
因为MN ?平面FDM ，EA ?平面FDM ， 所以EA ∥平面FDM .
所以线段AC 上存在点M ，使得EA ∥平面FDM 成立．
(理)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是3，D 是AC 的中点．
(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求二面角A 1－BD －A 的大小；
(3)求直线AB 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值．
[解析] 解法一：(1)设AB 1与A 1B 相交于点P ，则P 为AB 1中点，连接PD ，
∵D 为AC 中点，∴PD ∥B 1C . 又∵PD ?平面A 1BD ，B 1C ?平面A 1BD . ∴B 1C ∥平面A 1BD .
(2)∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥底面ABC . 又∵BD ⊥AC ，∴A 1D ⊥BD
∴∠A 1DA 就是二面角A 1－BD －A 的平面角． ∵AA 1＝3，AD ＝1
2
AC ＝1，
∴tan ∠A 1DA ＝A 1A
AD
＝ 3.
∴∠A 1DA ＝π3，即二面角A 1－BD －A 的大小是π
3.
(3)由(2)作AM ⊥A 1D ，M 为垂足．
∵BD ⊥AC ，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1，
∵AM ?平面A 1ACC 1，∴BD ⊥AM ，∵A 1D ∩BD ＝D ，
∴AM ⊥平面A 1DB ，连接MP ，则∠APM 就是直线AB 1与平面A 1BD 所成的角． ∵AA 1＝3，AD ＝1，∴在Rt △AA 1D 中，∠A 1DA ＝π
3，
∴AM ＝1×sin60°＝
32，AP ＝12AB 1＝7
2
. ∴sin ∠APM ＝AM AP ＝327
2
＝21
7.
∴直线AB 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为21
7
. 解法二：(1)同解法一 (2)如图建立空间直角坐标系，
则D (0,0,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0，3)，B (0，3，0)，B 1(0，3，3)， ∴A 1B →＝(－1，3，－3)，A 1D →
＝(－1,0，－3) 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则n ·A 1B →＝－x ＋3y －3z ＝0， n ·A 1D →＝－x －3z ＝0，
则有???
x ＝－3z y ＝0
，得n ＝(－3，0,1)．
由题意，知AA 1→
＝(0,0，3)是平面ABD 的一个法向量． 设n 与AA 1→
所成角为θ，则cos θ＝n ·AA 1→|n |·|AA 1→|＝12
，∴θ＝π3.
∴二面角A 1－BD －A 的大小是π
3
.
(3)由已知，得AB 1→
＝(－1，3，3)，n ＝(－3，0,1)， 设直线AB 1与平面A 1BD 所成角为α，则 sin α＝|AB 1→·n ||AB 1→
||n |
＝217.
∴直线AB 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为
217
.
北师大版小学数学三年级上册 《看日历》教学设计 教学内容： 北师大版小学数学三年级上册第七单元第67页《看日历》。 教材分析： 《看日历》是北师大版三年级上册第七单元的内容，属于数与代数的范畴，这节课之后安排学习《认识平年和闰年》和《认识24时记时法》。与时、分、秒相比，年、月、日之间的关系更加复杂，虽然学生在日常生活中有一些感性的认识和经验，但是缺乏清晰的认识和数学思考的过程。所以教科书为学生设计了自主学习和自主建构的学习过程，从回顾入手展开学习活动，通过填表、整理、思考，发现规律，让有关年、月、日之间的知识，更加系统地纳入自己的知识结构中。 学生分析： 对于三年级的学生来说，他们在日常生活中积累了日历方面的一些感性的认识和经验，有自主观察、探究日历，发现时间规律的基础，但是他们获得的知识不是特别的系统，甚至个别地方可能不一定准确，也缺乏清晰的认识和数学思考的过程。 教学目标： 1、结合生活经验，使学生认识时间单位年、月、日，了解他们之间的关系，知道大月、小月、平年、闰年。 2、在回顾、整理、观察活动中，能发现一些简单的规律，发展观察、判断和推理能力。 3、经历与他人合作交流解决问题的过程，能倾听别人的意见，感受数学学习的快乐。 教学重点：认识时间单位年、月、日，掌握它们之间的相互关系，知道大月、小月的月份。 教学难点：在回顾、整理、观察活动中，发现规律。 教学准备：2019年的年历卡片、统计表。 教学过程： 一、师生交流，导入课题。
猜谜语：有个宝宝真稀奇，身穿三百多件衣。每天都要脱一件，年底只剩一张皮。（打一物）日历。今天老师就和你们一起看日历。板书课题：看日历 二、探究新知 1、找一找说一说 （1）找一找今天的日期，并说一说是怎么找的 （2）师：关于“年、月、日”的知识你都知道了什么？ 生回答。老师可以根据学生的回答有选择地板书。 （2）提出质疑 师：关于“年、月、日”的知识你们知道得还真多。那么，关于“年、月、日”，你还有什么疑问？ 学生质疑。 2、看日历填表 小组合作填表， 观察附页1，把2013~2014年各月份的天数记录在表格中。 学生观察并填表，老师巡视指导。 学生填完后，指名口述，教师在课件上填写各月份的天数，完成表格。 （4）你发现了什么？ 仔细观察表格，你发现了什么？把你的发现和同桌同学交流交流。 学生可能会发现有的月份是31天，有的是30天，而2月有时是28天，有时是29天。 引导学生有序地观察，汇报，老师利用课件演示，并完成板书。
第讲空间几何体、空间中的位置关系 .()[·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() 图图 ()[·全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(),(),(),(),画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到的正视图可以为() 图 [试做] 命题角度由直观图求三视图的问题 关键一:注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向; 关键二:注意看到的轮廓线和棱是实线,看不到的轮廓线和棱是虚线. .[·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为() 图 [试做]
命题角度与三视图有关的几何体的表面积和体积问题 ()关键一:由三视图想象几何体的结构特征,并画出该几何体的空间图形; 关键二:搞清楚几何体的尺寸与三视图尺寸的关系; 关键三:利用外部补形法,将几何体补成长方体或正方体等常见几何体. ()看三视图时,需注意图中的虚实线. ()求不规则几何体的表面积和体积时,通常将所给几何体分割为基本的柱、锥、台体. .()[·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为,母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为°.若△的面积为 ,则该圆锥的侧面积为. ()[·全国卷Ⅰ]在长方体中与平面所成的角为°,则该长方体的体积为() [试做] 命题角度空间几何体的面积与体积 ()求规则几何体的体积,只需确定底面与相应的高,而求一些不规则几何体的体积往往需采用分割或补形思想,转化求解. ()求组合体的表面积时,需注意组合体衔接部分的面积,分清侧面积和表面积. .()[·全国卷Ⅰ]如图,在下列四个正方体中为正方体的两个顶点为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线与平面不平行的是() 图 ()[·全国卷Ⅱ]α,β是两个平面是两条直线,有下列四个命题: ①如果⊥⊥α∥β,那么α⊥β. ②如果⊥α∥α,那么⊥. ③如果α∥β?α,那么∥β. ④如果∥,α∥β,那么与α所成的角和与β所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号) [试做] 命题角度空间中线面位置关系的判定 关键一:逐个寻找反例作出否定的判断,逐个进行逻辑证明作出肯定的判断; 关键二:结合长方体模型或实际空间位置作出判断,但要注意准确应用定理,考虑问题全面细致.
第一章 空间几何体测试卷 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )． 主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体 2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )． A ．2＋2 B ． 2 2 1＋ C ． 2 2 ＋2 D ．2＋1 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶3 6．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )． A ． 2 9π B ． 2 7π C ． 2 5π D ． 2 3π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 8．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝ 2 3 ，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )． A ． 2 9 B ．5 C ．6 D ． 2 15 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆 10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )． (第10题) 二、填空题 11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱． 12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 是上底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥O － (第8题)
北师大版数学三年级上册第七单元第一课时看日历同步测试D卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的! 一、填空。 (共7题；共17分) 1. （4分）2元4角=________元 9厘米=________米 5时=________分 120小时=________日 2. （2分）平年有________天，闰年有________． 3. （2分）1985年全年有________天；1986年全年有________天 4. （4分）中华人民共和国是________年________月________日成立的，到今年10月1日已成立了________周年。 5. （2分）张玉的生日比国庆节晚3天，张玉的生日是________月________日。 6. （2分）一年里有________个月，平年有________天。 7. （1分）中华人民共和国成立于________年10月1日。 二、选择。 (共8题；共16分) 8. （2分）下列年份中是闰年的是（） A . 1800年 B . 2000年 C . 1999年 9. （2分）下面的单位中，是同一类计量单位的一组是（）。 A . 千米、米、千克
B . 吨、秒、千克 C . 世纪、月、秒 10. （2分）妇女节在第（）季度。 A . 一 B . 二 C . 三 11. （2分）下面说法正确的是（） A . 哥哥是2006年2月29日出生的 B . 上半年比下半年天数多 C . 一年的最后一天是12月30日 D . 劳动节是五月一日 12. （2分）2018年的第二季度一共有（）天。 A . 89 B . 90 C . 91 D . 92 13. （2分）教师节是（） A . 1月1日 B . 9月10日 C . 6月1日 D . 8月10日
第一章 空间几何体 一、知识点归纳 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形 （其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1)3V S S h =+ +?下上（ ④球体的体积343 V R π= 二、巩固练习： 222r rl S ππ+=
空间几何体（讲义） ＞知识点睛 一、空间儿何体的结构特征 棱 特殊的多面体： 柱：斜棱柱、直棱柱、正棱柱、正方体 锥：正棱锥、正四面体 J正四棱柱：底面是正方形的直棱柱 1正方体（正六面体）：侧棱长与底边长相等的正四棱柱 j正三棱锥：底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面中心 I正四面体：侧棱长与底边长相等的正三棱锥
正棱柱 A B 正方体 S B S 直棱柱 正四面体 正三棱锥 2.简单组合体
3.球 （1）球的截面性质： ①经过球心的截面截得的圆叫做球的大圆，不过球心的截面 截得的圆叫做球的小圆； ②球心和截得的小圆圆心的连线垂直于截面. （2）位置关系： ①外接球：多面体的各个顶点都在球面上； ②内切球：多面体的各个面都与球相 切.二、空间儿何体的表面积与体积 J 空间儿何体的表面积（也称全面积）（底面周长为C） S|畀柱= -------------- ；S閱锥= S惆台=7t(r'-+r+/-7 + rZ). 2空间儿何体的体积 DL 川/厂 T---- I ］少 1、■ I r --- A B C
心= -------------- ;%= ----------------- ; （底面积为S,高为/I） 八棱长为小 V =V =1（S'+ 辰+S）/7（上下底面积分别为S』，高为"）?梭台恻台3 3球的表面积与体积 S 球= ____________' V球= ______________ ?
有一个底面为多边形，其余各面都是 有一个公共顶点的三 角形，由这些 面所W 成的儿何体是棱锥 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 棱柱的侧 面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 3.下列命题： ① 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三 棱锥； ② 所有棱长都相等的直棱柱是正棱柱； ③ 若一个四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四 棱柱； ④ 所有棱长都相等的正三棱锥是正四面体； ⑤ 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂 直.其中正确的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ＞精讲精练 1.下列说法中，正确的是（ A B C. D 2.如图所示的儿何体中是棱柱的有（ C. 3个 D. ③ A ?1个 B ?2个 ? ④
空间几何体的表面积和体积练习题 题1 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面 半径之比为( ) A.49 B.94 C.427 D.274 题2 正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长 为6，则此球的体积为________． 题3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋23 3 D ．4π＋23 3 题4 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中 点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积．( ) A ．与x ，y 都有关 B ．与x ，y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关 D ．与y 有关，与x 无关
题5 直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的3 2 ，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所 成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积． 题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为( ) A ．πa 2 B.7 3 πa 2 C.11 3 πa 2 D ．5πa 2 题7 在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求 球的表面积． 题8 正四棱台的高为12cm ，两底面的边长分别为2cm 和12cm ．（Ⅰ）求正四棱台的全面 积；（Ⅱ）求正四棱台的体积． 题9 如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 题10 如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD ''-，求棱锥 C A D D ''-的体积与剩余部分的体积之比．
《看日历》说课稿 各位评委、老师你们好，我说课的题目是《看日历》第一课时。我从以下几个方面进行说课。 一、教材分析 《看日历》是北师大版小学数学3年级上册第七单元《年、月、日》中的第一课时，本单元属于数与代数领域“常见的量”中的内容，主要学习年、月、日，认识24小时计时法，根据作息时间表解决实际问题。 本课是在学生掌握时间单位“时、分、秒”后安排的，即是对所学时间单位知识的扩充与延伸，又是为认识平年和闰年等有关“时间与数学”知识做铺垫。本课的主要内容是学生借助观察日历来认识时间单位年、月、日，在整理数据、观察数据、发现规律活动中，认识大月和小月，并能借助拳头记忆法和歌诀记忆法或其他自己总结的方法来帮助记忆大、小月。 二、学情分析 三年级的学生已经初步掌握了时分秒的知识,并在实际生活中积累了日历方面的感性的认识和经验，但是缺乏清晰的认识和数学思考的过程。不过学生们有着自主观察、探究日历，发现并总结规律的基础。 三、学习目标及重难点 根据课标的要求，结合学生已有的有关时间的知识水平和学习能力，我确定了一下的教学目标和重难点。
学习目标： 结合生活经验，认识年、月、日，了解它们之间的关系；知道大月、小月、平年、闰年。 在整理数据、观察数据活动中，能发现某些月份天数相同、2月份天数有时不同的简单规律，发展观察、判断和推理能力。 在识记大、小月的活动中，能积极思考记忆的方法，并能清晰的向他人表达自己的想法。 在与他人合作交流解决问题的过程中，能倾听别人的意见，感受数学学习的乐趣。 学习重难点： 学习重点：认识年、月、日，了解它们之间的关系，知道并识记大月和小月。 学习难点：能发现并总结一些简单的规律，并能选择喜欢且有效的方法记忆月份的特点。 四、教法学法 教法：根据本课的特点，我采取问题引导法和指导归纳法进行本课教学。在出示日历后，引导学生自主进行学习活动，再引导学生从几个方面汇报后，指导他们归纳规律，并采取适合自己的方法去记忆规律。 学法：引导学生采取自主学习和小组合作学习的方式。从回顾入手展开学习活动，通过一系列自主学习和小组合作交流，让有关年、月、日之间的知识更加系统的纳入自己的知识结构中。
第13讲空间几何体 一．选择题（共20小题） 1．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π 2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．2B．4C．6D．8 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（） A．B．C．D． 4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（） A．12πB．12πC．8πD．10π 5．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（） A．12B．18C．24D．54 6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长均为1，D为AA1的中点，则四面体A1BCD的体积是（）A．B．C．D． 7．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D．
8．正四棱锥的各棱长均为1，则它的体积是（） A．B．C．D． 9．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π 10．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（） A．4πB．C．6πD． 11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（） A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛 12．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（） A．36πB．64πC．144πD．256π 13．已知三棱锥P﹣ABC的侧棱长相等，底面正三角形ABC的边长为，P A⊥平面PBC 时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（） A．B．πC．πD．3π 14．已知三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为128π，，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（） A．B．C．D．
第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体： （1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. （2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴. 2. 棱柱： （1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. （2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。 （3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。 （4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。（5）棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 3. 棱锥： （1）有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。 （3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等. （4）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. （5）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 ③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 4. 圆柱与圆锥：
看日历教学设计 ——认识大月和小月 【教材分析】 本节课是北师大小学数学三年级上册第七单元“年月日”第一课时。 【教学背景】 自学并梳理了三个问题。第一个问题是“年月日是怎么来的”，第二个问题是“一年有多少个月”，第三个问题是“一个月有多少天”。根据天数的不同，我们把12个月分为大月、小月以及特殊的2月。学生认识了1、3、5、7、8、10、12月为大月、4、6、9、11月为小月以及2月既不是大月也不是小月后，需要掌握这个知识点。教材上介绍了拳头记忆法和歌诀记忆法，这两种方法非常实用，然而，有趣的方法总能让孩子更加记忆深刻。 【教学目标】 识记大月和小月。 【教学内容】 大月、小月的识记方法。 【教学方法】 自主探究、歌诀识记。 【教学过程】 师：认识了大月和小月、2月，你们有什么方法记住大月和小月吗？请在小组内跟同学说说。 （小组内讨论后请学生汇报） 1.拳头记忆法 生：我使用的是拳头记忆法…… 2.歌诀记忆法
一三五七八十腊， 三十一天永不差； 四六九冬三十日； 平年二月二十八， 闰年二月把一加。 生：腊指的是12月，冬指的是11月…… 3.单双数记大月 要找大月你记住， 七八两月挨着数； 七月以前找单数， 八月以后找双数。 师：同学们前面还发现了大月的月份有前面是单数、后面是双数的特点，咱们还可以结合这个特点来记忆呢，真好！ 4.五一国庆巧记小月 【教学总结】 教材上提供了两种非常经典的方法帮助孩子识记大月、小月，分别是拳头记忆法和歌诀记忆法。拳头记忆法利用每个人的拳头来记忆大小月，生动而又简便。而歌诀记忆法琅琅上口，一句“一三五七八十腊，三十一天永不差”帮助多少人牢牢记住七个大月。在学习大月、小月时，这两种方法是孩子们必须认识的。 在长期的教学积累中，孩子们还发现了两种非常有趣的方法分别识记大月、小月——利用单双数巧记大月、利用五一、国庆节巧记小月。上课在梳理大月的时候，孩子们往往能发现单双数的特点，这里结合单双数记忆大月，既是帮助记忆，也发展了孩子的数感。利用五一国庆记忆小月的方法，更是让很多孩子不禁赞叹。五一节和国庆节每年都会放假，前后都是小月，真是个有趣的现象呢。在
学会看日历、猜生日 教学目标： 1．知识目标：结合“看日历，猜生日”两个活动，让学生会看日历，找到我国的一些重大节日。 2．能力目标：尝试推算某个人的生日，培养学生的数感和推算能力。 3．情感目标：在活动中渗透关注社会，热爱祖国，关爱他人的情感教育 教学重点： 学生学会看日历，找到我国的一些重大节日。 教学难点： 学生能正确推算某个人的生日。 教学过程： 一、复习。 师：同学们，我们昨天学了什么新知识呢？（年、月、日），现在老师要考考你们，看你们还记不记得我们昨天学过的知识，好吗？请同学们看屏幕，看谁最先知道答案。（屏幕出示复习题） 二、引入课题。 1. 师：刚才同学们的表现都很好，出示课题今天这节课我们来了解更多有关年、月、日的知识。出示课题——学会看日历、猜生日。（学生齐读一遍课题），我们首先来学看日历。下面请同学们拿出刚才老师发给你们的日历，同学们认真观察本月的日历，同桌合作，互相说说从本月的日历上你知道了什么？ 2．你们都和同桌说了自己在本月日历上的发现，现在老师想知道这几个问题的答案，你们能找出来并告诉我吗？（出示问题） 今天是星期几？ 本月的第一天是星期几？ 本月的20日是星期几？ 本月的最后一天是星期几？ 请两人小组合作找答案，并指名学生回答。 你们在本月的日历上有很多发现，那你们能不能在今年的日历中找出以下的几个节日是几月几日，星期几呢？小组合作找。看看哪个小组找得又快又好。 （1）教师节是（）月（）日。星期（）。 （2）中国共产党生日是（）月（）日。星期（）。 （3）中国人民解放军建军节是（）月（）日。星期（）。 学生汇报找的结果。 师：除了这些，你还知道我国的哪些重要节日呢？是星期几呢？请同学们在日历上找一找，一会告诉老师，好吗？（学生自主找节日） 师指名学生回答。 3．拓展应用： 刚才我们已经在日历上找出了很多节日，下面老师有个小小的难题想考考你们。同学们请看屏幕。出示题目：
第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图 [基础题组练] 1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的 中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB， AD，AC中( ) A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AC，最短的是AD 解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB 解析：选C.当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚 线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C. 4．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为( ) 解析：选D.由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D. 5．(2019·福建漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( ) A. 5 B．2 2 C．3 D．2 3 解析：选C.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1-MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝22，D1M＝MC＝5，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C. X#学习目标 1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知； 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 3.理解多面体的有关概念； 4.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 心学习过程 一、课前准备 （预习教材P2~ P4,找出疑惑之处） 引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽 象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧！ 二、新课导学 探探索新知 探究1：多面体的相关概念 问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗？平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）. 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高） 试试1:你能指出探究3中的几何体它们各自的底、 侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探 究3中的棱柱分类吗？ 新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）. 试试2：探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢？ 新知5:我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图（1）中这个棱柱表示为棱柱ABCD —ABCD . 探究4：棱锥的结构特征 问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之 一，它具有什么样的几何特征呢？ 新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥（pyramid）.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S-ABCDE. 轴 问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗 有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ;相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示： 探究2：旋转体的相关概念 问题：仔细观察下列物体的相同点是什么? 第十一讲空间几何体 考点一、空间几何体的三视图 1.如图所示几何体,是由哪个平面图形旋转得到的(A) 2.(四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(D) 3.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(B) A.16+2π B.8+2π C.16+π D.8+π 解析:由题图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与 一个长方体拼接而成的,因此该几何体的体积V=1×2×4+π×12×2=8+2π. 4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为(A) A.72 B.66 C.60 D.30 解析:根据题目所给的三视图可知该几何体为一个侧棱与底面 垂直的三棱柱,且底面是一直角三角形,两直角边长度分别为 3,4,斜边长为5,三棱柱的高为5,所以表面积为 3×4+3×5+4×5+5×5=72. 5.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的 表面积是4(π+1). 解析:这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体,其表面积是圆柱的上下两个 底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和,故这个表面积是 2××π×12 +×2π×1×2+2×2+4π× 考点二、空间几何体的直观图 6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形 是(A) 7. 如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形OABC 的面积为 24 . 解析:由题意知原图形OABC 是平行四边形,且OA=BC=6,设平行四边形OABC 的高为OE , 则OE×=O'C',∵O'C'=2,∴OE=4,∴S ?OABC =6×4=24. 8. 已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的平面直观图△A'B'C'的面积为(D) A.a 2 B.a 2 C.a 2 D.a 2 解析:先画出正三角形ABC ,然后再画出它的水平放置的直观图, 如图所示,由斜二测画法规则知B'C'=a ,O'A'= a.过A'作A'M ⊥x'轴, 垂足为M ,则A'M=O'A'·sin45°=a× a.∴S △A'B'C'=B'C'·A'M=a×a=a 2. 考点三、几何体的表面积公式 小学数学三年级上册 《7.1看日历》习题1 一、基础过关 1．填空。 （1）今天是()年()月()日，星期()。本月的倒数第一天是星期()。 （2）中华人民共和国是()年()月()日成立的，到今年成立了()周年。到()年，中华人民共和国就成立100周年了。 （3）2010年11月12日广州亚运会开幕，这天是星期五，11月27日闭幕，这天是星期()。 （4）王明是1999年7月2日出生的，到2009年7月2日，王明满()周岁。 （5）红红的生日在一年的第二个大月的倒数第5天，那么红红的生日是()月()日。彤彤比她大3天，彤彤的生日是()月()日。 （6）今年我()周岁，读小学三年级。到()年，我()周岁，小学毕业了。 2．判断。 （1）2009年下半年有184天。() （2）每年都有365天。() （3）李明说他今年4月31日参加自学考试。() （4）公历年份是4的倍数的年份是闰年。() （5）月球绕地球转1圈是1个月。() 二、综合训练 1．连线题。 儿童节8月1日 建军节10月1日 劳动节5月1日 国庆节6月1日 2．翻日历看看 （1）今年是平年还是闰年？二月有多少天？ （2）今年春节是哪一天？星期几？ （3）今年中秋节是几月几日？星期几？ 三、拓展应用 1．猜一猜。 2．算一算。 冬冬12岁了，可他只过了3个生日，他是()月()日出生的。 （使用“学乐师生”APP拍照，并分享给全班同学。） 参考答案 一、基础过关 1．略 2． （1）∨（2）×（3）×（4）×（5）×二、综合训练 1． 儿童6月1日 建军节8月1日 劳动节5月1日 国庆节10月1日 2．略 三、拓展应用 1． 5月4 5月19日 5月1日 12月23日 2． 2月29日 第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影：中心投影 平行投影 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴， 且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半； 一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝ 4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体； ()13V h S S S S =+?+下下台体上上 ⑸球的表面积和体积： 323 44R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。 O 2O 1h l r R 第4节研究有机化合物的一般步骤和方法第1课时暑假作业1、能用分液漏斗分离的一组混合物是（） A．硝基苯和酒精B．溴苯和溴 C．甲苯和四氯化碳D．硝基苯和水 2、现有一瓶A和B的混合液，已知A和B的某些性质如下： 由此，分离A和B的最佳方法是（） Ａ．萃取Ｂ．升华Ｃ．分馏Ｄ．分液 3、下列中的各组混合物，可以用分液漏斗分离的是（） A．溴苯和水B．乙酸和乙醇C．酒精和水D．溴苯和苯 4、下列说法错误的是（） A．蒸馏时应调整温度计的水银球于蒸馏烧瓶支管口附近 B．红外光谱可以完全测定出有机物结构，判断出同分异构体 C．萃取是利用溶质在两种互不相溶的溶剂中溶解度的不同，使溶质从一种溶剂内转移到另一种溶剂的操作 D．常用质谱法进行有机物相对分子质量的测定 5、为提纯下列物质(括号内为杂质)，选用的试剂和分离方法都正确的是（） A.①②B．①③C．只有③D．③④ 6、下列选项中是除去括号内杂质的有关操作，其中正确的是（） A．分离苯和己烷——分液 B．NO(NO2)——通过水洗、干燥后，用向下排空气法收集 C．乙烷(乙烯)——让气体通过盛酸性高锰酸钾溶液的洗气瓶 D．乙醇(乙酸)——加足量NaOH溶液，蒸馏 7、下列属于分离和提纯液态有机物的操作的是（） A．蒸馏B．蒸发C．重结晶D．过滤 8、下列实验操作中错误的是（） A．分液时,分液漏斗中下层液体从下口放出,上层液体从上口倒出 B．蒸馏时,应使温度计水银球靠近蒸馏烧瓶支管口 C．可用酒精萃取碘水中的碘 D．称量时,称量物放在称量纸上或烧杯中,置于托盘天平的左盘,砝码放在托盘天平的右盘 9、将下列液体分别和溴水混合并振荡，静置后会分为两层，溴水层几乎呈无色的是（）A．氯水B．乙烯C．乙醇D．碘化钾溶液 10、下列实验中，所选装置不合理的是( ) B．用CCl4提取碘水中的碘，选③ C．分离Na2CO3溶液和CH3COOC2H5，选④ D．用NaOH溶液吸收少量Cl2选⑤ 11、下列实验中，所采取的实验方法（或操作）与对应的原理都正确的是（） 选 实验方法（或操作）原理 项 A分离溶于水中的溴裂解汽油萃取碘在裂解汽油中的溶解度 较大 《看日历》教学设计及反思 教学内容： 北师大版小学数学三年级上册第七单元第一课时。 教学目标： 1.认识年、月、日，并了解它们之间的关系，知道大月和小月。 2.经历自主探索年、月、日之间关系的过程，培养学生的观察、比较、概括能力。 3.培养学生乐于探索知识的情感，体会时间的珍贵。 教学重点： 认识年、月、日，掌握三者之间的关系。 教学难点： 记住各月的天数。 教学内容分析： 时间单位是较为抽象的计量单位，学生在二年级已经学过与他们生活比较接近的时间单位时、分、秒。随着年龄增长、生活经验的增多，年、月、日的知识也越来越多地出现在他们的生活和学习中，有了形成较长的时间观念的基础。理解一年或者一个月的时间有多长，需借助一定的想像力。因此教材注意联系实际，提高学生的学习兴趣，使学生初步了解年、月、日的有关知识。 教学媒体与资源的选择与运用： 课件、希沃白板Link功能 教学实施过程： 一、精彩导入 １.谈话：今天对于罗老师是一个重要的日子，因为能和聪明能干的同学们一起学习，大家高兴吗？这么重要的时刻我怎么能不记录下来呢？今 天是2018年11月21日，现在是9时25分20秒，这个时刻有我们以前学过的时间单位时、分、秒，还有比时分秒更大的时间单位：年、月、日（板书：年月日）。 ２.引发思考：关于年月日，你想知道什么？ ３.揭题：其实你们想知道的都藏在日历中！今天这节课我们就通过看日历来学习年月日的知识。（板书课题《看日历》） 【设计意图：通过特殊的日子导入课题，让学生感受到年月日与生活密不可分，激发求知欲，吸引学生注意力，为下面学习新知打下基础。】 二、探究新知 老师这儿有一张今年2018年的年历，能帮老师找到今天这个美好的日子吗？一年中，我们每个人总会有一个难忘的、印象深刻的日子，谁给大伙说说看？ （一）认识大月、小月 １.自主探究：请同学们根据2013—2016年的年历，把各月份的天数填在表格中。填完后认真观察表格，小组内说一说你们发现了什么？ ２.汇报交流。 ３.整理小结：同学们真聪明，从这张表中发现了关于年月日的这么多知识，我们一起来整理一下：一年有12个月， 1、3、5、7、8、10、12月都有31天， 4、6、9、11月都有30天， 2月份的天数不一样，是28天的年份是平年，2月有29天的年份是闰年。 ４.认识大小月：有31天的月份有几个？那这7个31天的月份能不能给它取个共同的名字？4个30天的月份呢？你们取的名字都富有创造性，我们打开书67页，看看智慧老人取了什么名？像这种有31天的月份是大月，有30天的月份是小月。 【设计意图：给学生探究知识提供了充足的时间和空间，先独立思考后小组交流整理，培养了学生的合作意识和科学研究的态度。通过观察2013必修②第一章空间几何体
18.第十一讲 空间几何体(教师版)
小学数学三年级上册《看日历》习题第一课时
第一章 空间几何体知识点归纳
第1课时作业
《看日历》教学设计及反思
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