第一章作业参考答案： 1.18求下列积分值： （a ）解： 26 242)2()2(2)()0()2()(2)()()]2(2)([)()]2(2)()[23(4 4 44 4 4 4 4 4 4 2 =+=-+=-+=-+=-+++????? -----dt t x dt t x dt t t x dt t t x dt t t t x dt t t t t δδδδδδδδ (b) 解： 6 510)2()2()()0()5()5()2()()()()5()()]2()()5([)()]2()()5()[1(4 4 44 44 4 4 4 4 4 4 2 =++=-+++-=-+++=-+++=-++++?????? ------dt t x dt t x dt t x dt t t x dt t t x dt t t x dt t t t t x dt t t t t δδδδδδδδδδδδ（C ）解： 1 )2 ()cos 1()2 ()cos 1(2=--=- -? ?-- π π ππ π π δπ δdt t dt t t （d ）解： 4 2 312121231)(cos )23()(cos )2()(cos )2()(cos )23()(cos )1(200 222=++++-+-=++-+- =+????? -----ππππδπδπδπδπδπ ππππππ π dt t x dt t x dt t x dt t x dt t t 1.19解：
1.21 判断下列每个信号是否周期的？如果是周期的，是求它的基波周期。 （a ）解： 3 2,/23) cos(2)43cos(200π πω?ωπ= ==+=+T T t t 基波周期为：是周期信号 (b)解： e e e T e e e t j T t j T j T j t j T t j ) 1() 1)(()1() 1)((12--±±±--±====ππππππ，时，当 是周期信号，基波周期是 T 0=2 (c)解： 互质与是有理数，且74,7 4 2782) 2cos()278cos(==Ω+Ω=+ππππn n 所以原式是周期信号，基波周期N 0=7. (d)解： 不是有理数，,812412cos 4 cos π ππ==ΩΩ=n n 所以原式不是周期信号 （e ）解： 。 有为整数， 其中则令][][4/,)4/(4`, `]}41[`]4[{]} 41[]4[{][,]} 41[]4[{][:n x N n x N N k k k n k n k N n k N n N n x k n k n n x k k k =+-=----= --+--+= +----= ∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞ =δδδδδδ 所以原式是周期信号，基波周期N 0=4. （f ）解：
1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？ 图1-1 图1-2
解 信号分类如下： ??? ?? ? ????--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号； （e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。 1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-； （2）nT e -； （3）)cos(πn ； （4）为任意值）（00)sin(ωωn ； （5）2 21??? ??。 解 由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号； （3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。 1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ； （3）2)]8t (5sin [； （4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0 n n ∑∞ =-----。 解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各 分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。 （1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15 T 2π=。由于 5π
2.1 引言 连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分方程来描述这类系统，也就是系统的输入输出之间通过他们时间函数及其对时间t的各阶导数的线性组合联系起来。 输入与输出只用一个高阶的微分方程相联系，而且不研究内部其他信号的变化，这种描述系统的方法称为输入——输出法。 此处的分析方法有很多，其中时域分析法不通过任何变换，直接求微分方程，这种方法直观，物理概念清楚，是学习各类变换域分析方法的基础。系统时域分析法包含两方面内容，一是微分方程的求解，另一是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积，求出系统的输出响应。其中第一种方法在高等数学中有详细的解释，在这里主要是解释其物理含义，并建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。虽然卷积只能用于系统的零状态响应，但他的物理概念明确。。。。。。。。。。。主要的是卷积是时域和频域之间的纽带，通过它把变换域分析赋以清晰的物理概念。 2.2 微分方程的建立与求解
激励信号为e(t)，系统响应为r(t)。 由时域经典解法，方程式的完全解由两部分组成：齐次解与特解。齐次解解法： 代入： 化简为： 特征根为：
所以微分方程的齐次解为： 其中常数A由初始条件决定。 如果有重根，即： a1相应于重根部分有k项： 特解解法：特解rp(t)的函数形式与激励函数有关，将激励e(t)代入方程式，求特解方程的待定系数，即可给出特解。 完全解： 一般需要给出初始条件才能求解系数
因此可以求出常数A a值构成的矩阵称为范德蒙德矩阵. 齐次解表示系统的自由响应，特征根表示系统的“固有频率”，特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与激励函数的形式有关。 r(t) = rh(t) + rp(t) 2.3 起始点的跳变从0-到0+
第1章 习题答案 1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？ 解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）； ④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。 1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。 解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性 1）可加性 不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则 y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而 |f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)| 即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。 2）齐次性 由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数） 即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变特性 由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|， 即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。 依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。 1－3 判定下列方程所表示系统的性质： )()()]([)()(3)(2)(2)()()2()()(3)(2)()()()()() (2''''''''0t f t y t y d t f t y t ty t y c t f t f t y t y t y b dx x f dt t df t y a t =+=++-+=+++=? 解：（a ）① 线性 1）可加性 由 ?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(可得?????→+=→+=??t t t y t f dx x f dt t df t y t y t f dx x f dt t df t y 01122011111)()()()()()()()()()(即即 则 ???+++=+++=+t t t dx x f x f t f t f dt d dx x f dt t df dx x f dt t df t y t y 0212102201121)]()([)]()([)()()()()()( 即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→，因此系统具备可加性。 2）齐次性 由)()(t y t f →即?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(，设a 为任一常数，可得 )(])()([)()()]([)]([000t ay dx x f dt t df a dx x f a dt t df a dx x af t af dt d t t t =+=+=+??? 即)()(t ay t af →，因此，此系统亦具备齐次性。 由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。
2-1 绘出下列各时间函数的波形图。 （1）1()(1)f t tu t =- （2） 2()[()(1)](1) f t t u t u t u t =--+- （3）3()(1)[()(1)]f t t u t u t =---- （4）4()[(2)(3)]f t t u t u t =--- （5）5()(2)[(2)(3)]f t t u t u t =---- （6）6()()2(1)(2)f t u t u t u t =--+- 解： 2-5 已知()f t 波形如图题2-5所示，试画出下列信号的波形图。 t
图 题2-5 （3）3()(36) f t f t =+ （5）51 1()3 6f t f t ??= -- ? ?? 解： t t 2-6 已知()f t 波形如图题2-6所示，试画出下列信号的波形图。 图 题2-6 （4）4()(2)(2)f t f t u t =-- （6）6()(1)[()(2)]f t f t u t u t =--- 解： 2-7 计算下列各式。 （1） 0()() f t t t δ+ （2）00()()d f t t t t t δ∞ -∞ +-? （3）2 4 e (3)d t t t δ-+? （4）0 e sin (1)d t t t t δ∞ -+? （5） d [ e ()] d t t t δ- （6）0()()d f t t t t δ∞ -∞ -? （7）0()()d f t t t t δ∞ -∞ -? （8）00()d 2t t t u t t δ∞ -∞ ??-- ?? ? ? （9）00()(2)d t t u t t t δ∞ -∞ --? （10）(e )(2)d t t t t δ∞ -∞ ++? （11）(sin )d 6t t t t δ∞ -∞ π? ?+- ???? （12） j 0e [()()]d t t t t t Ωδδ∞ --∞ --? 解：(1) 原式0()()f t t δ=
1、判断题 1) 对于不同的物理系统，其输入—输出方程可以相同。 （ ） 2) 单位阶跃函数u (t )在原点有值且为 1。 （ ） 3) 卷积具有交换律和结合律，但不具有分配律。 （ ） 4) 零输入响应就是由输入信号产生的响应。 （ ） 2、一起始储能为0的系统，当输入为)(t ε时，系统响应为)(3t e t ε-，则当输入为)(t δ时，系统的响应为 3、已知某LTI 系统输入为,0),(>-a t e at ε冲激响应为)()(t t h ε=，则输出为（ ） A.)1(1at e a -- B.)()1(1t e a at δ-- C.)()1(1t e a at ε-- D.)()1(1 t e a at ---δ 4、计算下列的卷积。 1）)1()(sin )(1-*?=t t t t s εε 2）)()()(22t e t e t s t t εε--*= 3）)()()(3t t t s εε*= 5、一线性时不变因果系统，其微分方程为r ′(t ) + 2r (t ) =e (t ) +e ′(t )，求系统的单位冲激响应h (t )？ 6、)(1t f 与)(2t f 的波形如图所示。 1）写出)(1t f 与)(2t f 的表达式； 2）求)()()(21t f t f t s *=，并画出)(t s 的波形。 7、已知LTI 系统如图所示，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为 ) 2()()()1()(21--=-=t t t h t t h εεδ
求复合系统的冲激响应h(t)。 8、 已知)()(t h t f 与的波形图如下，请用图解法求出 )(t y zs 。 9、已知)1()1()(1--+=t t t f εε，)1()1()(2-++=t t t f δδ，)2 1 ()21()(3-++=t t t f δδ 1）分别画出)()(),(321t f t f t f 及的波形 2）求)()()(211t f t f t s *=，并画出)(1t s 的波形 3）求)()()(312t f t f t s *=，并画出)(2t s 的波形 10、某LTI 系统的微分方程为)()('2)(6)('5)("t f t f t y t y t y +=++，初始状态为 2)0(,2)0('==--y y ，试求当)()(t e t f t ε-=时的零输入响应，零状态响应和全响应。 ) (t y zs
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解： 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5） )21(t f - （6）)25.0(-t f （7）dt t df ) ( （8）dx x f t ?∞-)( 解：各信号波形为
专业课习题解析课程 第1讲 第一章 信号与系统 （一） 专业课习题解析课程 第2讲 第一章 信号与系统 （二） 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
第一章信号与系统 本章学习要求 （1）了解信号与系统的基本概念；信号的不同类型与特点；系统的类型与特点； （2）熟悉离散时间信号的基本表示方法； （3）掌握正弦序列周期性的定义和判断； （4）深刻理解能量信号、功率信号的定义和判断； （5）掌握信号的基本运算（变换）方法； （6）深刻理解冲激信号、阶跃信号的定义、特点及相互关系；理解冲激函数的广义函数定义；掌握冲激函数的基本性质；冲激函数的微积分； （7）熟悉系统的数学模型和描述方法 （8）了解系统的基本分析方法；掌握系统的基本特性及其判断 本章重点 （1）离散时间信号的表示； （2）离散周期序列的判断、周期的计算； （3）能量信号的定义、判断；功率信号的定义、判断； （4）信号的加法、乘法；信号的反转、平移；信号的尺度变换； （5）阶跃函数的极限定义、冲激函数的极限定义；阶跃函数与冲激函数的关系； （6）冲激函数的广义函数定义；冲激函数的导数与积分；冲激函数的性质； （7）连续系统和离散系统的数学模型；系统的表示方法； （8）线性时不变系统的基本特性；线性、时不变性的判断。 1.1 绪言 什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？信号、系统能不能相互独立而存在？ 一、信号的概念 1. 消息(message): 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 2. 信息(information): 通常把消息中有意义的内容称为信息。 本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。 3. 信号(signal): 信号是信息的载体。通过信号传递信息。
为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号,由此再次说明“信号是信息的载体，信息是信号的内涵”。 信号我们并不陌生，如刚才铃声—声信号，表示该上课了；十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字、图象信号等等。 二、系统的概念 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。 如手机（可以用手机举例）、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。 系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号，如图1所示。 图1 从系统的角度出发，系统理论包括系统的分析与综合两个方面。简单地说，系统分析是对已知的系统做各种特性的分析；系统综合又称系统的设计或实现，它是指根据需要去设计构成满足性能要求的系统。 通常，系统分析是针对已有的系统，系统综合往往意味着做出新系统。显然，前者属于认识世界的问题，后者则是改造世界的问题，且是人们追求的最终目的。一般来说，系统分析是系统综合的基础，只有精于分析，才能善于综合。本课程主要侧重于系统分析。 三、信号与系统概念无处不在 信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域，因此可以说信号与系统在当今社会无处不在，大致列举的应用领域如下： ?工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报 ?人工智能、高效农业、交通监控 ?宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统 ?经济预测、财务统计、市场信息、股市分析 ?电子出版、新闻传媒、影视制作 ?远程教育、远程医疗、远程会议 ?虚拟仪器、虚拟手术 如对于通讯： ?古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯 ?近代通讯方式：电报、电话、无线通讯
信号与系统第2章习题 一、选择题 1、下列信号不能用复指数信号st Ae t x =)(表示的是（ ） A.冲激信号 B.直流信号 C.指数信号 D.正弦信号 2、)22(4t e t --δ等于（ ） A. t e 4- B. )22(t -δ C. )1(214--t e δ D. )1(2 1 4δ-e 3、积分 ? --+6 4 2)8(dt t e t δ等于（ ） A.0 B.16 e C.1 D.)8(+t δ 4、已知信号)(t x 如下图所示，其表达式是（ ） A.)3()2(2)(---+t u t u t u B. )3(2)2()1(---+-t u t u t u C. )3()2()(---+t u t u t u D. )3()2()1(---+-t u t u t u 5、已知信号)(t x 如下图所示，其反转右移的信号)(1t x 是（ ） A. B. C. D.
6、如下图所示：)(t x 为原始信号，)(1t x 为变换信号，则)(1t x 的表达式是（ ） A. )1(+-t x B. )1(+t x C. )12(+-t x D. )12 1 (+-t x 7、若)(t x 是已录制声音的磁带，则下列表述错误的是（ ） A.)(t x -表示将磁带倒转播放产生的信号 B.)2(t x 表示将磁带以二倍速度加快播放 C.)2(t x 表示原磁带放音速度降低一半播放 D.2)(t x 表示将磁带的音量放大一倍播放 8、设)(t x 表示你在山谷喊话的声音，则你耳朵听到的声音可表示为（ ） A.∑∞ =0)(n n t x a ，0>n a B. ∑∞ =+0)(n n n T t x a ，0,0>>n n T a C. ∑∞ =-0 )(n n n T t x a ，0,0>>n n T a D. ∑∞=-0 )(n n T t x ，0>n T 9、如下图所示周期信号)(~ t x ，其直流分量等于（ ） A.0 B.2 C.4 D.6 二、判断题 1、两个奇信号的和还是奇信号（ ） 2、任何信号可分解为直流分量与交流分量之和（ ） 3、任何信号可分解为偶分量与奇分量之和（ ） 4、)cos(t 是功率信号，)]()()[cos(T t u t u t --是能量信号（ ） 5、积分 1)(=? ∞ -t d ττδ（ ） 6、对连续周期信号进行抽样所得离散序列一定还是周期的（ ） 7、设)2()(1k x k x =，则)2/()(1k x k x =（ ） 三、简答题 1、单位冲激信号和单位脉冲序列各有什么特性？ 2、正弦信号)sin(0t ω和正弦序列)sin(0k Ω有什么区别与联系？ 3、信号的时域分解有哪几种方法？
第1章 习题答案 1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？ 解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）； ④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。 1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。 解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性 1）可加性 不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则 y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而 |f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)| 即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。 2）齐次性 由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数） 即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变特性 由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|， 即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。 依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。 1－3 判定下列方程所表示系统的性质： 解：（a ）① 线性 1）可加性 由 ?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(可得?????→+=→+=??t t t y t f dx x f dt t df t y t y t f dx x f dt t df t y 01122011111) ()()()()()()()()()(即即 则 即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→，因此系统具备可加性。 2）齐次性 由)()(t y t f →即?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(，设a 为任一常数，可得 即)()(t ay t af →，因此，此系统亦具备齐次性。 由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。 ② 时不变性 )()(t y t f → 具体表现为：?+=t dx x f dt t df t y 0)()()( 将方程中得f(t)换成f(t-t 0）、y(t)换成y(t-t 0)（t 0为大于0的常数），
第一章 1.1 选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入[ ]内） 1．f （5-2t ）是如下运算的结果————————（ 3 ） （1）f （-2t ）右移5 （2）f （-2t ）左移5 （3）f （-2t ）右移 2 5 （4）f （-2t ）左移25 1.2 是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×） 1．偶函数加上直流后仍为偶函数。 （ √ ） 2. 不同的系统具有不同的数学模型。 （ × ） 3. 任何信号都可以分解为偶分量与奇分量之和。 （ √ ） 4．奇谐函数一定是奇函数。 （ × ） 5．线性系统一定满足微分特性 （ × ） 1.3 填空题 1．=- -)2()cos 1(πδt t ()2t πδ- =--?∞∞-dt t t )2()cos 1(πδ 1 ? ∞-=t d ττωτδ0cos )(()u t ?+∞∞-=+tdt t 0cos )1(ωδ0cos ω ?∞-=+t d ττωτδ0cos )1(0cos (1)u t ω+ 第二章 2.1 选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入（ ）内） 1．系统微分方程式),()(),(2)(2)(t u t x t x t y dt t dy ==+若 3 4)0(=-y ，解得完全响应y (t )=)0(,13 12≥+-t e t 当 则零输入响应分量为——————————— （ 3 ） （1）t e 23 1- （2）21133t e -- （3）t e 23 4- （4）12+--t e 2．已知)()(),()(21t u e t f t u t f at -==，可以求得=)(*)(21t f t f —————（ 3 ）
第二章 作业答案 2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下，试求此系统的零输入响应。 (１))()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 2)0(=-y ，1)0(-='-y 解: 根据微分方程,可知特征方程为: 0)2)(1(0232=++?=++λλλλ 所以，其特征根为： 1, 221-=-=λλ 所以,零输入响应可设为:0)(221≥+=--t e C e C t y t t zi 又因为 ???=-=??? ?-=--='=+=--31 12)0(2)0(2 1 2121C C C C y C C y 所以,03)(2≥-=--t e e t y t t zi (2))(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+'' ?1)0()0(=='--y y 。 解: 根据微分方程，可知特征方程为： 0)3)(2(0652=++?=++λλλλ 所以，其特征根为： 3, 221-=-=λλ 所以,零输入响应可设为:0)(3221≥+=--t e C e C t y t t zi
又因为 ???-==??? ?=--='=+=--3 4 132)0(1)0(21 2121C C C C y C C y 所以,034)(32≥-=--t e e t y t t zi 2–２ 某L ＴI 连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 已知1)0(=-y ,2)0(='-y ,试求： （1） 系统的零输入响应)(t y zi ; （2） 输入)()(t t e ε=时，系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。 解： （1）根据微分方程,可知特征方程为： 0)2)(1(0232=++?=++λλλλ 所以，其特征根为: 1, 221-=-=λλ 所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e C e C t y t t zi 又因为 ???=-=??? ?=--='=+=--43 22)0(1)0(2 12121C C C C y C C y 所以,034)(2≥-=--t e e t y t t zi ? （2) 可设零状态响应为:0)(221>++=--t p e C e C t y t x t x zs 其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。 因为)()(t t e ε= 所以，p 为常数,根据系统方程可知，23=p 。 于是，零状态响应可设为为：02 3)(221>++=--t e C e C t y t x t x zs 将上式代入原方程中,比较方程两边的系数，可得到
第2章 习 题 2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应 （1）0)(2)(3 )(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt d y ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dt d y ； （3）0)(2)(2 )(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt d y ； （4）0)()(2 )(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt d y ； （5）0)()(2)(2233=+ +t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22 ===---y dt d y dt d y 。 （6）0)(4 )(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt d y 。 解： （1）微分方程的特征方程为：2 320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t t h y t Ae Be --=+. 由(0)3, (0)2d y y dt --==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85t t y t e e --=-. （2）微分方程的特征方程为：2 40λ+=，解得特征根：1,22i λ=±. 因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+. 由(0)1, (0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2 A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1 ()cos(2)sin(2)2 y t t t =+. （3）微分方程的特征方程为：2 220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())t h y t e A t B t -=+. 由(0)1, (0)2d y y dx --==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.
7.22 信号()y t 由两个均为带限的信号1()x t 和2()x t 卷积而成，即 12()()()y t x t x t =* 其中 12()0,1000()0,2000X j X j ωωπωωπ =>=> 现对()y t 作冲激串采样，以得到 ()()()p y t y nT t nT δ+∞ -∞=-∑ 请给出()y t 保证能从()p y t 中恢复出来的采样周期T 的围。 解：根据傅立叶变换性质，可得 12()()()Y j X j X j ωωω= 因此，有 当1000ωπ>时，()0Y j ω= 即()y t 的最高频率为1000π，所以()y t 的奈奎施特率为210002000ππ?=，因此最大采样周期3210()2000T s π π -= =，所以当310()T s -<时能保证()y t 从()p y t 中恢复出来。 7.27如图7.27（a ）一采样系统，)(t x 是实信号，且其频谱函数为)(ωj X ，如图7.27（b ）。频率0ω选为()2102 1 ωωω+= ，低通滤波器()ωj H 的截至频率为()122 1 ωωω-= c 。 1. 画出输出()t x 2的频谱()ωj X 2； 2. 确定最大采样周期T ，以使得()t x 可以从()t x p 恢复；
1 () X j ωω 1 021 2 ωω-122ωω-2() X j ωω 1 021 2 ωω-122ωω- 图7.27（a ） 图7.27(b) 解： 1、)(t x 经复指数调制后的01()()j t x t x t e ω-=，其傅立叶变换为 10()(())X j X j ωωω=+ 如图（a ）所示。 图（a ） 图（b ） 经低通滤波器()H j ω的输出2()x t 的频谱2()X j ω如图（b ）所示。 2、由图（b ）可见，2()X j ω的带宽为21ωω- ，所以最大采样周期为
1 第一章习题参考解答 1.1 绘出下列函数波形草图。 (1) | |3)(t e t x -= (2) ()? ???<≥=0 2 021)(n n n x n n (3) )(2sin )(t t t x επ= (4) )(4 sin )(n n n x επ = (5) )]4()([4cos )(--=-t t t e t x t εεπ (6) )]4()1([3)(---=n n n x n εε (7) t t t t x 2 cos )]2()([)(π δδ--= (8) )]1()3([)(--+=n n n n x δδ
2 (9) )2()1(2)()(-+--=t t t t x εεε (10) )5(5)]5()([)(-+--=n n n n n x εεε (11) )]1()1([)(--+= t t dt d t x εε (12) )()5()(n n n x --+-=εε (13) ?∞--= t d t x ττδ)1()( (14) )()(n n n x --=ε 1.2 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。 (1) | |3)(t e t x -= 解 能量有限信号。信号能量为： ()??? ?∞ -∞ -∞ ∞ --∞ ∞-+===0 2022 ||2 993)(dt e dt e dt e dt t x E t t t ∞<=?-?+??=∞ -∞ -9)2 1 (921 90 202t t e e (2) ()?????<≥=0 2 021)(n n n x n n 解 能量有限信号。信号能量为： () ∞<=+=+= = ∑∑∑∑∑∞ =--∞=∞ =--∞ =∞ -∞ =35)4 1(4])21[(2)(01021 2 2 n n n n n n n n n n x E (3) t t x π2sin )(=
第2章 线性时不变连续系统的时域分析 2.6本章习题全解 2.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为m 的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为k 。刚体与地面间的摩擦系数为f ，外加牵引力为)(t F S ，求外加牵引力)(t F S 与刚体运动速度)(t v 间的关系。 题图2-1 解：由机械系统元件特性，拉力k F 与位移x 成正比，即k F kx = 又()()t x t v d ττ-∞ = ? 所以，()()()t k F t kx t k v d ττ-∞ ==? 刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即()()f F t fv t = 根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得 ()()()()t s d F t fv t k v d m v t dt ττ-∞ --=? 整理得22()()()()s d d d m v t f v t kv t F t dt dt dt --= 2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源)(t i s ，试列出电流)(t i L 及1R 上电压)(1t u 为输出响应变量的方程式。
题图2-2 解：由电路的基尔霍夫电流定律可得：()()()C L S i t i t i t += （1） 根据电容特性，()()C C d i t C u t dt = （2） 由电路的基尔霍夫电压定律可得：12()()()()C C L L d u t R i t L i t R i t dt +=+ （3） 将21()()()()C L L C d u t L i t R i t R i t dt =+-代入（2）得 2212()()()()C L L C d d d i t LC i t R C i t R C i t dt dt dt =+-（4） ()()()C S L i t i t i t =-代入（4）得， 22112()()()()()()S L L L S L d d d d i t i t LC i t R C i t R C i t R C i t dt dt dt dt -=+-+ 整理得，21 212()11 ()()()()()L L L S S R R R d d d i t i t i t i t i t dt L dt LC L dt LC +++=+ （5） 将111()()(()())C S L u t i t R i t i t R ==-，即11 () ()()L S u t i t i t R =- 代入（5）得 21121112111()()()()11(())(())(())()()S S S S S u t R R u t u t R d d d i t i t i t i t i t dt R L dt R LC R L dt LC +-+-+-=+ 整理得，22 1211211122()()()()()()S S R R u t R R d d d u t u t R i t i t dt L LC dt L dt ++ +=-- 2.3某连续系统的输入输出方程为 )(')(4)('3)("2t x t y t y t y =++已知)()(t u t x =，1)0(=-y ,1)0('=-y ，试计算)0(+y 和)0('+y 值。 解：将输入代入系统方程可得()t t y t y t y δ=++)(4)('3)("2 采用冲激函数匹配法求)0(+y 和)0(' +y 方程右端的冲激函数项最高阶数为()t δ，设