大连理工大学本科外文翻译
瑞利阶梯型止推滑动轴承的解析分析和优化Analytical analysis and optimisation of the Rayleigh step
slider bearing
学院（系）：机械工程学院
专业：机械设计制造及其自动化
学生姓名：张鹏宇
学号：200561078
指导教师：王殿龙
完成日期：2009年5月1日
大连理工大学
Dalian University of Technology
瑞利阶梯型止推滑动轴承的解析分析和优化
R.Rahmani,A.Shirvani,H.Shirvani
英国英吉利拉斯金大学科学技术学院
摘要：
摩擦学中，瑞利阶梯型被称为是在所有可能的几何形式中具有最高承载能力的一种轴承几何形式。传统摩擦学也表明，瑞利阶梯型是一种可提供最高承载能力的最佳几何状态。然而,这样的分析仅限于特殊情况下，在这种情况下流体的静水压力作用被忽视掉了。此外,可能获得最佳摩擦力和（或者）摩擦系数的最佳参数，以及润滑油的流量在这种情况中也尚未讨论。在本课题的研究中，瑞利阶梯型得到了全面地分析，包括在最佳参数边缘处多变压力的影响。此外，轴承的润滑油流量，摩擦力和摩擦系数也得以优化。结果表明，最佳轴承参数严格依赖于边缘处的压力形式。它也证实了在轴承末端即使没有压力差的话，负载能力最佳点也不一定等于考虑摩擦系数和（或者）润滑油流量后的最佳点。
关键词：瑞利阶梯型;优化;承载力;摩擦系数;润滑油流量
1.导言
1918年，罗德瑞利发现了一种不使用摆式而固定变化油膜的方法[1]。事实上，他利用变分法分析哪一种薄膜形状（为无限轴承）具有最大的承载能力。他发现，最好的形式是两个平行的区域[2]。在这种轴承里，有两个平面，一个平行于另一(下)表面，它把润滑膜分隔成两个区。其结果是同样也适用于粘度更一般的情况下，润滑油的粘度被看作是一个函数的压力[3]。自那时以来，出现了一些关于这种轴承特性的研究。阿奇博尔[4]发现了一种阶梯型以通过阶梯的有限宽度来计算泄漏对轴承摩擦磨损性能的影响。他发现，当考虑端泄的时候，瑞利阶梯型是一种最佳形状而且承载能力较低。在他晚年的工作中，阿奇博尔[5]深化了瑞利阶梯滑动轴承的分析工作。他最终得到的最佳膜厚比为1.68。Hamrock和安德森[6]从理论上研究了压力分布、承载能力、负载角和摩擦力，一个同心瑞利一阶滑动轴承（又见[7]）和具有不同数量的阶梯的偏心瑞利一阶滑动轴承和无限长瑞利一阶滑动轴承（又见[8]）。在这项分析中，他们最终报道的最佳膜厚比为1.7 。此外，他们的结果也表明，轴承圆周外的单步阶梯是最优的形式。之前的分析结果鼓励薛[9]用实验的方法调查四种不同配置的稳定瑞利阶梯轴承低粘度润滑油在零负载下的实验。Aulogetal[10]，建明和高兵[11]提出了解决非牛顿润滑油一维瑞利一阶轴承的优化设计方法。特洛[12]又理论性地研究了采用严格的数学方法解决雷诺方程瑞利步型
轴承为可压缩和不可压缩流体的规律。朱[13]采用Galerkin有限元方法在数值和实验两个角度分析了这种瑞利一阶气体轴承的转子反应。Hideli采用了热润滑（THL）分析方法来（瑞利）一阶轴承进行了分析[14]。Farmer 和 Shepherd[15]考虑稀薄气体润滑和滑流条件，利用奇异摄动法对瑞利一阶轴承进行了等温操作和分析。在参考文献[15]中，也对一阶轴承在压力场合轴承性能的影响程度进行了详细的研究。在最近的工作中，Naduvinamani和Siddangouda [16]也利用应力偶流体理论研究了表面粗糙度对流体动力润滑多孔一阶滑块轴承的影响。
瑞利一阶轴承已在业界从轴轴承系统，如（高速）叶轮机械到微机电系统（MEMS），以及计算机行业的设备，如磁头记录或硬/软盘驱动器[12-14]都得到了关注。较高的承载能力和廉价/容易制造使他们得到了更多的使用，尤其是在空气或气体被用作润滑剂的场合，因为它们应用降低粘度混合静水/流体力学模式是不可避免的。由于这些优势，瑞利阶梯型仍然是用于推力轴承和垫。此外，一系列瑞利阶梯正在形成具有更高性能的轴承[1]。
在古典摩擦学中，是使用相对简单的计算，通常表明，基于负载能力引进最佳几何的瑞利一阶轴承是有可能实现的（如[1-3,17]）。例如，Pinkus和Strenlicht[3]指出当轴承两端的压力差是零的时候，最佳高度和长度的比例1.866和2.549。
在这项研究中，考虑轴承两端静水压力的存在，利用流体动力润滑的雷诺方程进行基于无限宽度一阶瑞利滑动轴承的分析;这种情况在实践中也是可能发生的。为此，一维/二维形式的雷诺方程是采用直接积分的方法来求解的。然后，采用一个合适的形式来分析所需参数之间的关系，如负载能力，摩擦力等，这些都已经制定并受到了相当广泛的优化。
2.问题与公式
一维/二维形式的稳定雷诺方程的不可压缩润滑剂的粘度可以表示为如下形式（见图1）[3]：
（1）
再结合方程中的X坐标，根据压力沿轴承表面分布的关系：
（2）
图1 . 瑞利一阶轴承
其中a和c为轴承前后两端的坐标（见图1），常数c1和c2可用压力的边界条件表示得出：
（3）
采用这些边界条件，将确定常数值如下：
（4）瑞利阶梯的某一表面剖面（见图1）可以定义为
（5）
利用这种表面轮廓，轴承压力分布可以用第一和第二个“区”或“区域”（在图1中I 和II）表示，分别有以下几种形式：
（6）此外，常数c1加以确定如下：
（7）考察压力分布，通过承载能力的影响计算得到压力分布
（8）为了引进摩擦力的相关关系，流速剖面的内润滑膜被视为[3]：
（9）表面剪应力的定义为
（10）从（9）流速剖面，从（6）计算压力梯度，将得到表面剪应力的大小
（11）由（11）利用表面剪应力并整合整个轴承长度，低表面的摩擦力可以表示为
现在，低表面的摩擦系数可以定义如下：
其中F和W由（12）和（8）进行替换。
最后，体积流量的润滑剂可以从下面的关系[3] 计算出：
如果利用公式（6）计算第一压力区的压力梯度，这是图（1）中的I区。相应地，如果计算第二压力区的压力梯度，那么必须用公式（14）中h2来代替h1。
“基础长宽比ε”和“阶梯高比ξ”的定义如下：
和
利用这些定义，并结合U1=?U(U>0)，公式（8），（12）和（14）的负载能力，摩擦力和润滑油流速整理后可以得到下列结果：
和
其中Λ, ΛW, ΛF和Λq分别为：
分别称为“修正轴承数量”，“无量纲承载能力”，“无量纲摩擦力”和“无量纲润滑油流量”。
下表面的摩擦系数为
基于公式（21）修改后的摩擦系数可定义为：
可以注意到，为了简洁明了，本论文其余部分的负载能力、摩擦力和润滑剂流量的量纲将被省略。另外，修正轴承数量和摩擦系数的“修正”和高比的“阶”也同样被省略。
3. 优化结果和讨论
在这一节中，将对上述关系进行审查，以寻找可能实现的最佳参数或它们的组合，这将具体考察在不同的条件下的最大承载能力，最低摩擦力或摩擦系数以及最低的润滑油流量。
3.1承载能力
基于轴承前后缘的压力差异，承载能力是可以积极或消极地精确得出结果的。然而，最大的有效承载能力将更有利。基于ε和ξ通过求解方程ΛW=0确定修改轴承数量Λ的结果表明，当Λ
括Λ=0）的时候，负载能力可积极或消极，这决定于ε和ξ，其中最大负载能力显然是积极的。而且，Λ>0时的负载能力总是积极的。因此，承载能力一旦被考虑时，Λ的下限将是?0.295。
从公式（17）可以看出，负载能力随着Λ值变化而线性增加;因此无法确定具体的优化改良来使一些轴承的负荷能力最高。然而，最佳的ξ和/或ε却可以使修正轴承数量ΛW达到最大。
从公式（17）来看，通过修正负载能力与对基础的高度和长度比和第二推论，并通过下列方程组可以得到最佳高度及/或基准长度比方程：
其中：
显然，如果有一个以上的答案，这可能会出现一些更可能代表当地的最低点的结果Λ。这时应重新审查以确定出给定的Λ确定出最优化方式来提供最高负荷能力。从公式（23）可以看到，最佳基长度比是一个功能和高度的比例仅仅为任何特定值的ξ,它提供相应的长度比以供应最大负载能力。（图2）显示不同修正轴承数量时基于ε和高比的最大ΛW。从图中可以看出，当?0.295<Λ<1.095的时候，存在着一个唯一的最佳长度和高度的比例能提供最高负荷能力。当Λ≈1.095，最大ΛW和ε有关，ξ<6.129的时候随它变化而变化，在这之后则表现不变。但Λ>1.095则没有任何具体的最佳高比和最高ΛW 随ε增加而均匀变化。此外，可以看出在所有可能的取值范围内，高比的最佳长宽比取值只会从0.5到0 而取不同值。
优化基础长度比，ε
全球最大ΛW
高比ξ
图2.不同修正轴承数量时基于长宽比的最大负载能力
由此可见，全球最大负载能力（同时考虑到高度和基础长度比）显示为?0.295<Λ<1.095
3.2 摩擦力
基于公式（12）和公式（18）的无量纲形式,其中存在着ΛF =0的这样一种情况。基于ε和ξ求解方程ΛF =0而确定的修正轴承数量和Λ的上下限的结果表明，0<Λ<2时存在一对高度和长度的比例使得较低表面的净摩擦力为零。通过求解ΛF =0时的基础长度比，可以发现对于任何给定的高比和在指定的范围Λ都有可能找到这样的基础长度比
使得净摩擦力为零。分析如下：
(24)
其中：
基
于
ε的
最
大
Λ值
公式的前提条件是存在0<ε<1。因此，在这些范围内有各种各样的最低摩擦力的选择结果。
另一方面，考察公式（18）在Λ<0和Λ>2的情况后的结果表明，对于各种值的基础长高比，净摩擦力始终是积极和消极的。要查找在这些范围内的最小绝对值摩擦力，利用公式（18）计算第一ΛF对ε计算和考察的第二ε结果表明，在Λ<0的一系列结果中，考虑一定的局限性对任何特定高比是有可能找到最低摩擦力的：
其中：
由此产生的摩擦力，这将是对于任何给定修正轴承数量和高比的函数，通过增加高比将减少，如果ξ→∞，则(ΛF)min=?Λ/2。
如果不满足条件（25-1）和Λ< -2 ，对于任何特定ξ当ε→1时最低摩擦力(ΛF)min=1?Λ/2。但是，如果?2<Λ<0，当ε→0和ξ=(2/|Λ|)1/2时最低摩擦力(ΛF)min=(2Λ)1/2。当Λ>2 时，没有任何固定点的摩擦力的基础上，摩擦力随着基础长度比的增加而减少，当ε→1的时候，基于长宽比，最低摩擦力(ΛF)min=1?Λ/2。
对于高度比采用同样的计算步骤表明，在一系列Λ
（26）表明全球最大的摩擦力。然而，公式（27）揭示了对于任何特定基础长宽比时?2<Λ<0摩擦力最高点的位置。公式（26）揭示了Λ>2时当地的绝对值摩擦力的最高点。此外，对任何特定的基础长宽比和修正轴承数量下式提供?2<Λ<0和Λ>2当地最低摩擦力：
（27）
其中：
A1=(Λ+6ε)3+432ε2(1-ε) (27-1)
A2=(Λ+6ε)3+216ε2(1-ε) (27-2)
一般而言，如果ξ→∞，摩擦力的最小值产生于高度比率为任何特定的基础长宽比和Λ< 0的情况。在这种情况下，最低摩擦力将（ΛF ）min= ε- Λ/ 2 。另一方面，Λ> 2的情况，如果ξ→1便产生了全球绝对值最低的摩擦力。在这种情况下，最低摩擦力将（ΛF ）民= | 1 - Λ/ 2 | 。此外，在此范围内，如果ξ→∞，摩擦力的绝对价值将是任何基本长宽比和Λ的最大值。
图3.ε= 0.35时，变绝对值与台阶高度比不同时的轴承摩擦力修正值
公式（26）和（27）也反映了在0<Λ<2情况下当地的摩擦力的最高点和最低点。在这种情况下，如果导致长宽比达不到提供零摩擦力的比例高度时，那么高度比的结果由公式（26）计算结果得到，将代表轨迹当地最低点，（26）这样的结果最终导致高比例的失衡。（27）将代表当地的最高位点。如果导致导致长宽比大于提供零摩擦力的比例高度时，那么这样的趋势会得到扭转。图3显示的是当ε= 0.35时摩擦力随高度的比例为一些不同的Λ时候的变化。应当指出的是，在图3中比例0和1之间的结果具有更好的代表性。因为从图中可以看到这样的结果，当ξ→∞和ξ→1的时候Λ《0和Λ》2出现了最低摩擦力。
一般来说，摩擦力方向的支承面可以变化性地依赖于Λ，ε和ξ。在某些情况下，作用在台阶前面和后面轴承表面的摩擦力有时候会发生变化（图1 中的I ，II区）。发生这种情况时，润滑油的速度来源于压力差大于速度来源于移动轴承表面（当然在加
强区域）。因此，如果这些在不同方向上的摩擦力变得平等，基于公式（12）或公式（18）的结果作为一个支承面将没有造成净摩擦力。事实上，以上所讨论的摩擦力优化结果是基于减少施加支承面方向上的净压力和剪切应力。正如阿奇博尔[4]的状态一般，在前一种情况下，所需要的推动面的力大小通过计算得到，因此它可能更适合使用的名词是“在表面上施加可移动的力”而不是摩擦力。这是因为考虑到熵在润滑剂和轴承之间的表面产生相应的剪切力，即使是在净摩擦力为零的情况中，在非加紧和加强区域轴承（由图1中I ，II区）仍然要考虑“熵’的影响。该机制类似于电缆在两个大小相等方向相反的力作用下的结果。在这种情况下，虽然电缆不会向两个方向延长，但是系统的熵将会增加。因此，在熵产的基础上考虑减少摩擦力，则需要考虑图1中第一和第二区中摩擦力的绝对值之和。即：
（28）公式中，右边的表达式是图1中I区中的摩擦力，左边是图1中II区的摩擦力。这些参数是这样给出的：
（28-1）
（28-2）
在这种情况下，两个绝对值的和构成了摩擦力，即摩擦力是一个依赖于三个独立的变量的结果，需要来确定（ΛF ）I和（ΛF ）II在不同范围的变化。考虑公式（28-1）和（28-2）是基于Λ变化表明，Λ'F可以在Λ的三个不同的范围内进行分析：
(i) Λ<0的时候，一般来说，从公式(25)的计算结果来看，对于任何特定Λ
和ξ，当ξ→∞的时候，都有结论(Λ′F)min=|Λ/2|。
(ii) 在0<Λ<2的情况下，对于任意给定的ξ，(Λ′F)min值的出现在下面两种情况之间。
（29-1）
（29-2）
这个值决定于全球性的和其他地方的最低点给出不同的高度比例。不过，考虑到高度和长度比基础限制的变化，当ε→0和ξ= （ 2 / Λ） 1 / 2或ξ→∞和ε=ε2（结果是ε = Λ / 2 ）全球最低的摩擦力都得到了(Λ′F)min=0.的结果。
(iii) 当Λ》2的时候，最低的Λ'F值发生在所有的ε→1或所有ξ→1的情况下，这样情况的结果是ε(Λ′F)min=|1?Λ/2|。此外，ε=ε2提供当地任何特定ξ下的最低Λ′F值。
图4.ε= 0.35时 0和1之间的台阶高度比为不同数量的修正系数
图4表明当ε= 0.35时Λ'F随着阶梯高的比例不同二变化。比较图3和图4可以发现，Λ《0 的时候这一趋势的结果是相同的，而Λ>0时的结果变化很大。应当指出的是，图4在0和1之间缩减，从而起到了更好的代表性。
3.3 摩擦系数
根据在上一节中摩擦力定义的介绍，修正后的摩擦系数可以通过公式（22）计算出来。如果根据公式（18）摩擦系数计算结果为绝对值的量纲的摩擦力时，ΛF = 0会得到最后算出最低的摩擦系数为0 < Λ<2的结果。在范围-0.295 <Λ<0 （考虑限制有可能产生的积极承载能力）和Λ< 2 的时候，可以通过下面的方程组求解的ε和ξ，进而算出最低的摩擦系数：
（30）
在这里，
A1=(Λ+6ε)3+432ε2(1-ε) （30-1）
A2=(Λ+6ε)3+216ε2(1-ε) （30-2）
B1=(ξ2+ξ+1)ξ2Λ2-2(ξ-1)(ξ-4)ξΛ-12 （30-3）
B2=(2ξ+1)ξ3Λ3-2(4ξ2-6ξ+5)ξ2Λ2-4(4ξ-1)ξΛ+24 （30-4）
B3=(ξ+1)(ξ2+ξ+1)ξ2Λ2-2(2ξ4+ξ2-ξ+4)ξΛ-12(ξ+1)(ξ2+1) （30-5）
图5. 修正轴承数量范围为-0.295 <Λ《0时，修正后摩擦系数随着基长度比不同而变化。全球最低点（考虑通讯高比）的位置也被表现出来。
图6. 修正轴承数量范围为2 <Λ《 8时，修正后摩擦系数随着基础长宽比不同而变化。全球最低点（考虑通讯高比率）的位置也表现出来。
(εopt)η正号对应的是一系列Λ> 2的情况，负号对应的是一系列-0.295 <Λ< 0的情况。应当指出的是，2<Λ<8的一套方程（30）提供了一个独特的最佳点的基础上长度和高度的比率;也提供了在此范围内任何Λ的最低摩擦系数。
图5和图6显示了-0.295<Λ《0和2<Λ《8的两种情况，最低修正摩擦系数随着基础长宽比的不同而变化。在Λ>8的情况下，当ε→0和ξ→∞时，最低的摩擦系数能实现(ηM)min=1/2。
或者，如果修正摩擦系数计算摩擦力在公式（28 ），这将是展示的形式，η′M，最佳情况下，不同范围的Λ可概括为：
(i) 当Λ< 0时，最低的η′M主要发生在由公式（30）计算的高度和长度比基数最终确定。
(ii) 当0 <Λ< 2时，对任何特定ξ，当ε=ε1或ε=ε2（参见公式29-1和29-2）时，η′M取得最小值。这取决于Λ的价值，其中基础长度比将在全球和其他地方的最低点。不过，考虑到高度和基础长度比的变化，当ε→0和ξ=(2/Λ)1/2或者ξ→∞ 和ε=ε2的时候，全球最低的摩擦系数取得最小值（导致ε=Λ/2），其结果为(η′M)min=0 (iii)当Λ= 2时，对于所有ξ有ε→1或对于所有ε都有ξ→1的情况时，η′M 取得最小值，结果是(η′M)min = 0 。此外，为任何既定ξ，当ε=ε2取得当地最低摩擦系数。
(iv)当2 <Λ< 4.8时，最低的η′M在ε=ε2和利用下列公式高度的比例计算时取得：
（31）
(v)当Λ>4.8时，最低的η′M在ε=ε2和ξ→∞取得，结果(η′M)min = 1 / 2 。
3.4 体积流速润滑剂
考察润滑油流量的一阶导数与预期基础长宽比，ε表明没有特殊的临界点。然而，通过对润滑油流量对高比的一阶导数的计算，可知ξ临界点的情况如下：
（32）
其中，Λ<2
A1=-(Λ-6ε)3+432ε2(1-ε) （32-1）
A2=-(Λ-6ε)3+216ε2(1-ε) （32-2）当Λ>2 ，一般来看，没有任何像考虑各种高度比的变化那样的临界高度比的具体结果。人们还注意到，为实现修改后的轴承数量范围在] 0,2 ]的区间内能够有一个高比的临界高度，需要利用下列公式（32）的条件，
6(1-ε)A2>0 （33）考察流量与高比的二阶导数的结果出现的极值点，二阶导数为负数表明在该得到的点时可以取得最大值。事实上，实际中应该避免公式（32）得到的位置点，以免提供最大的润滑流量。
图7显示了(ξext)q随基础长宽比为一些不同的修改轴承数字(Λ<2)的变化而变化的情况。可以看出，通过这个数字，关键高比随着基础长宽比和修改轴承人数的减少而增加。此外，图8显示了基础长宽比为一些不同的修改轴承数字(Λ<2)时，最大音量流速润滑剂的变化。最大流速的变化与基础长宽比和修改轴承数量符合线性变化。
图7.Λ<2基地长度比为不同改性轴承数字时临界高度比率的变化
图8.Λ< 2基地长宽比不同改性轴承数字时最大的润滑油量纲流速变化
3.5 Δp=0的特殊情况
当轴承两端没有压力差时，轴承的承载能力完全取决于在轴承内的动压分布，静水压力则不存在。当瑞利阶梯轴承出现以后，这将导致Λ=0，化简方程到一种在教科室（如见[3]）中经常出现的较简单的形式。由于中央的重要性，根据不同的目标函数瑞利阶梯轴承的最佳参数这里将再次审查。众所周知，通过资料（参见上文的参考内容），当ξ≈1.866和ε≈0.2818时最小负载能力(ΛW)min≈0.2063。
利用公式（6）计算最佳瑞利阶梯的形式和相应的轴承压力分布如图9所示。在这个图中，轴承高度h1为无量纲，X坐标在轴承的总长L的基础上也是无量纲，压力通过下式（34）也为无量纲形式进行计算
（34）考虑到在公式（18）中的无量纲摩擦力，可以看到，Λ=0时对于任何基础长宽比由公式（26）所得的高比将是所在地的拐点。此外，当ξ→∞和ε→0的时候取得最低限度摩擦力，而ξ→1和/或ε→1时取得最大摩擦力(ΛF=1)。
图9 最佳瑞利一阶轴承和相应的压力分布
如果摩擦力是基于公式（28）计算并包括熵的概念，极限点处的摩擦力行为仍然几乎类似于以往摩擦力形式。在这种情况下，当ξ≈2.225和ε≈0.1223时，还可以引进一个地方的最高点。最终，在这一点上，量纲摩擦力将将会达到Λ′F=0.844。摩擦系数具有全球最低点，因为它可以从承载能力和摩擦力功能的行为得到预测。当ξ=2和ε=1/5的时候，修正的量纲最低摩擦系数是(ηM)min=4。在这一点上，量纲承载力和摩擦力分别是ΛW=1/5和ΛF=4/5。基于熵增最小的原理考虑摩擦系数的概念，可以表明，同一地点将提供最低的摩擦系数。根据基础长宽比，由于润滑油流量没有极值点，利用公式（32）有可能推出与特定基础长宽比对应的临界高度比。这也可以通过审查量纲载荷能力润滑油流量(ΛW/Λq)的比，以便找出这种条件的任何可能的最佳状况。采用相同的分析程序来从事这项研究的分析，到目前为止，结果表明，当ξ≈1.78078和ε≈0.3596的时候，量纲载荷能力与量纲润滑油流量的比值达到最大值。在这个时候，相应量纲承载能力与润滑油流量的比值ΛW/Λq分别为0.2019、0.5936和0.3402。
4.结论
本部分研究，通过对瑞利阶梯轴承进行检查和分析，甚至是拓展性地考虑了轴承端部的轴承静水压力以便找出在何种情况下瑞利一阶轴承可以具有最优的承载能力、摩擦力，摩擦系数和润滑油流量。通过提供分析解决一维或二维形式的雷诺润滑方程来介绍负载能力，摩擦力和润滑油流量之间相应的关系。然后，通过引入无量纲几何参数，来介绍一系列轴承性能参数的量纲分析关系。最终的计算结果使我们能够寻找瑞利一阶轴承的潜在的最佳参数考虑到在轴承两端的压力差。
结果表明，瑞利阶梯轴承的基础长宽比和高比的最佳几何尺寸依赖于轴承端部的压力变化。在某些轴承数量的变化范围，可能无法引进全球的最佳点。有人指出，在大多数情况下发生的可变参数的临界点处会提供最佳几何摩擦力的最小值。文中还讨论了优
化摩擦力可以从两个角度来考虑：（1）在轴承的支撑表面减少净抗力（2）尽量减少摩擦力方向的熵增。因此，摩擦系数的分析也可以分为两个不同的方面。在这两种情况下的优化的不同也得到了讨论。
最后，文中也讨论得到，基于摩擦系数的最佳位置一般情况下可从那些不同的承载能力得出。因此，在没有任何压力差异的轴承端面处会出现最小摩擦系数的最佳高度和长度的比。基于最佳高度和长度的比值得到的最佳参数以实现最佳条件润滑油流速，还介绍了实现最佳的条件，其中承载能力是最大的润滑油消费者。
参考资料：
[1] G.W. Stachowiak and A.W. Batchelor, Engineering tribology (2nd ed), Butterworth Heinemann, USA (2001).
[2] A. Cameron, Basic lubrication theory, Longman Group Ltd., GB (1971).
[3] O. Pinkus and B. Strenlicht, Theory of hydrodynamic lubrication, McGraw-Hill Inc., USA (1961).
[4] F.R. Archibald, A simple hydrodynamic thrust bearing, ASME Trans72 (4) (1950), pp. 393–400. MathSciNet
[5] F.R. Archibald, The stepped shape film applied to a journal bearing, Franklin Inst253 (1) (1952), pp. 21–28.
[6] B.J. Hamrock and W.J. Anderson, Rayleigh step journal bearing. Part II—incompressible fluid, J Lubr Tech ASME Trans91 (4) (1969), pp. 641–650.
[7] Hamrock BJ, Anderson WJ. Incompressibly lubricated Rayleigh step journal bearing. I—zero-order perturbation solution. NASA TN D-4839, October 1968.
[8] Hamrock BJ, Anderson WJ. Incompressibly lubricated Rayleigh step journal bearing. II—infinite-length solution. NASA TN D-4873, November 1968.
[9] Schuller FT. Experiments on the stability of water-lubricated Rayleigh step hydrodynamic journal bearings at zero load. NASA TN D-6514, September 1971.
[10] J.Y. Auloge, P. Bourgin and B. Gay, The optimum design of one-dimensional bearings with non-Newtonian lubricants, J Lubr Tech ASME Trans105 (1983), pp. 391–395. View Record in Scopus | Cited By in Scopus (2)
[11] W. Jianming and J. Gaobing, The optimal design of the Rayleigh slider bearings with a power law fluid, Wear129 (1989), pp. 1–11.