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北京市东城区普通校2014届高三12月联考数学(理)试题 Word版含答案

东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷

高三数学（理科）

命题校：65中 2013年12月

本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。选出符合题目要求的一项填在机读卡上。

1. 已知集合{}

30R <<∈=x x A ，{}

4R 2≥∈=x x B ，则=B A ( ) （A ）{}32<

32<≤x x （C ）{}

322<≤-≤x x x 或（D ） R 2. 在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在( )

（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 3. 等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于( ) （A ）28

（B ）14

（C ）3.5

（D ）7

4. 已知α，β为不重合的两个平面，直线α?m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的( ) （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件

5. 若向量a ，b 满足1=a ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )

（A ）

2π （B ）23π （C ）34π （D ）56

π 6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的

体积是（）（A ）8

（B ）83 （C ）4

（D ）43

与

直

线

40x y --=和圆

22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是

( )

（A ） 2

(1)(1)2x y +++= （B ）2

(1)(1)4x y +++=

（C ）22(1)(1)2x y -++= （D ）22

(1)(1)4x y -++=

8. 已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意x ∈R ，有|()|||f x m x <，则

称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①2

)(x x f =；②x x x f cos sin )(+=；③

)(2

++=

x x x

x f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有 21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为 ( )

（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④

第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 命题“000(0,),tan sin 2

x x x π

?∈>”的否定是 .

10. 过双曲线22

1916

x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程

是 .(结果写成一般式)

11. 若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥??

+≥??≤?

则2x y +的最大值为_____.

12. 设0.51

()2

a =，0.50.3

b =，0.3log 0.2

c =，则,,a b c 的大小关系是_____.（从小到大用“<”连接）

13. 曲线3

y x =与直线1x =及x 轴所围成的图形的面积为．

14. 无穷等差数列}{n a 的各项均为整数，首项为1a 、公差为d ，n S 是其前n 项和，3、21、

15是其中的三项，给出下列命题；

①对任意满足条件的d ，存在1a ，使得99一定是数列}{n a 中的一项； ②对任意满足条件的d ，存在1a ，使得30一定是数列}{n a 中的一项； ③存在满足条件的数列}{n a ，使得对任意的n ∈N *

，n n S S 42=成立。其中正确命题为。（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤。

C B

15．（本小题满分13分）

已知函数()sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><

（Ⅰ）求,ω?的值；

（Ⅱ）设()()()4

g x f x f x π

=-，求函数()g x

16．（本小题满分13分）

设ABC ?中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且5

cos =

B ,2=b . （Ⅰ）当3

=a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ?面积的最大值.

17．（本小题满分13分）

在三棱锥P ABC -中，PAC ?和PBC ?的等边三角形，2AB =，O 是AB 中点．

（Ⅰ）在棱PA 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（Ⅲ）求二面角P BC A --的余弦值．

18．（本小题满分13分）

已知数列}{n a 是等差数列,22 , 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是n T ，且

=+n n b T .

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：数列}{n b 是等比数列；（Ⅲ）记n n n b a c ?=，求证：n n c c <+1. 19．（本小题满分14分）

已知函数2

2()ln (0)a f x a x x a x

=++≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；

（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：2

1()e 2

g a ≤． 20．（本小题满分14分）

已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为1

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)设直线1

:(||)2

l y kx m k =+≤

与椭圆C 相交于A 、

B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆

C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.

东城区普通校2013-2014学年第一学期联考答案

高三数学（理科）

参考答案

（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）

一.选择题

二、填空题

9. (0,),tan sin 2

x x x π

?∈≤ 10. 43200x y --= 11. 4 12. b a c << 13.1

14. ①③（答对1个给2分，有错误答案不给分）

三、解答题

15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图可知ππ

=)4

(

4T ,22==

ω， -------------2分

又由1)2

(=π

f 得，1)sin(=+?π，又(0)1f =-，得sin 1?=-

π?<||2

=∴， ------------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )2

2sin()(-=-

=π

------------6分

因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π

=---=1

sin 42

x = ------------9分所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即 (Z)2828

k k x k ππππ

-≤≤+∈ ----------12分

故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828

k k k ππππ

-+∈.

----------13分

16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为54cos =

B ，所以5

sin =B . ---------------2分因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =

可得2

sin =A . -------------4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o 30=A . ---------------6分

（Ⅱ）因为ABC ?的面积ac B ac S 10

sin 21==

， ------------------7分所以当ac 最大时，ABC ?的面积最大.

因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 5

422-+=. -----------------9分因为222a c ac +≥，所以8

245

ac ac -

≤， ----------------11分

所以10≤ac ，（当a c == -----------------12分所以ABC ?面积的最大值为3. ---------------13分

17.（本小题满分13分）

（Ⅰ）当M 为棱PA 中点时，OM ∥平面PBC . --------------------1分

证明如下：

,M O 分别为,PA AB 中点，

∴OM ∥PB --------------------2分

又PB ?平面PBC ，OM ?平面PBC

OM ∴∥平面PBC . --------------------4分

（Ⅱ）连结OC ，OP

AC CB == ，O 为AB 中点，2AB =,

OC ∴⊥AB ，1OC =. --------------------5分

同理, PO ⊥AB

，1PO =. --------------------6分又PC =

2222PC OC PO ∴=+=, 90POC ∴∠= .

PO ∴⊥OC . --------------------7分 PO ⊥OC ,PO ⊥AB ,AB OC O ?=,

PO ∴⊥平面ABC . --------------------8分

PO ? 平面PAB

∴平面PAB ⊥平面ABC . --------------------9分

（Ⅲ）如图,建立空间直角坐标系O xyz -.

则(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ， (1,1,0)BC ∴=- ，(1,0,1)PB =-

. 由（Ⅱ）知(0,0,1)OP =

是平面ABC

的一个法向量. ----------11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，

则00

00BC x y x z PB ??=-+=?????-=?=?

n n . 令1z =，则1,1x y ==，

∴平面PBC 的一个法向量(1,1,1)=n .

--------------------12分

cos ,||||OP OP OP ?∴<>===

n n n . 二面角P BC A --的平面角为锐角，

∴所求二面角

P BC A --． --------------------13分

18.（本小题满分13分）

解：（1）由已知???=+=+.225,

1021

1d a d a ----------2分

解得 .4,21==d a ----------3分

.244)1(2-=?-+=∴n n a n -----------4分

（2）由于n n b T 31

1-=， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得43

1=b ， -----------5分

当2≥n 时，1131

1---=n n b T ②

① －②得n n n b b b 3

311-=- ， --------------------6分

-=∴n n b b --------------------7分

又04

1≠=

b , .411=∴-n n b b --------------------8分

∴数列}{n b 是以43为首项，4

为公比的等比数列 --------------------9分（3）由（2）可得.43

n n b =

--------------------10分

n n n n n b a c 4)

24(3-=

--------------------11分

.436304)24(34]2)1(4[31

11+++-=---+=

-n n n n n n

n n c c

--------------------12分 1≥n ，故.01<-+n n c c .1n n c c <∴+

--------------------13分

19. （本小题满分14分）

解：（I ）()f x 的定义域为{|0}x x >. --------------------1分

()()2

2210a a f x x x x '=-+>. --------------------2分

根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=， --------------------3分解得1a =-或3

a =

. --------------------4分（II ）()()222222

22()(2)

10a a x ax a x a x a f x x x x x x

+--+'=-+==>.-------------5分（1）当0a >时，因为0x >，

由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >；由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<.

所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减. ----------------7分（2）当0a <时，因为0x >，

由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-；由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-.

所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增. --------9分

（III ）由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，

且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a

=-=-+-=---

2)2ln(322

)2ln()(--=---?

+-='a a

a a a g ， --------10分令()0g a '=，得21e 2

a =-

. 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：

----------------12分

1e 2

-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点.

所以()22221111

(e )e ln[2(e )]3(e )2222

最大值g a g =-

=--?---

2222

131

e ln e e e 222=-+=

.----------------13分所以，当(,0)a ∈-∞时，21

()e 2

g a ≤成立. ----------------14分

20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知可得222

a b e a -==，所以2234a b = ① --------------1分又点3

(1,)2M 在椭圆C 上，所以

221914a b

+= ② ------------2分由①②解之，得2

4,3a b ==.

故椭圆C 的方程为22

143

x y +=. ------------5分

(Ⅱ) 由22

1.4

3y kx m x y

=+???+=?

? 消y 化简整理得：2

(34)84120k x kmx m +++-=，

222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ?=-+-=+-> ③ -----------8分

设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则

0120121222

86,()23434km m

x x x y y y k x x m k k

=+=-

=+=++=++. -------9分由于点P 在椭圆C 上，所以 22

143

x y +=. -------10分

从而

222

2222

16121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. -------11分

又||OP ==

= -------12分

因为12k ≤

，得23434k <+≤，有2331443

k ≤<+，

故. 即所求OP

的取值范围是. -------14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，

由,A B 在椭圆上，可得221122

34123412x y x y ?+=?+=?①② -------6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ -------7分

由已知可得OP OA OB =+ ，所以12012

0x x x y y y +=??+=?④

⑤ -------8分

由已知当12

y y k x x -=

- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ -------9分

把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- -------10分与22003412x y +=联立消0x 整理得2029

y k =+ -------11分

由22003412x y +=得22

00443

x y =-，所以222222000002

413

||4443343

OP x y y y y k =+=-

+=-=-+ -------12分因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有233

1443

k ≤≤+，

. -------13分所求OP

的取值范围是. -------14分

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高三数学高考模拟题(一)

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高三数学高考模拟题（一）一. 选择题（12小题，共60分，每题5分） 1. 已知集合{}{} M N x x x x Z P M N ==-<∈=?13302，，，，又|，那么集合 P 的子集共有( ) A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 16个 2. 函数y x =-的反函数的图象大致是( ) A B C D 3. 已知直线l 与平面αβγ、、，下面给出四个命题： ()//(),()()////12314若，，则若，若，，则若，，则l l l l l ααββαββγαγγγββ αβαβ⊥⊥⊥⊥⊥?⊥⊥? 其中正确命题是( ) A. (4) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (2)(3) 4. 设cos ()31233 x x x =-∈-，且，，则ππ 等于( ) A B C D ....±±±± ππππ 18929518 5. 设a b c a b c =+=-=sin cos cos 1313221426 2 2 ，，，则、、之间的大小关系是( )

A b c a B c a b C a c b D c b a ....>>>>>>>> 6. ()15+x n 展开式的系数和为a x n n ，()572+展开式的系数和为 b a b a b n n n n n n ，则lim →∞-+234等于( ) A B C D ....- --12131 71 7.椭圆 x y M 22 4924 1+=上有一点，椭圆的两个焦点为F F MF MF MF F 121212、，若，则⊥?的面积是( ) A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 8. 已知椭圆x y t 22 1221 1+-=()的一条准线的方程为y =8，则实数t 的值为( ) A. 7和－7 B. 4和12 C. 1和15 D. 0 9. 函数y x x x =+2sin (sin cos )的单调递减区间是( ) A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z .[].[].[].[]28278 27821588 58 3878 ππππ ππππππ ππ ππππ-+∈++∈-+ ∈+ +∈，，，， 10. 如图在正方体ABCD －A B C D 1111中，M 是棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A B 11上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角( ) A. 是π4 B. 是π 3 C. 是π 2 D. 与P 点位置有关 1 A 11. 在平面直角坐标系中，由六个点O(0，0)、A(1，2)、B(－1，－2)、C(2，4)、D(－2，－1)、E(2，1)可以确定不同的三角形共有( )

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<