直线和平面所成的角习题
1.正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是
BD 的中点
(1)求EF 和底面ABCD 所成的角 (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角,
(3)求1B O 和底面ABCD 所成的角
(4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角
2.正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A BC D 所成的角
(2)求MN 和底面ABCD 所成的角
3.正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小
A
B
C
D 1
A 1
B 1
C 1
D M
N
B
C
D 1A 1
B 1
C 1
D O
F
E
A
B
C
D 1A 1
B 1
C 1D
4.空间四边形中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角 (2)求PC 和平面PAB 所成的角
5.正三棱柱的各棱长相等, D 是侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小
(2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小
6.点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD 所成角大小为多少
(2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少
A
B
C
P 1
A
1
P
A
《直线和平面所成的角》练习题 １、正方体中,(１)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值； (2 ） (２)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。(2 ） 2、正方体中，,E F 分别是11D C 和BC 中点，O 是BD 的中点， （1)求EF 和底面ABCD 所成的角的正切值， （２） 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （4 ) (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ， (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。 ３、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角的正切值（ 2 ） (２）求MN 和底面ABCD 所成的角(45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D O A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N E F
(1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值; （2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。 ５、长方体中，2,AB BC == 11AA = ，求1BC 和平面11BB D D ) 6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°) 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小(３０°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (１）求A Ｄ和平面11BCC B 所成角的大小(60°) (２）求ＡＤ和平面A ＢC 所成的角的大小(30°) A B C P A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E F B C D 1 A 1 B 1 C 1 D 1 A 1
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π θ∈； （2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 【典型例题】 例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 （2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 （3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。 （5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。 （I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1； （II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。 例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P
《直线和平面所成的角》 求角度问题解题的一般步骤是： （1）找出这个角；找角的关键是根据题的特点找垂线 （2）证明该角符合题意； （3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值； (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点M 是1AD 和的中点， (1)求EF 和底面ABCD 所成的角的正切值， (2)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。 (3)求MO 和底面ABCD 所成的角 A B C D 1A 1 B 1 C 1 D B C D 1A 1 B 1 C 1 D O
3.,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值； (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E A B C P
5.直三棱柱中,90ABC ∠= ,14,3AB BC BB === ,,M N 分别是11,B C AC 的中点, (1)求MN 和面ABC 所成的角( 32 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（925 ） 6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点分别为AB 和PD 中点． （1）求证：直线AF 平面PEC ； （2）求PE 与平面PDB 所成角的正弦值． 7.练习册上的题 60 ,E F //A B C 1 A 1 B 1 C
《直线和平面所成的角 》练习题2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD ） (2)求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值,） (3)求1B O 和底面ABCD ） (4)求1B O 和侧面11BCC B 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥,PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC (2)求PC 和平面PAB 5、长方体中,2,AB BC ==11AA =,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1B 1C 1D A B C D 1A 1 B 1 C 1 D O A C E F
6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点,求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中,求1A B 和面11BB D D 所成角的大小 （30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中 心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面 内，Ｍ，Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥ １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30 １１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB ===,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(32) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（925 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面求:(1)PB 与底面ABCD 所成角的正切值（2 ） (2)异面直线PA 和BD 所成角大小是多少（6015、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。 A B C D 1A 1 B 1 C 1 D E 11A
《直线和平面所成的角 》 练习 题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；(2 ) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。( 2 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD ） (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （4 ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ） (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。（5 ） 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角的正切值（2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值；（ 5） (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。（ 10 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D 1A 1 B 1 C 1 D O A C E F
6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ，Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成的角 ） １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，, PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求PA 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(3 2 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（9 25 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（ 3A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E 1 1 A
高中数学直线与平面所成的角练习 【例1】 （07全国2文7） 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A B C ．2 D 【例2】 （07全国2理7） 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于（ ） A B C D 【例3】 （2008福建卷6） 如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A ． 3 B ． 5 C ． 5 D ． 5 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 （2009浙江） 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 （06四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝ 典例分析
OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示） 【例6】 （2008全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为 ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B C D ．23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45o 角，求此三棱柱的体积． 【例8】 （08四川卷15 ，则该正四棱柱的体积等于________________． 【例9】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值． A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 【例10】 （2008上海）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点．求直线DE 与 平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 【例11】 如图，正方体的棱长为1，11B C BC O =I ，求： ⑴AO 与11A C 所成角； ⑵AO 与平面ABCD 所成角的正切值；
《直线和平面所成的角》 练 习题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。(2) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ，（） (4)求1B O 和侧面11BCC B 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。（10 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1A 1B 1 C 1 D A B C D 1A 1B 1 C 1 D O A B C E F
6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ， Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成 ） １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求PA 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(32 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（925 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（3）A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E F 1 1A
直线和平面所成的角练 习题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
《直线和平面所成的角 》 练习题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；( 2 ) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。( 2 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD ） (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （4 ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ） (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。（5 ） 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角的正切值（ 2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值；（ 5） (2)求PC 和平面PAB ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D 所成的角的正弦值 A B C D 1A 1 B 1 C 1 D A B C D 1 1 B 1 C 1 D O A B C P E F
6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大 小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ，Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥ １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30 １１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求（60°） 12、直三棱柱中,90ABC ∠= ,14,3AB BC BB === ,(1)求MN 和面ABC 所成的角(32 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（9 25 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面求: (1)PB 与底面ABCD 所成角的正切值（2 ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E 1 1 A
《直线和平面所成的角》练习题2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值； (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。 (2 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD 所成的角的正切值， (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （ 4 ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ， (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。 （5 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A BC D 所成的角的正切值（2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） A B C D 1A 1 B 1 C 1 D B C D 1A 1 B 1 C 1 D O B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N E F
4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值； (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D 所成的角的正弦值（5 ） 6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） A B C P A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E C D 1 A 1 B 1 C 1D
《直线和平面所成的角 》练习题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；(2 ) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。(2 ) 2 、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD 所成的角的正切值，） (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （4） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ， (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。（5 ） 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角的正切值（2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值；（5 ） (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D 6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11所成角的大小（30°） A B C D 1A 1B 1C 1D A B C D 1A 1 B 1 C 1 D O A C A B C D 1A 1 B 1 C 1 D E F E F
7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ， Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所 １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(32 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（925） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD 所成角的正切值（2 ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（3１6 1 1 A
用向量法求直线与平面所 成的角教案 Prepared on 24 November 2020
第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法.
教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为n ，则> 综合法求直线与平面所 成的角 方法：直线与平面所成的角 1.???作角：在斜线上取一点作平面的垂线 2.用等积法求斜线上一点到平面的距离 1.已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB 和平面α所成的角． ．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB . 而tan ∠BAH ＝2－13 ＝33. ∴∠BAH ＝30°. (2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角． ∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1 ＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3， ∴B 1C ＝233 . ∴tan ∠BCB 1＝ BB 1B 1C ＝223 3＝3， ∴∠BCB 1＝60°. 综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°. 2.如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====o ，在底 面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （1）证明：11D A BC A ⊥平面； （2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值. 直线和平面所成的角练习 题 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 《直线和平面所成的角 》练习 题2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD ） (2)求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值,） (3)求1B O 和底面ABCD ） (4)求1B O 和侧面11BCC B 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥,PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC (2)求PC 和平面PAB 5、长方体中,2,AB BC ==11AA =,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1 B 1 C 1D A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D O A C E F 6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点,求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中,求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面 内，Ｍ，Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥ １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30 １１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求12、直三棱柱中,90ABC ∠=,14,3AB BC BB ===,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(32 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（9 25 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面求:(1)PB 与底面ABCD 所成角的正切值（2 ） (2)异面直线PA 和BD 所成角大小是多少（6015、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E 1 1 A 课题：直线和平面所成的角 一、复习提问 一）直线和平面的位置关系有哪几种？ 二）平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义： 平面的垂线：垂直于平面的直线。 平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线。 射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。 二、问题引入： 若直线与平面相交，则这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角是哪一只？ 三、重要结论： 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直 线所成的角中最小的角. 四、直线和平面所成的角 一）斜线和平面所成的角的概念 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面 所成的角 二）规定： （1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角. （2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是0?的角. 强调： 直线和平面所成的角的范围是：[]0,90?? . 三）线面角求法：直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。 步骤：“一作”、“二证”、“三解”； 关键：确定斜线在平面内的射影； 思考：两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？ 五、例题精讲： 例1：在单位正方体1111ABCD A B C D -中，试求直线1BD 与平面ABCD 所成的正 弦角. Q P 1 P α 例2：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： 直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角； 例3．已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 且3PA AD ==，2AB =， 求直线MN 与平面ABCD 所成角； 例4：求正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值。 六、课堂小结： 一）直线和平面所成角的定义及其合理性. 二）初步掌握求直线和平面所成角的方法步骤： D C A B A 1 B 1 D 1 C 1 A B C D 3 A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二） 一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线 （C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）5 4 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形 （C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ． 直线与平面所成的角 基本方法： 垂线法 第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点； 第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论. 空间向量法 第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标； 第三步 再利用sin θ?= a b a b 即可得出结论. 一、典型例题 1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，AC ^平面PAB . 2,45AB AC PB PBA ===??. 试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得 直线CE 与平面PBC ，若存在，求出AE AP 的值；若不存在，请说明理由. 2. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为160CBB ??的菱形，1AB AC =. （1）证明：平面1AB C ^平面11BB C C . （2）若1AB B C ^，直线AB 与平面11BB C C 所成的角为30°，求直线1AB 与平面11A B C 所成角的正弦值. 二、课堂练习 1. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，AB ⊥AD ，AB =1，AD =2 ，AC CD =PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 2. 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为边长为2的正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，AB ， EF ∥BD ，在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为 ？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由. 三、课后作业 1. 如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，FD ∥EA ，且112 FD EA ==，求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值. F E D C B A F E D C B A §3.2.3利用向量法求直线与平面所成的角 一、储备 （一）、学习目标 1.使学生学会求直线与平面所成的角； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. （二）、课前准备 向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义：><=?,cos |||| （2）两向量夹角公式：| |||,cos b a >= < （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 知识点1：面直线所成的角（范围：]2 ,0(π θ∈） 问题1： 当a 与b 的夹角不大于90°时，异面直线a 、b 所成 的角θ与 和 的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90°时， ，异面直线a 、b 所成的角θ与 和的夹角的关系？ 结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|,cos |cos n m =><=θ 知识点2：二面角（范围：],0[πθ∈） ①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角αβα?⊥?⊥CD l CD AB l AB ,,,. x y 二、导学 直线与平面所成的角（范围：]2 ,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为，则><,与θ的关系？ 例1、如图，正三棱柱1 11C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和 B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a == )2,2 1 ,23(1a a a AC - = 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x = 由?? ?==????==??????=?=?00 002001z y ay az AB n AA 取1=x ，)0,0,1(=∴ 21323,cos 2 2 111-=-= >= <∴a a AC ∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值2 1 . 练习：正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求直线11C B 与平面C AB 1所成的角的正弦值. 11(,)2AC a =- 直线和平面所成的角 备课时间 一、教学重点、难点、疑点及解决方法 教学重点：直线与平面成角的概念． 教学难点：有关直线与平面成角的练习． 二、教学步骤 （一）直线与平面成角 1．定义： （1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角． （2）直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角． （3）直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°度的角． 2．按照定义，在求直线和平面所成的角时，应按下述三种情况依次进行考虑： （1）直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是0°角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角； （3）直线和平面斜交时，直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角． 3．斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角． （二）例题分析 1如图1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α内，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ．求证：cosθ1·cosθ2＝cosθ ． 点评：此例题可以作公式，其证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理．当然也可用它的逆定理．讲这个公式的目的是为了用这为个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式．因为θ1是斜线AB与平面α所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式． 2．如图1-82，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求：（1）D1B1与面AC所成角的余弦值；（2）EF与面A1C1所成的角；（3）EF 与面AC所成的角． ．3．如图1-83，Rt△ABC的斜边AB在平面M内，AC和BC与M所成的角分别是30°、45°，CD是斜边AB上的高，求CD与M所成的角． （三）归纳小结 直线和平面相交，它们的相互位置与两条相交直线一样，仍需用角来表示，但过交点在平面内可以作许多条直线，与平面相交的直线同平面内每一条直线所成的角是不相等的，为了定义的准确性，所以取这些角中有确定值的最小角，也就是取该斜线与其在平面上射影所成的锐角作为直线和平面所成的角； 直线和平面的位置关系可以用直线和平面成角范围来刻划；反之，由直线和平面所成角的大小也可以确定直线和平面的相互位置： ②直线和平面平行或直线在平面内，θ＝0°． ③直线和平面成角的范围是0°≤θ≤90°． 四、布置作业 五、课后反思 线面角与面面角同步练习题 1.设集合A 、B 、C 分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则 (A)A=B=C (B)A=B ?C (C)A ?B ?C (D) B ?A ?C. 2．已知平面?的一条斜线a 与平面?成?角，直线b ??，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为 A ．有最小值?，有最大值2π B ．无最小值，有最大值2 π。 C ．有最小值?，无最大值 D ．有最小值?，有最大值???。 3.∠ACB=90ο在平面α内,PC 与CA 、CB 所成的角∠PCA=∠PCB=60o ,则PC 与平面α所成的角为 . 4.平面α与直线a 所成的角为3π,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο角 时,AB 边与桌面所成角的正弦值是 ． 6．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan 22，则它的侧棱与底面所成的角为 7.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 8．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值． 9．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ； （Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值. 10．正四面体ABCD 中，E 是AD 边的中点，求：CE 与底面BCD 所成角的正弦值． 11.如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ??'==，二面角P BC A --的平面角为θ，求证：S S '=?θcos 12.设A 在平面内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD 的中点O ，1,2AC BC CD === 求（1）AC 与平面BCD 所成角的大小；（2）二面角A BC D --的大小； （3）异面直线AB 和CD 所成角的大小。 13.如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=I ，求：（1）AO 与A C ''所 成角； （2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）平面AOB 与平面AOC 所 成角 O E D C F B A D C B P A A C B综合法求直线与平面所成的角
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