平移旋转与对称
一.选择题
1.（2015·湖南岳阳·调研） 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 答案：A
2. （2015·江苏高邮·一模）我们定义一种变换§：对于一个由5个数组成的数列S 1，将其中的每个数换成该数在S 1中出现的次数，可得到一个新数列S 2.例如：当数列S 1是 (4，2，3，4，2)时，经过变换§可得到的新数列S 2是(2，2，1，2，2).若数列S 1可以由任意5个数组成，则下列的数列可作为S 2的是
A. (1，2，1，2，2)
B. (2，2，2，3，3)
C. (1，1，2，2，3)
D. (1，2，1，1，2)
答案：D
3．（2015·江苏江阴·3月月考）下列图形中，既是中心对称图形又有且只有两条对称轴对称图形是 （ ）
A ．正三角形
B ．正方形
C ．圆
D ．菱形
答案：D
4．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）如图，已知边长为2的正三角形ABC 顶点A 的坐标为（0，6），BC 的中点D 在y 轴上，且在点A 下方，点E 是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE 的最小值为（ ）
A ． 4
B ．
4﹣
C ． 3
D ． 6﹣2
答案：B
5．（2015·江苏江阴要塞片·一模）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A B C D
答案：C
6. (2015·北京市朝阳区·一模)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A B C D
答案：D
7.（2015·福建漳州·一模）下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数
．．是
A. 1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：C
8.（2015·福建漳州·二模）下列图形中既是中心对称图形
A . B. C. D.
答案：D
9（2015·广东广州·一模）下列电视台的台标，是中心对称图形的是()
答案：A
10.（2015·广东潮州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
答案：D
11（2015·广东高要市·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
答案：D
12．（2015?山东滕州东沙河中学?二模）下列各图，不是轴对称图形的是
A B C D
答案：B
13．（2015?山东滕州羊庄中学?4月模拟）下面有4个汽车标致图案，其中是轴对称图形的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C；
14．（2015?山东滕州张汪中学?质量检测二）线段MN在直角坐标系中的位置如图1所示，若线段M′N′与MN关于y轴对称，则点M的对应点M′的坐标为（）
A．（4，2）B．（﹣4，2）
C．（﹣4，﹣2）D．（4，﹣2）
答案：D；
图1
15.（2015·网上阅卷适应性测试）如图，将△ABC 绕点C （0，﹣1）旋转180°得到△A 'B 'C ，设点A 的坐标为（a ，b ），则点A ′的坐标为（ ）
A ．（﹣a ，﹣b ）
B ．（﹣a ．﹣b ﹣1）
C ．（﹣a ，﹣b +1）
D ．（﹣a ，﹣b ﹣2） 答案：D
16.（2015·重点高中提前招生数学练习）如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，
得△ABF ，连接EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ C ） A ．AE ⊥AF B ．EF ∶AF ＝2∶1 C ．AF 2＝FH ?FE D ．FB ∶FC ＝HB ∶EC
答案：C 第2题
17.（2015·江西赣三中·2014—2015学年第二学期中考模拟）把直线y =﹣x +3向上平移m 个单位后，与直线y =2x +4的交点在第二象限，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞1
B ．m ＜－5
C ．m ＜1
D ．－5＜m ＜1 答案：D
18. ( 2015·呼和浩特市初三年级质量普查调研)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
答案：B
19.（2015·辽宁盘锦市一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
第1题
A. C. D.
B.
A．
B．
C．
D．
答案：C
20.（2015·山东省济南市商河县一模）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是
答案：D
21．（2015山东·枣庄一摸）下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：B
22（2015山东·枣庄一摸）如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（）．
A．球B．圆柱C．半球D．圆锥
答案：A
23．(2015·江苏无锡北塘区·一模)下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
答案: D
24．(2015·江苏南菁中学·期中) 如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M，N．则线段BM，DN的大小关系是－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－( )
A ．
B ．
C ．
D ．
第2题图 答案: C
25．（2015·无锡市南长区·一模）下列图形中,不是中心对称图形的是 ( )
答案：B
26．（2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是 (
)
A B C D
答案：C
27．（2015·无锡市新区·期中）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
答案：B
28．（2015·锡山区·期中）下面四个图形中，不是中心对称图形的是（）
答案：B
二.填空题
1. （2015·湖南岳阳·调研）如图，△ABC 中，90ABC ∠>?，3tan 4
BAC ∠=
，
4BC =，将三角形绕着点A 旋转，点C 落在直线
AB 上的点C '处，点B 落在点B '处，若C 、B 、
B '恰好在一直线上，则AB 的长为 ； 2．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）平面直角坐标系中，点A （2，3）关于x 轴的对称点坐标为 ． 答案：（2，－3）
3.（2015·广东广州·二模）一个正五边形绕它的中心至少要旋转 度，才能和原来五边形
重合． 答案：72
4（2015·广东高要市·一模）如图，△A ′B ′C ′是△ABC 经过某种变换后得到的图形，如果△ABC 中有一点P 的坐标为（a ，2），那么变换后它的对应点Q 的坐标为 ． 答案：(a +5,－2)
5．（2015?山东滕州?东沙河中学?二模）如图2，RtΔOAB 的直角边OA 在y 轴上，点B 在第 一象限内，OA =2，AB =1，若将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转90°，则点B 的对应点的坐 标为____．
答案：（－2，1）；
6.（2015·邗江区·初三适应性训练）如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按
逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为.
答案：6
7．（2015·辽宁东港市黑沟学校一模，3分）在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是__________．
答案：（﹣5，3）
8.（2015·山东省济南市商河县一模）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为.
答案：20
9. （2015·山东省东营区实验学校一模）
如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=BE，则长AD 与宽AB的比值是．
答案：
10．（2015·山东省枣庄市齐村中学二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度
是．
答案：5
5
3
11．(2015?山东东营?一模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将 Rt △ABC
绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是__
π
6__
答案：π6
12．(2015?山东济南?网评培训)如图，等腰直角三角形ABC 的直角边
AB 的长为6cm ，
将ABC ?绕点A 逆时针旋转15°后得到AB C ''?，则图中阴影部分的面积等________ cm 2．
答案：
13.(2015·江苏南菁中学·期中)如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠ACB ＝30°，将△ABC
绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，则线段EP 1长度的最小值为 ．
第13题图 答案: 1
三.解答题
1. （2015·江苏常州·一模）（本题满分6分）如图，每个网格都是边长为1个单位的小正
方形，△ABC 的每个顶点都在网格的格点上，且∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．
⑴ 试在图中作出ABC △以点A 为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后得到的图形
11C AB △；
⑵ 试在图中建立直角坐标系，使x 轴∥AC ，且点B 的坐标为（﹣3，5）；
⑶ 在⑴与⑵的基础上，若点P 、Q 是x 轴上两点（点P 在点Q 左侧），PQ 长为2个单位，则当点P 的坐标为 时，AP+PQ+QB 1最小，最小值是 个 单位．
⑴ 画图正确 --------------------------------------------------- 1′ ⑵ 画图正确（),,O y x 以及原点包括标注 ---------- 2′ ⑶ 点P 坐标：（5
2
，0） ----------------------------------- 4′
最小值：2＋29 --------------------------------------- 6′
2. （2015·江苏高邮·一模）（本题满分12分）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了
图形变换的以下探究活动：
（1）如图1，若连接矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则Rt △ADC 可由Rt △ABC
经过旋转变换得到，这种旋转变换的旋转中心是点 、旋转角度是 °
（2）如图2，将矩形纸片ABCD 沿折痕EF 对折、展平．再沿折痕GC 折叠，使点B 落在
EF 上的点B
′处，这样能得到∠B ′GC ．求∠B ′GC 的度数．
（3
）如图3，取AD 边的中点P ，剪下△BPC ，将△BPC 沿着射线BC 的方向依次进行平移
变换，每次均移动BC 的长度，得到了△CDE 、△EFG 和△GHI (如图4)．若BH ＝BI ， BC =a ，则：①证明以BD 、BF 、BH 为三边构成的新三角形的是直角三角形； ②若这个新三角形面积小于5015，请求出a 的最大整数值．
解：（1）点O 、180° ……………………2分
（2）连接BB'，由题意得EF 垂直平分BC ，故BB'＝B'C ，由翻折可得，
A
B
C D O
（图1）
F B C
（图2）
B
C （图3）
B
P C
I
E D G
F H
a
（图4）
B'C ＝BC ，∴△BB'C 为等边三角形．∴∠B'CB ＝60°， （或由三角函数FC ：B'C ＝1：2求出∠B'CB ＝60°也可以．）
∴∠B'CG ＝30°，∴∠B'GC ＝60° ……………………4分
（3）①分别取CE 、EG 、GI 的中点P 、Q 、R ，连接DP 、FQ 、HR 、AD 、AF 、AH ，
∵△ABC 中，BA ＝BC ，根据平移变换的性质，△CDE 、△EFG 和△GHI 都是等腰三角形，∴DM ⊥CE ，FQ ⊥EG ，HN ⊥GI ． 在Rt △AHN 中，AH ＝AI ＝4a ， AH 2＝HN 2＋AN 2，HN 2＝15
4a 2，
则DM 2＝FQ 2＝HN 2＝15
4
a 2，
AD 2＝AM 2＋DM 2＝6a 2，AF 2＝AQ 2＋FQ 2＝10a 2， 新三角形三边长为4a 、6a 、10a ．
∵AH 2＝AD 2＋AF 2 ∴新三角形为直角三角形． ……………………4分 （或通过转换得新三角形三边就是AD 、DI 、AI ，即求△GAI 的面积或利用△HAI 与△HGI 相似，求△HAI 的面积也可以）
②其面积为12
6a 10a ＝15a 2．∵15a 2＜5015 ∴a 2＜50
∴a 的最大整数值为7． ……………………2分
3．（2015·江苏江阴长泾片·期中）如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．等边△ABC 的边长为1，它的一边AC 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将等边△ABC 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ
进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动．
（1）请在所给的图中，画出顶点A 在等边△ABC 整个翻滚过程中所经过的路线图； （2）求等边△ABC 在整个翻滚过程中顶点A 所经过的路径长； 答案： 解：（1）如右图所示：
A
B
C
I
E D
G
F
H
a
M
Q
N
……………………………3分 （2）点A 所经过的路线长： 3
11
……………………………6分
4. (2015·北京市朝阳区·一模)在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、
C 重合），连接A
D ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到D
E ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.
①依题意补全图1；
②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；
（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系
（直接写出结论）.
答案：.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分
②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°. ∵DF ⊥BC ， ∴∠FDB =90°.
∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分 ∵∠C =90°，AC =BC ， ∴∠ABC =∠DFB =90°. ∴DB =DF .
∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分 ∴AF =EB .
在△ABC 和△DFB 中 ∵AC =8，DF =3
图1 图2
图1
（第19题 图1）
（
第（第19题 图2） ∴AC
=，DF
=. ………………………………………………………………4分
AF =AB －
BF=
即BE
=. …………………………………………………………………………5分 （2
=BE +AB. ……………………………………………………………………7分 5 （2015·福建漳州·一模）如图：O 是正方形ABCD 对角线的交点，圆心角为90°的扇形EOF 从图1位置，顺时针旋转到图2位置，OE 、OF 分别交AD 、AB 于G 、H . （1）猜想AG 与BH 的数量关系； （2）证明你的猜想.
答案：（1）BH AG = ……… 2分 （2）证明：中在正方形ABCD
?
=∠?=∠=∠=904453AOB OBH OAG OB OA 分分
∵?=∠90EOF
∴BOH AOG ∠=∠…………… ……6分 ∴BOH AOG ???…………………… …7分 ∴BH AG = ……………… ……8分
6．（2015?山东滕州羊庄中学?4月模拟）如图3-1，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点M ，正方形MNPQ 与正方形ABCD 全等，将正方形MNPQ 绕点M 顺时针旋转，在旋转过程中，射线MN 与射线MQ 分别交正方形ABCD 的边于E 、F 两点。 （1）试判断ME 与MF 之间的数量关系，并给出证明．
（2）若将原题中的两个正方形都改为矩形且BC =6，AB =2，如图3-2，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系
图4-1
图4-2
答案：（1）证明：过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H ∴∠MGE =∠MHF =90°．
∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点，∴MG =MH ． 又∵∠1+∠GMQ =∠2+∠GMQ =90°，∴∠1=∠2． 在△MGE 和△MHF 中
∠1=∠2，MG =MH ，∠MGE =∠MHF ． ∴△MGE ≌△MHF ． ∴ME =MF ．－－（5分）
（2）解：①当射线MN 交BC 于点E ，射线MQ 交CD 于点F 时．过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H ．∴∠MGE =∠MHF =90°．∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点，∴∠1+∠GMQ =∠2+∠GMQ =90°．∴∠1=∠2在△MGE 和△MHF 中，∠1=∠2，∠MGE =∠MHF ， ∴△MGE ∽△MHF ．∴
MH
MG
MF ME ，∵M 为矩形对角线AB 、AC 的交点，∴MB =MD =MC ，又∵MG ⊥BC ，MH ⊥CD ，
∴点G 、H 分别是BC 、DC 的中点．∵BC =6，AB =2， ∴MG ＝1，MH ＝3．
图3-1 图3-2
图4-3
图4-4
图4-5
ME 3MF ,3
1
MH MG MF ME =∴==∴
（2分） ②当射线MN 交AB 于点E ，射线MQ 交BC 于点F 时． 过点M 作MG ⊥AB 于点G ，MH ⊥BC 于 点H ．∴∠MGE =∠MHF =90°． ∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ =∠2+∠GMQ =90°．
∴∠1=∠2．在△MGE 和△MHF 中，∠1=∠2， ∠MGE =∠MHF ． ∴△MGE ∽△MHF ．∴
ME MG
MF MH
=
,∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴MB =MA =MC ．又∵MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，∴点G 、H 分别是AB 、BC 的中点．∵BC =6，AB =2MF 3ME ,1
3
MH MG MF ME =∴==∴
，（4分） ③当射线MN 交BC 于点E ，射线MQ 交BC 于点F 时． 由△MEH ∽△FMH ，
得1MH FH EH 2
==?
由△MEH ∽△FEM ，得FE EH ME 2
?=
△FMH ∽△FEM ．FE FH MF 2?=
1FH EH 1
EF FH EH EF EF FH EH EH FH EF FH 1EF EH 1MF
1ME 12
2=?=??=??+=?+?=+∴
（6分） ④当射线MN 交BC 边于E 点，射线MQ 交AD 于点F 时． 延长FM 交BC 于点G ．
易证△MFD ≌△MGB ．∴MF =MG ． 同理由③得22111MG ME ∴+=22
111MF ME ∴+= （7分）
综上所述：ME 与MF 的数量关系是
22
11
331ME MF MF ME MF ME
==+=或或
；
7. （2015·邗江区·初三适应性训练）如图，对称轴为直线x =－1的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与
x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴的交于C 点，其中A 点的坐标为（－3，0）． （1）求抛物线的表达式；
（2）若将此抛物线向右平移m 个单位，A 、B 、C 三点在坐标轴上的位置也相应的发生移动，在移动过程中，△BOC 能否成为等腰直角三角形？若能，求出m 的值，若不能，请说明理由.
解：（1）322-+=x x y ；
（2）平移后B （m +1,0），C （0，m 2-2m -3）
①m 2-2m -3=-（m +1），解得m =2，m =1舍去； ②m 2-2m -3=m +1，解得m =4，m =1舍去；
8. (2015?山东济南?一模)如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是 ，
= ．
（2）如图2，当△CEF 绕点C 顺时针旋转a 时（0°＜a ＜180°），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当△CEF 绕点C 顺时针旋转a 时（90°＜a ＜180°），延长FC 交AB 于点D ，如果AD =6﹣2，求旋转角a 的度数．
解：（1）如图1，线段BE 与AF 的位置关系是互相垂直； ∵∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴AC =2， ∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴=
；
故答案为：互相垂直；
；……………2分
（2）（1）中结论仍然成立．
证明：如图2，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，
∴EC =BC ，FC =AC ，∴
=
=，
∵∠BCE =∠ACF =α，∴△BEC ∽△AFC ，
∴
=
=
=
，∴∠1=∠2，
延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ，
∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2
∴∠BCO=∠AMO=90°，∴BE⊥AF；……………6分
（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
∴AB=4，∠B=60°
过点D作DH⊥BC于H，∴DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，
∴BH=﹣1，DH=3﹣，
又∵CH=2﹣（﹣1）=3﹣，∴CH=BH，∴∠HCD=45°，
∴∠DCA=45°，∴α=180°﹣45°=135°．……………9分
9. (2015·江苏扬州宝应县·一模)(本题10分)已知：如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180得到△DEC．
(1)试猜想AE与BD有何关系？并且直接写出答案．
(2)若△ABC的面积为4cm2，求四边形ABDE的面积；
(3)请给△ABC添加条件，使旋转得到的四边形ABDE
为矩形，并说明理由．
答案: (1)平行、相等…………………………………2分
(2)16 …………………………………6分
(3)AC=BC …………………………………10分
10. （2015·锡山区·期中）（本题满分8分）图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC
的顶点和O点都在正方形的顶点上．
（1）以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；
（2）△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．
答案：解：（1）见图中△A′B′C′ （3分）（直接画出图形，不画辅助线不扣分）（2）见图中△A″B′C″ （6分）（直接画出图形，不画辅助线不扣分）
S=36090π（22+42
）=41π?20=5π（平方单位）． （8分）
第21题