贝叶斯方法 贝叶斯分类器是一种比较有潜力的数据挖掘工具，它本质上是一种分类手段，但是它的优势不仅仅在于高分类准确率，更重要的是，它会通过训练集学习一个因果关系图（有向无环图）。如在医学领域，贝叶斯分类器可以辅助医生判断病情，并给出各症状影响关系，这样医生就可以有重点的分析病情给出更全面的诊断。进一步来说，在面对未知问题的情况下，可以从该因果关系图入手分析，而贝叶斯分类器此时充当的是一种辅助分析问题领域的工具。如果我们能够提出一种准确率很高的分类模型，那么无论是辅助诊疗还是辅助分析的作用都会非常大甚至起主导作用，可见贝叶斯分类器的研究是非常有意义的。 与五花八门的贝叶斯分类器构造方法相比，其工作原理就相对简单很多。我们甚至可以把它归结为一个如下所示的公式： 选取其中后验概率最大的c，即分类结果，可用如下公式表示
贝叶斯统计的应用范围很广，如计算机科学中的“统计模式识别”、勘探专家所采用的概率推理、计量经济中的贝叶斯推断、经济理论中的贝叶斯模型等。 上述公式本质上是由两部分构成的：贝叶斯分类模型和贝叶斯公式。下面介绍贝叶斯分类器工作流程： 1.学习训练集，存储计算条件概率所需的属性组合个数。 2.使用1 中存储的数据，计算构造模型所需的互信息和条件互信息。 3.使用2 种计算的互信息和条件互信息，按照定义的构造规则，逐步构建出贝叶斯分类模型。 4.传入测试实例 5.根据贝叶斯分类模型的结构和贝叶斯公式计算后验概率分布。 6.选取其中后验概率最大的类c，即预测结果。 一、第一部分中给出了7 个定义。 定义1 给定事件组，若其中一个事件发生，而其他事件不发生，则称这些事件互不相容。 定义2 若两个事件不能同时发生，且每次试验必有一个发生，则称这些事件相互对立。 定义3 若定某事件未发生，而其对立事件发生，则称该事件失败 定义4 若某事件发生或失败，则称该事件确定。 定义5 任何事件的概率等于其发生的期望价值与其发生所得到
贝叶斯网络 贝叶斯网络是一系列变量的联合概率分布的图形表示。 一般包含两个部分，一个就是贝叶斯网络结构图，这是一个有向无环图（DAG），其中图中的每个节点代表相应的变量，节点之间的连接关系代表了贝叶斯网络的条件独立语义。另一部分，就是节点和节点之间的条件概率表（CPT），也就是一系列的概率值。如果一个贝叶斯网络提供了足够的条件概率值，足以计算任何给定的联合概率，我们就称，它是可计算的，即可推理的。 3.5.1 贝叶斯网络基础 首先从一个具体的实例（医疗诊断的例子）来说明贝叶斯网络的构造。 假设： 命题S(moker)：该患者是一个吸烟者 命题C(oal Miner)：该患者是一个煤矿矿井工人 命题L(ung Cancer)：他患了肺癌 命题E(mphysema)：他患了肺气肿 命题S对命题L和命题E有因果影响，而C对E也有因果影响。 命题之间的关系可以描绘成如右图所示的因果关系网。 因此，贝叶斯网有时也叫因果网，因为可以将连接结点的弧认为是表达了直接的因果关系。 图3-5 贝叶斯网络的实例 图中表达了贝叶斯网的两个要素：其一为贝叶斯网的结构，也就是各节点的继承关系，其二就是条件概率表CPT。若一个贝叶斯网可计算，则这两个条件缺一不可。 贝叶斯网由一个有向无环图（DAG）及描述顶点之间的概率表组成。其中每个顶点对应一个随机变量。这个图表达了分布的一系列有条件独立属性：在给定了父亲节点的状态后，每个变量与它在图中的非继承节点在概率上是独立的。该图抓住了概率分布的定性结构，并被开发来做高效推理和决策。 贝叶斯网络能表示任意概率分布的同时，它们为这些能用简单结构表示的分布提供了可计算优势。 假设对于顶点xi，其双亲节点集为Pai，每个变量xi的条件概率P(xi|Pai)。则顶点集合X={x1,x2,…,xn}的联合概率分布可如下计算： 。 双亲结点。该结点得上一代结点。
第一章 先验分布与后验分布 1.1 解：令120.1,0.2θθ== 设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则 22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有 5418 .03 .02936.07.01488.07 .01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=?+??=+= θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582 .0)|(1)|(4582 .03.02936.07.01488.03 .02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==?+??=+= A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ 1.2 解：令121, 1.5λλ== 设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ ∴3(3)3! e P X λ λλ-== R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ- 1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有 111222(3)() (3)0.2457 (3)(3)() (3)0.7543 (3) P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ======== == 1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则 33 58()(1)P A C θθθ=- （1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 .10,)1(504)|(504)6,4(/1) 6,4(1 )6,4()1() 1()1()1()1()1()1()()|() ()|()|(53531 1 61 45 31 5 3 5 31 53 3 8 5 33810 <<-==-= --= --= --= =????--θθθθπθθθ θθ θθθ θθ θθθ θθ θθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求 （2）
贝叶斯网络 一.简介 贝叶斯网络又称信度网络，是Bayes方法的扩展，目前不确定知识表达和推理领域最有效的理论模型之一。从1988年由Pearl提出后，已知成为近几年来研究的热点.。一个贝叶斯网络是一个有向无环图(Directed Acyclic Graph,DAG),由代表变量节点及连接这些节点有向边构成。节点代表随机变量，节点间的有向边代表了节点间的互相关系(由父节点指向其后代节点)，用条件概率进行表达关系强度，没有父节点的用先验概率进行信息表达。节点变量可以是任何问题的抽象，如：测试值，观测现象，意见征询等。适用于表达和分析不确定性和概率性的事件，应用于有条件地依赖多种控制因素的决策，可以从不完全、不精确或不确定的知识或信息中做出推理。 二. 贝叶斯网络建造 贝叶斯网络的建造是一个复杂的任务，需要知识工程师和领域专家的参与。在实际中可能是反复交叉进行而不断完善的。面向设备故障诊断应用的贝叶斯网络的建造所需要的信息来自多种渠道，如设备手册，生产过程，测试过程，维修资料以及专家经验等。首先将设备故障分为各个相互独立且完全包含的类别（各故障类别至少应该具有可以区分的界限），然后对各个故障类别分别建造贝叶斯网络模型，需要注意的是诊断模型只在发生故障时启动，因此无需对设备正常状态建模。通常设备故障由一个或几个原因造成的，这些原因又可能由一个或几个更低层次的原因造成。建立起网络的节点关系后，还需要进行概率估计。具体方法是假设在某故障原
因出现的情况下，估计该故障原因的各个节点的条件概率，这种局部化概率估计的方法可以大大提高效率。 三. 贝叶斯网络有如下特性 1. 贝叶斯网络本身是一种不定性因果关联模型。贝叶斯网络与其他决策模型不同，它本身是将多元知识图解可视化的一种概率知识表达与推理模型，更为贴切地蕴含了网络节点变量之间的因果关系及条件相关关系。 2. 贝叶斯网络具有强大的不确定性问题处理能力。贝叶斯网络用条件概率表达各个信息要素之间的相关关系，能在有限的，不完整的，不确定的信息条件下进行学习和推理。 3. 贝叶斯网络能有效地进行多源信息表达与融合。贝叶斯网络可将故障诊断与维修决策相关的各种信息纳入网络结构中，按节点的方式统一进行处理，能有效地按信息的相关关系进行融合。 目前对于贝叶斯网络推理研究中提出了多种近似推理算法，主要分为两大类：基于仿真方法和基于搜索的方法。在故障诊断领域里就我们水电仿真而言，往往故障概率很小，所以一般采用搜索推理算法较适合。就一个实例而言，首先要分析使用那种算法模型： a.)如果该实例节点信度网络是简单的有向图结构，它的节点数目少的情况下，采用贝叶斯网络的精确推理，它包含多树传播算法，团树传播算法，图约减算法，针对实例事件进行选择恰当的算法； b.)如果是该实例所画出节点图形结构复杂且节点数目多，我们可采用近似推理算法去研究，具体实施起来最好能把复杂庞大的网络进行化简，然后在与精确推理相结合来考虑。
贝叶斯网络建造 贝叶斯网络的建造是一个复杂的任务，需要知识工程师和领域专家的参与。在实际中可能是反复交叉进行而不断完善的。面向设备故障诊断应用的贝叶斯网络的建造所需要的信息来自多种渠道，如设备手册，生产过程，测试过程，维修资料以及专家经验等。首先将设备故障分为各个相互独立且完全包含的类别（各故障类别至少应该具有可以区分的界限），然后对各个故障类别分别建造贝叶斯网络模型，需要注意的是诊断模型只在发生故障时启动，因此无需对设备正常状态建模。通常设备故障由一个或几个原因造成的，这些原因又可能由一个或几个更低层次的原因造成。建立起网络的节点关系后，还需要进行概率估计。具体方法是假设在某故障原因出现的情况下，估计该故障原因的各个节点的条件概率，这种局部化概率估计的方法可以大大提高效率。 贝叶斯网络训练 使用贝叶斯网络必须知道各个状态之间相关的概率。得到这些参数的过程叫做训练。和训练马尔可夫模型一样，训练贝叶斯网络要用一些已知的数据。比如在训练上面的网络，需要知道一些心血管疾病和吸烟、家族病史等有关的情况。相比马尔可夫链，贝叶斯网络的训练比较复杂，从理论上讲，它是一个NP-complete 问题，也就是说，对于现在的计算机是不可计算的。但是，对于某些应用，这个训练过程可以简化，并在计算上实现。 贝叶斯网络具有如下特性：
1。贝叶斯网络本身是一种不定性因果关联模型。贝叶斯网络与其他决策模型不同，它本身是将多元知识图解可视化的一种概率知识表达与推理模型，更为贴切地蕴含了网络节点变量之间的因果关系及条件相关关系。 2。贝叶斯网络具有强大的不确定性问题处理能力。贝叶斯网络用条件概率表达各个信息要素之间的相关关系，能在有限的，不完整的，不确定的信息条件下进行学习和推理。 3。贝叶斯网络能有效地进行多源信息表达与融合。贝叶斯网络可将故障诊断与维修决策相关的各种信息纳入网络结构中，按节点的方式统一进行处理，能有效地按信息的相关关系进行融合。 目前对于贝叶斯网络推理研究中提出了多种近似推理算法，主要分为两大类：基于仿真方法和基于搜索的方法。在故障诊断领域里就我们水电仿真而言，往往故障概率很小，所以一般采用搜索推理算法较适合。就一个实例而言，首先要分析使用那种算法模型： a.)如果该实例节点信度网络是简单的有向图结构，它的节点数目少的情况下，采用贝叶斯网络的精确推理，它包含多树传播算法，团树传播算法，图约减算法，针对实例事件进行选择恰当的算法； b.)如果是该实例所画出节点图形结构复杂且节点数目多，我们可采用近似推理算法去研究，具体实施起来最好能把复杂庞大的网络进行化简，然后在与精确推理相结合来考虑。 在日常生活中，人们往往进行常识推理，而这种推理通常是不准确的。例如，你看见一个头发潮湿的人走进来，你可能会认为外面下雨了，那你也许错了；如果你在公园里看到一男一女带着一个小孩，你可能会认为他们是一家人，你可能也犯了错误。在工程中，我们也同样需要进行科学合理的推理。但是，工程实际中的问题一般都比较复杂，而且存在着许多不确定性因素。这就给准确推理带来了很大的困难。很早以前，不确定性推理就是人工智能的一个重要研究领域。尽管许多人工智能领域的研究人员引入其它非概率原理，但是他们也认为在常识推理的基础上构建和使用概率方法也是可能的。为了提高推理的准确性，人们引入了概率理论。最早由Judea Pearl于1988年提出的贝叶斯网络(Bayesian Network)实质上就是一种基于概率的不确定性推理网络。它是用来表示变量集合连接概率的图形模型，提供了一种表示因果信息的方法。当时主要用于处理人工智能中的不确定性信息。随后它逐步成为了处理不确定性信息技术的主流，并且在计算机智能科学、工业控制、医疗诊断等领域的许多智能化系统中得到了重要的应用。 贝叶斯理论是处理不确定性信息的重要工具。作为一种基于概率的不确定性推理方法，贝叶斯网络在处理不确定信息的智能化系统中已得到了重要的应用，已成功地用于
《贝叶斯统计（双语）》教学大纲 课程编号：120872B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □专业必修课□√专业选修课 □学科基础课 总学时：32 讲课学时：32实验（上机）学时：0 学分：2 适用对象：经济统计学 先修课程：微积分、概率论与数理统计学 毕业要求： 1.应用专业知识，解决数据分析问题 2.可以建立统计模型，获得有效结论 3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用 4.关注国际统计应用的新进展 5.基于数据结论，提出决策咨询建议 6.具有不断学习的意识 一、课程的教学目标 贝叶斯统计是上世纪50年代后，才迅速发展起来的一门统计理论。目前，在欧美等西方国家，贝叶斯统计已经成为了与经典统计学派并驾齐驱的当今两大统计学派之一；随着贝叶斯理论和方法的不断发展和完善，以及相应的计算软件的研制，贝叶斯方法在实践中获得了日趋广泛的应用；特别是，贝叶斯决策问题在统计应用中占有越来越重要的地位。在商业经济预测、政府宏观经济管理、国防工业中对武器装备系统可靠性评估、生物医学研究；知识发现和数据挖掘技术等都获得了广泛应用。
本课程通过贝叶斯统计的教学使学习过传统的数理统计课程的学生了解贝叶斯统计的基本思想和基本观点，了解贝叶斯统计与传统的数理统计在理论和处理方法上的区别，了解贝叶斯统计的最新进展，能够系统的掌握贝叶斯统计的基本理论、基本方法，特别是贝叶斯统计极具特色的一些处理方法，引进一个效用函数(utility function)并选择使期望效用最大的最优决策，这样就把贝叶斯的统计思想扩展到在不确定时的决策问题。很好的将统计学与最优化的思想方法和技术很好的进行了结合。贝叶斯统计理论和方法技术的学习，不仅能够提高学生分析和解决实际问题的能力，还能够更进一步提高对经典数理统计的深入理解。 二、教学基本要求 根据贝叶斯统计课程的教学内容，本课程将重点介绍贝叶斯统计推断理论，贝叶斯决策理论。并且注重贝叶斯统计处理方法和基本观点与传统数理统计相应内容对比的讲授方式。注重案例教学，安排学生课后查阅文献资料，以及课堂研讨等方式，了解贝叶斯统计理论和应用最新成果及前沿研究进展。对最新贝叶斯网络和贝叶斯统计的方法除了传统讲授方式外，适当的安排上机实验，了解贝叶斯统计相关软件的使用方法。课程的考核方式：期末开卷+ 论文方式，卷面60%，平时和论文40%。 三、各教学环节学时分配 以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下： 教学课时分配
比较简单的贝叶斯网络总结
贝叶斯网络 贝叶斯网络是一系列变量的联合概率分布的图形表示。 一般包含两个部分，一个就是贝叶斯网络结构图，这是一个有向无环图（DAG），其中图中的每个节点代表相应的变量，节点之间的连接关系代表了贝叶斯网络的条件独立语义。另一部分，就是节点和节点之间的条件概率表（CPT），也就是一系列的概率值。如果一个贝叶斯网络提供了足够的条件概率值，足以计算任何给定的联合概率，我们就称，它是可计算的，即可推理的。 3.5.1 贝叶斯网络基础 首先从一个具体的实例（医疗诊断的例子）来说明贝叶斯网络的构造。 假设： 命题S(moker)：该患者是一个吸烟者 命题C(oal Miner)：该患者是一个煤矿矿井工人 命题L(ung Cancer)：他患了肺癌 命题E(mphysema)：他患了肺气肿
这两个条件缺一不可。 贝叶斯网由一个有向无环图（DAG）及描述顶点之间的概率表组成。其中每个顶点对应一个随机变量。这个图表达了分布的一系列有条件独立属性：在给定了父亲节点的状态后，每个变量与它在图中的非继承节点在概率上是独立的。该图抓住了概率分布的定性结构，并被开发来做高效推理和决策。 贝叶斯网络能表示任意概率分布的同时，它们为这些能用简单结构表示的分布提供了可计算优势。 假设对于顶点xi，其双亲节点集为Pai，每个变量xi的条件概率P(xi|Pai)。则顶点集合X={x1,x2,…,xn}的联合概率分布可如下计算： 。 双亲结点。该结点得上一代结点。 该等式暗示了早先给定的图结构有条件独立语义。它说明贝叶斯网络所表示的联合分布作为一些单独的局部交互作用模型的结果具有因式分解的表示形式。
如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！ 贝叶斯统计习题 1. 设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如 先验分布为 （1）U 0,1θ（） （2）21-0<<1=0,θθπθ?? ?（），（）其它 求θ的后验分布。 解： 2． 设12,, ,n x x x 是来自均匀分布U 0,θ（）的一个样本，又设θ的先验分布为Pareto 分布， 其密度函数为 其中参数0>0,>0θα，证明：θ的后验分布仍为Pareto 分布。 解：样本联合分布为： 因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核 即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++?+>=?≤? 即得证。 3． 设12,,,n x x x 是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为-(|)=,>0x p x e x λλλ， （1） 证明：伽玛分布(,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布。 （2） 若从先验信息得知，先验均值为0.0002，先验标准差为0.0001，确定其超参数,αβ。 解： 4. 设一批产品的不合格品率为θ，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X 为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X 服从几何分布，其分布列为 ()-1(=|)=1-,=1,2,x P X x x θθ θ 假如θ只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值=3x ，求θ的最大后 验估计?MD θ。 解：θ的先验分布为 在θ给定的条件下，X=3的条件概率为 联合概率为 X=3的无条件概率为 θ的后验分布为 5。设x 是来自如下指数分布的一个观察值， 取柯西分布作为θ的先验分布，即 求θ的最大后验估计?MD θ。
贝叶斯统计-习题答案)
第一章 先验分布与后验分布 1.1 解：令120.1,0.2θθ== 设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则 22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有 5418 .03 .02936.07.01488.07 .01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=?+??=+= θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582 .0)|(1)|(4582 .03.02936.07.01488.03 .02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==?+??=+= A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ 1.2 解：令121, 1.5λλ== 设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ: ∴3(3)3! e P X λ λλ-== R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ- 1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有 111222(3)() (3)0.2457 (3)(3)() (3)0.7543 (3) P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ======== == 1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则 33 58()(1)P A C θθθ=- （1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有
.10,)1(504)|(504)6,4(/1) 6,4(1 )6,4()1() 1()1()1()1()1() 1()()|() ()|()|(53531 1 61 4531 5 3 5 31 53385 338 1 <<-==-= --= --= --= =??? ? --θθθθπθθθθθ θθθ θθ θθθθθθθθ θπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求 （2） .10,)1(840)|(840)7,4(/1) 7,4(1 ) 7,4()1() 1()1()1()1()1(2)1() 1(2)1()()|() ()|()|(63631 1 71 4631 6 3 6 31 533853381 <<-==-= --= --= ----= =??? ? --θθθθπθθθθθ θθθ θθ θθθθθθθθθθ θπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求 1.5 解：（1）由已知可得 . 5.125.11, 110110 /1)()|() ()|()|(,2010,10 1)(5.125.111)|(2 1 12211)|(12,2121, 1)|(5.125.1120 10 11111111<<== = <<= <<=+<<-==+<<-=?? θθ θ θπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即 ，时， 当 （2）由已知可得
第一章先验分布和后验分布 统计学有两个主要学派，频率学派与贝叶斯学派。频率学派的观点：统计推断是根据样本信息对总体分布或总体的特征数进行推断，这里用到两种信息：总体信息和样本信息；贝叶斯学派的观点：除了上述两种信息以外，统计推断还应该使用第三种信息：先验信息。贝叶斯统计就是利用先验信息、总体信息和样本信息进行相应的统计推断。 1.1三种信息 （1）总体信息：总体分布或所属分布族提供给我们的信息 （2）样本信息：从总体抽取的样本提供给我们的信息 （3）先验信息：在抽样之前有关统计推断的一些信息 1.2贝叶斯公式 一、贝叶斯公式的三种形式 (一）贝叶斯公式的事件形式 假定k A A ,,1 是互不相容的事件，它们之和i k i A 1= 包含事件B ，即i k i A B 1=? 则有：∑==k i i i i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()() ()()(（二）贝叶斯公式的密度函数形式 1.贝叶斯学派的一些具体思想 假设I ：随机变量X 有一个密度函数);(θx p ，其中θ是一个参数，不同的θ对应不同的密度函数，故从贝叶斯观点看，);(θx p 是在给定θ后的一个条件密度函数，因此记为)(θx p 更恰当一些。在贝叶斯统计中记为)(θx p 它表示在随机变量θ给定某个值时，总体指标X 的条件分布。这个条件密度能提供我们的有关的θ信息就是总体信息。 假设II ：当给定θ后，从总体)(θx p 中随机抽取一个样本X1，…，Xn ，该
样本中含有θ的有关信息。这种信息就是样本信息。 假设III ：从贝叶斯观点来看，未知参数θ是一个随机变量。而描述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分布称为先验分布，其密度函数用)(θπ表示。 2.先验分布 定义1：将总体中的未知参数Θ∈θ看成一取值于Θ的随机变量，它有一概率分布，记为)(θπ，称为参数θ的先验分布。 3.后验分布 （1）从贝叶斯观点看，样本x =(1x ,…,n x )的产生要分两步进行。首先设想从先验分布)(θπ产生一个样本θ'，这一步是“老天爷”做的，人们是看不到的，故用“设想”二字。第二部是从总体分布p (x |θ')产生一个样本x =(1x ,…,n x ),这个样本是具体的，人们能看到的，此样本x 发生的概率是与如下联合密度函数成正比。 ∏='='n i i x p x p 1) ()(θθ这个联合密度函数是综合了总体信息和样本信息，常称为似然函数，记为)(θ'L 。频率学派和贝叶斯学派都承认似然函数，两派认为：在有了样本观察值x =(1x ,…,n x )后，总体和样本中所含θ的信息都被包含在似然函数)(θ'L 之中，可在使用似然函数作统计推断时，两派之间还是有差异的。 （2）由于θ'是设想出来的，它仍然是未知的，它是按先验分布)(θπ而产生的，要把先验信息进行综合，不能只考虑θ'，而应对θ的一切可能加以考虑。故要用)(θπ参与进一步综合。这样一来，样本x 和参数θ的联合分布 π θθ)(),(x p x h =把三种可用的信息都综合进去了。 （3）我们的任务是要求未知数θ做出统计推断。在没有样本信息时，人们
3．5贝叶斯网络 贝叶斯网络是一系列变量的联合概率分布的图形表示。 一般包含两个部分，一个就是贝叶斯网络结构图，这是一个有向无环图（DAG），其中图中的每个节点代表相应的变量，节点之间的连接关系代表了贝叶斯网络的条件独立语义。另一部分，就是节点和节点之间的条件概率表（CPT），也就是一系列的概率值。如果一个贝叶斯网络提供了足够的条件概率值，足以计算任何给定的联合概率，我们就称，它是可计算的，即可推理的。 3.5.1贝叶斯网络基础 首先从一个具体的实例（医疗诊断的例子）来说明贝叶斯网络的构造。 假设： 命题S(moker)：该患者是一个吸烟者 命题C(oal Miner)：该患者是一个煤矿矿井工人 命题L(ung Cancer)：他患了肺癌 命题E(mphysema)：他患了肺气肿 命题S对命题L和命题E有因果影响，而C对E也有因果影响。 命题之间的关系可以描绘成如右图所示的因果关系网。
因此，贝叶斯网有时也叫因果网，因为可以将连接结点的弧认为是表达了直接的因果关系。 图3-5贝叶斯网络的实例 tp3_5_swf.htm 图中表达了贝叶斯网的两个要素：其一为贝叶斯网的结构，也就是各节点的继承关系，其二就是条件概率表CPT。若一个贝叶斯网可计算，则这两个条件缺一不可。 贝叶斯网由一个有向无环图（DAG）及描述顶点之间的概率表组成。其中每个顶点对应一个随机变量。这个图表达了分布的一系列有条件独立属性：在给定了父亲节点的状态后，每个变量与它在图中的非继承节点在概率上是独立的。该图抓住了概率分布的定性结构，并被开发来做高效推理和决策。 贝叶斯网络能表示任意概率分布的同时，它们为这些能用简单结构表示的分布提供了可计算优势。 假设对于顶点x i，其双亲节点集为P ai，每个变量x i的条件概率P(x i|P ai)。则顶点集合X={x1,x2,…,x n}的联合概率分布可如下计算： 双亲结点。该结点得上一代结点。 该等式暗示了早先给定的图结构有条件独立语义。它说明贝叶斯网络所表示的联合分布作为一些单独的局部交互作用模型
第一章 先验分布与后验分布 解：令120.1,0.2θθ== 设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则 22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有 5418 .03 .02936.07.01488.07 .01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=?+??=+= θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582 .0)|(1)|(4582 .03.02936.07.01488.03 .02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==?+??=+= A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ 解：令121, 1.5λλ== 设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ: ∴3(3)3! e P X λ λλ-== R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ- 1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有 111222(3)() (3)0.2457 (3)(3)() (3)0.7543 (3) P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ======== == 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则 33 58()(1)P A C θθθ=- （1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 504)6,4(/1) 6,4(1 )6,4()1() 1()1()1()1()1()1()()|() ()|()|(531 1 61 45 31 5 3 5 31 53 3 8 5 33810 =-= --= --= --= =????--θθθ θθ θθθ θθ θθθ θθ θθθθπθθπθθπbeta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求
黄友平 构建一个指定领域的贝叶斯网络包括三个任务： ①标识影响该领域的变量及其它们的可能值； ②标识变量间的依赖关系，并以图形化的方式表示出来； ③学习变量间的分布参数，获得局部概率分布表。 实际上建立一个贝叶斯网络往往是上述三个过程迭代地、反复地交互过程。 一般情况下，有三种不同的方式来构造贝叶斯网：①由领域专家确定贝叶 斯网的变量（有时也成为影响因子）节点，然后通过专家的知识来确定贝叶斯网络的结构，并指定它的分布参数。这种方式构造的贝叶斯网完全在专家的指导下进行，由于人类获得知识的有限性，导致构建的网络与实践中积累下的数据具有很大的偏差；②由领域专家确定贝叶斯网络的节点，通过大量的训练数据，来学习贝叶斯网的结构和参数。这种方式完全是一种数据驱动的方法，具有很强的适应性。而且随着人工智能、数据挖掘和机器学习的不断发展，使得这种方法成为可能。如何从数据中学习贝叶斯网的结构和参数，已经成为贝叶斯网络研究的热点。③由领域专家确定贝叶斯网络的节点，通过专家的知识来指定网络的结构，而通过机器学习的方法从数据中学习网络的参数。这种方式实际上是前两种方式的折中，当领域中变量之间的关系较明显的情况下，这种方法能大大提高学习的效率。 在由领域专家确定贝叶斯网络的节点后，构造贝叶斯 网的主要任务就是学习它的结构和参数。 为使贝叶斯网作为知识模型是可用的， 在学习过程中致力于寻找一种最简单的网络结构是非常必要的，这种简单的结构模型称之为稀疏网络，它含有最少可能的参数及最少可能的依赖关系。 Bayesian 网是联合概率分布的简化表示形式，可以计算变量空间的任意概 率值。当变量数目很大时，运用联合概率分布进行计算通常是不可行的，概率数目是变量数目的指数幂，计算量难以承受。Bayesian 网利用独立因果影响关系解决了这个难题。Bayesian 网中三种独立关系：条件独立、上下文独立及因果影响独立。三种独立关系旨在把联合概率分布分解成更小的因式，从而达到节省存储空间、简化知识获取和领域建模过程、降低推理过程中计算复杂性的目的，因此可以说独立关系是Bayesian 网的灵魂。 贝叶斯网络结构的方法分成两类： 基于评分的方法（Based on scoring）和 基于条件独立性的方法（Based on Conditional independence）。 。基于评分的方法把贝叶斯网络看成是含有属性之
第五章 贝叶斯统计 葛鹏飞 1、贝叶斯统计学回顾 定理1：贝叶斯定理的形式如下： 它让我们能够通过后验概率，在观测到D 之后估计w 的不确定性。 贝叶斯定理右侧的量)(ωD p 由观测数据集D 来估计，可以被看成参数向量w 的函数，被称为似然函数（likelihood function ）。它表达了在不同的参数向量w 下，观测数据出现的可能性的大小。在观察到数据之前，我们对参数的一些假设，通过先验分布)(ωp 体现。 给定似然函数的定义，贝叶斯定理按照自然语言如下： 2、几个问题的引入 观察贝叶斯定理，在将贝叶斯方法用到统计问题以及更进一步的机器学习问题中，很直观的我们有以下问题需要考虑： （1）似然函数的选择； （2）先验分布的选择； （3）在确定似然函数和先验分布之后，得到后验分布，如何根据后验分布做出统计推断以及决策； （4）如何评价我们的前三步的选择。 之后我们将逐步解决以上四个问题。 3、似然函数的选择 前面的章节中，已经介绍过过拟合和欠拟合的概念：复杂的模型会导致过拟合，而简单的模型又会有欠拟合的忧虑。在贝叶斯方法中同样如此，似然函数包含着我们对数据D 所了解的全部信息，合理的选择似然函数的形式，将直接影响模型的好坏，将这个问题称作贝叶斯模型选择。
假设我们想比较L 个模型}{M i ，其中i=1，...，L 。 给定一训数据集D ，由贝叶斯定理，我们有模型的后验分布： 先验分布让我们能够表达不同模型之间的优先级，假设我们对任意一个模型都没有偏爱,我们发现关于模型分布正比于模型的似然函数，因此最大化后验分布等价于最大化似然函数。由此，我们引入模型证据的概念，或者称作边缘似然函数。下面给出相应定义： 定义2：（模型证据的定义） 使用模型证据的概念，我们就可以进行贝叶斯模型选择，其中的合理性，有以下的近似结论： 最大化模型证据的结果将使得我们选择一个复杂度适中的模型。 关于这点将给出近似的证明，为便于理解，我们使用到如下两图：
贝叶斯统计与经典统 计的区别
贝叶斯统计与经典统计的区别 摘要：21世纪，贝叶斯统计打破经典统计独树一帜的局面，已经开始应用到各个领域，但是两个学派存在着很多争论。本文从经典统计和贝叶斯统计在基础理论方面是否利用先验信息，在基本性质方面是否把参数当做随机变量、是否重视未出现的样本信息、对概率的理解的不同以及在点估计、区间估计等方面等来分析它们的区别，并比较分析了他们在统计推断中的优缺点。 关键词：贝叶斯统计，经典统计，先验信息，点估计，区间估计，假设检验 一、贝叶斯统计和经典统计基本理论的区别 统计推断所依据的信息不同： 经典统计，即基于总体信息、样本信息所进行的统计推断。它的基本观点是：把数据看成是来自具有一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不局限于数据本身。而贝叶斯统计是基于总体信息、样本信息、先验信息进行的统计推断。它最基本的观点是：任一个未知量?%a 都可以看做是一个随机变量，应用一个概率分布去描述 对 ?%a的未知状况。这个概率分布是在抽样前就有的关于?%a的先验信息的概率陈述。
经典统计和贝叶斯统计最主要的区别就是在于是否利用了先验信息。贝叶斯推断是基于总体信息、样本信息、先验信息，而经典统计推断只依赖于总体信息和样本信息。 二、贝叶斯统计和经典统计的基本性质不同： 1.对概率的理解不同 经典统计学派认为经典统计学是用大量实验来确定概率、是"客观的"、是符合科学要求的，认为贝叶斯统计的确定的概率是"主观的"，因此至多只对个人决策有用。 贝叶斯学派认为引入主观概率及由此确定的先验分布，首先至少可以把概率与数理统计的研究与应用的范围扩大到大量不能重复的随机现象中来，其次，主观概率的确定也不是随意的，而是要求当事人对所考查的时间有比较透彻的了解，甚至是这一行的专家，在这个基础上确定的主观概率就能符合实际。 2.使用样本信息上也有差异 贝叶斯学派重视已出现的样本观察值，而对尚未发生的样本观察值不予考虑，贝叶斯学派很重视先验信息的收集、挖掘和加工，使它数量化，形成先验分布，参加到统计推断中来，以提高统计推断的质量。而忽视先验信息的利用，有时是一种浪费，有时还会导致不合理的结果。
贝叶斯统计方法表述如下。 设有一系列n个相互关联的考古事件,其相应的日历年代为θ1，θ2···θn。对于某一特定事件i,测定所得碳十四样品年代值及其标准误差为χi±σi，χi是某一随意变量Xi的具体表现。μ(θ)的表示高精度校正曲线函数,σ（θ）的是曲线本身的误差,一般可以忽略。但在碳十四测定达到高精度时,应计入该误差,而代之以: 上述各量之间有如下函数关系: 用贝叶斯理论,后验概率分布,由下式决定: 的为样品间的先验关系,即考古层位或其他信息确定的样品间的先验关系,例如 θ1>θ2,θ1>θ3等。 为似然函数,即碳十四年代与日历年代间之表现为高精度校正曲线的固有关系： 这样, 就在将碳十四年代转换成日历年代时, 同时考虑了各种可能获得的所有信息, 使最后确定的日历年代误差缩小, 而且更加合乎逻辑同时, 操作过程比较标准划一, 表述清晰, 非常便于不同工作人员之间对结果进行讨论研究和比较。 但是, 由于校正曲线呈不规则锯齿形变化，μ(θ)是非单值函数, 无法用简单的数学公式进行运算, 而需要根据数字运算。因此,在利用贝叶斯统计处理方法时, 必然会述及许多十分复杂的数理推算过程, 这对一般非专业人员无疑是一道不可逾越的障碍。十分幸运,1995年英国牛津大学AMS实验室C.B.Ramsey博士编制了为解决考古问题应用贝叶斯统计方法的实用微机程序(OxCal),将复杂的数理统计计算简化为一般的程序操作, 演算十分快速, 使用方便,基本上满足了匹配拟合的需要, 可以大大推动贝叶斯方法在碳十四测年和考古学中应用的深度和广度。 1）在应用于判断考古年代问题方面，程序设置了多种命令和格式，用以反映经过量化的考古先验信息和所需的后验信息； 2）程序设置可以进行从3000次一直到30000次的随机取样过程,根据所提供的碳十四数据和考古信息的先验概率分布取样运算,通过最后获得的后验概率分布对所研究的考古问题进行推断。各个数据的先验分布和拟合后的后验分布，二者是否符合，则用一致性指数来度量，并定义可以采纳的阑值为超过60%。事实上，这种拟合过程同样也是对碳十四测定和相应的考古信息做了一次综合检验，程序对无法满足匹配拟合条件的数据和信息，明白拒绝作出判断； 3）仅是可以提供对考古研究有用的概率分布和数目； 贝叶斯方法依据量化信息，严格运算所得结果显然更具有数理逻辑性，年代范围更加清晰，而且OxCal的使用十分方便快速。目测方法则比较直观，信息的掌握运用较为灵活。
贝叶斯统计与马航搜寻 摘要：马航客机MH370已经失联超过一个月，中国在内的全球多国在南海与印度洋连日海空搜寻未果，希望渐趋渺茫。马航客机的搜寻，牵动着家属的心，也牵动着世界各国人民的心。马航搜寻过程中，贝叶斯统计起到了重要作用。 关键词：马航；贝叶斯；反演；概率。 1.导言 失踪多日的马航MH370客机航向何方，如今位在何处，已经成为本世纪至今最大的谜团。对于钻研数字，分析变项与评估机率的统计学者看来，找到失踪客机的可能性将涉及大量信息与数字分析。将概率学与海洋模拟实验相结合的方法，可以帮助人们尽快找到失联客机。 1966年美国一架B-52轰炸机在西班牙的帕洛玛雷斯上空发生事故，与加油机碰撞，飞行员失去对飞机的控制，轰炸机上的四枚氢弹找到一枚基本完好无损的，和两枚在人员稀少的地区爆炸的，还有一枚失踪了。一位名为约翰·克雷文的数学家被美国当局调派到当地进行搜寻工作。克雷文博士采取贝叶斯方法，做出各种假设，想象出各种情景，然后在各种情境下猜测出氢弹在各个位置的概率，以及每种情境出现的可能性，他从专家那里得到结果后，综合到一起，画了一张氢弹位置的概率图：把整个可能的区域划分成了很多个小方格，每一个小方格有不同的概率值，有高有低，如同地图上表示山峰和山谷的等高线一样，完成了贝叶斯方法的第一步。在搜索的过程中同时对每个格子的概率进行更新，不过，概率最大的方格子指示的位置常常是陆地上险峻的峡谷和深海区，即使氢弹真的在那里，也未必找得到，所以需要绘制另一张概率图，表
示“氢弹已经在那里，能找到的概率”而不是氢弹位置的概率。最后氢弹被找到，两张概率图和他的贝叶斯方法发挥了不小作用。两年后，克雷文又用同样的方法找到了失踪的潜艇“天蝎号”，下图为当时他在搜寻过程中绘制的20英里海域概率图： 几十年间，贝叶斯方法应用越来越广泛，从搜索引擎筛选词条到无人驾驶汽车综合判断自己的行驶位置，钻进了各个角落。 2.预备知识 英国学者T.贝叶斯1763年在《论有关机遇问题的求解》中提出一种归纳推理的理论，后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法。采用这种方法作统计推断所得的全部结果，构成贝叶斯统计的内容。认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的统计学者，组成数理统计学中的贝叶斯学派，其形成可追溯到 20世纪 30 年代。到50～60年代，已发展为一个有影响的学派。时至今日，其影响日益扩大。它的技术原理分为先验分布与后验分布两种。 先验分布是总体分布参数θ的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于θ的任何统计推断问题中，除了使用样本X所提供的信息外，还必须对θ规定一个先验分布，它是在进行推断时不可或缺的一个要素。贝叶斯学派把先验分布解释为在抽样前就有的关于θ的先验
英国学者T.贝叶斯1763年在《论有关机遇问题的求解》中提出一种归纳推理的理论，后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法。贝叶斯的基本观点：1.认为未知参数是一个随机变量，而非常量。2.在得到样本以前，用一个先验分布来刻画关于未知参数的信息。3. 贝叶斯的方法是用数据，也就是样本，来调整先验分布，得到一个后验分布。4.任何统计问题都应由后验分布出发。 统计推断中主要有三种信息，一是总体信息，即总体分布或总体所属分布族给我们的信息；二是样本信息，即总体中抽取的样本给我们提供的信息；三是先验信息，即抽样之前有关统计问题的一些信息。贝叶斯学派和经典学派的不同在于对统计推断的三种信息使用的不同，基于前两种信息的统计推断称为经典统计学，它的基本观点是把数据看成是来自具有一定分布的总体，所研究的对象是这个总体而不局限于数据本身。基于以上三种信息进行的统计推断被称为贝叶斯统计学。它与经典统计学的主要差别在于是否利用先验信息，在使用样本信息上也是有差异的。 贝叶斯学派的最基本的观点是：任何一个未知量θ都可看作一个随机变量，应用一个概率分布去描述对θ的未知状况。这个概率分布是在抽样前就有的关于θ的先验信息的概率陈述。因为任一未知量都有不确定性，而在表述不确定性程度时，概率与概率分布是最好的语言。这个概率分布就被称为先验分布。贝叶斯学派认为先验分布不必有客观的依据，它可以部分地或完全地基于主观信念。这个是经典学
派与贝叶斯学派争论的一个焦点，经典学派认为经典统计学是用大量重复试验的频率来确定概率、是“客观”的，因此符合科学的要求，而认为贝叶斯统计是“主观的”，因而只对个人做决策有用。这是当前对贝叶斯统计的主要批评。贝叶斯学派认为引入主观概率及由此确定的先验分布至少把概率与统计的研究与应用范围扩大到了不能大量重复的随机现象中来。其次，主观概率的确定不是随意的，而是要求当事人对所考察的事件有较透彻的了解和丰富的经验，甚至是这一行的专家，在这个基础上确定的主观概率就能符合实际。 若仅仅研究先验分布贝叶斯统计也就没大意思了，与先验分布对应的还有后验分布。我们先来看一下后验分布的定义，在样本x 给定下θ的条件分布被称为θ的后验分布。我们分析一下这句话，首先可以明白后验分布是一个条件分布，怎样的条件分布呢，在样本x 给定的条件下的条件分布，看来仍然是需要样本，在贝叶斯统计中的样本又是什么样子的呢？从贝叶斯观点看，样本),(1n x x x =的产生主要分两步。首先设想从先验分布()θπ产生一个样本θ'，这一步是“老天爷”做的，人们是看不见得，故用“设想”二字。第二步是从总体分布()θ'x p 产生一个样本),(1n x x x =，这个样本是具体的，人们能看的到的，此时样本x 发生的概率与如下联合密度函数成正比 ()()θθ'∏='=i n i x p x p 1 这个联合密度函数综合了总体信息与样本信息，常被称为似然函数，及为()θ'L .由于θ'是设想出来的，他仍然是未知的，它是按先验分布()θπ而产生的，要把先验分布进行综合，不能只考虑θ'，而应对