2.2.2向量的减法
整体设计
教学分析
向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.
三维目标
1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.
2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.
重点难点
教学重点:向量的减法运算及其几何意义.
教学难点:对向量减法定义的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路 1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.
推进新课
新知探究
提出问题
①向量是否有减法？
②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？
③如何理解向量的减法？
④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？
活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?
引导学生思考,相反向量有哪些性质?
由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.
于是-(-a)=a.
我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量,即
a+(-a)=(-a)+a=0.
所以,如果a、b是互为相反的向量,那么
a=-b,b=-a,a+b=0.
(1)平行四边形法则
图1
如图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.
又b+BC=a,所以BC=a-b.
由此,我们得到a-b的作图方法.
(2)三角形法则
图2
如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从
b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
讨论结果:①向量也有减法运算.
②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.
与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫作a的相反向量,记作-a.
③向量减法的定义.我们定义
a-b=a+(-b),
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
规定:零向量的相反向量是零向量.
④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.
提出问题
①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?
②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?
讨论结果:①AB=b-a.
②略.
应用示例
思路1
例1 如图3,已知向量a,b,c,求作向量a-b+c.
图3
活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.
解:在平面上任取一点O,作=a,=b,则=a-b.
再作=c,并以BA、BC为邻边作BADC,
则BD=BA+BC=a-b+c(如图4).
图4
变式训练
(2006上海高考)在ABCD中,下列结论中错误的是( )
A.AB=DC
B.AD+AB=AC
C.-=
D.+=0
解析:A显然正确,由平行四边形法则,可知B正确,C中,AB-=BD错误,D
中,AD+BC=AD+DA=0正确.
答案:C
2.如图5,ABCD中,AB=a,=b,你能用a、b表示向量、DB吗?
图5
活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b,
同样,由向量的减法,知=AB-=a-b.
变式训练
1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向
量OD等于( )
图6
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c 解析:如图6,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有
=+=+=+-=a-b+c.
答案:B
2.若AC=a+b,DB=a-b.
①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?
②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?
③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角?
④a+b与a-b可能是相等向量吗？
图7
解析:如图7,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.
由平行四边形法则,得
AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.
由此问题就可转换为:
①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)
④a+b与B-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)
点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.
思路2
例1 判断题:
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)△ABC中,必有AB++=0.
(3)若+BC+=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
(4)|a+b|≥|a-b|.
活动:根据向量的加、减法及其几何意义.
解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;
若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,
此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.
(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的
长,其大小不定;
当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|＞|a-b|,异向则有|a+b|＜|a-b|;
当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.
综上所述,只有(2)正确.
例2 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )
A.[3,8]
B.(3,8)
C.[3,13]
D.(3,13)
解析:=-AB.
(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;
(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;
(3)当AB、AC不共线时,3＜|BC|＜13.
综上,可知3≤||≤13.
答案:C
点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
变式训练
已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形
的充要条件为a+b+c=0.
证明:已知0≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,
(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c,
另一方面a+b=AB+BC=AC.
由于CA与AC是一对相反向量,
∴有+=0,故有a+b+c=0.
(2)充分性:作AB=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0,
∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.
∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.
图8
例3 已知|a |=6,|b |=8,且|a +b |=|a -b |,求|a -b |.
解:如图8,设=a ,=b ,以AB 、AD 为邻边作ABCD,则=a +b ,=a -b . 因为|a +b |=|a -b |,所以||=|DB |.
又四边形ABCD 为平行四边形,所以四边形ABCD 为矩形.故AD⊥AB.
在Rt△DAB
中,||=6,||=8,由勾股定理,得
|DB |=2286+==10.所以|a +b |=|a -b |=10.
知能训练
课本本节练习1、2.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论. 作业
课本习题2—2A 组4、5.
设计感想
1.向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法各有千秋.第一种作法结合向量减法的定义,第二种作法结合向量的平行四边形法则,直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差,即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量,第二种作图方法比较简捷.
2.鉴于上述情况,教学中引导学生结合向量减法的几何意义,注意差向量的方向,也就是箭头的方向不要搞错了,a -b 的箭头方向要指向a ,如果指向b 则表示b -a ,在几何证明题目中,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
3.关于向量减法,在向量代数中常有两种定义方法,第一种方法是将向量的减法定义为向量加法的逆运算,也就是说,如果b +x=a ,则x 叫作a 与b 的差,记作a -b .这样作a -b 时,可先在平面内任取一点O,再作=a ,=b ,则就是a -b .这种定义向量减法,学生较难理解定义本身,但很容易作a -b .
第二种方法是在相反向量的基础上,通过向量加法定义,即定义a -b =a +(-b ). 用这种方法定义,通过类比有理数的减法,学生容易接受a -b =a +(-b ),但作图较繁.
实际上这两种定义方法没有本质的区别,为了便于学生接受,降低理论要求,教科书先定义了相反向量,然后将a +(-b )定义为a -b ,并探究了在此定义下作两个向量差的方法以及向量减法的运算.
作两个向量差时,教师应提醒学生注意向量的方向,也就是箭头不要搞错了,a -b 的箭头要指向向量a ,如果指向向量b ,则表示b -a .
备课资料
一、向量减法法则的理解
向量减法的三角形法则的式子内容是:两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减),这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点的向量.
只要学生理解法则内容,那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手,尤其遇到向量的式子运算题时,一般不用画图就可迅速求解,如下面例题:
例1 化简:-+-.
解:原式=+BD-=-=0.
例2 化简:OA+OC+BO+CO.
解:原式=(OA+BO)+(OC+CO)=(OA-BO)+0=BA.
二、备用习题
1.下列等式中,正确的个数是 ( )
①a+b=b+a ②a-b=b-a ③0-a=-a ④-(-a)=a ⑤a+(-a)=0
A.5
B.4
C.3
D.2
2.如图12,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则-DB等于( )
图12
A. B. C. D.
3.下列式子中不能化简为的是( )
A.(AB+CD)+BC
B.(AD+MB)+(BC+CM)
C.MB+AD-BM
D.OC-OA+CD
4.已知A、B、C三点不共线,O是△ABC内一点,若OA+OB+OC=0,则O是△ABC的( )
A.重心
B.垂心
C.内心
D.外心
5.已知两向量a和b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直.
参考答案:
1.C
2.D
3.C
4.A
5.证明:(1)充分性:
设=a,=b,使⊥,以、为邻边作矩形OBCA,则
|a+b|=|OC|,|a-b|=|BA|.
∵四边形OBCA为矩形,
∴|OC|=|BA|,故|a+b|=|a-b|.
(2)必要性:
设OA=a,OB=b,以OA、OB为邻边作平行四边形,
则|a+b|=|OC|,|a-b|=|BA|.∵|a+b|=|a-b|,∴|OC||=|BA|.∴OBCA为矩形. ∴a的方向与b的方向垂直.
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷（12月份组卷）（四） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合M ={m ∈Z|?3
专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析
本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析：
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
SM数列高中数学组卷1 一．选择题（共1小题） 1．已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+2，数列{a n}满足a1=0，且对任意n∈N*，a n=f（n），则f（2010）=（）A．4012 B．4018 C．2009 D．2010 二．填空题（共4小题） 2．记集合P={ 0，2，4，6，8 }，Q={ m|m=100a1+10a2+a3，且a1，a2，a3∈P }，将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是．3．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，． （Ⅰ）求a n与b n； （Ⅱ）求数列{c n}满足，求{c n}的前n项和T n． 4．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为． 5．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n= 三．解答题（共25小题） 6．已知f（x）=（x﹣1）2，g（x）=4（x﹣1）．数列{a n}中，对任何正整数n，﹣a n）g（a n）+f（a n）=0都成立，且a1=2，当n≥2时，a n≠1；设b n=a n 等式（a n +1 ﹣1． （Ⅰ）求数列{b n}的通项公式； （Ⅱ）设S n为数列{nb n}的前n项和，，求的值．7．设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；
（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n． 8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中n∈N*． （1）若a1=b1=2，a3﹣b3=9，a5=b5，试分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设A={k|a k=b k，k∈N*}，当数列{b n}的公比q＜﹣1时，求集合A的元素个数的最大值． 9．已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x2，且a1=f（d﹣1），a5=f（2d﹣1），b1=f（q﹣2），b3=f（q）． （1）求数列{a n}和{b n}的通项公式； （2）设数列{c n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，都有 成立，求S n． 10．已知函数f（x）=x2+2x． （Ⅰ）数列a n满足：a1=1，a n+1=f'（a n），求数列a n的通项公式； （Ⅱ）已知数列b n满足b1=t＞0，b n+1=f（b n）（n∈N*），求数列b n的通项公式；（Ⅲ）设的前n项和为S n，若不等式λ＜S n对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围． 11．设等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2；数列{b n}满足6n2﹣（t+3b n）n+2b n=0（t∈R，n∈N*）． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）①试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列； ②在①结论下，若对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入b k个2，符到一个数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，试求满足T m=2c m+1的所有正整数m．12．已知函数f （x）=log a x （a＞0且a≠1），若数列：2，f （a1），f （a2），…，f （a n），2n+4 （n∈N﹡）为等差数列． （1）求数列{a n}的通项公式a n； （2）若a=2，b n=a n?f （a n），求数列{b n}前n项和S n； （3）在（2）的条件下对任意的n∈N﹡，都有b n＞f ﹣1（t），求实数t的取值范
第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)
高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值
(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A
排列组合高中数学组卷 一．选择题（共9小题） 1．（2016?衡阳校级一模）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（） A．90种B．180种C．270种D．540种 2．（2016?黄冈校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2016?新余二模）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．480 4．（2016?内江四模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（） A．24种B．36种C．48种D．60种 5．（2016?邯郸一模）现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（） A．90 B．115 C．210 D．385 6．（2016?成都校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个． A．324 B．216 C．180 D．384 7．（2016?湖南校级模拟）某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有（） A．12种B．24种C．36种D．48种 8．（2016?陕西模拟）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（） A．3种B．6种C．9种D．18种 9．（2016?福建模拟）四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（） A．72 B．96 C．144 D．240 二．填空题（共3小题） 10．（2016?黄冈校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=， q=． 11．（2016?黄冈校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是． 12．（2016?绵阳模拟）从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有个．（用数字作答） 三．解答题（共4小题） 13．（2016?新余三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点． （1）证明：EF∥平面PCD；
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;s in s in B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长） 2015年10月18日杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程． 2．（2010?模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由． 第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时解三角形知识点归纳总结
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