圆锥曲线
圆锥曲线分三大部分:椭圆,双曲线和抛物线 (一)椭圆
椭圆分三大部分:基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题
一、椭圆的知识梳理
二、椭圆的标准方程和统一方程
三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0 说明:1、同学们要牢记椭圆的定义,这是同学们经常想不到要用的,要记住。对于求焦点三角形的面积,或者给了焦点弦之差、之积这些情况,第一想到的要用椭圆的定义。 例题: (1)已知△ABC 的三边长|CB|,|AB|,|CA|成等差数列,若点A ,B 的坐标分别为(-1,0),(1,0). 求顶点C 的轨迹W 的方程 解析:1、等差数列 得到,线段之和为定值,为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程,确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程,带值整理 2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -,, ,,椭圆的弦的AB 过点1F ,且2ABF △的周长为20,那么该椭圆的方程为 . 出现周长,想到定义。 2、求椭圆的方程, 1.、确定焦点在哪个轴,用标准方程、不确定焦点在哪个轴,用统一方程。 2.一.设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、 { }无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义:P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MF M P <=><==+=22222 222 2 22c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴),)和(轴上(焦点坐标在),)和(轴上(焦点坐标在椭圆的方程:b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+ 1、求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10; (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(- 32,52). (3) 焦点在y 轴且经过两个点(0、2)(1、0) (4) 经过p (-23、1)q (3、2) (5) 方程m y x ++16m -252 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( ) (A)-16 9 (6) 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点,且短轴长为45的椭圆方程是 _______________ (7) 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点,则椭圆的长轴长是短轴长的 ( ) (A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32 倍 9)、对于求离心率问题,重要的应用abc 三者的平方关系,导出a 与c 的关系。或者求出a 、c 的值,利用e=c/a 的公式。 (10).椭圆的两个焦点和短轴两个顶点,是一个含60°角的菱形的四个顶点,则椭圆的离心率为 ____ (11)、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e=_____ (12、中心在原点,长半轴长与短半轴长的和为92,离心率为0.6的椭圆的方程为 _______________ 二、利用椭圆解决焦点三角形问题。 椭圆的基础量的综合运用,经常用到椭圆的定义,正弦定理和余弦定理,解决与焦点三角形 有关的面积问题、|1PF | |2PF | 的最小值。 2tan 2S b θ = 焦点在x 轴或者y 轴上都可用 1、已知P 为椭圆22 1259 x y +=上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,∠F 1PF 2=60°,求△F 1PF 2 的面积. 本题既用到了定义,也用到了正余弦定理 解答:解:∵a=5,b=3 ∴c=4,即|F 1F 2|=8. 设|PF 1|=t 1,|PF 2|=t 2, 则根据椭圆的定义可得:t 1+t 2=10①, 在△F 1PF 2中∠F 1PF 2=60°, 所以根据余弦定理可得:t 12+t 22-2t 1t 2?cos60°=82②, 由①2-②得t 1?t 2=12, 所以由正弦定理可得: S △12F PF =1212t t sin60° =121 2 t t ×12×32=33. 所以△F 1PF 2的面积 33 2.已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -,P为椭圆上一点,且||21F F 是||1PF 和 ||2PF 的等差中项. (1)求椭圆的方程;(2)若点P 在第三象限,且∠21F PF =120°,求21tan PF F . 18解:(1)由题设|1PF |+|2PF |=2|21F F |=4 ∴42=a , 2c =2, ∴b=3 ∴椭圆的方程为13 42 2=+y x . (2)设∠θ=21PF F ,则∠12F PF =60°-θ 由正弦定理得: ) 60sin(120sin sin 1221θθ -?= ? = PF PF F F P F 2 F 1 x O y 由等比定理得: )60sin(120sin sin 2 121θθ -?+?+= PF PF F F )60sin(2 3 4 sin 2 θθ -?+=∴ 整理得:)cos 1(3sin 5θθ+= 5 3cos 1sin =+∴ θθ故23 2tan =θ 113525 3153 2tan tan 21=-? = =θPF F . 若a:b=c:d (其中b,d ≠0),则(a+c ):(b+d )=(a-c ):(b-d )=a:b=c:d a:b=c:d=e:f=.......m:k 则 (a+c+e+...+m):(b+d+f+...+k)=a:b 称为等比定理。 等比定理是比例运算中的基本定理之一。 三、直线和椭圆的相交问题 这是高中的重点也是难点问题,各个省的高考题几乎都有一道圆锥曲线问题,现在圆锥曲线问题主要难点是在计算上,同学们应经常多练。 弦长公式AB= 记住一些常用的结论,可以提高解题速度。 椭圆的一组平行弦中过中心的最长椭圆的过焦点的弦以垂直实轴的通径为最短 1、通径= (无论焦点在x 轴还是y 轴 通径公式不变) 2、|AB |为过焦点的弦1 122 AF R AF R =|||| 则 ecos θ=12 12 R R R R -+ 3、AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-,即0 202y a x b K AB -=。 做椭圆与直线相交问题,有两种方法,一是韦达定理、二是点差法,即使求而不设法,用来 解决中点弦问题和弦长成比例问题。 前两天在网上无意中看到这样一句话,数学好的人比较没良心,比如解圆锥曲线的时候,请x1,x2,y1,y2来帮忙,结果完事了又不求人家,直接把那几个全踹了。这种办事的方法 a b 22 221(1)AB k x x =+- 太可耻了,我,学不会!!、 现在圆锥曲线对技巧性要求降低,运算难度增大,同学们只有多练习解题,一定没问题。 解题步骤:”建设现代化“(求轨迹方程的步骤相同、但是意义不同) 1、建立直线和椭圆的方程组 2、设交点 3、由现有一直条件确定用弦长公式还有用点差法,如果弦长公式,则联立方程消x 或者y 得到一元二次方程,用韦达定理写出两根和两根差。如果用点差法,方程做擦,可以直接写出上面结论。 4、带入已知条件 5、化简求值。 例题: 1、倾斜角为π 4 的直线交椭圆2214x y +=于A B ,两点,求线段AB 中点M 的轨迹方程. 解:设倾斜角为 π 4 的直线交椭圆于11()A x y ,,22()B x y ,, 由2 21114 x y +=,① 22 2214 x y +=, ② ①-②得 12121212()() ()()4 x x x x y y y y -+=--+. 又设中点()M x y ,,则 1212121224()84y y x x x x x x y y y y -+=-=-=--+. 又 1212y y x x --为AB 连线斜率,即π tan 14 k ==, 14x y ∴- =,即40x y +=(其中包含在椭圆内部和椭圆上). 已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P 和Q ,且OP ⊥OQ ,|PQ|= 10 2 .求椭圆的方程. 解答:解:设所求椭圆方程为22 221x y a b += 依题意知,点P 、Q 的坐标满足方程组 ①②22 221x y a b += y=x+1. 将②式代入①式,整理得 (a 2+b 2)x 2+2a 2x+a 2(1-b 2)=0,③ 设方程③的两个根分别为x 1,x 2,那么直线y=x+1与椭圆的交点为P (x 1,x 1+1),Q (x 2,x 2+1). 由题设OP ⊥OQ ,|PQ|= 102,可得 {x 1+1x1?x2+1x2=-1(x2-x1)2+[(x2+1)-(x1+1)]2=(102)2. 整理得 ④⑤ {(x1+x2)+2x1x2+1=04(x1+x2)2-16x1x2-5=0. 解这个方程组,得 {x1x2=14x1+x2=-32或 {x1x2=-14x1+x2=-12. 根据根与系数的关系,由③式得 (Ⅰ) {2a2a2+b2=32a2(1-b2)a2+b2=14或(Ⅱ) {2a2a2+b2=12a2(1-b2)a2+b2=-14. 解方程组(Ⅰ),(Ⅱ),得 {2a =2 2 b =23或 {2 a =23 2 b =2. 故所求椭圆的方程为 223122x y +=,或 22 3122 x y += (3)已知O 为坐标原点,F 为椭圆2 2 :12 y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2 的直线l 与C 交与A 、B 两点,点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明:点P 在C 上; (Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上. 【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路,注意把 0.OA OB OP ++=用坐标表示后求出P 点的坐标,然后再结合直线方程把P 点 的纵坐标也用A 、B 两点的横坐标表示出来。从而求出点P 的坐标代入椭圆方程 验证即可证明点P 在C 上。(II)此问题证明有两种思路:思路一:关键是证明,APB AQB ∠∠互补.通过证明这两个角的正切值互补即可,再求正切值时要注意利用倒角公式。 思路二:根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上,所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N ,然后证明N 到四个点A 、B 、P 、Q 的距离相等即可. 【精讲精析】 (I)设1122(,),(,)A x y B x y 直线:21l y x =-+,与2 2 12 y x +=联立得242210x x --= 126262 ,44 x x -+= = 121221 ,24 x x x x += =- 由0.OA OB OP ++=得1212((),())P x x y y -+-+ 122 ()2 x x -+=- , 121212()(2121)2()21y y x x x x -+=--++-+=+-=- 2 22(1)()122 --+= 所以点P 在C 上。 (II )法一:121212 12(1)(1) 22 ()() 22tan (1)(1)1122 ()() 22 PA PB PA PB y y x x k k APB y y k k x x ----------∠= = ----++?---- 212112123()4() 3329 3()22 x x x x x x x x --= =-++ 同理 2121212111 22() 22tan 111122() 22 QB QA QA QB y y x x k k AQB y y k k x x -------∠= =--++? --- 12211212()4() 321 3()22 x x x x x x x x --= =--++ 所以,APB AQB ∠∠互补, 因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。 法二:由2(,1)2P - -和题设知,2(,1)2Q ,PQ 的垂直平分线1l 的方程为22 y x =-…① 设AB 的中点为M ,则21( ,)42M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为21 24y x =+…② 由①②得1l 、2l 的交点为21 (,)88 N - 22221311 ||()(1)2888 NP =- ++--= , 22132 ||1(2)||2 AB x x =+-?-= 32||4AM = ,22221133 ||()()48288 MN =++-=, 22311 ||||||8 NA AM MN =+= 故||||NP NA =.||||,||||NP NQ NA NB == 所以A 、P 、B 、Q 四点在同一圆圆N 上. 椭圆知识点总结复习 1. 椭圆的定义: (1)椭圆:焦点在x 轴上时122 22=+b y a x (222a b c =+)?{ cos sin x a y b ??==(参 数方程,其中?为参数),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 例一:已知线段AB 的两个端点A ,B 分别在x 轴,y 轴上,AB=5,M 是AB 上的一个点,且AM=2,点M 随AB 的运动而运动,求点M 的运动轨迹方程 2. 椭圆的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤; ②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线: 两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。⑥通径2 2b a 例二:设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点P 作x 轴的垂线,恰好过椭圆的一个焦 点1F ,此时椭圆与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,且A,B 两点所确定的直线AB 与OP 平行,求离心率e 2.点与椭圆的位置关系:(1)点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>; (2)点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +=1; (3)点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3.直线与圆锥曲线的位置关系:(往往设而不求) (1)相交:0?>?直线与椭圆相交;(2)相切:0?=?直线与椭圆相切; (3)相离:0?>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共 点T ,且椭圆的离心率2 e = (1)求椭圆的方程 (2)设12,F F 分别为椭圆的左,右焦点,M 为线段2AF 的中点,求证:1ATM AFT ∠=∠ (3)求证:2 121 2 AT AF F =. ?4、焦半径(圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径0r ed a ex ==±,其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。 例五:已知椭圆22 221x y a b +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为3,则点P 到右 准线的距离为____(答:10/3); 例六:椭圆1342 2=+y x 内有一点)1,1(-P ,F 为右焦点,在椭圆上有一点M , 使MF MP 2+ 之值最小,则点M 的坐标为_______(答:)1,3 6 2( -) ; 5、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形) 问题:0||S c y =,当0||y b =即P 为短轴端点时,m ax S 的最大值为bc ; 高二数学选修1-1知识点 第一章:命题与逻辑结构 知识点: 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句. 2、“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ,则q ”,它的逆命题为“若q ,则p ”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若p ?,则q ?”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ,则q ”,则它的逆否命题为“若q ?,则p ?”. 6、四种命题的真假性: 例题:一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中()A.真命题与假命题的个数相同 B.真命题的个数一定是偶数 C.真命题的个数一定是奇数 D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数 答案(找作业答案--->>上魔方格) 一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题, 原命题与逆否命题具有相同的真假性, 否命题与逆命题具有相同的真假性, ∴真命题的若有事成对出现的, 四种命题的真假性之间的关系: ()1两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ()2两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. ?,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 7、若p q ?,则p是q的充要条件(充分必要条件). 若p q 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 椭圆知识点 知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ; 若2121F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形. 知识点二:椭圆的简单几何性质 椭圆:12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质 1.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a += 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a b 2 2 3.最大角:p 是椭圆上一点,当p 是椭圆的短轴端点时,21PF F ∠ 为最大角。 4.焦点三角形的面积2 tan 2 21θ b S F PF =?,其中21PF F ∠=θ 5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤. (1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上. (2)设方程: ①依据上述判断设方程为2222b y a x +=1)0(>>b a 或22 22a y b x +=1)0(>>b a ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2+ny 2=1(m >0,n >0且m ≠n ). (3)找关系,根据已知条件,建立关于a ,b ,c 或m ,n 的方程组. (4)解方程组,代入所设方程即为所求. 6.点与椭圆的位置关系: 2222b y a x +<1,点在椭圆内,2222b y a x +=1,点在椭圆上,2 2 22b y a x +>1, 点在椭圆外。 7.直线与椭圆的位置关系 设直线方程y =kx +m ,若直线与椭圆方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax 2+bx +c =0(a ≠0). (1)Δ>0,直线与椭圆有两个公共点;(2)Δ=0,直线与椭圆有一个公共点; (3)Δ<0,直线与椭圆无公共点. 8.弦长公式: 若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点,),(),,2211y x B y x A (则弦长 椭 圆 1.椭圆的定义:把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程: 12222=+b y a x (a >b >0) 122 22=+b x a y (a >b >0) 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便,可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0,n>0)不必考虑焦点位置,求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x =x 0, y = 2 0y 得x 0=x , y 0=2y. ∵x 02 +y 02 =4, 得x 2 +(2y)2 =4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2,y 2≤b 2 ,∴|x|≤a ,|y|≤b . 椭圆位于直线x =±a 和y =±b 围成的矩形里. 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 6.顶点 只须令x =0,得y =±b ,点B 1(0,-b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点;令y =0,得x =±a ,点A 1(-a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点:A 1(-a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, -b)、B 2(0, b).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长. |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|=a . 在Rt △OB 2F 2中,|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2, 即c 2=a 2-b 2 . a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M 圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一.椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义:平面内与两定点F 1,F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ,2a >|F 1F 2|=2c}; 这里两个定点F 1,F 2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 (212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹)。 2.标准方程: 222c a b =- ①焦点在x 轴上:122 22=+b y a x (a >b >0); 焦点F (±c ,0) ②焦点在y 轴上:122 22=+b x a y (a >b >0); 焦点F (0, ±c ) 注意:①在两种标准方程中,总有a >b >0,并且椭圆的焦点总在长轴上; ②两种标准方程可用一般形式表示:22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 二.椭圆的简单几何性质: 1.范围 (1)椭圆12222=+b y a x (a >b >0) 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b (2)椭圆12222=+b x a y (a >b >0) 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称 中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 (1)椭圆的顶点:A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b ) (2)线段A 1A 2,B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ,短轴长等于2b ,a 和b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4.离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ,即a c 称为椭圆的离心率, 记作e (10< (一)椭圆的定义: 1、椭圆的定义:平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长(大于12||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明: (1)“在平面内”是前提,否则得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球面); (2)“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”,学习时注意区分; (3)作为到这两个定点的距离的和的“常数”,必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然,当这个“常数”等于| F 1F 2|时,我们得到的是线段F 1F 2;当这个“常数”小于| F 1F 2|时,无轨迹。这两种特殊情况,同学们必须注意。 (4)下面我们对椭圆进行进一步观察,发现它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心,我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1, A 2, B 1, B 2,于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”,且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 (5)中心在原点、焦点分别在x 轴上,y 轴上的椭圆标准方程分别为: 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是:形状相同、大小相同;都有 a > b > 0 ,2 2 2 a c b =+。 不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同(第一个椭圆的焦点坐标为(-c ,0)和(c ,0),第二个椭圆的焦点坐标为(0,-c )和(0,c )。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 (二)椭圆的几何性质: 椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换,就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下: 椭圆的简单几何性质 基础卷 1.设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距,则a , b , c 的大小关系是 (A )a >b >c >0 (B )a >c >b >0 (C )a >c >0, a >b >0 (D )c >a >0, c >b >0 2.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为18,焦距为6,那么椭圆的方程为 (A ) 221916x y += (B )2212516x y += (C )2212516x y +=或2211625x y += (D )22 11625 x y += 3.已知P 为椭圆 22 1916 x y +=上一点,P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 (A ) 54 (B )45 (C )4 17 (D ) 7 4 7 4.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为 (A ) 23 (B )33 (C )3 16 (D ) 6 1 6 5.在椭圆122 22=+b y a x 上取三点,其横坐标满足x 1+x 3=2x 2,三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3,则有 (A )r 1, r 2, r 3成等差数列 (B )r 1, r 2, r 3成等比数列 (C ) 123111,,r r r 成等差数列 (D )123 111 ,,r r r 成等比数列 6.椭圆 22 1925 x y +=的准线方程是 (A )x =± 254 (B )y =±165 (C )x =±165 (D )y =±25 4 7.经过点P (-3, 0), Q (0, -2)的椭圆的标准方程是 . 8.对于椭圆C 1: 9x 2 +y 2 =36与椭圆C 2: 22 11612 x y +=,更接近于圆的一个是 . 9.椭圆122 22=+b y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = . 10.已知定点A (-2, 3),F 是椭圆22 11612 x y +=的右焦点,在椭圆上求一点M ,使|AM |+2|MF |取得最小值。 第1讲 课题:椭圆 课 型:复习巩固 上课时间:2013年10月3日 教学目标: (1)了解圆锥曲线的来历; (2)理解椭圆的定义; (3)理解椭圆的两种标准方程; (4)掌握椭圆离心率的计算方法; (5)掌握有关椭圆的参数取值范围的问题; 教学重点:椭圆方程、离心率; 教学难点:与椭圆有关的参数取值问题; 知识清单 一、椭圆的定义: (1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数 ()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆. 说明:两个定点叫做椭圆的焦点; 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. (2) 椭圆的第二定义:平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数e ,当10< 上式化为12 2=+C By C Ax ,122=+B C y A C x .所以,只有C B A 、、同号,且B A ≠时,方程表示椭圆;当 B C A C >时,椭圆的焦点在x 轴上;当B C A C <时,椭圆的焦点在y 轴上. 五、椭圆的几何性质(以()0122 22>>=+b a b y a x 为例) 1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式 1,122 22≤≤b y a x ,即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。 3.顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个: ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴:21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长;21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率 (1)椭圆焦距与长轴的比a c e = ,()10,0<<∴>>e c a (2)22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=, 即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.(3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -=越小,椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越接近于0,从而22c a b -=越大,椭圆越接近圆;当0=e 时,b a c ==,0,两焦点重合,图形是圆. 6.通径(过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦),通径长为a b 2 2. 椭圆习题课 北京化工大学附属中学李爱惠 教材版本:高中数学人教A版选修2-1,第二章圆锥曲线与方程的第四节 一、教学背景分析 (1)学习内容分析: 已经学习了椭圆的定义、标准方程和几何性质这些基础知识,本节课在学习了这些基础知识和基本方法的前提下,以椭圆的焦点三角形为平台,进一步研究用定义和性质解决椭圆问题的方法,并了解与运用椭圆和其它知识点的联系。为后面学习双曲线、抛物线的概念打下良好的基础,学会利用圆锥曲线的定义来解决相关问题的一般性方法,让学生经历解析法解题的过程;本节椭圆习题课的学习是对其学习内容的进一步深化和提高。 (2)学生状况分析 1.学生水平:所任教的班级是普通理科班,有些学生思维水平相对较好,具有一定的分析、解决问题的能力。但因本班是我校的普通班,学生数学基础弱,计算能力弱,对试题的分析解决要在老师的引导下慢慢训练。 2.认知基础:学生在学习这节课之前,已掌握了椭圆的定义和标准方程,也具备自主利用椭圆定义和性质解决一些简单的椭圆问题,所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了进一步自行探索和解决问题的基本能力。 3.可能存在的学习困难:等价转化有一定困难;同时代数运算方面有困难;椭圆与三角、不等式等其它知识点的联系存在困难。 二、教法和学法的选择 解析几何要体现用代数研究几何,要教会学生抓住焦点三角形中的不变量和变量,用定义建立运算关系解决几何问题。学生已经对椭圆的定义、性质有了一定的掌握,所以本节课我采用了“启发引导”式的教学方法,重点突出以下两点: (1)以老师引导与学生探究相结合作为本节的学习方法。 (2)教学过程中突出数形结合、方程等数学思想方法的渗透。 以信息技术演示与学生动手实际操作相结合为主要教学手段。 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2( 2 12F F a >)的点的轨迹叫椭圆,这两 个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离 2 1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下: (ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆; (ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F ; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。 注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+(c a 22>, c F F 221=),即 2 121F F MF MF >+. 注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件: a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10< 注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 22=+b x a y (0>>b a );若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B ,),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2; (5)长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=; (6)准线方程:c a x 2 ± =; (7)焦准距:c b 2 ; (8)离心率: a c e = 且10< 【椭圆】 一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两 个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意:若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ; 若)(2121F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程(端点为a 、b ,焦点为c ) (1)当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ,其 中222b a c -=; (2)当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:122 22=+b x a y )0(>>b a ,其 中222b a c -=; 2、两种标准方程可用一般形式表示:22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质(以122 22=+b y a x )0(>>b a 为例) 1、对称性: 对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a :是以x 轴、y 轴为对称轴的轴 对称图形;并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围: 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足a x ≤,b y ≤。 3、顶点: ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶 点,坐标分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ,),0(1b B -,),0(2b B 。 ③线段21A A ,21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,a A A 221=, b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、离心率: ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作 a c a c e == 22。 ② 因为)0(>>c a ,所以e 的取值范围是)10(< 海豚教育个性化简案 海豚教育个性化教案(真题演练) 海豚教育个性化教案 A . 45 B .23 C .22 D .2 1 例2:已知m,n,m+n 成等差数列,m ,n ,mn 成等比数列,则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 例3:在ABC △中,3,2||,300===∠?ABC S AB A .若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率 e = . 【变式训练】 1. 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分,则椭圆离心率为( ) A. 63 B.33 C.2 3 D. 不确定 2. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是( ) 3. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点,顺次连结这四个点和两个焦点,恰好围成一个正六边形,则这个椭圆的离心率等于___________。 2:求离心率的取值范围 例1:已知椭圆12222=+b y a x (0>>b a ),F 1,F 2是两个焦点,若椭圆上存在一点P ,使3 221π =∠PF F ,求 其离心率e 的取值范围。 例2:已知椭圆122 22=+b y a x (0>>b a )与x 轴的正半轴交于A ,0是原点,若椭圆上存在一点M ,使MA ⊥MO , 求椭圆离心率的取值范围。 例3:已知椭圆12222=+b y a x (0>>b a ),以a ,b ,c 为系数的关于x 的方程02 =++c bx ax 无实根,求 其离心率e 的取值范围。 题型四:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等) 例1:已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 椭圆知识点总结 Revised as of 23 November 2020 椭圆知识点 知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ; 若2121F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形. 知识点二:椭圆的简单几何性质 椭圆:12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -,)0,(2c F ),0(1c F -,),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤,b y ≤ b x ≤,a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±,),0(b ± ),0(a ±,)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2,短轴长=b 2 长半轴长=a ,短半轴长=b (注意看清题目) 离心率 )10(<<= e a c e c a F A F A -==2211;c a F A F A +==1221;c a PF c a +≤≤-1; (p 是椭圆上一点)(不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围) 注意:①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、短轴长、焦距、离心率等;②与坐标系有关的性质,如:顶点坐标、焦点坐标等 知识点三:椭圆相关计算 1.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a += 弦,其长a b 2 2 2.通径:过焦点且垂直于长轴的 焦点弦:椭圆过焦点的弦。 3.最大角:p 是椭圆上一点,当p 是椭圆的短轴端点时,21PF F ∠为最大角。 4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。 焦点三角形的面积2tan 2 21θ b S F PF =?,其中21PF F ∠=θ(注意公式的推导) 5.求椭圆标准方程的步骤(待定系数法). (1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上. (2)设方程: 椭圆的知识点总结(一) 一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义:平面内与两定点F 1、F 2的距离和等于常数(2a ,且2a>|F 1F 2|)点的轨迹叫做椭圆。 说明:两个定点F 1(c ,0)、F 2(-c ,0)叫做椭圆的焦点; 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2c ); 建立合适的坐标系,椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴,长为2a ,椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴,长为2b 。 2、椭圆的第二定义:平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ,当0 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程 ● 焦点在x 轴,22 22x 1y a b +=(a>b>0) ● 焦点在y 轴,22 22x 1y b a +=(a>b>0) 椭圆上任意一点到F 1,F 2距离的和为2a ,F 1,F 2之间的距离为2c 。而公式中的b2=a2-c2,b 是为了书写方便设定的参数,同时在椭圆的图像中,b 代表短轴的一半。 ● 当焦点位置不明确时,方程可设为2 2 m 1x ny +=(m>0,n>0,且m≠n ),即标准方程 的统一形式。 ● 根据椭圆的第一定义推导标准方程: 考虑焦点在x 轴的情况(焦点在y 轴的情况类似),根据椭圆的第一定义,建立坐标系,以F 1,F 2的连线为x 轴,F 1,F 2的中垂线为y 轴。 1222222222222 222222242222,)F -,0F ,022()44()444()() 22p x y c c a a x c y a x c y a xc a x c y a xc a x a xc a c a y a a xc x c a ==-++=--+=-??-+=-??-++=-+设点坐标为(,坐标为(),坐标为()222224222222222222422222422224222222222222222222 22)() 1x a c a y a x c b a c a x a a b a y a x a b a x a a b a y a x a x b a b a y x b x b a y a b x y a b ++=+=-+-+=+-+-+=+--+=-+=+=令,代入,有 ( ● 根据椭圆的第二定义推导标准方程: 椭圆的基本知识 1.椭圆的定义:把平面与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程: 12222=+b y a x (a >b >0) 12 2=+b a (a > b >0) 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0) 不必考虑焦点位置,求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线 向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相 关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0), 则x =x 0, y = 2 0y 得x 0=x , y 0=2y. ∵x 02 +y 02 =4, 得 x 2 +(2y )2 =4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.围. x 2≤a 2,y 2≤b 2 ,∴|x|≤a ,|y|≤b . 椭圆位于直线x =±a 和y =±b 围成的矩形里. 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 6.顶点 只须令x =0,得y =±b ,点B 1(0,-b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点;令y =0,得x =±a ,点A 1(-a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点:A 1(-a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, -b )、B 2(0, b ).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长. |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|=a . 在Rt △OB 2F 2中,|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2 , 即c 2=a 2-b 2 . 7.椭圆的几何性质: 高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义:1,2 (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (222a b c =+)?{ cos sin x a y b ??==(参数方程,其中?为参数),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么? (ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 2. 椭圆的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个 焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<, e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系:(1)点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>; (2)点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +=1; (3)点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0?>?直线与椭圆相交;(2)相切:0?=?直线与椭圆相切; (3)相离: 0? 高中数学选修2--1圆锥曲线 基本知识点与典型题举例 一、椭圆 1.椭圆的定义: 第一定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0 图形 顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ± 对称轴 x 轴,y 轴,长轴长为2a ,短轴长为2b 焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c 1(0,)F c -、2(0,)F c 焦距 焦距为12 2(0),F F c c => 222 c a b =- 离心率 e =c a (0 例2. 已知ABC ?的周长是16,)0,3(-A ,B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A) 116 252 2=+y x (B) )0(116 252 2≠=+y y x (C) 125 162 2=+y x (D))0(125 162 2≠=+y y x 例3. 若F (c ,0)是椭圆22 221x y a b +=的右焦点,F 与椭圆上点的距 离的最大值为M ,最小值为m ,则椭圆上与F 点的距离等于2 M m +的点的坐标是( ) (A)(c ,2 b a ±) 2()(,)b B c a -± (C)(0,±b ) (D)不 存在 例4 设F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)是椭圆22x a +2 2y b =1(a >b >0)的两个焦(完整版)椭圆知识点复习总结
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