高三文科数学专题突破资料——应用题
一、应用题解题策略：
不怕难——多数考题并不难 ——不要有害怕应用题的心理 不怕繁——文字较多很正常 ——要有耐心
不慌忙——审题三思要认真 ——多读题两遍，把关键字词加上特别标记 抓要点——数量关系是关键 ——把每句话表示的数量关系式子化，未知量可先设
留心眼——统一单位才计算 ——要特别留意计量单位是否统一，这是易错点。
变量范围不可忘 ——函数型引入变量的要特别注意变量取值范
围。
写规范——表达作答写规范 ——概率统计等应用题要注意规范作答。 题型方法来帮忙 ——备考要熟悉一些常见的题型及其解法。 二、解答应用题的步骤:（ 第一步阅读理解和第二步构造模型是关键.）
① 读题.读懂题意，理解题意，找出主要关系（不熟悉的问题要多读几遍）; ② 建模.构建数学模型（归类：看是函数还是数列等等），把主要关系转化为数
学关系式;
③ 求解.选择合适的数学方法求解;
④ 检验.根据实际情景对求解结果进行验证或评估.
⑤ 作答：问什么一定要答什么，把得到的数学结果解析清楚。 选填题
1、某地2008年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 ( )
(A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.
(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张
2、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据
组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，
（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，
110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到
干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011
3、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ① ； ② ． 4． 已知n 次多项式P n (x )=a 0x n + a 1x n -1 + a 2x n -2 +…+ a n -1x + a n ，如果在一种算法中，计算a k x 0k (k=2, 3, 4,…n )需要k 次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P n (x 0)的值共需要 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )=a 0 , P k+1(x )=x P k (x ) + a k+1 (k=0, 1, 2,…n -1), 利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，那么计算P n (x 0)的值共需要 次运算． 5．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽
的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 6.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月
球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F
为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④
12
12
.c c a a <其中正确式子的序号是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 7、（四川文）10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为
3 1 27 7 5
5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4
6 7
9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7
34 3 2 35 6
甲
乙
（A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 8、（北京文）（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若
每批生产x 件，则平均仓储时间为8
x
天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件 9、（江西文）10.如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及中心M 在Y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.
今使“凸轮”沿X 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）
10（陕西文）10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ）
（A ）①和
（B ）⑨和⑩ (C) ⑨和
(D) ⑩和
11（湖北文）15．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记
录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的
震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍。 12（福建文）16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品
的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c=a+x （b-a ），这里，x 被称为乐观系数。
经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c-a ）是（b-c ）和（b-a ）的等比中项，
据此可得，最佳乐观系数x 的值等于_____________． 解答题 数列型：
1(10湖北19.)已知某地今年初拥有居民住房的总面积为a （单位：2m ），其中有部分旧住房需要拆除.
当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为
b （单位：2m ）的旧住房.
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；
(Ⅱ) 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年 拆除的旧住房面积b 是多少？（计算时取1.15=1.6）
练习1、一辆邮政车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ，n 是已知定值），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋
数构成一个有穷数列{}k a ， （k=1,2,3,,n ）试求：
（1）1a ，23,a a
（2）当邮政车从第几站出发时，车内共有的邮袋数最大？相应最大值是多少
函数型：
例2（山东文）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
803
π
立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞.设该容器的建造费用为y 千元.
（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .
练习2（湖北文）19．（本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大
桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当
20200
x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数。 （I ）当0200
x ≤≤时，求函数v （x ）的表达式； （II ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x vx =?可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）。
三角型
例3 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里
两条笔直的小路AD DC
，，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从C沿CD走到D用
了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）
练习3(10福建21．)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航
行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.
解析几何型
例4（10湖南19.）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）.考察范围为到A 、B 两点的距离之和不超过10km 的区域. （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图4所示，设线段12PP 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍.问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上？
练习4 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台
风中心位于城市O
（如图）的东偏南(cos θθ=
方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西 偏北?45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域， 当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大， 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
东O
应用题答案
选填题1）、B 2）．C 3）、解:（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平
均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ．（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．4）．2
1n (n +3) ,
2n 5）、
7
25
6）、B 7）选C ．解析：设派用甲型卡车x （辆），乙型卡车y （辆），获得的利润为u （元），450350u x y =+，由题意，x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,
x y x y x y x y +≤??+≤??
+≥??≤≤?≤≤??作出相应的
平面区域，45035050(97)u x y x y =+=+在由12,
219
x y x y +≤??+≤?确定的交点(7,5)处取得最大值4900
元，8）B 9) 答案：A 根据中心M 的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M 的位置会先变高，当C 到底时，M 最高，排除CD 选项，而对于最高点，当M 最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A 。【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论． 10)【解】选D （方法一） ：：10(129)10(1210)2?++++?+++? =2000 （方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10(1219)2?+++? 19(119)
10238002
+=??=；树苗放在第
10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是
10(129)10(1210)2?++++?+++? 9(19)10(110)
10210222
?+?+=?
?+?? 90011002000=+=，所以路程总和最小为2000米.11) 6 10000
12)
解答题例1．本小题主要考查阅读材料、提取信息、建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）第1年末的住房面积211
1.1().10a b a b m ?-=- 第2年末的住房面积).(1.221.1)10111()1011(1011)1011(2
2m b a b a b b a -=+-?=-?-?
（Ⅱ）第3年末的住房面积222
111111111111[()(1)]()[1()].101010101010a b b a b ?-+-=?-+
+ 第4年末的住房面积423
11111111()[1()()]10101010a b ?-+
++， 第5年末的住房面积5234
1111111111()[1()()()]1010101010
a b ?-+
+++ =b a b a 66.11
.111.111.15
5
-=---
依题意可知，,3.166.1a b a =-解得,20a b =
所以每年拆除的旧房面积为).(20
2m a
练习1.解：（1）由题意得：
1231,(1)(2)1,
(1)(2)(3)1 2.3a n a n n a n n n =-=-+--=-+-+-------------------分
（2） 在第k 站出发时，前面放上的邮袋共：)()2()1(k n n n -++-+- 个 而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k －1）个------------------5分 故)]1(21[)()2()1(-+++--++-+-=k k n n n a k
),,2,1()1(2
1
)1(212n k k kn k k k k kn =-=--+-
= 即邮政车从第k 站出发时，车内共有邮袋数),2,1(2n k k kn =-个-------------10分
因为f(x)=-x 2
+kx 是开口向上且关于x=2
n 对称的二次函数，所以 -----------11分
当n 为偶数时k=2n ,即第2n 站出发时车内共有邮袋数最大，最大值是4n 2
-------12分
当n 奇数时，k=21n ±，即第21n -站或第2
1
n +站出发时车内共有邮袋数最大， 最大值
是4
1n 2- ----------14分
例2【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为803π立方米，所以3243r r l ππ+=803π
,解得280433r l r =-,
所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2
160833
r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为
24r π,所以y =
21608r r ππ-+24cr π,定义域为(0,2
l
). （Ⅱ）因为'
y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,所以令'0y >得
:r >令'0y <得
:0r <<
所以r =, 该容器的建造费用最小. 练习2本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设
再由已知得1,2000,3
2060,200.3a a b a b b ?
=-?+=????+=??=??
解得60,020,()1
(200),202003x v x x x ≤≤??=?-≤≤?? （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,
020,()1(200),202003
x x f x x x x ≤
=?-≤≤??
当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；
当20200x ≤≤时，211(200)10000
()(200)[]3323
x x f x x x +-=
-≤= 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。
所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000
.3
综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值10000
33333
≈。 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。 例3【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得
CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=0
60……………………………4分 在CDO ?中，22022cos60,CD OD CD OD OC +-???=……………6分 即()()2
2
21
5003002500300,2
r r r +--??-?
=…………………….9分 解得4900
44511
r =≈（米）. …………………………………………….13分
【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H (2)
由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0
120CDA ∠= (42220)
222
,2cos12015003002500300700,
2
ACD AC CD AD CD AD ?=+-???=++???=在中 ∴ AC =700（米）
…………………………..6分
22211
cos .214
AC AD CD CAD AC AD +-∠==??………….…….9分
在直角11
,350
,cos 0,14
HAO AH HA ?=∠=中（米） ∴ 4900
445cos 11
AH OA HAO =
=≈∠（米）. …………… 练习3本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、
运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
解法一：（Ⅰ）设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则
S =
=13t =
时，min S =
13
v ==
即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。 （Ⅱ）设小艇与轮船在B 处相遇.
由题意可知，222()20(30)22030cos(9030)vt t t =+-????-?，
化简得：2
2
240060013900400()6754v t t t =
-+=-+. 由于102t <≤，即1
2t
≥，
所以当12t
=时， v
取得最小值
即小艇航行速度的最小值为/小时
.
解法二：
（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北
方向.设小艇与轮船在C 处相遇.
在Rt OAC
中，20cos30OC ==
20sin3010AC == .又30AC t =,OC vt =
此时，轮船航行时间101303
t =
=
，13
v ==
即，小艇以/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小. （Ⅱ）同解法一（Ⅲ）同解法一
练习4解：（Ⅰ）设边界曲线上点P 的坐标为(,)x y ，则由10PA PB +=知，点P 在以A ，B 为焦点，长轴长为210a =的椭圆上．此时短半轴
长
3b ==．
所以考察区域边界曲线（如图）的方程为
22
1259
x y +=． （Ⅱ）易知过点12,P P 的直线方程为43470x y -+=．因此点A 到直线12PP
的距离为31
5
d =
=
． 设经过n 年，点A 恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得
0.2(21)31
215
n -=-． 解得5n =，即经过5年，点A 恰好在冰川边界线上．
练习4解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.
在时刻：t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为????????+?-=?-?=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，其中10)(=t r t+60，
若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即
,)6010()2
2201027300()2220102300(222+≤?+?-+?-?
t t t 即0288362
≤+-t t ， 解得2412≤≤t .答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭
高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数 有最小值 （注：该题可用基本不等式求最小值。）
2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。 （1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润. （1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10]. （2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k) ＝(x－11)[3x－(17＋2k)]. 由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分) 因为1≤k≤3，所以≤≤. ①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分) ②当7<≤，即2 高三数学选择题专题训练（一） 1．已知集合{}1),(≤+=y x y x P ，{ }1),(22≤+=y x y x Q ，则有 （ ） A ．Q P ?≠ B ．Q P = C ．P Q P = D ．Q Q P = 2．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是（ ） A ．)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B ．)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C ．)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D ．)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，369-=S ，10413-=S ，等比数列{}n b 中，55a b =，77a b =， 则6b 的值 （ ） A ．24 B ．24- C ．24± D ．无法确定 4．若α、β是两个不重合的平面， 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而非必要 条件是 （ ） A ． αα??m 且 ∥β m ∥β B ．βα??m 且 ∥m C ．βα⊥⊥m 且 ∥m D ． ∥α m ∥β 且 ∥m 5．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-509121，则n 的 值 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，则)1(λλ-+=，)2,1(∈λ，则（ ） A ．点M 在线段A B 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，M ，B 四点共线 7．若A 为抛物线24 1x y = 的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AC AB ?等于 （ ） A ．31- B ．3- C ．3 D ．43- 8．用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色， 则共有涂色方法 （ ） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种 9．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称，那么a 的值 （ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 难点41 应用性问题 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求. ●难点磁场 1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由 南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上， 一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图）， 现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上 以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本 身的大小）. 2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟. 3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足 R (x )=???>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？ ●案例探究 ［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水 中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料 60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？ 命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目. 知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y = ab k (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ① 要求y 的最小值，只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b ) 2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意. 难点34 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-= x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 2222222222 22222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(] ))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+' +--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21 v －21·2x =f ′(12+x )·211 1 2+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′ =f ′(12+x )·21(x 2+1)21- ·(x 2+1)′ 2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=， 当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，2014年高三数学选择题专题训练(12套)有答案
高考数学难点突破_难点41__应用问题
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析
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2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]